一階微分方程

1、一階微分方程一、可別離變量的微分方程一般表示別離變量并積分求解過程通解形式例1. 細(xì)菌生長過程的即時存在量 ，方程為 ，求通解和滿足 的特解。解2例2 求微分方程 的通解解例3 如圖5-2電路， 是開關(guān)，如果和閘 時，電容器上電壓 ，求和閘后電壓 的變化規(guī)律。解圖5-2 RC電路3一階可別離變量的微分方程習(xí)題選講求以下微分方程的通解或特解解解解解習(xí)題五42習(xí)題五411課外題4二、一階線性微分方程1.什么是一階線性微分方程？1定義 含有 ，且 與 都是一次冪。通常 指 一階微分方程中不能直接別離變量的類型2一般形式3齊次方程4非齊次方程例為函數(shù)*可別離變量 5-11即原方程5-1152.一階線性

2、微分方程的通解公式推導(dǎo)1解齊次方程5 12，求出其通解注：推導(dǎo)過程*別離變量*兩邊積分*令*稱齊次通解62再求原方程1的通解形式并作對照*局部別離變量* 為未知函數(shù)*按常規(guī)兩邊積分*不定積分性質(zhì)2*再令*非齊次通解設(shè) 并積分，那么有即 5-1473確定非齊次通解中的特定函數(shù)對式5-14兩邊同時求導(dǎo)數(shù)，得把上式與5-14式代入原方程，得即*、項抵消8對 兩邊積分，就有：代入非齊次通解得即稱為一階線性微分方程的通解公式 5 - 159小結(jié)：一階線性微分方程解的構(gòu)造齊次通解非齊次特解簡寫：103.一階線性微分方程的解法1公式法直接用通解公式5 - 152常數(shù)變易法A.求出齊次通解；B.將其中的任意常

3、數(shù) 改換成待定函數(shù) ，并確定 ；C.構(gòu)成非齊次通解。例1 求 的通解例2 求 的通解解解11第五章 作業(yè)P124P12552 一階微分方程習(xí)題41，4，7 9， 可別離變量12 一階微分方程習(xí)題講解*選做1. *P125，4102. *412，作業(yè)題3. *課外題解解解13解：將方程 化為 *解法說明*別離變量兩邊積分得*只取一個積分常數(shù)作對數(shù)指數(shù)變換，*令故有通解14將初始條件 通解，就有：即所以特解為即*指數(shù)性質(zhì)當(dāng) 時，可簡化為：返回15解：對方程別離變量得兩邊積分故方程通解為繼續(xù)化簡作指數(shù)變換返回16解：本例描述RC電路充電過程，根據(jù)回路電壓及有關(guān) 定律有 其中 *歐姆定律，電流瞬變*電

4、容器性質(zhì)故得微分方程*一階可別離變量型17別離變量得兩邊積分得移項并令 得利用初始條件 ，代入通解可求得所以特解為圖53 RC的電壓變化規(guī)律曲線18圖53 RC電壓變化規(guī)律曲線返回191.微分方程 *求通解解： *別離變量*兩邊積分*常數(shù)暫寫*其中注特解可以是隱函數(shù)或其他形式返回20求特解*別離變量*兩邊積分*作指數(shù)變量其中通解為將初始條件 時， 代入上式得所以特解為解：返回21解：*求通解*分解*可別離變量*兩邊積分*作指數(shù)變換其中得通解為返回22分析：2經(jīng)過變形，可以用兩邊積分求通解；3變換原理，根據(jù) 。解：原方程變換為兩邊積分故通解為返回1此題屬不能直接別離變量的微分方程；23例1 求

5、的通解解法一：據(jù)通解公式要領(lǐng)1熟記通解公式； 2注意指數(shù)項的積分運算； 3結(jié)果只有一個任意常數(shù)。24解法二：相應(yīng)的齊次方程為別離變量得兩邊積分齊次通解為令 , 有求導(dǎo)數(shù)得1 2 325將2、3式代入方程1得注：如有、項相銷即 ，再兩邊積分得，代入非齊次通解2得小結(jié)：常數(shù)變易法不用死記通解公式，但要熟悉推算 過程返回26一階微分方程習(xí)題講解解法一：用常數(shù)變易法原方程的齊次方程為別離變量得兩邊積分即齊次通解為求特解注： 27原方程通解形式為將 和 代入原方程有即 ，或積分得故原方程通解為代入初始條件 ，得所以特解為28方法二：用通解公式原方程變形為即其中代入公式可得非齊次通解返回29 2. 解微分

6、方程解：原方程化為 *關(guān)鍵步驟別離變量并積分通解將 代入通解可得所以原方程特解為返回30*求通解分析1此方程不可直接別離變量； 2假設(shè)化為 ，與一階線性方程標(biāo)準(zhǔn)不符思路將變量 與函數(shù) 互換位置，尋找它們的關(guān)系式 既通解解：原方程化為 *函數(shù)即 一階線性方程其中 可用通解公式31方法二：用常數(shù)變易法對應(yīng)齊次方程為別離變量并積分所以 即 齊次通解設(shè)原方程通解為 1那么求導(dǎo)數(shù)有 2將1，2代入原方程有32化簡得兩邊積分所以代入1式有 原方程通解小結(jié)： 與 位置可互易，通解可以用顯函數(shù)或隱函數(shù) 表示。返回33人有了知識，就會具備各種分析能力，明辨是非的能力。所以我們要勤懇讀書，廣泛閱讀，古人說“書中自有黃金屋。通過閱讀科技書籍，我們能豐富知識，培