復變函數(shù)典型題解答1

1、習題解答典型題 1求下列根式的值 11、 4 1 cos 2k i sin 2k解 ： 1 cos i sin k 0,1,2,3 .44422 i, z 2 2 i, z 22 i, z 22 iz 123422222222 1 3i2、 4 21332解： i cos i sin22232 2k2 2k原式 cos 3 i sin 3k 0,1,2,3 .44z3、 3 13 1 cos 2k i sin 2kk 0,1,2解： 1 cos 0 i sin 033z 1, z 1 3 i , z 1 3 i21232224、 2 i2解： i cos i sin2 2k 2ki cos 2

2、 i sin222k 0,121習題解答22 i,22 iz z 1222225、 4 1解：1 cos 0 i sin 0, 4 1 cos 2k i sin 2k ,k 0,1,2,344z1 1, z2 1, z3 i, z 4 i 1 3i6、 4 21344i cos i sin解： 22334 2k4 2k原式 cos 3 i sin 3k 0,1,2,3441331132321所以 z1 2 i, z2 2 i, z3 2 i, z 4 i2227、 3 1解： 1 cos i sin 1 cos 2k i sin 2kk 0,1,2333132132所以 z1 1, z2 2

3、8、 3 ii, z3 2 i 解： i cos i sin 2 2 2k 2ki cos 2 i sin 2k 0,1,23332習題解答31321所以 z1 i , z 2 2 i , z3 i229、 4 16解： 16 24 cos i sin 16 2 cos 2k i sin 2k k 0,1,2,3444所以 z1 2 2i, z2 2 2i, z3 2 2i, z 4 2 2i1 3i10、 4 32 131解：32i 3224 cos i sin3333 2k 2k1 所以 原式 cosi sink 0,1,2,32 44z 1 cos i sin ,z 1 cos i si

4、n7712 2 12 2 121212z 1 cos 13 i sin 13 ,z 1 cos 19 i sin 19 2 2 3412121212典型題 3確定下列曲線的形狀解法如下：將實部寫為 x Re z , 虛部寫為 y Im z ，然后消去共同的參數(shù)t ，即可求出關于變元 x, y 的表達式，此表達式即為所求。3習題解答1、 z 3 sec t 2i tgt x 2 y 2sin 2 t11s解： x 3 , y 2 ,所以, 22cos tcos t 3 2 cos tcos t x 2 y 2消去t 有： 1 ，是雙曲線。 3 2 2、 z 2 sec t 3itgt1s解： x

5、 2 , y 3 cos tcos t x 2 y 2 1 ，是雙曲線。所以 2 3 3、 z sec t 3itgt y 21s解： x , y 3 所以 x 2 1 ，是雙曲線。cos tcos t 3 4、 z 4tgt 3i sec t y 2 x 2s1解： x 4, y 3，所以 1 ，是雙曲線。cos tcos t 3 4 5、 z 3tgt 4i sec t y 2 x 2s1解： x 3, y 4 1 ，是雙曲線。，所以cos tcos t 4 3 6、 z 4tgt 2i sec t y 2 x 2s1解： x 4, y 2所以 1 ，是雙曲線。,cos tcos t 2

6、4 7、 z 3csc t 3i ctgt4習題解答解： x 3 , y 3 cos t ，所以 x 2 y 2 9 ，是雙曲線。1s8、 z 4 csc t 2i ctgts x 2 y 21cos t解： x 4 , y 2，所以 1 ，是雙曲線。ss 4 2 9、 z ctgt 2i csc t y 2cos t1解： x , y 2x 2 1 ，是雙曲線。，所以ss 2 10、 z ctgt 3i csc t y 2cos t1解： x y 3x 2 1 ，是雙曲線。，所以ss 3 典型題 4已知函數(shù) f z 的實部或虛部，試確定 f z ？1、 u x 2 y 2 x, f 0 0u

7、xvy12 2 x 1 2x 1解： u所以v 2 y 2 y yx對（1）式積分有： vx, y 2xy y Dx ，所以 v 2 y Dx ，x和（2）式比較就有 Dx 0 。所以， Dx C （復常數(shù)）所以f z x 2 y 2 x i2xy y ic x iy 2 x iy ic z 2 z ic又由 f 00, 所以C 0 ，所以 f z z 2 z5習題解答f 0 12、 u x 3 3xy 2 1uxvy12 3x 2 3 y 2 3x 2 3 y 2解： u所以 v 6 xy 6 xy yx對（1）式積分有： vx, y 3x 2 y y 3 Dxv所以 6 xy D x ,由

8、（2）式知 Dx 0 x所以 Dx C （復常數(shù)）,所以 vx, y 3x 2 y y 3 C所以 f z x 3 3xy 2 1 i 3x 2 y iy 3 ic x iy 3 ic z 3 ic 1又知 f 0 1 ，所以 C 0 ，所以 f z z 3 13、 v e x y cos y x sin y , f 0 0vx e x y cos y x sin y sin y e x e x cos y y sin y x cos y 解： v所以yux e x cos y y sin y x cos y 12u y e x sin y e x y cos y e x x sin y將（1

9、）式對 x 積分有：ux, y e x cos y y sin y e x x 1cos y D y e x x cos y e x y sin y D yu所以y e x sin y e x y cos y e x x sin y Dy 6習題解答和（2）式做比較，就有 Dy 0 ，所以 Dy C （復常數(shù)） 所以 f z ux, y i vx, y x iy e x cos y i sin y C z e z C ,又由 f 0 0 ，所以 f z z e zf 0 04、 u x 2 y 2 2 y,uxvy12 2 x 2 x解： u所以 v 2 y 2 2 y 2yx由（1）式知：

10、vx, y 2xy Dx，所以 v 2 y Dx x由（2）式知： Dx 2 ，所以 Dx 2x C ，所以vx, y 2xy 2 x C ，所以f z x 2 y 2 2 y i 2 xy i 2 x iC x iy 2 2ix iy iCf 0 0 ，所以C 0 ，所以 f z z 2 2iz z 2 2iz ic ,又由于 1 2 x ecos y， f 5、 u02e xux 1 v e 2 x 1 2 x e cos ycos y1ye xe x解： u所以e 2 x 1e 2 x 1 yv2 sin ysin yxxee x 1 2 x e由（1）式有： vx, ysin y D

11、xe xv e 2 x 1 sin y D x 和（2）式比較有 D x0所以xe x7習題解答 1 1e 2 xe 2 x所以 D x C ，所以 f z cos y i sin y iCe xe x e x e x cos y i e x e x sin y iC e x cos y i sin y e x cos y i sin y iC e ze ziC又由于 f 0 2 ，所以C 0 ，所以 f z e ze zxf 1 1 i6、 u ,x 2 y 2uv x 2 y 2 x 2 y 2x 2 y 2 21xyx 2 y 2 2解： u所以 v2xyx 2 y 2 22xyx 2

12、y 2 22 yxyv所以2xyx 2 y 2 2對（1）式積分有：vx, y Dx Dxx 2 y 2x由（2）知 Dx 0 ，所以 Dx Cxy1iC 1 i C z所以 f z i iC x 2 y 2x 2 y 2x iy由 f 1 1 i 知 C 1 ，所以 f z 1 izf 0 17、 v e y sin x y,vxuy12 e y cos x e y cos x解：v所以 u x 1e y sin x 1 e y sin x 1y由（1）知： ux, y cos x e y Dx由（2）知 Dx 18習題解答所以 Dx x C所以 f z x e y cos x C iy e

13、 y sin x x iy e y cos x i sin x C z eiz Cf 0 1 ，所以 C 0 ，所以 f z z e iz由于f 0 1 i8、 v e x cos y,vxu12 e x cos y e x cos yy解：v所以u x e x sin y e x sin yy由（1）知：ux, y ex sin y Dx由（2）知 Dx 0 ，所以 Dx C所以f z e x sin y C i e x cos y ie x cos y e x sin y i C i e z C由 f 0 1 i所以 C 1 ，所以 f z i e z 1yx 12 y 2,f 0 19、

14、 v 2x 1y 2x 1yvu1x 12 y 2 2 x 12 y 2x 12 y 2 2x 12 y 2 2x 12 y 2x 12 y 2 2xy解：v所以 u 2yxx 1x 12 y 2由（1）式得： ux, y Dx又由（2）知 Dx C9習題解答所以x 1x 12 y 2y1x 1 yi1z 1f z C i C Cx 12 y 21由 f 0 1 知 C 0 ,所以 f z z 1yf 1 210、 v y x 2y 2v u2xx 2 y 2 22xx 2 y 2 21 xy解：v所以 ux 2 y 2x 2 y 2 2x 2 y 2x 2 y 2 2 1 1 2y xx由（

15、1）式有ux, y x Dxx 2 y 2由（2）知 Dx 0 ，知 Dx C所以xy1 C z 1 Czf z x C iy i x iy x 2 y 2x 2 y 2x iy由 f 1 2 知 C 0 ，所以 f z z 1z典型題 5計算復積分1、解： z x iy ，由于 y x 2 ，所以不防設z t t 2 i ，顯然 t 0,1所以原式 i 141t dt i12t t 21 2i 153010習題解答2、解：被積函數(shù)，滿足公式iz 1e z dz z 1e zii所以原式 i 2 cos1i3、解：令 z 2 2it ,t 0,12 2it 3 2 2idt 8 8i1I原式m

16、04、解：由公式有原式17 9 26 i231i1i1 7 z 1dz z z z232z3215、解：折線段 Z A Z B ZC 由線段Z A Z B 和 Z B ZC 銜接而成， Z A ZB 段參數(shù)方程為： z t 1 i t 0,1， Z Z 段參數(shù)方程為：B Cz 1 i t 1 i 1 i z 2t 1 it 0,11t 1 i 1 idt 1所以原積分2t 1 i2 dt00 1 i dt 2t 12 12 2 dt112 t 00 ln1 6、解：由2 2 2 i22公式ii1原式12z 4z 1dz 2zz z 5 i536417、解：線段Z A Z B 的方程為 z 1

17、i tt 0,122原式1t ti 1 i dt i323048、解：由于 z 3 ,e z 是的，可用公式14edz 4 1 e z4 1 1 e44000i44原式z 3ze dz z4ii9、解：曲線Z A Z B ZC 由弧 z A z B 和線段 Z B ZC 組成，11習題解答i弧 z A z B 和的參數(shù)方程為： z e 從 到 0t 0,1z 1 tZ B ZC 的參數(shù)方程為：所以原積分e i0 1 Rei ei 1 3e i010、解：被積函數(shù)，所以可直接用公式原式z cos z i sh1 1 1ii02dz z sin z333 011、解：曲線如左圖所示，它是曲線段 A

18、B ，弧 BEC ，線段CD ，弧 DFA 組成。段 AB 上，參數(shù)方程為: z 2i itt 0,12在弧 BEC 上 ，參數(shù)方程為: z ei 從 到2段CD 上有 z i itt 0,1i在弧 DFA 上有 z 2 e 從到22 e i1 2i ti i dt 2 i e i d 所以原式 2i tie i02i it2e i i dt 2 i ei d i 2i i 4i 4i122i it2ei0典型題 6將下列復數(shù)化為代數(shù)式 4222i sincos 2i cossin 2i ch2 i sh21、 sin 442212習題解答 62i coscos 2i sinsin i ch

19、i sh、 cos 23、 In6 ln 6 i 2kk 0, 1, 2,2 i2 i4e e22244、 sh 2 i sh2 i 2ch2422 i2 i2i e e25、 ch 2 i sh22 216、 Ln1 i ln 1 i i 2k ln 2 i i 2ki 424k 0, 1, 2, 3321i sincos i cossin i 3ch1 i sh127、 sin 3 4222i coscos i sinsin i 4ch1 i sh1 28、 cos 49、 Ln 3 i ln 2 i i 2kk 0, 1, 2,64i ln2 3 i 2 ki 10、 1 i4i e 4

20、iLn 1i e4 e8 k 3 1 ln 2 i sin 1 ln 2cos 2 2k 0, 1, 2,典型計算題 7將下列復數(shù)化為代數(shù)式3i ln 2i2 i2 k 1、解： 1 3i3i e 3iLn 1 3i e3習題解答 e 6k 2 cos3ln 2 i sin3ln 2k 0, 1, 2,2、 arcsin 4eiz e iz解：令 arcsin 4 z 則 sin z 4 則 42i 4 15 i 8i 2 15 ie 2iz 8i eiz 1 0 則eiz2所以 iz Ln4 15 i ln4 15 i i 2k2所以 arcsin 4 z 2k 1 i ln4 15 k 0, 1, 2,2 3、 arch 2e z e z解：令 arch 2 z則 chz 2 則 22 4 16 4則 e 4 e 1 0e z 2 32 zz2則 z Ln 2 3 ln2 3 i 2k