新人教版高中數學（選修2-2）（全冊知識點考點梳理、重點題型分類鞏固練習）（提高版）（家教、補習、復習用）

1、新人教版高中數學（選修2-2）重難點突破知識點梳理及重點題型鞏固練習變化率與導數【學習目標】（1）理解平均變化率的概念；（2）了解瞬時速度、瞬時變化率的概念；（3）理解導數的概念，知道瞬時變化率就是導數，體會導數的思想及其內涵；（4）會求函數在某點的導數或瞬時變化率；【要點梳理】知識點一：平均變化率問題1.變化率事物的變化率是相關的兩個量的“增量的比值”。如氣球的平均膨脹率是半徑的增量與體積增量的比值；2.平均變化率一般地，函數f(x)在區(qū)間上的平均變化率為：要點詮釋： 本質：如果函數的自變量的“增量”為,且,相應的函數值的“增量”為,則函數從到的平均變化率為 函數的平均變化率可正可負，平均變

2、化率近似地刻畫了曲線在某一區(qū)間上的變化趨勢.即遞增或遞減幅度的大小。對于不同的實際問題，平均變化率富于不同的實際意義。如位移運動中，位移S（m）從t1秒到t2秒的平均變化率即為t1秒到t2秒這段時間的平均速度。高臺跳水運動中平均速度只能粗略地描述物體在某段時間內的運動狀態(tài)，要想更精確地刻畫物體運動，就要研究某個時刻的速度即瞬時速度。3.如何求函數的平均變化率求函數的平均變化率通常用“兩步”法：作差：求出和作商：對所求得的差作商，即。要點詮釋：1. 是的一個“增量”，可用代替，同樣。2. 是一個整體符號，而不是與相乘。3. 求函數平均變化率時注意，兩者都可正、可負，但的值不能為零，的值可以為零。

3、若函數為常函數，則=0.知識點二：導數的概念定義：函數在處瞬時變化率是，我們稱它為函數在處的導數,記作要點詮釋： 增量可以是正數，也可以是負，但是不可以等于0。的意義：與0之間距離要多近有多近，即可以小于給定的任意小的正數。 時，y在變化中都趨于0，但它們的比值卻趨于一個確定的常數。即存在一個常數與無限接近。 導數的本質就是函數的平均變化率在某點處的極限，即瞬時變化率。如瞬時速度即是位移在這一時刻的瞬間變化率。知識點三：求導數的方法：求導數值的一般步驟： 求函數的增量：； 求平均變化率：； 求極限，得導數：。也可稱為三步法求導數?！镜湫屠}】類型一：求平均變化率例1 函數在區(qū)間1，1+x內的平

4、均變化率為_?！窘馕觥?， 【總結升華】 由于平均變化率是函數值增量與自變量增量之比，所以求函數在給定區(qū)間x0，x0+x上的平均變化率問題，就是求的值。本例的關鍵是對進行分子有理化。舉一反三：【變式1】 求函數y=2x2+5在區(qū)間2，2+x上的平均變化率；并計算當時，平均變化率的值。【答案】 ，函數在區(qū)間2，2+x上的平均變化率為。當時，即平均變化率的值為9.【變式2】 （2015春 松山區(qū)校級月考）在曲線上取點P（2,6）及鄰近點Q ，那么 為（ ）A. B. C. D. 【答案】 ， 故選C【變式3】已知函數，分別計算在區(qū)間3，1，0，5上函數及的平均變化率【答案】函數在3，1上的平均變化

5、率為在3,1上的平均變化率為函數在0，5上的平均變化率為在0，5上的平均變化率為類型二：利用定義求導數值例2 用導數的定義，求函數在x=1處的導數?！窘馕觥??！究偨Y升華】 利用定義求函數的導數值，需熟練掌握求導數的步驟和方法，即三步法。舉一反三：【變化率與導數 383113 例1】【變式1】（1）求函數 在x=1處的導數.（2）求函數f(x)=在附近的平均變化率，并求出在該點處的導數 【答案】 (1) , ，即.所以 函數 在x=1處的導數為6 .（2） 依照定義，f(x)在的平均變化率，為兩增量之比，需先求，再求：，即為f(x)=在附近的平均變化率。 再由導數定義得： 【變式2】已知函數，

6、求函數在x=4處的導數.【答案】（1） ，【變式3】（2015春 寶雞校級月考）已知函數可導，且 ，則 等于（ ）A.1 B. C. D. 【答案】 A類型三：實際問題中導數的應用例3. 設一個物體的運動方程是：，其中是初速度，時間單位為，求：時的瞬時速度（函數s(t)的瞬時變化率）。【解析】 【總結升華】 t=2s時的瞬時速度就是t=2s附近平均速度的極限，亦即速度在t=2s時導數。舉一反三：【變式1】 質點按規(guī)律s (t)=at2+1做直線運動（位移單位：m，時間單位：s）。若質點在t=2 s時的瞬時速度為8 m / s，求常數a的值?！敬鸢浮?s=s(2+t)s(2)=a(2+t)2+1

7、a221=4at+a(t)2，。在t=2 s時，瞬時速度為，即4a=8。a=2?！咀兪?】如果一個質點從固定點A開始運動，關于時間t的位移函數是求（1）t=4時、物體的位移是s(4);（2）t=4時、物體的速度v(4);（3）t=4時、物體的加速度a(4).【答案】(1) (2) t=4時，v(4)=48 (3) t=4時 a (4) = 24【變式3】 槍彈在槍筒中運動可以看做勻加速運動，如果它的加速度是a=5105 m / s2，槍彈從槍口射出所用的時間為1.6103 s。求槍彈射出槍口時的瞬時速度。【答案】 運動方程為。因為 ，所以 。當t0時，。由題意知，a=5105 m / s2，t

8、0=1.6103 s，所以at0=8102 m / s=800 m / s即槍彈射出槍口時的瞬時速度為800 m / s【鞏固練習】選擇題1（2015春 保定校級月考）函數在一點的導數是（ ）A.在該點的函數值的增量與自變量的增量的比B.一個函數C.一個常數，不是變數D.函數在這一點到它附近一點之間的平均變化率。 2.（2015春 淄博校級月考）在曲線的圖象上取一點（1,3）及鄰近一點，則 為（ ） A. B. C. D. 3.一直線運動的物體，從時間到時，物體的位移為，那么為 （ ）A從時間到時，物體的平均速度 B時間時該物體的瞬時速度C當時間為時該物體的速度 D從時間到時位移的平均變化率4

9、. 已知函數，下列說法錯誤的是（ ）A. 叫函數增量B. 叫函數在上的平均變化率C. 在點處的導數記為D. 在點處的導數記為5一木塊沿某一斜面自由下滑，測得下滑的水平距離s與時間t之間的函數關系為，則t=2 s時，此木塊在水平方向的瞬時速度為（ ）A2 B1 C D6 設，若，則a=（ ）A2 B2 C3 D不確定7（2015秋 泗縣校級期末）若在可導，且，則=（ ） A. B.2 C.3 D. 8在地球上一物體作自由落體運動時，下落距離其中為經歷的時間，若 ，則下列說法正確的是（ ） A. 01s時間段內的速率為 B. 在11+ts時間段內的速率為C. 在1s末的速率為 D. 若t0，則是1

10、1+ts時段的速率；若t0，則是1+ts1時段的速率二、填空題9已知函數yx32，當x2時，eq f(y,x) .10.如圖，函數f(x)的圖象是折線段ABC,其中A,B,C的坐標分別為（0，4），（2，0），（6，4），則= ；= .11 一質點的運動方程是, 其中最小速度是 。三、解答題12已知函數, 求函數在x=4處的導數.13.將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產品，需要對原油進行冷卻和加熱。如果在第x h時，原油溫度（單位：）為計算第2h和第6h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義。14 已知函數y=log2x+1。（1）求函數在2，2.1上的平均變化率；（2）若自變量從x

11、0增加到x0+x，該函數的平均變化率又是多少？（x00）15. 已知曲線，用定義求：處的導數；【答案與解析】1 【答案】 C 2. 【答案】B【解析】y=（1+x）2+211=x2+2x，=2+x.選B。3 【答案】 C【解析】 f(4)=sin4,4, sin40,即函數在點(4,f(4)處的斜率為正值. 切線的傾斜角為銳角.4. 【答案】 C 【解析】 正確的寫法應該是5 【答案】 C 【解析】 。故選C。6 【答案】 A 【解析】 ，a=2，故選A。7 【答案】 D 【解析】因為，即， ，所以，故選D。 8 【答案】 C 【解析】 ，即s（t）在t=1 s時的導數值。由導數的物理意義，得

12、9.8 m / s是物體在t=1 s這一時刻的速率。故選C。9. 【答案】 【解析】10. 【答案】 2， 2 【解析】 由圖可知：f(0)=4,f(4)=2; f(x)=-2x+4,帶入可得。11. 【答案】 【解析】由于12. 【答案】【解析】 ，13. 【解析】在第時和第時,原油溫度的瞬時變化率就是和根據導數定義所以 同理可得:在第時和第時,原油溫度的瞬時變化率分別為和,說明在第附近,原油溫度大約以的速率下降在第附近,原油溫度大約以的速率上升.14【 答案】0.7 【解析】（1）x1=2，x2=2.1，x=x2x1=0.1，函數在2，2.1上的平均變化率 。（2）x1=x0，x2=x0+

13、x， 函數的平均變化率 。15. 【答案】【解析】y0，當趨近于0時，上式的極限為，即 。導數的幾何意義【學習目標】1理解導數的幾何意義。2理解導數的全面涵義。3掌握利用導數求函數圖象的切線的斜率。4會求過點（或在點處）的切線方程?！疽c梳理】（根據課標要求進行適當的深化與拓展。）要點一、導數幾何意義平均變化率的幾何意義曲線的割線函數的平均變化率的幾何意義是表示連接函數圖像上兩點割線的斜率。如圖所示，函數的平均變化率的幾何意義是：直線AB的斜率。事實上，。換一種表述：曲線上一點及其附近一點，經過點、作曲線的割線， 則有。要點詮釋：根據平均變化率的幾何意義，可求解有關曲線割線的斜率。2.導數的幾

14、何意義曲線的切線圖1如圖1，當沿著曲線趨近于點時，割線的變化趨勢是什么？我們發(fā)現,當點沿著曲線無限接近點P即x0時,割線趨近于確定的位置，這個確定位置的直線PT稱為曲線在點P處的切線.定義：如右圖，當點沿曲線無限接近于點，即時，割線的極限位置直線叫做曲線在點處的切線。T也就是：當時，割線斜率的極限，就是切線的斜率。即：。要點詮釋：（1）曲線上一點切線的斜率值只與該點的位置有關。（2）切線斜率的本質函數在處的導數。（3）曲線的切線的斜率的符號可以刻畫函數的增減性。若曲線在點處的導數不存在，但有切線，則切線與軸垂直。，切線與軸正向夾角為銳角，瞬時遞增；，切線與軸正向夾角為鈍角，瞬時遞減；，切線與軸

15、零度角，瞬時無增減。 （4）曲線的切線可能和曲線有多個公共點；為什么要用割線的極限位置來定義切線，而不說“與曲線只有一個公共點的直線叫做切線？”過去我們定義圓的切線就是“與圓有且只有一個公共點的直線”，這個定義符合圓、橢圓等一類曲線，那么，能否對任何曲線C都用“與C有且只有一個公共點”來定義C的切線呢？如圖1-1-2-1的曲線C是我們熟知的正弦曲線y=sin x的一部分，直線2顯然與曲線C有唯一公共點M，但我們不能說直線2與曲線C相切；而直線1盡管與曲線C有不止一個公共點，但我們可以說直線1是曲線C在點N處的切線。要點二、曲線的切線（1）用導數的幾何意義求曲線的切線方程的方法步驟： 求出切點的

16、坐標;求出函數在點處的導數得切線方程（2）在點處的切線與過點（x0，y0）的切線的區(qū)別。在點處的切線是說明點為此切線的切點；而過點（x0，y0）的切線，則強調切線是過點（x0，y0），此點可以是切點，也可以不是切點。因此在求過點（x0，y0）的切線方程時，先應判斷點（x0，y0）是否為曲線上的點，若是則為第一類解法，若不同則必須先在曲線上取一切點，求過此切點的切線方程，再將點（x0，y0）代入，求得切點的坐標，進而求過點（x0，y0）的切線方程。要點三、導數的概念導函數定義：由函數f(x)在x=x0處求導數的過程可以看到,當時, 是一個確定的數，那么,當x變化時,便是x的一個函數,我們叫它為f

17、(x)的導函數.記作：或，即: 要點詮釋： 函數在點處的導數、導函數之間的區(qū)別與聯(lián)系。（1）函數在一點處的導數，就是在該點的函數的改變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個常數，不是變數。（2）函數的導數，是指某一區(qū)間內任一點x而言的，也就是函數f(x)的導函數。 （3）函數在點處的導數就是導函數在處的函數值。導函數也簡稱導數，所以 所以求函數在一點處的導數，一般是先求出函數的導函數，再計算這點的導數函數值。導函數求法：由導數的定義可知，求函數的導數的一般方法是：（1）.求函數的改變量。（2）.求平均變化率。（3）.取極限，得導數。要點四、導數的定義的幾種形式：割線的極限即為切線，即為導數，從

18、這個幾何意義上看導數式可以有多種表達形式，如：；（或：；）。要點詮釋：只要是時，極限式所表示的是割線的斜率（或其若干倍），就能表示為導數式?！镜湫屠}】類型一、求曲線的切線方程【導數的幾何意義 385147 例1】例1曲線的方程為，那么求此曲線在點P（1，2）處的切線的斜率，以及切線的方程. 【解析】 利用導數的幾何意義，曲線在點P（1，2）處的切線的斜率等于函數在處的導數值，再利用直線的點斜式方程寫出切線方程.由得，所以曲線在點處的切線斜率為，過點P的切線方程為，即.【總結升華】 求曲線上一點處切線的步驟：求函數y=f(x)在點處的導數，即曲線y=f(x)在處切線的斜率。由點斜式寫出直線方程

19、：；如果y=f(x)在的切線平行于y軸（此時導數不存在）時，由切線定義知：切線方程為：.舉一反三：【變式1】（2014 西藏一模）已知曲線的一條切線的斜率為，則切點的橫坐標為（ ） A.1 B.2 C.3 D. 4 【答案】A 【解析】已知曲線的一條切線的斜率為， ，則切點的橫坐標為1，故選A.【變式2】已知：曲線上一點，求：點處的切線方程?！敬鸢浮?對于函數，則點處的切線的斜率：，切線方程：?！咀兪?】（2014春 東港區(qū)校級期末）已知函數的圖象在點處的切線方程是 ，則的值等于（ ） A.1 B. C.3 D.0【答案】【解析】由已知點在切線上，所以， 切點處的導數為切線斜率，所以，即，故選

20、C。例2已知函數f(x)x33x及yf(x)上一點P(1，2)，過點P作直線l.(1)求使直線l和yf(x)相切且以P為切點的直線方程；(2)求使直線l和yf(x)相切且切點異于點P的直線方程yg(x)【解析】(1)y3x23.則過點P且以P(1，2)為切點的直線的斜率k1f(1)0，所求直線方程為y2.(2)設切點坐標為(x0，3x0)，則直線l的斜率k2f(x0)33，直線l的方程為y(3x0)(33)(xx0)又直線l過點P(1，2)，2(3x0)(33)(1x0)，3x02(33)(x01)，解得x01(舍去)或x0.故所求直線斜率k33，于是：y(2) (x1)，即yx.【總結升華】

21、 求曲線的切線時，要注意區(qū)分不同的說法：通常情況下，求曲線在某點處的切線時，該點即為切點；求曲線經過某點的切線時，該點不一定是切點。同時本題也說明了曲線的切線與曲線可能有超過一個以上的公共點.舉一反三：【導數的幾何意義 385147 例2】【變式1】求曲線經過點的切線方程.【解析】 本題要分點是切點和不是切點兩類進行求解.若點是切點，由得，則，于是切線方程為，即；若點不是切點，設切點為：則切線率，所以解之得，所以，所以切線方程是，即.【變式2】已知曲線。（1）求曲線過點A（1，0）的切線方程；（2）求滿足斜率為的曲線的切線方程?！敬鸢浮浚?）設過點A（1，0）的切線的切點坐標為，因為，所以該切

22、線的斜率為，切線方程為。 將A（1，0）代入式，得。所以所求的切線方程為y=4x+4。（2）設切點坐標為，由（1）知，切線的斜率為，則，。那么切點為或。所以所求的切線方程為或?！咀兪?】 已知直線l1為曲線yx2x2在點(1,0)處的切線，l2為該曲線的另一條切線，且l1l2.(1)求直線l2的方程；(2)求由直線l1、l2和x軸所圍成的三角形的面積【答案】(1)y|x1所以l1的方程為：y3(x1)，即y3x3.設l2過曲線yx2x2上的點B(b，b2b2)，y|xb2b1，所以l2的方程為：y(b2b2)(2b1)(xb)，即y(2b1)xb22.因為l1l2，所以3(2b1)1，所以b，

23、所以l2的方程為：.(2)由得即l1與l2的交點坐標為.又l1，l2與x軸交點坐標分別為(1,0)，所以所求三角形面積.類型二、利用定義求導函數例3已知，求， 【解析】 因為，所以。當x0時，當x=2時，?！究偨Y升華】求導數的步驟和求導數值的步驟一樣，叫三步法求導。舉一反三：【變式1】求函數在內的導函數?！敬鸢浮?， 【變式2】求函數在x=2處的導數。解析 解法一：（導數定義法），。解法二：（導函數的函數值法），。類型三、導數的幾種形式例4. 若，則_。【解析】 根據導數定義：（這時=k），所以?！究偨Y升華】 （1）有一種錯誤的解法： 根據導數的定義：（這時x=k），所以 。（2）在導數的定義中

24、，增量x的形式是多種多樣的，但不論x選擇哪種形式，y也必須選擇與之相對應的形式。利用函數在x=x0處可導的條件，可以將已給定的極限式恒等變形為導數定義的形式。概念是解決問題的重要依據，只有熟練掌握概念的本質屬性，把握其內涵與外延，才能靈活地應用概念進行解題。舉一反三：【變式1】 函數滿足，則當x無限趨近于0時，（1） （2） 【答案】（1） （2）【變式2】. 若（1）求的值。（2）求的值?！敬鸢浮?【變式3】設函數在點x0處可導，則_。【答案】 原式 ?！眷柟叹毩暋窟x擇題1一個物體的運動方程為其中的單位是米，的單位是秒，那么物體在秒末的瞬時速度是（ ）A米/秒 B米/秒 C米/秒 D米/秒2

25、（2014 東昌府區(qū)校級二模）若點P在曲線 上移動，經過點P的切線的傾斜角為 ，則角 的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 3. 函數在處的導數的幾何意義是（ ）A 在點處的函數值 B 在點處的切線與軸所夾銳角的正切值C 曲線在點處的切線的斜率 D 點與點（0，0）連線的斜率.4（2015春 湖北校級期末）已知函數y=3x4+a，y=4x3，若它們的圖象有公共點，且在公共點處的切線重合，則切斜線率為（ ）A0 B12 C0或12 D4或15已知函數的切線的斜率等于1，則其切線方程有（ ）A1條 B2條 C多于2條 D不確定 6.（2015 上饒三模）定義：如果函數在a，b上存在x1，x2（

26、ax1x2b）滿足，則稱函數在a，b上的“雙中值函數”。已知函數是0，a上的“雙中值函數”，則實數a的取值范圍是（ ）A B C D填空題7曲線在點處的切線方程為3x+y+3=0，則_0。（填“”“”“”“”或“”）8已知曲線yx22上一點P(1，)，則過點P的切線的傾斜角為_9已知函數在x=x0處的導數為11，則_。10在曲線的切線中，斜率最小的切線的方程為_。11若拋物線y=x2x+c上一點P的橫坐標是2，拋物線過點P的切線恰好過坐標原點，則c的值為_。解答題12已知s=，求t=3秒時的瞬時速度。13如果曲線y=x2+x3的某一條切線與直線y=3x+4平行，求切點坐標與切線方程。14曲線上

27、有兩點A（4，0）、B（2，4）。求：（1）割線AB的斜率kAB及AB所在直線的方程；（2）在曲線上是否存在點C，使過C點的切線與AB所在直線平行？若存在，求出C點的坐標及切線方程；若不存在，請說明理由。15已知函數f(x)x33x及yf(x)上一點P(1，2)，過點P作直線l.(1)求使直線l和yf(x)相切且以P為切點的直線方程；(2)求使直線l和yf(x)相切且切點異于點P的直線方程yg(x)【答案與解析】1【答案】C 【解析】有定義可求得2. 【答案】B【解析】 函數的導數 ， ，又 ， 或，故選B。3. 【答案】C 【解析】 依據定義既能做出正確判斷。4.【答案】C 【解析】設公共點

28、為P（x0，y0），則在函數y=3x4+a中，則在P點處的切線方程為即化簡得：在函數y=4x3中，則在P點處的切線方程為即化簡得，又兩個函數在公共點處的切線重合， 或 切線斜率為0或12。5【答案】 B 【解析】 由定義求得y=3x2，設切點為，由，得，即在點和點處有斜率為1的切線，故有兩條。6.【答案】C【解析】由題意可知，在區(qū)間0，a存在x1，x2，（ax1x2b），滿足，方程3x22x=a2a在區(qū)間（0，a）有兩個不相等的解。令，（0 xa）則，解得：。實數a的取值范圍是故選：C7【答案】 【解析】 由題知就是切線方程的斜率，即，故。8【答案】 45【解析】yx22，y y|x11.點P

29、(1，)處的切線的斜率為1，則切線的傾斜角為45.9【答案】 11 【解析】 ，10【答案】 3xy11=0 【解析】 由導數的定義知y=3x2+6x+6=3(x2+2x+1)+3=3(x+1)2+3，所以當x=1時，斜率有最小值為3。又因為當x=1時，y=14，所以切線方程為y+14=3(x+1)，即y=3x11。11【答案】 4 【解析】 y=2x1，。又P（2，6+c），c=4。12【解析】由題意可知某段時間內的平均速度隨變化而變化，越小，越接近于一個定值，由極限定義可知，這個值就是時，的極限。V=（6+=3g=29.4(米/秒)。13【解析】切線與直線y=3x+4平行，切線的斜率為3。

30、設切點坐標為（x0，y0），則。又 。當x0時，2x0+1=3從而x0=1。代入得y0=1。切點坐標為（1，1）。切線方程為y+1=3(x1)，即3xy4=0。14【解析】（1），割線AB所在直線方程是y=2(x4)，即2x+y8=0。（2）由導數定義可知y=2x+4，2x+4=2，x=3，y=32+34=3。在曲線上存在點C，使過C點的切線與AB所在直線平行，C點坐標為（3，3），所求切線方程為2x+y9=0。15. 【解析】(1)則過點P且以P(1，2)為切點的直線的斜率，所求直線方程為y2.(2)設切點坐標為，則直線l的斜率直線l的方程為又直線l過點P(1，2)，解得x01(舍去)或.故

31、所求直線斜率，于是：，即。導數的計算【學習目標】 1. 牢記幾個常用函數的導數公式，并掌握其推導過程。2. 熟記八個基本初等函數的導數公式，并能準確運用。3. 能熟練運用四則運算的求導法則， 4. 理解復合函數的結構規(guī)律，掌握求復合函數的求導法則：“由外及內，層層求導”【要點梳理】知識點一：基本初等函數的導數公式（1）（C為常數），（2）（n為有理數），（3），（4），（5），（6），（7），（8）， ，這樣的形式。要點詮釋：1常數函數的導數為0，即C=0（C為常數）其幾何意義是曲線（C為常數）在任意點處的切線平行于x軸 2有理數冪函數的導數等于冪指數n與自變量的（n1）次冪的乘積，即（nQ）

32、特別地，。 3正弦函數的導數等于余弦函數，即（sin x）=cos x 4余弦函數的導數等于負的正弦函數，即（cos x）=sin x5指數函數的導數：，6對數函數的導數：，有時也把 記作： 以上常見函數的求導公式不需要證明，只需記住公式即可 知識點二：函數的和、差、積、商的導數運算法則：（1）和差的導數：（2）積的導數：（3）商的導數：（）要點詮釋： 1. 上述法則也可以簡記為： （）和（或差）的導數：， 推廣： （）積的導數：， 特別地：（c為常數） （）商的導數：， 兩函數商的求導法則的特例 ， 當時， 這是一個函數倒數的求導法則 2兩函數積與商求導公式的說明（1）類比：，（v0），注意

33、差異，加以區(qū)分 （2）注意：且（v0） 3求導運算的技巧 在求導數中，有些函數雖然表面形式上為函數的商或積，但在求導前利用代數或三角恒等變形可將函數先化簡（可能化去了商或積），然后進行求導，可避免使用積、商的求導法則，減少運算量知識點三：復合函數的求導法則 1復合函數的概念 對于函數，令，則是中間變量u的函數，是自變量x的函數，則函數是自變量x的復合函數 要點詮釋： 常把稱為“內層”， 稱為“外層” 。2復合函數的導數 設函數在點x處可導，函數在點x的對應點u處也可導，則復合函數在點x處可導，并且，或寫作3掌握復合函數的求導方法 （1）分層：將復合函數分出內層、外層。（2）各層求導：對內層，外

34、層分別求導。得到（3）求積并回代：求出兩導數的積：，然后將，即可得到 的導數。要點詮釋： 1. 整個過程可簡記為分層求導回代，熟練以后，可以省略中間過程。若遇多重復合，可以相應地多次用中間變量。2. 選擇中間變量是復合函數求導的關鍵。求導時需要記住中間變量，逐層求導，不遺漏。求導后，要把中間變量轉換成自變量的函數?！镜湫屠}】類型一：求簡單初等函數的導數例1. 求下列函數的導數：（1）y=x13；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）?！窘馕觥?（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）?！军c評】（1）用導數的定義求導是求導數的基本方法，但運算較繁。利用常用函數的導數公式，可以簡化求導過程

35、，降低運算難度。（2）準確記憶公式。（3）根式、分式求導時，先將根式、分式轉化為冪的形式。舉一反三：【導數的計算229880 例題1】【變式】求下列函數的導數：（1）；（2） （3）； （4）【答案】（1）.（2）.（3），.（4）.類型二：求函數的和、差、積、商的導數例2. 求下列函數導數：（1）；（2）y x sin x ln x；（3）y ；（4）y 【解析】 （1）法一：去掉括號后求導.法二：利用兩個函數乘積的求導法則 =2x(2x3)+(x2+1)2=6x26x+2（2）y(x sin x)ln x x sin x (ln x)(sin x x cos x) ln x sin x（3

36、）y.（4）y【點評】（1）如遇求多個積的導數，可以逐層分組進行；（2）求導數前的變形，目的在于簡化運算；求導數后應對結果進行整理化簡。（3）求較復雜的函數積、商的導數，必須細心、耐心。舉一反三：【變式1】求下列各函數的導函數（1） （2）y= （3）y= 【答案】（1）法一： 法二： =+ （2）=（）=【變式2】求下列函數的導數.（1）（2） y （3）.【答案】（1）（2）y(sin x x cos x)(cos x x sin x)(sin x x cos x)(cos x x sin x)(cos x cos x x sin x) (cos x x sin x)(sin x x co

37、s x) (x cos x)（3）， .【變式3】求下列函數的導數：（1）；（2）；（3）；【答案】 （1） 。（2）。（3），。類型三：求復合函數的導數例3求下列復合函數的導數：(1)f(x)ln(8x)； (2)y5log2(2x1) (3)ysin2xcos2x.【解析】 (1) 因為f(x)ln(8x)ln8lnx，所以f(x)(ln8)(lnx). (2) 設y5log2u，u2x1，則y5(log2u)(2x1).(3) 法一：y(sin2xcos2x)(sin2x)(cos2x)2cos2x2sin2x2sin(2x)法二：ysin(2x)，ycos(2x) 22sin(2x)【

38、點評】 把一部分量或式子暫時當作一個整體，這個整體就是中間變量。求導數時需要記住中間變量，注意逐層求導，不能遺漏。求導數后，要把中間變量轉換成自變量的函數。舉一反三：【導數的計算229880 例題2】【變式1】求下列函數導數. （1）； （2）； （3）.【答案】（1）， （2），.（3），.例4 求下列函數導數. (1)（2015春 拉薩校級期中改編） （2）【解析】令，則， （2）設，=cosv，則 在熟練掌握復合函數求導以后，可省略中間步驟： 【點評】 （1）復合函數求導數的步驟是：分清復合關系，適當選定中間變量，正確分解復合關系（簡稱分解復合關系）；分層求導，弄清每一步中哪個變量對哪個

39、變量求導數（簡稱分層求導）；將中間變量代回為自變量的函數。簡記為分解求導回代，當省加重中間步驟后，就沒有回代這一步了，即分解（復合關系）求導（導數相乘）。（2）同一個問題可有多種不同的求導方法，若能化簡的式子，則先化簡，再求導。舉一反三：【變式1】 （2015春 鄭州期末）若函數，則是（ ）A.僅有最小值的奇函數B.僅有最大值的偶函數C.既有最大值又有最小值的偶函數D.非奇非偶函數【答案】C【解析】因為函數，當時，取得最小值；當時，取得最大值2；且。即是既有最大值又有最小值的偶函數。【變式2】求下列函數導數：（1）（2）（）。（3）y=ln（x）；【答案】 （1） （2）方法一： 。方法二：，

40、 。（3）=類型四：利用導數求函數式中的參數【基本不等式392186 例題1】例5 （1），若，則a的值為（ ）A B C D（2）設函數，若是奇函數，則=_?！窘馕觥?（1），故選A。（2）由于，若是奇函數，則，即，所以。又因為，所以。【點撥】 求函數的導數的基本方法是利用函數的和、差、積、商的導數運算法則以及復合函數的導數運算法則，轉化為常見函數的導數問題，再利用求導公式來求解即可?！緦档挠嬎?29880 例題3】【變式1】已知是關于的多項式函數，（1）若，求；（2）若且，解不等式.【解析】顯然是一個常數，所以所以，即所以，可設 由，解得【變式2】已知函數過點（1，5），其導函數的圖象如

41、圖所示， 求的解析式?！敬鸢浮浚?，得，解得，函數的解析式為。例6已知函數可導，若，求【解析】 （） （令t=x2，x1，t1） 【點撥】 善于觀察極限式中的結構和導數的定義的關系是解決本題的關鍵。舉一反三：【變式】已知函數可導，若，求【答案】 【鞏固練習】一、選擇題1設函數，則（ ）A0 B1 C60 D602（2014 江西校級一模）若，則的解集為（ ）A.(0,1) B. C. D.3（2014春 永壽縣校級期中）下列式子不正確的是（ ）A. B. C. D.4函數的導數是（ ）A B0 C D5（2015 安徽四模）已知函數的導函數為，且滿足關系式，則的值等于（ ） 2 B.-2 C.

42、 D.6設曲線在點（3，2）處的切線與直線ax+y+1=0垂直，則a=（ ）A2 B C D27的導數是（ ）A B C D二、填空題8曲線y=sin x在點處的切線方程為_。9設y=(2x+a)2，且，則a=_。10_，_。11在平面直角坐標系xOy中，點P在曲線C：y=x310 x+3上，且在第二象限內，已知曲線C在點P處的切線的斜率為2，則點P的坐標為_。三、解答題12已知，求適合的x的值。13（1）；求（2）已知，求。14求曲線在點處的切線方程。15已知，求?！敬鸢概c解析】1【答案】D 【解析】 ，。2【答案】A【解析】,函數的定義域為 ，則由，得 ，即 即不等式的解集為（0,1），故

43、選A。3【答案】C【解析】 對于選項A, 成立，故A正確。對于選項B, 成立，故B正確。，故C不正確。對于選項D，成立，故D也正確。4【答案】D 【解析】 ，則。5【答案】B 【解析】令，則，即，故選D。6【答案】D 【解析】 由，求導得，所以切線斜率，則直線ax+y+1=0的斜率為2，所以a=2，即a=2。7【答案】A 【解析】 ，。8【答案】y=1 【解析】 ，從而切線方程為y=1。9【答案】1 【解析】 ，且x=2，則a=1。10【答案】， 【解析】 ；11【答案】 （2，15） 【解析】 ，令，P在第二象限x=2P（2，15）。12【解析】，則，即。13【解析】（1）； （2） ，。1

44、4【解析】，則。切線方程為即5x+32y-7=0。15【解析】，則，即， 。導數的應用一-函數的單調性【學習目標】 1. 理解函數的單調性與其導數的關系。2. 掌握通過函數導數的符號來判斷函數的單調性。3. 會利用導數求函數的單調區(qū)間?！疽c梳理】要點一、函數的單調性與導數的關系我們知道，如果函數在某個區(qū)間是增函數或減函數，那么就說在這一區(qū)間具有單調性，先看下面的例子：函數的圖象如圖所示?？紤]到曲線的切線的斜率就是函數的導數，從圖象可以看到：在區(qū)間（2，+）內，切線的斜率為正，即時，為增函數；在區(qū)間（，2）內，切線的斜率為負，即時，為減函數。導數的符號與函數的單調性：一般地，設函數在某個區(qū)間內

45、有導數，則在這個區(qū)間上，若，則在這個區(qū)間上為增函數；若，則在這個區(qū)間上為減函數；若恒有，則在這一區(qū)間上為常函數.反之，若在某區(qū)間上單調遞增，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；若在某區(qū)間上單調遞減，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）要點詮釋：1.因為導數的幾何意義是曲線切線的斜率，故當在某區(qū)間上，即切線斜率為正時，函數在這個區(qū)間上為增函數；當在某區(qū)間上，即切線斜率為負時，函數在這個區(qū)間上為減函數；即導函數的正負決定了原函數的增減。2.若在某區(qū)間上有有限個點使，在其余點恒有，則仍為增函數（減函數的情形完全類似）。即在某區(qū)間上，在這個區(qū)間上為增函數；在這個區(qū)間上為減函數，但反之不成立。3. 在

46、某區(qū)間上為增函數在該區(qū)間；在某區(qū)間上為減函數在該區(qū)間。在區(qū)間(a,b)內，（或）是在區(qū)間(a，b)內單調遞增（或減）的充分不必要條件！例如：而f(x)在R上遞增.4.只有在某區(qū)間內恒有，這個函數在這個區(qū)間上才為常數函數.5.注意導函數圖象與原函數圖象間關系. 要點二、利用導數研究函數的單調性利用導數判斷函數單調性的基本方法設函數在區(qū)間（a，b）內可導，（1）如果恒有，則函數在（a，b）內為增函數；（2）如果恒有，則函數在（a，b）內為減函數；（3）如果恒有，則函數在（a，b）內為常數函數。要點詮釋：（1）若函數在區(qū)間（a，b）內單調遞增，則，若函數在（a，b）內單調遞減，則。（2）或恒成立，求

47、參數值的范圍的方法分離參數法：或。要點三、利用導數求函數單調區(qū)間的基本步驟（1）確定函數的定義域；（2）求導數；（3）在函數的定義域內解不等式或；（4）確定的單調區(qū)間?；蛘撸毫?，求出它在定義域內的一切實數根。把這些實數根和函數的間斷點（即的無定義點）的橫坐標按從小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數的定義區(qū)間分成若干個小區(qū)間，判斷在各個小區(qū)間內的符號。要點詮釋： 1.求函數單調區(qū)間時，要注意單調區(qū)間一定是函數定義域的子集。2.求單調區(qū)間常常通過列表的方法進行求解，使解題思路步驟更加清晰、明確?！镜湫屠}】類型一：求函數的單調區(qū)間【函數的單調性370874 例1】例1.確定下列函數的單調區(qū)間(

48、1)y=x39x2+24x (2)y=3xx3【解析】(1) y=(x39x2+24x)=3x218x+24=3(x2)(x4)令3(x2)(x4)0，解得x4或x2.y=x39x2+24x的單調增區(qū)間是(4，+)和(，2)令3(x2)(x4)0，解得2x4.y=x39x2+24x的單調減區(qū)間是(2，4)(2)y=(3xx3)=33x2=3(x21)=3(x+1)(x1)令3(x+1)(x1)0，解得1x1.y=3xx3的單調增區(qū)間是(1，1).令3(x+1)(x1)0，解得x1或x1.y=3xx3的單調減區(qū)間是(，1)和(1，+)【點評】（1）解決此類題目，關鍵是解不等式或。（2）注意寫單調

49、區(qū)間時，不是連續(xù)的區(qū)間一般不能用并集符號“U”。舉一反三：【變式1】求下列函數的單調區(qū)間：（1） （2）；（3）；【答案】（1）。令3x24x+10，解得x1或。因此，y=x32x2+x的單調遞增區(qū)間為（1，+）和。再令3x24x+x0，解得。因此，y=x32x2+x的單調遞減區(qū)間為。（2）函數的定義域為（0，+），。 令，即， 結合x0，可解得； 令，即， 結合x0，可解得。的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為。（3）。0 x2，使的，則區(qū)間0，2被分成三個子區(qū)間。如表所示：x0+000+所以函數（0 x）的單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為。例2. 已知函數，求函數的單調區(qū)間并說明其單調性?！窘?/p>

50、析】圖像的對稱軸為且時值為。所以有如下討論： 【點評】（1）解決此類題目，關鍵是解不等式或，若中含有參數，往往要分類討論。（2）特別應注意，在求解過程中應先寫出函數的定義域，再在定義域的范圍內寫出單調區(qū)間，即定義域優(yōu)先考慮的原則。舉一反三：【變式1】（a0且a1）?！敬鸢浮?函數的定義域為R。當a1時，函數在（，+）上是增函數。當0a1時，函數在（，+）上是減函數。【變式2】已知aR，求函數的單調區(qū)間.【答案】.（1）當a=0時，若x0，則；若x0，則.所以，當a=0時，函數在區(qū)間（，0）內為減函數，在區(qū)間（0，+）內為增函數.（2）當a0時，由2x+ax20，解得或x0；由2x+ax20，解

51、得.所以，當a0時，函數在區(qū)間內為增函數，在區(qū)間內為減函數，在區(qū)間（0，+）內為增函數.（3）當a0時，由2x+ax20，解得；由2x+ax20，解得x0或.所以，當a0時，函數在區(qū)間（，0）內為減函數，在區(qū)間內為增函數，在區(qū)間內為減函數.類型二：判斷、證明函數的單調性例3當時，求證：函數是單調遞減函數.【解析】，故函數在上是單調遞減函數.【點評】 判斷、證明函數的單調性的步驟：1、求導；2、變形（分解或配方）；3、判斷導數式的符號,下結論。舉一反三：yxOyxOyxOyxOABCD 【函數的單調性370874 例3】【變式1】設是函數f（x）的導函數，將y= f（x）和的圖象畫在同一個直角坐

52、標系中，不可能正確的是（ ）【答案】D【變式2】（2015 菏澤一模）若 ，則下列各結論中正確的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ，令 解得， 當時， ，為減函數，當時，為增函數， ，故選D。 例4設，討論函數的單調性.【解析】. 當時 .（i）當時，對所有，有.即，此時在內單調遞增.（ii）當時，對，有，即，此時在（0，1）內單調遞增，又知函數在x=1處連續(xù)，因此，函數在（0，+）內單調遞增（iii）當時，令，即.解得.因此，函數在區(qū)間內單調遞增，在區(qū)間內也單調遞增.令，解得.因此，函數在區(qū)間內單調遞減.【點評】 （1）在判斷函數的單調性時，只需判斷函數的導數恒大于0或恒

53、小于0。（2）在判斷含參數函數的單調性時，不僅要考慮到參數的取值范圍，而且要結合函數的定義域來確定的符號，否則會產生錯誤判斷。分類討論必須給予足夠的重視，真正發(fā)揮數學解題思想在聯(lián)系知識與能力中的作用，從而提高簡化計算的能力。（3）分類討論是重要的數學解題方法。它把數學問題劃分成若干個局部問題，在每一個局部問題中，原先的“不確定因素”不再影響問題的解決，當這些局部問題都解決完時，整個問題也就解決了。舉一反三：【變式】已知函數，, a0 ，w討論的單調性. 【解析】由于令 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 當,即時, 恒成立.在(,0)及(0,)上都是增函數. 當,即時w.w.w.k.s.5

54、.u.c.o.m 由得或 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 或或又由得綜上 當時, 在上都是增函數. 當時, 在上是減函數, w.w.w.k.s. 在上都是增函數.類型三：已知函數單調性，求參數的取值范圍例5 ( 2015 秋 廣東月考)若函數 在區(qū)間 上單調遞增，則實數 的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【思路點撥】若函數 在區(qū)間 上單調遞增，則 在區(qū)間 上恒成立，即在區(qū)間 上恒成立， 令，利用導數法求出函數的最小值，可得答案?！窘馕觥咳艉瘮?在區(qū)間 上單調遞增，則 在區(qū)間 上恒成立，即在區(qū)間 上恒成立，即在區(qū)間 上恒成立， 令，則，令 當時， ，為減函數；當時， ，

55、為增函數；故當時，取最小值4，故選B。【總結升華】（1）在某區(qū)間上為增函數在該區(qū)間；在某區(qū)間上為減函數在該區(qū)間。（2）恒成立，則；恒成立，只需，這是求變量a的范圍的常用方法。舉一反三：【變式1】 已知函數，。若在上是增函數，求a的取值范圍?！敬鸢浮?由已知得，在（0，1上單調遞增，即在x（0，1上恒成立。令，又在（0，1上單調遞增，a1。當a=1時 ，對x（0，1）也有，a=1時，在（0，1上也是增函數。綜上，在（0，1上為增函數，a的取值范圍是1，+）。 【變式2】已知函數 在區(qū)間上是增函數，求實數的取值范圍【答案】，因為在區(qū)間上是增函數，所以對恒成立，即對恒成立，解之得：所以實數的取值范圍

56、為【變式3】設恰有三個單調區(qū)間，試確定a的取值范圍，并求其單調區(qū)間.【答案】（1）當時，則恒成立，此時f(x)在R上為單調函數，只有一個單調區(qū)間為，不合題意；（2）當時，當時，函數有三個單調區(qū)間，增區(qū)間為：；減區(qū)間為：，.【變式4】已知f(x)=x2+1, g(x)=x4+2x2+2且F(x)=g(x)-f(x), 試問：是否存在實數，使F(x)在(-,-1)上是減函數，且在(-1,0)上是增函數.【答案】假設存在實數滿足題設. F(x)=g(x)-f(x)=(x4+2x2+2)-(x2+1)=x4-(-2)x2+(2-), F(x)=4x3-2(-2)x,令4x3-2(-2)x=0, （1）

57、若2，則x=0. 當x(-,0)時，F(x)0. F(x)在(-,0)上單調遞減，在(0,+)上單調遞增，顯然不符合題設. （2）若2，則x=0或， 當時，F(x)0；當時，F(x)0.F(x)的單調增區(qū)間是，單調減區(qū)間是，. 要使F(x)在(-,-1)上是減函數，且在(-1,0)上是增函數，則，即=4. 故存在實數=4，使F(x)在(-,-1)上是減函數，且在(-1,0)上是增函數?！眷柟叹毩暋恳弧⑦x擇題1(2015 郴州模擬)已知函數的導函數的圖象如圖所示，那么函數的圖象最有可能的是（ ）2下列命題成立的是()A若f(x)在(a，b)內是增函數，則對任何x(a，b)，都有f(x)0B若在(

58、a，b)內對任何x都有f(x)0，則f(x)在(a，b)上是增函數C若f(x)在(a，b)內是單調函數，則f(x)必存在D若f(x)在(a，b)上都存在，則f(x)必為單調函數3.（2015 新課標理）設函數f(x)是奇函數f(x)（xR）的導函數，f(1)=0，當x0時，xf(x)f(x)0，則使得f(x)0成立的x的取值范圍是（ ）A(,1)(0,1) B(1,0)(1,+) C(,1)(1,0) D(0,1)(1,+) 4函數的單調遞增區(qū)間是（ ）ABCD（，e）5. 設在（0，+）內單調遞增，則p是q的（ ）A充分不必要條件 B必要不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件6（2

59、015 南陽校級三模）函數的定義域為R，對任意都有成立，則不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7設函數在R上的導函數為，且，下面的不等式在R內恒成立的是（ ）A B C D二、填空題8函數的單調減區(qū)間為 . 9函數yxsinxcosx，x(，)的單調增區(qū)間是_10函數yln(x2x2)的單調遞減區(qū)間為_11若函數yx3ax24在(0,2)內單調遞減，則實數a的取值范圍是_三、解答題12 已知函數,設求函數的單調區(qū)間；13. 已知函數 （I）若函數的圖象過原點，且在原點處的切線斜率是，求的值； （II）若函數在區(qū)間上不單調，求的取值范圍14已知函數，（）討論函數的單調區(qū)間；（）設函數在

60、區(qū)間內是減函數，求的取值范圍15(2015 廣東) 設a1，函數f(x)=(1+x2)exa.（1）求f(x)的單調區(qū)間；（2）證明：f(x)在(，+)上僅有一個零點；（3）若曲線y=f(x)在點P處的切線與x軸平行，且在點M（m，n）處的切線與直線OP平行（O是坐標原點），證明：.【答案與解析】1. 【答案】A【解析】根據導函數圖象可知，函數在上單調增，在上單調減，因此可知函數的圖象最有可能的是A。故選A。 2. 【答案】B.【解析】若f(x)在(a，b)內是增函數，則f(x)0，故A錯；f(x)在(a，b)內是單調函數與f(x)是否存在無必然聯(lián)系，故C錯；f(x)2在(a，b)上的導數為f