最優(yōu)控制理論與系統(tǒng)胡壽松版課后習(xí)題答案

1、2-5求通過(guò)x(0=),x(l)=2,使下列性能泛函為極值的極值曲線x*(t): 解:由題可知，始端和終端均固定，TOC o 1-5 h zQLQLd被積函數(shù)L=1+x2，=0，=2x，QxQxdtQLdQL八cc代入歐拉方程亍=0，可得2x=0，QxdtQx故x=c1其通解為：x=T+c2代入邊界條件x(0)=1,x(1)=2,極值曲線為x*(t)=t+12-6已知狀態(tài)的初值和終值為x(1)=4，x(t)=4式中t自由且t1,試求使下列性能泛函達(dá)到極小值的極值軌線x*(t):解：由題可知，L=2x+x2，屮()=4，x(1)=4，x()=42ffQLddL歐拉萬(wàn)程：亍-=0QxdtQx橫截條

2、件：X(t0)=x0，xCfLwCf),卩丄-xT)Hhdxr宀易得到=2故x=2t+cdt1其通解為：x(t)=t2+ct+c12根據(jù)橫截條件可得：彳x(1)=1(t)工)I.f+c+c=412xV7=12+ct+c=4f1f2=2t+c=4f1解以上方程組得：c=-61c=912還有一組解t=1fc1=2(舍去，不符合題意tf1)c=1J2將t,c1，c2代入J可得J*=(2x+2x2)dt=415(t-3)2=罟極值軌線為x*(t)=t2-6t+92-7設(shè)性能泛函為求在邊界條件x(0)=0，x(1)自由情況下，使性能泛函取極值的極值軌線x*(t)。解：由題可知，L=1+x2，x(0)=0

3、，x(1)自由歐拉方程:dLdQL門(mén)=0dxdtdx橫截條件：x(/x06Ldxf0L+XTH易得到X(t)=a其通解為：x(t)=at+bt=1，求出a=0,bf+X2L=1將t，a，b代入J可得J*=J1f0代入邊界條件x(f)=a，x(o)=o.極值軌線為x*(t)=028設(shè)泛函端點(diǎn)A(x,x,t)固定，端點(diǎn)B(x(t),x(t),t)可沿空間曲線102001f2f移動(dòng)。試證：當(dāng)泛函取極值時(shí)，橫截條件為證：根據(jù)題意可知，此題屬于起點(diǎn)固定，末端受約束情況，由P25L-(c-x)t空dx=0可得,f(1)由c=9，屮b,x=(xx2)TTOC o 1-5 h z(、z.、dL(dLdL、(c

4、-x)t=(9-xM-x),=(,)T12dxdxdx1(2)一、dT.dL.、dL(c-x)T=(9-x1)+(V-x2)dxdxdx12將(2)代入(1)式，得:L-(9-x)旦dx1+卽一x2)亙2dx.If=0,得證。2-13設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程x(t)=x(t)，*12x(0)二21x(t)=u(t)，*2x(0)二12性能指標(biāo)如下:要求達(dá)到x(tf)=0，試求(2)t”自由時(shí)的最優(yōu)控制u*(t)。解：由題可知構(gòu)造H：HL+Xtfu2+Xx+Xu2122SHTOC o 1-5 h z九(t)0正則方程：Sx1SH)九(t)九Sx12X(t)-c11X(t)ct+cV212Sh控制方程：-u

5、+X-0Su2由上式可得U(t)一一2-由狀態(tài)方程Xi(t)-X2(t)，x(t)-u(t)可得f211x(t)-C13一C12+Ct+C612234x(t)-1Ct2Ct+C2123(1)tf-5時(shí)由邊界條件x1(0)-2,x(0)-1，x(t)-0，x(t)-0可得21f2fC-13c-24c*53c*52+c*5+c-061223c*52c*5+c-0212354c12532c-25C-13c-2J4/、9x(t)-1312527一x(t)t2t+112525一丹2+1+2有x(t)竺32一12525有最優(yōu)控制u*(t)-1451H(2)若t自由由哈密頓函數(shù)在最優(yōu)軌線末端應(yīng)滿足的條件H(

6、t)-u2(t)+九(t)x(t)+九(t)u(tf2f1f2f2f.)-畔-0得u(tf)-011ccct3ct2+1+2=061f22ff十曰#匚即響f)=0從而c2=c1tf，代入f1可得tf=-6ct2-ct+1=0、21f2f因?yàn)闀r(shí)間總為正值，所以此題無(wú)解。x(0)=1,x(0)=1邊界條件1(2)02(2)0 x(2)=0,x(2)=01一試求下列性x(t)=x(t),3-2設(shè)二階系統(tǒng)的狀態(tài)方程12x(t)=x(t)+u(t),21能指標(biāo)的極小值：J-2葉)+u2dt解：由題可知構(gòu)造H：H=L+Xf=(x+u)2+九x+九(x+u)21122X=廻二(x+u)+X1GV1由協(xié)態(tài)方程

7、和極值條件：Qx1行QH.九=九2Qx12QH.nx+u+九=0Qu12=c1=ct+c12代入狀態(tài)方程得：fX(t)=X(t),12X2(t)=c(t)+cJ212c1c=3.52c=13c=141x=c13一一c12+ct+cTOC o 1-5 h z122341，代入初始條件解得：Vx=一c12-ct+c2123/、17,x*(t)=1312+t+1247x*(t)=t2t+122此時(shí)J*=J2x(t)+u(t)2dt=J2(3t-3.5)2dt=0.307720103-4給定一階系統(tǒng)方程x(t)二-x(t)+u(t)，x(0)二1控制約束為|u(t)|1，試求使下列性能指標(biāo):為極小值的

8、最優(yōu)控制u*(t)及相應(yīng)的最優(yōu)軌線X*(t)。解：由題可知構(gòu)造H：H=(x)+九(x+u)=(1-九)x+(九)u2哈密頓函數(shù)達(dá)到極小值就相當(dāng)于使性能指標(biāo)極小，因此要求(九-2)u極小。且取其約束條件的邊界值,即|u(t)|=1時(shí)，使哈密頓函數(shù)H達(dá)到最小值。所以，最優(yōu)控制應(yīng)取由協(xié)態(tài)方程X(t)_dHdx_X_1可得X(t)_1_cet由橫截條件X(1)_0求得c_e_1，于是有e顯然，當(dāng)X(t)_0.5時(shí)，u*(t)產(chǎn)生切換，其中t為切換時(shí)間。不難求得t_ln，故最優(yōu)控制為sss2將u*(t)代入狀態(tài)方程，得解得x(t)_ce_t_1,1ce_t+1,2e0tln2elnt12代入初始條件x(

9、0)_1，可得c_2，因而1ex(t)_2e_t_1，0tln2ee在上式中，令t_山，可求出ln2t1時(shí)x(t)的初始條件從而求得c_2_e。因而2ex(t)_(2_e)e_t+1，lnt12于是,最優(yōu)軌線為x(t)_e2e_t_1,0tln2e(2_e)e_t+1,lnt12將求得的u*(t)和x*(t)代入式J，得最優(yōu)性能指標(biāo)最優(yōu)解曲線如下:x_u,x(0)_0,x(1)_111s、1、廠試求最優(yōu)控制u*(t),u*(t)以及最優(yōu)軌線x*(t)和x*(t),使性能指x_x+u,x(0),x(1)_11221222標(biāo)J_f1(x(t)+u2(t)+u2(t)jt為極小值。01123-5控制

10、系統(tǒng)f解：哈密爾頓函數(shù)為H_x+u2+u2+Xu+X(x+u)11211212由協(xié)態(tài)方程:_dHdx_dHdx2_(1+九)2_0由極值條件:dHdu1dHdu2_2u+X_0i_2u+X_02u(t)_(1+c)t_c1212/、1u(t)_c221由狀態(tài)方程有x1(t)_2(1+仟c2x2(t)_x1(t)_2c114 x(t)=(1+c)t2ct+c141223x(t)(1+C)t3一1221c4-2+(c3一2c1)t+c代入初始值解得：fc-11c-22c-03c-04u*(t)=11X*(t)-t1/、11X*(t)-12+t222I2121即:1u*2(0)+九*(0)u*(0)

11、-0,22由協(xié)態(tài)方程有：f丫SH九-一-XSx117SH人-一-XSX22九1，由初始條件九(0)=0解得：九二-：Ae；sintt，由所給狀態(tài)TOC o 1-5 h z17此時(shí)J*-J1t+12+()2dt-2丿4X(t)-X(t)X(0)=0X(t)=2|3-6已知二階系統(tǒng)方程1211f式中u(t)12由極小值條件應(yīng)取：u*(t)-f-九(t)，當(dāng)I九(t)1,由哈密頓函數(shù)沿最優(yōu)軌線的變化律:22+1,當(dāng)九(t)v-l12H*(t)=H*t-),(可得：1x*2(0)+1X*2(0)+1u*2(0)+九*(0)X*(0)+九*(0)u*(0)-0，f21222122可知：u*(0)-0，(

12、其中u*(0)=2九*(0)矛盾),2方程及初始條件解得:3-7已知二階系統(tǒng)方程X(t)-X(t)+1，X(0)-112414X(t)-u(t)，X(0)-221式中控制約束為并使性能指標(biāo)試確定最優(yōu)控制u*(t)。將系統(tǒng)在tr時(shí)刻由x(0)轉(zhuǎn)移到空間原點(diǎn), 取最小值，其中t，自由。解：由題可知構(gòu)造哈密頓函數(shù)：H=u2+九(x+)+九u=(u+九)2九2+九(x+)12422242124按照最小值原理，最優(yōu)控制應(yīng)取由哈密頓函數(shù)沿最優(yōu)軌線的變化規(guī)律H*(t)=H*(t*)=0可得以及u*2(t*)+九(t*)x*(t*)+九(t*)u*(t*)=042ff因?yàn)閤2(0)=-4，可以求出u*(0)=

13、0由協(xié)態(tài)方程w)=更=0dx1解得九(t)=C，11當(dāng)u*(t)二-九2九(t)=ct+c212/、11、(t)=2ct2c時(shí)(試取)2122代入初始條件x(0)=1，x(0)=14-可得1c=44代入末端條件x(t)=0，可得f1C13C12121f42f4/、111X(t)=_ct2_ct_.241f22f4x1(t)=1又H(tf)=叫)+入1(卩嘰)+扣*嚴(yán)f)二0，聯(lián)立解得-1C=一9c二02t=3于是有九2(t)二91九=1,t02九=1,t二92在0t3時(shí)，正好滿足卜211要求故最優(yōu)控制為U*(t)二2九(t)二11，(0t3)相應(yīng)的最優(yōu)性能指標(biāo)為J218卜u*2(t)dt=j;

14、(令)2dt=36最優(yōu)軌線為f14(、亠1X*(t)=12-2364/、1X*(t)=1311081x(t)=x(t)3-17已知系統(tǒng)方程2x(t)=u(t)*2x(0)=11x(0)=02性能指標(biāo)J=2J0u2(t)dt，末端xi(1)=x2(1)=0。試用連續(xù)極小值原理求最優(yōu)控制u*(t)與最優(yōu)軌跡x*(t)。解：構(gòu)造哈密頓函數(shù):H=L+九tfu2+九x+九u，由協(xié)態(tài)萬(wàn)程:2122九(t)1九(t)2dHdx1dHdx10一九1，解得:仏cV11九一Ct+cV212dH由極值條件：而u解得u(t)八2(t)Ct-C，代入狀態(tài)方程有:x(t)x(t)12x(t)ct-cv*212，解得x1(

15、t)11=c13一c12+ct+c612234，代入初始值解得:x(t)c12一ct+c22123c121c6V2c，故最優(yōu)軌線為:c03c1J4x*(t)2t33t2+1.*V1，又x2(t)12t-6，所以最優(yōu)控制律為：u*(t)12t-6,x*(t)6t26tJ2此時(shí)J*J1u2(t)dtJ1(12t一6)2dt620203-28已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程x(t)x(t)】/、2、，控制約束為lu(t)I1。試求最優(yōu)控制u*(t)，使系統(tǒng)由任意初態(tài)x(t)u(t)*2最快地轉(zhuǎn)移到x(t)2，x(t)1的末態(tài)。寫(xiě)出開(kāi)關(guān)曲線方程，并繪出開(kāi)關(guān)曲線的圖形。1f2f解：本例為二次積分模型的最小時(shí)間控制問(wèn)題

16、。容易判定系統(tǒng)可控，因而必為Bang-Bang控制。構(gòu)造哈密頓函數(shù):H1+九x+九u122由協(xié)態(tài)方程得:九1九2dHdx1dHdx20,解得:一九1九(t)c1九(t)ct+c12u*(t)sgn(t),九tA02知最優(yōu)控制u(t)最多切換一次，具有四種可能：【+1】，【-1】，【+1，,九(親02-1】【-1，+1】。x(t)x(t)若u*(t)1時(shí)，代入狀態(tài)方程】/、/考慮到初始狀態(tài)(x,x)，解得:x(t)11020*21x=12+xt+x122010，消txt+x220得:11xx2+xx2，12210220同理若u*(t)=-1時(shí)解得：x1-2x22+x10+2x202由末態(tài)配置到x

17、(t)2/取開(kāi)關(guān)曲線為過(guò)21)x(t)1f的那條曲線，即開(kāi)關(guān)曲線方程為:13/1、x=x2+=,(x1),Y222221x22開(kāi)關(guān)曲線圖如下:x(0)=11開(kāi)關(guān)曲線Y控制約束lu(t)I02,k(親02知最優(yōu)控制u(t)最多切換一次，具有四種可能：【+1】【-1】【+1,-1】【-1,+1】。x(t)x(t)x(0)1若u*(t)1時(shí)，代入狀態(tài)方程2考慮到初始狀態(tài)1解得:x(t)-x(t)+1x(0)1*212x(t)sint+1，消t得:x(t)cost2(x1)2+x1同理,若u*(t)=-1時(shí)，解得:x(t)=2cost+sint-1，消t得：(x+1)2+x2=1，即開(kāi)關(guān)曲線方程為:x

18、(t)=-2sint+cost122(x,x)|(x-1)2+x21,(x0),-12122本題初始點(diǎn)A(1，1),最優(yōu)控制曲線如上圖，最優(yōu)控制律為u=-1，+1。x(t)x、3-33已知受控系統(tǒng)2，目標(biāo)集為Stx,x)|x(t)u*2止試求由目標(biāo)集外的任意初態(tài)(勺,q)轉(zhuǎn)移到目標(biāo)集的時(shí)間最優(yōu)控制律u*(t)。解：哈密爾頓函數(shù)為H=1+卒2+U協(xié)態(tài)方程-哲=01dx詁，邊界條件：=-kdx12x(0)農(nóng)11Ix(0)農(nóng)*22九(t)二字丫二2x(t)yTOC o 1-5 h zfdx(t)1ff九(t)二糾丫二2x(t)yfQx(t)2ff目標(biāo)集約束：x(t)=x2(t)+x2(t)1=0,f

19、1f2f由極小值條件知，最優(yōu)控制律：U*(t)=-sgn九(t)2x(t)=t2+gt+g1221，(t)=t+g2x(t)=x(t)若u*(t)=+1時(shí)，代入狀態(tài)方程】/、/，解得：x(t)=12消t得相軌跡方程：(x1=2x22+(勺一蕓22)；同理，若u*(t)=-1時(shí)，解得：x(t)=112+gt+g122:x(t)=t+g22消t得相軌跡方程：(x=入x2+(g+g2)；122122(x,x)lx=x2+1(x0)由相軌跡方程與目標(biāo)集相切且滿足末態(tài)要求的相軌跡曲線：0)121222Y+2Y2(x,x)lx=x2-1(x0)121222相軌跡如上圖所示：i、當(dāng)初態(tài)(g,g)在Q區(qū)域或Y

20、uy上時(shí)，知最優(yōu)控制為u*(t)=-1,終于上半圓；TOC o 1-5 h z122+1+2ii、當(dāng)初態(tài)(g,g)在Q區(qū)域或Yuy上時(shí)，知最優(yōu)控制為u*(t)=-1,終于下半圓；124-1-2iii、當(dāng)初態(tài)(g,g)在Q區(qū)域中，知最優(yōu)控制為u*(t)=-1,+1；121iv、當(dāng)初態(tài)(g,g)在Q區(qū)域中，知最優(yōu)控制為u*(t)=+1,-1；1243-42已知系統(tǒng)方程x(t)=u(t),x(0)=2,x=0】/、/、CS、c，控制約束Iu(t)I1。試求以切換時(shí)間表示的時(shí)間-燃料最優(yōu)控制u*(t),x(t)=x(t),x(0)=2,x(8)=0*2122使性能指標(biāo)J=J8(1+Iu(t)I)dt取

21、極小值，并求最優(yōu)控制J*。0解：哈密頓函數(shù)為：H=1+Iu(t)I+九u+九x12120 dH=dx九一廻=02dx2，解得:九=_Ct+C112X=c121由極小值條件知:U*(t)=_sgnX1(t)I當(dāng)九(t)l11因?yàn)槌鯌B(tài)(,q)=(2,2)知時(shí)間一燃料最優(yōu)控制為：u*(t)=-1,0,+1，設(shè)u*(t)的切換時(shí)間為t和t，則有ab當(dāng)0tt時(shí)，有u=-1a，初態(tài)(勺,q)=(2,2)，由狀態(tài)方程x1(t)=_1，x(t)=x(t),*21得:當(dāng)tat2時(shí)，U=0,初態(tài)為：x(t)=_t+2aax(t)=_t2+2t+2a2aax(t)=0,由狀態(tài)方程J、小解得：x(t)=x(t),J*

22、21x(t)=_t+2a1x(t)=_(t+2)t(_t十一_k=0taa2a當(dāng)tbt8時(shí)，u=+1,x(t)=_t+2ba1x(t)=_(t+2)(t_t)+(_t2+2t+2)baba2aa由狀態(tài)方程x1(t)=1，x(t)=x(t),*21x(t)=(t_t)+(_t+2)bax(t)=(t_t)2+(_t+2)(t_t)+(_t2+2t+2)2baa2aa末態(tài)值t=tfox(8)=0,=8,1*x(8)=0,2求得,=2.764于是時(shí)間一燃料最優(yōu)控制為:at=7.236b_1當(dāng)0t2.764u*(t)斗0，當(dāng)2.764t7.236,+1當(dāng)7.236t8從而有J*(t)=J8(l+1ul

23、)dtJ8dt+f8Iudt二11.528000 x(k+1)=2xk+uk),11x(k+1)=x(k+x(k),2124-4設(shè)二階離散系統(tǒng) J*x(1)=min2x2(2)+2u2(1)+J*x(2)，1u(1)20J*x(2)=0,所以J*x(1)=min2x(1)+x+2u2(1)01u(1)12由于u(k)不受約束：ddg=4u(1)=0，求得：u*(1)=0。將結(jié)果代入J*x(1)得：J*x(1)=2x(1)+x(1)。1112令N=1，k=0時(shí)：J*x(0)=min2x2(1)+2u2(0)+J*x(1)2u(0)21JAx=01)+x2=min2x(0)+x(廁2+2u2(0)

24、+2J3x(0)+x(0)+u(0)2111)2u(0)1212亙也二4u(0)+43x(0)+x(0)+u(0)二0，代入初始值du(0)121o一一一一o)o)./I/3求得：u*(0)2J*x(0)=11,2X*(1)=112,x*(1)=12u*(1)二0,X*(2)=11x叫2)=322于是本題的最優(yōu)控制，最優(yōu)軌線及最優(yōu)代價(jià)分別為：313u*二怎,0，x*弟怎，x*=1,1,，J*=J*x(0)=11212222x(t)=u(t)4-13已知二階系統(tǒng)J、/、x(t)=x(t)21x(0)=01x(0)=12性能指標(biāo)：J=牙2x2(t)+u2(t)dt2022解：解：(1)由題意可得：

25、r00、j0r00、A=，b=，x(0)=，Q=10丿010,1112丿11 于是最優(yōu)控制：u*(t)=r-ibrPx(t)=_2x(t)-2x(t),12最優(yōu)控制指標(biāo):J*x(t)=1xT(t)Px(t)=1x2+xx+x2,221122將u*(t)代入狀態(tài)方程，得閉環(huán)系統(tǒng)方程:x(t)=2x(t)2x(t)V112x(t)=x(t)21代入初始值x(0)=01x(0)=12x*(t)=2etsint解得：V1x(t)=et(sint+cost)J2將叮、屮代入狀態(tài)反饋的最優(yōu)控制，求得：U*(t)=-2e-1(COSt-Sint)。4-14已知系統(tǒng)方程:密頓-雅可比方程。x(t)=x(t)1

26、2x(t)=x(t)x2(t)+u(t)*221性能指標(biāo)：JJ:叩)+U2(t)dt，試確定該系統(tǒng)的哈qj*QJ*TQx1-1QJx2xx2+u21QJ*解：令哈密頓函數(shù)為：H(x,u,t)=x2+u2+QxQH1QJ*由于u(t)不受約束，則=0nu*=Qu2Qx2QJ*.由最優(yōu)解的充分條件知：=minH，QtueQ代入u*(t)，得:QJ*QtQJ*、/QJ*QJ*、1/QJ*、(1)x2+()x()2。Qx1QxQx22Qx2122QJ*因?yàn)橄到y(tǒng)是時(shí)不變的并且性能指標(biāo)的被積函數(shù)不是時(shí)間的顯函數(shù)故莎=0,亠QJ*、/QJ*QJ*、1/QJ*、八則有(1)x2+(-)x22(w)2二。Qx1

27、QxQx22Qx2122在性能指標(biāo)J=Jx2(t)+u2(t)dt中，令t=0，得邊界條件：J*x(0)=0。01fQJ*、/QJ*QJ*、1/QJ*、八(1)x2+()x()2=0所以本題的哈密頓一雅可比方程為：VQx1QxQx22Qx2122J*x(0)二0 x(t)=x(t)5-8給下列二階系統(tǒng)：】2，試確定最優(yōu)控制u*(t)，使下列性能指標(biāo)極小:x(t)=u*2解：該題為有限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題。由題意得：P12P12P22代入黎卡提方程：P=PA+AtPPbr-ibTP+Q，0, 代入A,b,Q,r,邊界條件：，PF,P0,即:r0p-2p2ppr21=0解得：p2/311111212

28、22+4_p1-112p12pp1-1222p222J1l1苗J于是最優(yōu)控制：U*(t)=-R-iBrPx(t)=-2x(t)-2p3x(t),+xx+迢x2。122212最優(yōu)性能指標(biāo):J*x(t)2xT(t)Px(t)S3-x(t)-x(t)+u1f5-10已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程:,1丿、，性能指標(biāo)極?。篔Vx2(t)+u2(t)dt試確定最優(yōu)控制u*(t)。x(t)x(t)2t02210解：該題為無(wú)限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題。由題意得：-1100,B令DDtQ，得Dt0,1，1rankB,ABrank。-11DTrankDA0rank12，故A，b可控，A，D可觀，故u*(t)存在且唯P11P12P

29、1222-代入黎卡提方程：PA+AtP-PbrSP+Q0，代入A,B，Q，R解得：P-嚴(yán)1R0,l1于是最優(yōu)控制：u*(t)-R-1BTPx(t)(1-3)x(t)-x(t),12最優(yōu)性能指標(biāo):J*x(t)1xT(t)Px(t)(、打-1)x2+2xx+：3x2。211225-20已知V(x)x(t)Px(t為具有卩(x)/V(x)0，P滿足式P(A+aI)+(at+aIP-PBR-1BtP+QQ試用李亞普諾夫穩(wěn)定性定理證明最優(yōu)閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。證明：取二次型函數(shù)：V(x)xT(t)Px(t)，對(duì)于Vx豐0,由于P0必有V(x)0。所以V(x)xT(t)Px(t)李亞普諾夫函數(shù)。.tfx(

30、t)Ax(t)+Bu(t).V(x)x(t)Px(t)+XT(t)Px(t)，將V-代入V(x)，整理得：u*(t)-R-1BtPx(t)V(x)x(t)At-PBR-1Bt+P(A-BR-1BtP)x(t)=-xt(t)Q+PBR-1BPx(t)，又由V(x)/V(x)-2a，知V(x)+2aV(x)0，即：Q+PBR-1BP2a0。所以知V(x)0，此時(shí)：u*(t)=-R-1BtPx(t)=x(t)x(t),212最優(yōu)性能指標(biāo)：J*=2xT(0)Px(0)=2。6-3已知系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程:x(t)=13y(t)=10 x1(t)x(t)+01u(t)性能指標(biāo)：J=L100y2(t)+u2(t

31、)dt,0試求使性能指標(biāo)極小并使閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的最優(yōu)控制u*(t)。一01-(0、A=，B=_13_i1丿解:由題意可知:c=(10)Q=100，Q1=CtQC=(1000Dt=100，R=1。因?yàn)閞ankBAB=rank1=2,rankCA=rank=2=2,10,24 DtrankDtA=rank，解黎卡提代數(shù)方程：PA+AtP-PBR-iBtP+CtQC=0得:，設(shè)P=所以，A,B可控，A,C可觀，A,D可觀，故可以構(gòu)造漸近穩(wěn)定的最優(yōu)輸出調(diào)節(jié)器。/PP1112PP丿1222，-2pp2+100=01212P-3p-p-pp=0，解得P=11122212222(p3p)p2=0J1222

32、22此時(shí)：u*(t)=-R-iBTPx(t)=-9X(t)3G/3l)x2(t)，將u*()t代入狀態(tài)方程x(t)=0-11-3x(t)+u(t)得：X(t)二廠01、J-10-3盡x(t),解得閉環(huán)系統(tǒng)特征值為：-洋+j羋，九=-迸麗12222所以閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。6-10設(shè)用控制系統(tǒng)可以自動(dòng)地保持潛艇的深度，潛艇從艇尾水平角e(t)到實(shí)際深度y(t)的傳遞函數(shù)，可以近似為:G(s)=10(S+2)2(s+10)(s2+0.1)，試設(shè)計(jì)控制律2(t)，使性能指標(biāo)J=vy(t)-y2+e2(t)dt最小。其中希望深度y=100。假定，實(shí)際深度可用壓力傳感器測(cè)量，并可用于反011饋。解：8-2設(shè)二階系統(tǒng)方程:X(t)=X(t)12X(t)=-X(t)+u(t)*21控制約束|u(t)|0。解：依據(jù)定理9-7(線性連續(xù)隨機(jī)系統(tǒng)分離定理)，可知F=i，G=i，H=i，Q=0，R=Pu*(t)=K(x(t(i)(2)(i)式中狀態(tài)反饋增益矩陣K(t)=Ri(t)G(t)P=止P(t)P而P(t)滿足下列Riccati矩陣微分方程及其邊界條件:解出(3)式微分方程:P(t)=-P(t)=2P(t)-丄P2(t)PP(t)