斜面上任意拋射的最佳拋射角

1、 斜面上任意拋射的最佳拋射角作者：中國龍loong-yyc摘要:對(duì)斜面上任意拋射的最佳拋射角和射程計(jì)算公式進(jìn)行了推導(dǎo).關(guān)鍵詞:最佳拋射角;射程中圖分類號(hào):0313.1文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào)：1000-0712（2008）05-0012-03教科書和教學(xué)雜志曾對(duì)最佳拋射問題作了詳盡的研究，本文探討了在斜面上任意拋射的最佳拋射角及射程的計(jì)算方法.1斜邊上拋物體的最佳拋射角-有一個(gè)與水平方向成e角的斜邊，見圖1用初速度v0在斜邊上某一處沿斜邊上升方向出拋物體，要使物體落在斜邊上距離拋射點(diǎn)最遠(yuǎn)的地方，拋射角a（拋射方向與斜邊間的夾角）應(yīng)為多大?物體拋出后沿著拋物線運(yùn)動(dòng)，拋物線與斜邊的交點(diǎn)A即為物體的落

2、地點(diǎn).若拋射點(diǎn)為0,OA之長s就是物體沿斜邊的射程，使s最大的角度a即為最佳拋射角取0點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平方向?yàn)閤方向，豎直方向?yàn)閥方向，建立直角坐標(biāo)系0 xy.物體沿兩方向的運(yùn)動(dòng)方程為x=vcos(a+0)t0V1y=vsin(a+0)t一一gt202(2)式（1）、（2）聯(lián)立消去t，得物體運(yùn)動(dòng)的軌道方程，y二xtan（a+0）-gX2v2cos2（a+0）0直線0A的方程為y=xtan0A點(diǎn)是拋物線和直線的交點(diǎn)，其坐標(biāo)值可由式（3）、（4）聯(lián)立解出:(3)(4)xtan0二xtan(a+0)gx22v2cos2(a+0)0所以x=tanQ+0)-tan02vQcos2(a+0)物體沿斜邊的射

3、程為s=.x2+y2=x2+(xtan0)2=xv1+tan20=tan(a+0)一tan0叫V1+tan20=2V2-1+tan20tan(a+0)-tan0cos2(a+0)=V2-1+響0sin(2a+0)-sin0ggcos0(5)2 ）/2,a等于豎直其中V、0、g為常數(shù)，a為變量.顯然，2a+0=900時(shí)s最大.此時(shí)，a=（9Oo-00線與斜邊間夾角的一半.因?yàn)?cos00,1+tan20cose0，據(jù)此得最佳拋射角所對(duì)應(yīng)的最大射程為s-V2料1+吮0sin(2a+0)-sin0-gcos0v20(1sin0)gcos20v20_g11+sin0(6)若拋射者從斜邊的上部向斜邊下降

4、方向拋出物體（見圖2.坐標(biāo)系oxy如圖中所示），則物體沿兩方向的運(yùn)動(dòng)方程為xvcos(a0)t0V1yvsin(a0)t一一gt2I02(7)(8)式（7）、（8）聯(lián)立消去t,得物體運(yùn)動(dòng)的軌道方程gx2yxtan(a一0)一2v2cos2(a一0)0(9)直線OA的方程為y二一xtan0(10)A點(diǎn)是拋物線和直線的交點(diǎn),其坐標(biāo)值可由式9）、（10）聯(lián)立解出:所以gx2xtan0 xtan(a一0)2v2cos2(a一0)0 x-tan(a0)+tan0g0cos2(a0)g經(jīng)計(jì)算,物體沿斜邊的射程為s-V0*1+論0sin(2a0)+sin0gcos0顯然，2a-0=900時(shí)s最大，此時(shí)，a=

5、（90。+6）/2=（45/2）,a等于直角與斜邊傾角之和的一半.據(jù)此得最佳拋射角為0a二45o+(11) 所對(duì)應(yīng)的最大射程為v2v21s二0(1+Sin0)二0-(12)gcos20g1一sin02斜面上拋物體的最佳拋射角若不是在斜邊上拋射物體,而是在斜面上沿任意方向拋射,其最佳拋射角和對(duì)應(yīng)的射程如何？不失一般性，研究拋體向斜上方拋射.以拋射點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖3所示的坐標(biāo)系oxyz,oxy平面為水平面,物體初速度與其運(yùn)動(dòng)平面和斜面交線的夾角為拋射角，該交線與水平面的夾角為6,物體運(yùn)動(dòng)平面與x軸夾角(稱水平方位角)為0,物體落地點(diǎn)為A,射程為s.聯(lián)立此3式解得=arctantan0V1+tan2

6、p=arctan(tan0cosp)由上面的結(jié)論不難得出，本次拋射的最佳拋射角為(13)(14)1a=450-arctan(tan0cosp)V21對(duì)應(yīng)的最大射程為s=o-g1+sinarctan(tan0cosp)顯然,式(13)、(14)適用于0在90。范圍之內(nèi)變化的情形(一90。即2700)可以看出，當(dāng)0在90。2700范圍內(nèi)變化時(shí)此二式仍然成立，這時(shí)cos00.所以，這二式即為在斜面上沿任意方位拋射時(shí)的最佳拋射角和射程的計(jì)算公式.它們與方位角0有關(guān)，還與斜面最大傾角6有關(guān)當(dāng)0=900和0=2700時(shí)，相當(dāng)于在水平面上拋射；當(dāng)0=00和0=1800時(shí)，分別相當(dāng)于沿斜邊上升方向和沿斜邊下降

7、方向拋射.3例子下面舉例并列表說明式(13)、(14)的應(yīng)用.設(shè)斜面傾角6=300，一人在斜面上以v=20m/s的速率拋射0物體，應(yīng)用式(13)和式(14)，計(jì)算0=一63.450,0=1500,0=00,0=900和0=1800的最佳拋射角及其射程，數(shù)據(jù)如表1所示.P/(0)a/(s/m-63.4537.76532.6615058.2873.8403027.21904540.821806081.63計(jì)算結(jié)果表明，對(duì)于不同的0，有不同的最佳拋射角其中，0=1800時(shí)最佳拋射角15)16)二450+2對(duì)應(yīng)的最大射程V21s二0-g1sin0顯然，在具有相同vo的最佳拋射中，此射程是數(shù)值最大者.亦即0=1800,a=45o+e/2是最佳拋射角中的最佳者.參考文獻(xiàn)：嚴(yán)導(dǎo)淦.物理學(xué)M.北京：高等教育出版社，2003.李椿，夏學(xué)江大學(xué)物理M.北京：高等教育出版社，1997.程守洙，江之永.普通物理學(xué)M.北京：高等教育出版社，1985.OptimalthrowangleofarbitarilythrowontheinclinedplaneAbstract:Optima