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1、力學(xué)高等數(shù)學(xué)補(bǔ)充知識(shí)1一、微積分基礎(chǔ)知識(shí) 1. 函數(shù),導(dǎo)數(shù)與微分 函數(shù):自變量,因變量,定義域,對(duì)應(yīng)法則,值域等;函數(shù)的一些基本性質(zhì)(如連續(xù)性,對(duì)稱性,周期性,奇偶性等),(基本)初等函數(shù)等。 導(dǎo)數(shù):設(shè)函數(shù)y=f(x)當(dāng)自變量在點(diǎn)x處有一增量x時(shí),函數(shù)y相應(yīng)的有一改變量y=f(x+ x )-f(x),那么當(dāng)x趨于零時(shí),若比值y/ x的極限存在(為一確定的有限值),則這個(gè)極限為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處導(dǎo)數(shù),記作: 這時(shí)稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處是可導(dǎo)的。 2函數(shù) y=f(x) 在 x 處的導(dǎo)數(shù) f(x) 等于曲線 y=f(x) 在點(diǎn)x處的切線的斜率,即: 導(dǎo)數(shù)的幾何意義:在物理上,動(dòng)點(diǎn)的位置矢量
2、對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)就是該動(dòng)點(diǎn)的速度矢量;位置矢量對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)(也是:速度矢量對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù))是動(dòng)點(diǎn)的加速度矢量,詳見(jiàn)運(yùn)動(dòng)學(xué)部分速度矢量與加速度矢量。 3注意:以下是易混淆的兩個(gè)表示:和前者:只要是在上面加一點(diǎn)的,都是對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù),即:,當(dāng)然加兩點(diǎn),則是對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù),即:后者:永遠(yuǎn)是函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)。如對(duì)于函數(shù)y=y(x) ,則4若自變量有多個(gè),則應(yīng)該用偏導(dǎo), 是函數(shù)y=y(x,t) (同時(shí)又有x=x(t) )對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)。(注意: ,對(duì)于多元函數(shù),一般 )。5基本求導(dǎo)公式:(1) (C)=0,(2) (xm)=m xm-1,(3) (sin x)=cos x,(4) (cos x
3、)=-sin x,(5) (tan x)=sec2x,(6) (cot x)=-csc2x,(7) (sec x)=sec x tan x,(8) (csc x)=-csc x cot x,(9) (ax)=ax ln a ,(10) (ex)=ex,6函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則: (1) (u v)=u v, (2) (Cu)=Cu (C是常數(shù)), (3) (uv)=uv+u v,復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則: 反函數(shù)求導(dǎo)法: 求導(dǎo)法則7復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則: 解:函數(shù)y=lntan x是由y=ln u,u=tan x復(fù)合而成, 例1y=lntan x,求dxdy。8例2y=3xe,求dxdy。9例
4、3212sinxxy+=,求dxdy。10函數(shù)y=y(x)的微分存在的充分必要條件是:函數(shù)存在有限的導(dǎo)數(shù) y=f(x) ,這時(shí)函數(shù)的微分是: 微分:若函數(shù) y=y(x) 的改變量可表示為: 式中dx=x,則此改變量的線性主部A(x)dx稱為函數(shù)y的微分,記作: 112. 不定積分 不定積分:對(duì)函數(shù) y=y(x) ,如果在給定區(qū)間a,b上有 則其逆運(yùn)算就是求 G(x) 的不定積分(即:求 G(x) 的原函數(shù)): 上式中可以看出: G(x) (被積函數(shù))的原函數(shù)為 y(x)+C,不止一個(gè)。其中, C 為積分常數(shù)。 123. 定積分 由上面的不定積分,再加上一定的初始條件,被積函數(shù)的原函數(shù)就是唯一確
5、定的。 幾何意義: 由 y=f(x) 的函數(shù)曲線,初始條件表示的直線,x 軸所圍成的曲邊梯形的面積。 牛頓萊布尼茲公式(Newton-Leibniz formula):若函數(shù) y=f(x) 在區(qū)間 a,b 上連續(xù),或分段連續(xù),則 y=f(x) 在 a,b上有原函數(shù),設(shè) F(x) 是 f(x) 在 a,b 上的一個(gè)原函數(shù),則(定積分與不定積分的內(nèi)在聯(lián)系 )13基本積分表k x C (k是常數(shù)),arctan x C ,arcsin x C ,ln |x|C ,sin x C ,cos x C ,14基本積分表15不定積分的性質(zhì) 性質(zhì)1 函數(shù)的和的不定積分等各個(gè)函數(shù)的不定積分的和,即 性質(zhì)2 求不
6、定積分時(shí),被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面來(lái),即16例4例517 arctan x ln | x | C 例6例7例8定積分18三、矢量分析基礎(chǔ)(由于物理學(xué)研究的需要而產(chǎn)生了矢量) 1.矢量的定義: 具有一定的大小和方向,且加法遵從平行四邊形法則的量。 矢量表示:2.矢量的加法、減法:矢量的加法應(yīng)滿足平行四邊形法則,而減法是加法的逆運(yùn)算,可用三角形法則;如圖所示。 一般計(jì)算矢量的加法、減法時(shí),對(duì)各分量分別相加減: 193.矢量的數(shù)乘 以實(shí)數(shù) 乘以矢量 稱為矢量的數(shù)乘,記作 ,顯然有: 實(shí)數(shù) 只是一個(gè)系數(shù),矢量的數(shù)乘可以看作是把原矢量的模伸縮為原來(lái)的 倍。 的方向?yàn)椋?時(shí),與方向不變; 時(shí),與方向相反。4. 矢量的正交分解 把矢量分解成沿著幾個(gè)正交單位矢量方向上的分矢量,各分矢量按照平行四邊形法則,又可合成原矢量。 205. 矢量的標(biāo)積和矢積 已知兩矢量 和 ,夾角記作: ,則: (1)矢量的標(biāo)積(又稱:數(shù)量積、點(diǎn)乘、點(diǎn)積、內(nèi)積):(結(jié)果為標(biāo)量 )(2)矢量的矢積(又稱:叉乘、叉積、外積): 矢積 的結(jié)果為矢量;大小為以A、B為邊的平行四邊形的面積: 216.矢量對(duì) t 的導(dǎo)數(shù) 對(duì)矢量函數(shù)(簡(jiǎn)稱矢函數(shù)) ,如果極限: 存在,就稱它為矢函數(shù) 的導(dǎo)數(shù),記作 ,矢函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)仍為矢函數(shù),從而還可
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