【高考必備】2017年高考數(shù)學(xué)（理）熱點題型和提分秘籍專題33空間向量及其運算word版含解析

1、1.了解空間直角坐標(biāo)系，會用空間直角坐標(biāo)表示點的位置2.會簡單應(yīng)用空間兩點間的距離公式3.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示4.掌握空間向量的線性運算及其坐標(biāo)表示5.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直熱點題型一 空間向量的運算例1、如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，O為AC的中點。(1)化簡：eq o(A1O,sup10()eq f(1,2)eq o(AB,sup10()eq f(1,2)eq o(AD,sup10()；(2)設(shè)E是棱DD1上的點，且eq o(DE,sup10()eq f(2,3)

2、eq o(DD1,sup10()，若eq o(EO,sup10()xeq o(AB,sup10()yeq o(AD,sup10()zeq o(AA1,sup10()，試求x、y、z的值?！窘馕觥?1)eq o(AB,sup10()eq o(AD,sup10()eq o(AC,sup10()，eq o(A1O,sup10()eq f(1,2)eq o(AB,sup10()eq f(1,2)eq o(AD,sup10()eq o(A1O,sup10()eq f(1,2)(eq o(AB,sup10()eq o(AD,sup10()eq o(A1O,sup10()eq f(1,2)eq o(AC,s

3、up10()eq o(A1O,sup10()eq o(AO,sup10()eq o(A1A,sup10()。(2)eq o(EO,sup10()eq o(ED,sup10()eq o(DO,sup10()eq f(2,3)eq o(D1D,sup10()eq f(1,2)eq o(DB,sup10()eq f(2,3)eq o(D1D,sup10()eq f(1,2)(eq o(DA,sup10()eq o(AB,sup10()eq f(2,3)eq o(A1A,sup10()eq f(1,2)eq o(DA,sup10()eq f(1,2)eq o(AB,sup10()eq f(1,2)eq

4、 o(AB,sup10()eq f(1,2)eq o(AD,sup10()eq f(2,3)eq o(AA1,sup10()，xeq f(1,2)，yeq f(1,2)，zeq f(2,3)?！咎岱置丶靠臻g向量的表示方法用已知不共面的向量表示某一向量時，應(yīng)結(jié)合圖形，將已知向量和未知向量轉(zhuǎn)化至三角形或平行四邊形中，然后利用三角形法則或平行四邊形法則，把所求向量用已知向量表示出來?！九e一反三】 如圖，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，M為AC與BD的交點，若eq o(A1B1,sup10()a，eq o(A1D1,sup10()b，eq o(A1A,sup10()c，則下列向量中與eq o

5、(B1M,sup10()相等的向量是()Aeq f(1,2)aeq f(1,2)bcB.eq f(1,2)aeq f(1,2)bcC.eq f(1,2)aeq f(1,2)bcDeq f(1,2)aeq f(1,2)bc【解析】eq o(B1M,sup10()eq o(B1B,sup10()eq o(BM,sup10()eq o(A1A,sup10()eq f(1,2)(eq o(BA,sup10()eq o(BC,sup10()eq o(A1A,sup10()eq f(1,2)(eq o(B1A1,sup10()eq o(A1D1,sup10()ceq f(1,2)(ab)eq f(1,2)

6、aeq f(1,2)bc?！敬鸢浮緼熱點題型二 共線、共面向量定理的應(yīng)用 例2、已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點，(1)求證：E、F、G、H四點共面；(2)求證：BD平面EFGH。(2)因為eq o(EH,sup10()eq o(AH,sup10()eq o(AE,sup10()eq f(1,2)eq o(AD,sup10()eq f(1,2)eq o(AB,sup10()eq f(1,2)(eq o(AD,sup10()eq o(AB,sup10()eq f(1,2)eq o(BD,sup10()，所以EHBD。又EH平面EFGH，BD平面EFGH，

7、所以BD平面EFGH。【提分秘籍】 應(yīng)用共線向量定理、共面向量定理證明點共線、點共面的方法比較：三點(P，A，B)共線空間四點(M，P，A，B)共面eq o(PA,sup10()eq o(PB,sup10()eq o(MP,sup10()xeq o(MA,sup10()yeq o(MB,sup10()對空間任一點O，eq o(OP,sup10()eq o(OA,sup10()teq o(AB,sup10()(t為參數(shù))對空間任一點O，eq o(OP,sup10()eq o(OM,sup10()xeq o(MA,sup10()yeq o(MB,sup10()對空間任一點O，eq o(OP,sup

8、10()(1t)eq o(OA,sup10()teq o(OB,sup10()(t為參數(shù))對空間任一點O，eq o(OP,sup10()(1xy)eq o(OM,sup10()xeq o(OA,sup10()yeq o(OB,sup10() 【舉一反三】 已知A、B、C三點不共線，對平面ABC外的任一點O，若點M滿足eq f(1,3)(eq o(OA,sup10()eq o(OB,sup10()eq o(OC,sup10()。(1)判斷eq o(MA,sup10()，eq o(MB,sup10()，eq o(MC,sup10()三個向量是否共面；(2)判斷點M是否在平面ABC內(nèi)。熱點題型三 空

9、間向量數(shù)量積的運算例3如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，CD的中點，計算： (1)eq o(EF,sup10()eq o(BA,sup10()。(2)eq o(EG,sup10()eq o(BD,sup10()。eq f(1,2)eq o(AB,sup10()eq f(1,2)eq o(AC,sup10()eq f(1,2)eq o(AD,sup10()eq f(1,2)aeq f(1,2)beq f(1,2)c，eq o(BD,sup10()eq o(AD,sup10()eq o(AB,sup10()ca。所以eq o(EG,sup10

10、()eq o(BD,sup10()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)af(1,2)bf(1,2)c)(ca)eq f(1,2)a2eq f(1,2)abeq f(1,2)bceq f(1,2)c2aceq f(1,2)eq f(1,4)eq f(1,4)eq f(1,2)eq f(1,2)eq f(1,2)?！咎岱置丶?空間向量數(shù)量積計算的兩種方法(1)基向量法：ab|a|b|cosa，b。(2)坐標(biāo)法：設(shè)a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，則abx1x2y1y2z1z2。2利用數(shù)量積可解決有關(guān)垂直、夾角、長度問題(1)a0，b0，abab0。(2)|a|eq

11、 r(a2)。(3)cosa，beq f(ab,|a|b|)?！九e一反三】 已知A(1,0,0)，B(0，1,1)，eq o(OA,sup10()eq o(OB,sup10()與eq o(OB,sup10()的夾角為120，則的值為()Aeq f(r(6),6) B.eq f(r(6),6) Ceq f(r(6),6) Deq r(6)【解析】eq o(OA,sup10()eq o(OB,sup10()(1，)，cos120eq f(,r(122)r(2)eq f(1,2)，得eq f(r(6),6)。經(jīng)檢驗eq f(r(6),6)不合題意，舍去，eq f(r(6),6)。【答案】C 1.【2

12、016高考新課標(biāo)2理數(shù)】如圖，菱形的對角線與交于點，點分別在上，交于點將沿折到位置，（）證明：平面；（）求二面角的正弦值【答案】（）詳見解析；（）.由得.所以，.于是，故.又，而，所以.（）如圖，以為坐標(biāo)原點，的方向為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，是.2.【2016高考山東理數(shù)】在如圖所示的圓臺中，AC是下底面圓O的直徑，EF是上底面圓O的直徑，F(xiàn)B是圓臺的一條母線.（I）已知G,H分別為EC，F(xiàn)B的中點，求證：GH平面ABC；（II）已知EF=FB=AC=，AB=BC.求二面角的余弦值.【答案】（）見解析；（）【解析】（II）解法一：連接,則平面，又且是圓的直徑，所以以為坐標(biāo)原點，建立如

13、圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意得，過點作于點，所以可得因為平面的一個法向量所以.所以二面角的余弦值為.解法二：連接，過點作于點，則有,又平面，所以FM平面ABC,所以從而，可得所以二面角的余弦值為.3.【2016高考天津理數(shù)】（本小題滿分13分）如圖，正方形ABCD的中心為O，四邊形OBEF為矩形，平面OBEF平面ABCD，點G為AB的中點，AB=BE=2.（I）求證：EG平面ADF；（ = 2 * ROMAN II）求二面角O-EF-C的正弦值；（ = 3 * ROMAN III）設(shè)H為線段AF上的點，且AH=HF，求直線BH和平面CEF所成角的正弦值.【答案】（）詳見解析（）（）【解析】依

14、題意，如圖，以為點，分別以的方向為軸，軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，依題意可得，.（I）證明：依題意，.設(shè)為平面的法向量，則又因為直線，所以.（II）解：易證，為平面的一個法向量.依題意，.設(shè)為平面的法向量，則，即 .不妨設(shè)，可得.因此有，于是，所以，二面角的正平面所成角的正弦值為.4.【2016年高考北京理數(shù)】（本小題14分）如圖，在四棱錐中，平面平面，.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在點，使得平面？若存在，求的值；若不存在，說明理由.【答案】（1）見解析；（2）；（3）存在，【解析】（1）因為平面平面，所以平面，所以，又因為，所以平面；.設(shè)平面的

15、法向量為，則即令，則.所以.又，所以.所以直線與平面所成角的正弦值為.5.【2016高考浙江理數(shù)】(本題滿分15分)如圖,在三棱臺中,平面平面,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.( = 1 * ROMAN I)求證：EF平面ACFD；( = 2 * ROMAN II)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.【答案】（I）證明見解析；（II）【解析】（）延長，相交于一點，如圖所示因為平面平面，且，所以平面，因此又因為，所以為等邊三角形，且為的中點，則所以平面取的中點，則，又平面平面，所以，平面以點為原點，分別以射線，的方向為，的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系由題意得，因此，設(shè)平面的法向量為，平

16、面的法向量為由，得，?。挥?，得，取于是，所以，二面角的平面角的余弦值為6.【2016年高考四川理數(shù)】（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，ADBC，ADC=PAB=90，BC=CD=AD，E為邊AD的中點，異面直線PA與CD所成的角為90. （）在平面PAB內(nèi)找一點M，使得直線CM平面PBE，并說明理由；（）若二面角P-CD-A的大小為45，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值.【答案】（）詳見解析；（）.所以CM平面PBE.（說明：延長AP至點N，使得AP=PN，則所找的點可以是直線MN上任意一點）（）方法一：由已知，CDPA，CDAD，PAAD=A，所以CD平面PAD.從而CD

17、PD.所以PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以PDA=45.所以APH是PA與平面PCE所成的角.在RtAEH中，AEH=45，AE=1，所以AH=.在RtPAH中，PH= ，所以sinAPH= =.方法二：由已知，CDPA，CDAD，PAAD=A，所以CD平面PAD.坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則A（0,0,0），P（0,0,2），C(2,1,0)，E(1,0,0)，所以=（1,0,-2），=（1,1,0），=（0,0,2）設(shè)平面PCE的法向量為n=(x,y,z)，由 得 設(shè)x=2，解得n=(2,-2,1).設(shè)直線PA與平面PCE所成角為，則sin= = .所以直線PA與平面PCE所成角的正弦值為

18、 .【2015高考湖南，理19】如圖，已知四棱臺上、下底面分別是邊長為3和6的正方形，且底面，點，分別在棱，BC上.（1）若P是的中點，證明：；（2）若平面，二面角的余弦值為，求四面體的體積.【答案】（1）詳見解析；（2）.【解析】解法一 由題設(shè)知，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖b所示的空間直角坐標(biāo)系，則相關(guān)各點的坐標(biāo)為， ， ，其中，（1）若是的中點，則，于是，即；（2）由題設(shè)知，是平面內(nèi)的兩個不共線向量.設(shè)是平面的一個法向量，則，即，取，得，又平面的一個法向量是，而二面角的余弦值為，因此，解得，或者（舍去），此時，設(shè)，而，由此得點，平面，且平面的一個法向量是，即

19、，亦即，從而，于是，將四面體視為以為底面的三棱錐，則其高，故四面體的體積.解法二 （1）如圖c，取的中點，連結(jié)，是梯形的兩腰，是的中點，于是由知，四點共面，由題設(shè)知，平面，因此，因此，于是，再由即知平面，又平面，故；（2）如圖d，過點作交于點，則平面，平面，平面，過點作于點，連結(jié)，則，為二面角的平面角，即，從而 ，則為矩形，因此，于是，再由得，解得，因此，故四面體的體積.【2015高考上海，理19】（本題滿分12分）如圖，在長方體中，、分別是、的中點證明、四點共面，并求直線與平面所成的角的大小.【答案】 【解析】解：如圖，以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，可得有關(guān)點的坐標(biāo)為、因為，所以，因此直線與共

20、面，即、共面1（2014廣東卷）已知向量a(1，0，1)，則下列向量中與a成60夾角的是()A(1，1，0) B(1，1，0) C(0，1，1) D(1，0，1)【答案】B【解析】本題考查空間直角坐標(biāo)系中數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)所求向量是b，若b與a成60夾角，則根據(jù)數(shù)量積公式，只要滿足eq f(ab,|a|b|)eq f(1,2)即可，所以B選項滿足題意2（2014重慶卷如圖13所示，四棱錐PABCD中，底面是以O(shè)為中心的菱形，PO底面ABCD，AB2，BADeq f(,3)，M為BC上一點，且BMeq f(1,2)，MPAP.(1)求PO的長；(2)求二面角APMC的正弦值圖13【解析】解：(1

21、)如圖所示，連接AC，BD，因為四邊形ABCD為菱形，所以AC BDO，且ACBD.以O(shè)為坐標(biāo)原點，eq o(OA,sup6()，eq o(OB,sup6()，eq o(OP,sup6()的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系O xyz.因為BADeq f(,3)，所以O(shè)AABcoseq f(,6)eq r(3)，OBABsineq f(,6)1，所以O(shè)(0，0，0)，A(eq r(3)，0，0)，B(0，1，0)，C(eq r(3)，0，0)，eq o(OB,sup6()(0，1，0)，eq o(BC,sup6()(eq r(3)，1，量為n1(x1，y1，z1)，平面PMC

22、的法向量為n2(x2，y2，z2)由n1eq o(AP,sup6()0, n1eq o(MP,sup6()0，得eq blc(avs4alco1(r(3)x1f(r(3),2)z10，,f(r(3),4)x1f(3,4)y1f(r(3),2)z10，)故可取n1eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(5r(3),3)，2).由n2eq o(MP,sup6()0，n2eq o(CP,sup6()0，得eq blc(avs4alco1(f(r(3),4)x2f(3,4)y2f(r(3),2)z20，,r(3)x2f(r(3),2)z20，)故可取n2(1，eq r(3)，2)從而法向量n

23、1，n2的夾角的余弦值為cosn1，n2eq f(n1n2,|n1|n2|)eq f(r(15),5)，故所求二面角APMC的正弦值為eq f(r(10),5).1若a，b，c為空間的一組基底，則下列各項中，能構(gòu)成基底的一組向量是()Aa，ab，ab Bb，ab，abCc，ab，ab Dab，ab，a2b解析：若c、ab、ab共面，則c(ab)m(ab)(m)a(m)b，則a、b、c為共面向量，此與a、b、c為空間向量的一組基底矛盾，故c，ab，ab可構(gòu)成空間向量的一組基底。 【答案】C2在正方體ABCDA1B1C1D1中，給出以下向量表達式：(eq o(A1D1,sup10()eq o(A1

24、A,sup10()eq o(AB,sup10()； (eq o(BC,sup10()eq o(BB1,sup10()eq o(D1C1,sup10()；(eq o(AD,sup10()eq o(AB,sup10()2eq o(DD1,sup10()； (eq o(B1D1,sup10()eq o(A1A,sup10()eq o(DD1,sup10()。其中能夠化簡為向量eq o(BD1,sup10()的是()A B C D【解析】(eq o(A1D1,sup10()eq o(A1A,sup10()eq o(AB,sup10()eq o(AD1,sup10()eq o(AB,sup10()eq

25、o(BD1,sup10()；(eq o(BC,sup10()eq o(BB1,sup10()eq o(D1C1,sup10()eq o(BC1,sup10()eq o(D1C1,sup10()eq o(BD1,sup10()；(eq o(AD,sup10()eq o(AB,sup10()2eq o(DD1,sup10()eq o(BD,sup10()2eq o(DD1,sup10()eq o(BD1,sup10()；(eq o(B1D1,sup10()eq o(A1A,sup10()eq o(DD1,sup10()eq o(B1D,sup10()eq o(DD1,sup10()eq o(B1D

26、1,sup10()eq o(BD1,sup10()，所以選A。 【答案】A3若向量a(1，2)，b(2，1,2)且a與b的夾角的余弦值為eq f(8,9)，則等于()A2 B2C2或eq f(2,55) D2或eq f(2,55)【解析】由已知得eq f(8,9)eq f(ab,|a|b|)eq f(24,r(52)r(9)，8eq r(52)3(6)，解得2或eq f(2,55)。 【答案】C4平行六面體ABCDABCD中，若eq o(AC,sup10()xeq o(AB,sup10()2yeq o(BC,sup10()3zeq o(CC,sup10()，則xyz()A1 B.eq f(7,

27、6)C.eq f(5,6) D.eq f(2,3)【解析】eq o(AC,sup10()eq o(AC,sup10()eq o(CC,sup10()eq o(AD,sup10()eq o(AB,sup10()eq o(CC,sup10()eq o(AB,sup10()eq o(BC,sup10()eq o(CC,sup10()xeq o(AB,sup10()2yeq o(BC,sup10()3zeq o(CC,sup10()，故x1，yeq f(1,2)，zeq f(1,3)，xyz1eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(7,6)。 【答案】B5已知直線AB、CD是異面直線，ACCD，

28、BDCD，且AB2，CD1，則異面直線AB與CD夾角的大小為()A30 B45C60 D75【解析】coseq o(AB,sup10()，eq o(CD,sup10()eq f(o(AB,sup10()o(CD,sup10(),|o(AB,sup10()|o(CD,sup10()|)eq f(o(AC,sup10()o(CD,sup10()o(DB,sup10()o(CD,sup10(),21)eq f(o(CD,sup10()2,2)eq f(1,2)，eq o(AB,sup10()與eq o(CD,sup10()所成角為60。 【答案】C6正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a，點M在e

29、q o(AC1,sup10()上且eq o(AM,sup10()eq f(1,2)eq o(MC1,sup10()，N為B1B的中點，則|eq o(MN,sup10()|為()A.eq f(r(21),6)a B.eq f(r(6),6)aC.eq f(r(15),6)a D.eq f(r(15),3)a【解析】以D為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則A(a,0,0)，C1(0，a，a)，Neq blc(rc)(avs4alco1(a，a，f(a,2)。設(shè)M(x，y，z)。點M在eq o(AC1,sup10()上且eq o(AM,sup10()eq f(1,2)eq o(MC1,su

30、p10()， (xa，y，z)eq f(1,2)(x，ay，az)，xeq f(2,3)a，yeq f(a,3)，zeq f(a,3)，得Meq blc(rc)(avs4alco1(f(2a,3)，f(a,3)，f(a,3)，|eq o(MN,sup10()|eq r(blc(rc)(avs4alco1(af(2,3)a)2blc(rc)(avs4alco1(af(a,3)2blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)f(a,3)2)eq f(r(21),6)a。 【答案】A7如圖所示，已知空間四邊形ABCD，F(xiàn)為BC的中點，E為AD的中點，若eq o(EF,sup10()(eq o(AB

31、,sup10()eq o(DC,sup10()，則_。eq f(1,2)。 【答案】eq f(1,2)8已知O(0,0,0)，A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，點Q在直線OP上運動，當(dāng)eq o(QA,sup10()eq o(QB,sup10()最小時，點Q的坐標(biāo)是_。【解析】設(shè)eq o(OQ,sup10()eq o(OP,sup10()(，2)，則eq o(QA,sup10()(1，2，32)，eq o(QB,sup10()(2，1，22)。eq o(QA,sup10()eq o(QB,sup10()(1)(2)(2)(1)(32)(22)6216106eq blc(rc)

32、(avs4alco1(f(4,3)2eq f(2,3)。當(dāng)eq f(4,3)時，eq o(QA,sup10()eq o(QB,sup10()取得最小值eq f(2,3)，此時eq o(OQ,sup10()eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)，f(4,3)，f(8,3)。點Q的坐標(biāo)是eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)，f(4,3)，f(8,3)?！敬鸢浮縠q blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)，f(4,3)，f(8,3)9在正方體ABCDA1B1C1D1中，下面給出四個命題：(eq o(A1A,sup10()eq o(A1D1,sup10()e

33、q o(A1B1,sup10()23(eq o(A1B1,sup10()2；eq o(A1C,sup10()(eq o(A1B1,sup10()eq o(A1A,sup10()0；eq o(AD1,sup10()與eq o(A1B,sup10()的夾角為60；此正方體的體積為|eq o(AB,sup10()eq o(AA1,sup10()eq o(AD,sup10()|。則正確命題的序號是_(填寫所有正確命題的序號)。eq o(AB,sup10()eq o(AA1,sup10()0，正確的應(yīng)是|eq o(AB,sup10()|eq o(AA1,sup10()|eq o(AD,sup10()|。 【答案】10如圖所示，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，設(shè)eq o(AA1,sup10()a，eq o(AB,sup10()b，eq o(AD,sup10()c，M、N、P分別是AA1、BC、C1D1的中點，試用a，b，c表示以下各向量：(1)eq o(AP,sup10()；(2)eq o(A1N,sup10()；(3)eq o(MP,sup10()eq o(NC1,sup10()。【解析】(1)P是C1D1的中點，eq o(AP,sup10()eq o(AA1,sup1