2022屆安徽省合肥市第六中學(xué)高三下學(xué)期高考前診斷暨預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

1、試卷第 =page 1 1頁(yè)，共 =sectionpages 3 3頁(yè)第 Page * MergeFormat 19 頁(yè) 共 NUMPAGES * MergeFormat 19 頁(yè)2022屆安徽省合肥市第六中學(xué)高三下學(xué)期高考前診斷暨預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1若復(fù)數(shù)z滿足，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求解出z，判斷象限即可.【詳解】解：，所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限.故選：A.2設(shè)集合，則（）ABCD【答案】B【分析】先化簡(jiǎn)集合，再直接求并集即可.【詳解】由，得，所以，所以.故選：B3已知函數(shù)，的零點(diǎn)分

2、別為a，b，c則a，b，c的大小順序?yàn)椋ǎ〢BCD【答案】D【分析】首先可求出，再由得，由得，將其轉(zhuǎn)化為、與的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合即可判斷.【詳解】由得，由得，由得.在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出、的圖象，由圖象知，.故選：D4如圖所示，連接棱長(zhǎng)為2cm的正方體各面的中心得到一個(gè)多面體容器，從頂點(diǎn)A處向該容器內(nèi)注水，直至注滿水為止.已知頂點(diǎn)B到水面的距離h以每秒1cm的速度勻速上升，設(shè)該容器內(nèi)水的體積與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系是，則函數(shù)的圖象大致是（）ABCD【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)變化的快慢以及切線斜率的幾何意義即可得結(jié)果.【詳解】通過(guò)幾何體的特征可得，容器下半部分，“先小后大”，即以同樣的高度變化時(shí)，體積變

3、化速度越來(lái)越快；容器上半部分，“先大后小”，即以同樣的高度變化時(shí)，體積變化速度越來(lái)越慢；即函數(shù)圖象的切線斜率先增大后減小，故選：A.5如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體某條棱上的一個(gè)端點(diǎn)P在側(cè)視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為M，在俯視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為N，則P在正視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（）A點(diǎn)DB點(diǎn)CC點(diǎn)BD點(diǎn)A【答案】D【分析】根據(jù)三視圖作出幾何體的直觀圖，標(biāo)出點(diǎn)的位置，由此可得出結(jié)論.【詳解】解：根據(jù)三視圖可知，該幾何體的直觀圖如圖所示，由圖可知，P在正視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為點(diǎn)A.故選：D.6數(shù)列中，對(duì)任意m，若，則（）A2B3C4D5【答案】C【分析】取，可得出數(shù)列是等比數(shù)列，求

4、得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用等比數(shù)列求和公式可得出關(guān)于的等式，由可求得的值.【詳解】解：在等式，中，令，可得，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，則，則，解得故選：C.7已知斜率為的直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，與x軸，y軸分別交于C，D兩點(diǎn)，若C，D恰好是線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則橢圓E的離心率e為（）ABCD【答案】C【分析】設(shè)，由三等分點(diǎn)可用表示，表示，一方面由兩點(diǎn)坐標(biāo)得直線斜率，另一方面用點(diǎn)差法求得直線斜率，從而得的關(guān)系式，求得離心率【詳解】如圖，設(shè)，C，D分別是線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則，得，利用點(diǎn)差法，由兩式相減得，整理得到，即，所以.故選：C8如圖，在中，M，N分別是線段，上的點(diǎn)，且，D，E是

5、線段上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的的最小值是（）A4BCD2【答案】B【分析】根據(jù)平面向量共線定理可設(shè)，再結(jié)合得，最后運(yùn)用基本不等式可求解.【詳解】設(shè)，則，.所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立.所以的的最小值是.故選：B9如圖，平面平面，四邊形是正方形，四邊形是矩形，且，若是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐的外接球表面積的最小值是（）ABCD【答案】C【分析】根據(jù)正弦定理及找到外接球的直徑，再利用球的表面積公式即可求解.【詳解】由題意可知，設(shè)的外接圓半徑為r，由正弦定理，知，當(dāng)時(shí)，取得最小值為2，此時(shí)外接球半徑滿足，解得或.所以三棱錐的外接球的最小半徑為.所以外接球表面積為.故選：C.10已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最大值，且

6、在區(qū)間上為減函數(shù)，則的最大值為（）A5B6C7D8【答案】B【分析】由當(dāng)時(shí)，取得最大值，求出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，結(jié)合題目所給減區(qū)間可解.【詳解】由題意得，當(dāng)時(shí)，取最大值，則當(dāng)時(shí)，取最小值，則的單調(diào)減區(qū)間為又在上為減函數(shù)，則，使得解得，則，故當(dāng)時(shí)，則，故的最大值為6故選：B11北京冬奧會(huì)期間，比賽項(xiàng)目豐富多彩，為了實(shí)時(shí)報(bào)道精彩的比賽過(guò)程，需要安排5名記者前往國(guó)家體育場(chǎng)、國(guó)家體育館和首都體育館三個(gè)比賽場(chǎng)地進(jìn)行實(shí)地報(bào)道.每個(gè)場(chǎng)地至少有一名記者，每名記者只去一個(gè)場(chǎng)地，并且記者甲不去國(guó)家體育館，記者乙不去國(guó)家體育場(chǎng).則安排方式共有（）A87種B72種C96種D69種【答案】D【分析】求得所有的安排方式，再

7、求得甲去了國(guó)家體育館，乙去了國(guó)家體育場(chǎng)的情況，結(jié)合題意，即可求得結(jié)果.【詳解】沒(méi)有“記者甲不去國(guó)家體育館，記者乙不去國(guó)家體育場(chǎng)”附加條件下的情況，共計(jì)有種安排方式；“記者甲去國(guó)家體育館”的情況有種，同理“記者乙去國(guó)家體育場(chǎng)”的情況有50種，“記者甲去國(guó)家體育館，記者乙去國(guó)家體育場(chǎng)”的情況有如下19種：除甲乙之外的3人都去首都體育館的1種，除甲乙之外的3人分別去了國(guó)家體育場(chǎng)、國(guó)家體育館和首都體育館，則有種，除甲乙之外的3人至少有一人去了首都體育館的所有可能有.所以滿足題意的所有安排方式有種.故選：.12若，且，則（）ABCD【答案】A【分析】由于對(duì)數(shù)函數(shù)的存在，故需要對(duì)進(jìn)行放縮，結(jié)合（需證明），

8、可放縮為，利用等號(hào)成立可求出，進(jìn)而得解.【詳解】令，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，即，當(dāng)且僅當(dāng)，等號(hào)成立所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，又，所以，即，所以，又，所以，故故選：A二、填空題13在等差數(shù)列中，記，則數(shù)列最大項(xiàng)的值為_.【答案】945【分析】由已知求等差數(shù)列公差，并寫出的通項(xiàng)公式，再討論的取值判斷的符號(hào)，結(jié)合，即可知最大項(xiàng)對(duì)應(yīng)的值，進(jìn)而求最大項(xiàng)的值.【詳解】設(shè)數(shù)列公差為，則，可得，所以，若，有，則時(shí)，而時(shí)，綜上，若時(shí)，為奇數(shù)，為偶數(shù)；若時(shí)；所以，當(dāng)時(shí)數(shù)列最大，即.故答案為：945.14“田忌賽馬”的故事千古流傳，故事大意是：在古代齊國(guó)，馬匹按奔跑的速度分為上、中、下三等.一天，齊王找

9、田忌賽馬，兩人都從上、中、下三等馬中各派出一匹馬，每匹馬都各賽一局，采取三局兩勝制.已知田忌每個(gè)等次的馬，比齊王同等次的馬慢，但比齊王較低等次的馬快.若田忌事先打探到齊王第一場(chǎng)比賽會(huì)派出上等馬，田忌為使自己獲勝的概率最大，采取了相應(yīng)的策略，則其獲勝的概率最大為_.【答案】【分析】設(shè)齊王有上、中、下三等的三匹馬、，田忌有上、中、下三等的三匹馬、，列舉出所有比賽的情況，以及齊王第一場(chǎng)比賽會(huì)派出上等馬的比賽情況和田忌使自己獲勝時(shí)比賽的情況，結(jié)合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】設(shè)齊王有上、中、下三等的三匹馬、，田忌有上、中、下三等的三匹馬、，所有比賽的方式有：、；、；、；、；、；、，一

10、共種.若齊王第一場(chǎng)比賽派上等馬，則第一場(chǎng)比賽田忌必輸，此時(shí)他應(yīng)先派下等馬參加.就會(huì)出現(xiàn)兩種比賽方式：、和、，其中田忌能獲勝的為、，故此時(shí)田忌獲勝的概率最大為.故答案為：.15已知點(diǎn)P是x軸上的任意一點(diǎn)，則的最小值為_.【答案】【分析】如圖，過(guò)B點(diǎn)作傾斜角為的直線，過(guò)點(diǎn)P作，則，從而得，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式求出A到直線的距離，進(jìn)而可求出的最小值，【詳解】如圖，過(guò)B點(diǎn)作傾斜角為的一條直線，過(guò)點(diǎn)P作于，則，即，所以，A到直線的距離，因此的最小值為.故答案為：16在平面四邊形中，且，現(xiàn)沿著把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)P的位置，且，則三棱錐體積的最大值為_.【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)P作于F，連接.過(guò)F作EFPC

11、于E，得到，利用分析法，要使三棱錐的體積最大，只需要三角形PCF的面積最大，只需AF最大.判斷出當(dāng)F為BD中點(diǎn)時(shí)，即可求解.求出三角形PCF的面積，即可求出體積.【詳解】如圖示：過(guò)點(diǎn)P作于F，連接.由題意知，且.所以.又,所以平面.所以，所以當(dāng)最大時(shí)，取得最大值.過(guò)F作EFAC于E.因?yàn)?，所以只需EF最大.在三角形ABD中，所以A在以D、B 為焦點(diǎn)的橢圓上,如圖示：因?yàn)锳FBD，由橢圓的幾何性質(zhì)可得，要使AF最大，只需A為短軸頂點(diǎn)，即AF為短軸的一半.此時(shí)所以.所以，所以，所以.即三棱錐體積的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】立體幾何中求最值的方法：（1）代數(shù)法：建立函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)求最值；（2

12、）幾何法：利用幾何關(guān)系找到取最值時(shí)的條件，直接求最值.三、解答題17的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.(1)求A；(2)若，求a的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合三角形內(nèi)角和，及兩角和的正弦公式即可求解.（2）利用向量數(shù)量積得定義可求得的值，利用余弦定理結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】(1)解：中，由正弦定理知，.，又，.(2)由（1）得，又，解得，中，由余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以a的最小值為.18如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面平面，.(1)若M是的中點(diǎn)，連接，求證：.(2)若，E為邊上的點(diǎn)，滿足，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2

13、)【分析】（1）先證明線線垂直，再證明線面垂直，從而要證明線線垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系后，求出平面的法向量和平面的法向量，再用夾角公式計(jì)算即可.【詳解】(1)連接，.，M是的中點(diǎn)，.又平面平面，平面平面，平面.又平面，.，且平面，平面.又平面，.(2)易得.取的中點(diǎn)N，以的中點(diǎn)M為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為x軸、y軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，.設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，由有，得平面的一個(gè)法向量為.由，得平面的一個(gè)法向量為.設(shè)二面角為，易知為銳角，二面角的余弦值為.19核酸檢測(cè)也就是病毒DNA和RNA的檢測(cè)，是目前病毒檢測(cè)最先進(jìn)的檢驗(yàn)方法，在臨床上主要用于新型冠狀乙肝、丙肝和艾滋

14、病的病毒檢測(cè).通過(guò)核酸檢測(cè)，可以檢測(cè)血液中是否存在病毒核酸，以診斷機(jī)體有無(wú)病原體感染.某研究機(jī)構(gòu)為了提高檢測(cè)效率降低檢測(cè)成本，設(shè)計(jì)了如下試驗(yàn)，預(yù)備12份試驗(yàn)用血液標(biāo)本，其中2份陽(yáng)性，10份陰性，從標(biāo)本中隨機(jī)取出份分為一組，將樣本分成若干組，從每一組的標(biāo)本中各取部分，混合后檢測(cè)，若結(jié)果為陰性，則判定該組標(biāo)本均為陰性，不再逐一檢測(cè)；若結(jié)果為陽(yáng)性，需對(duì)該組標(biāo)本逐一檢測(cè).以此類推，直到確定所有樣本的結(jié)果.若每次檢測(cè)費(fèi)用為元，記檢測(cè)的總費(fèi)用為元.（1）當(dāng)時(shí)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）（）比較與兩種方案哪一個(gè)更好，說(shuō)明理由；（）試猜想100份標(biāo)本中有2份陽(yáng)性，98份陰性時(shí)，和兩種方案哪一個(gè)更好（只需給出

15、結(jié)論不必證明）.【答案】(1)分布列見(jiàn)解析；(2)()的方案更好一些；()的方案更好一些.【分析】(1)2份陽(yáng)性在一組，檢測(cè)7次，各一組，檢測(cè)10次，寫出X的可能值，求出對(duì)應(yīng)的概率即可得解；(2)()由(1)的思路求出檢測(cè)總費(fèi)用Y的數(shù)學(xué)期望并比較大小而得解；()對(duì)和的兩種方案的檢測(cè)次數(shù)的分析即可得解.【詳解】(1)當(dāng)n=3時(shí)，共分4組，當(dāng)2份陽(yáng)性在一組，第一輪檢測(cè)4次，第二輪檢測(cè)3次，共檢測(cè)7次，若2份陽(yáng)性各在一組，第一輪檢測(cè)4次，第二輪檢測(cè)6次，共檢測(cè)10次，檢測(cè)的總費(fèi)用的所有可能值為7a，10a，任意檢測(cè)有種等可能結(jié)果，2份陽(yáng)性在一組有種等可能結(jié)果，所以檢測(cè)的總費(fèi)用的分布列為：X7a10a

16、P的數(shù)學(xué)期望；(2)()當(dāng)n=4時(shí)，共分3組，當(dāng)2份陽(yáng)性在一組，共檢測(cè)7次，若2份陽(yáng)性各在一組，共檢測(cè)11次，檢測(cè)的總費(fèi)用的所有可能值為7a，11a，任意檢測(cè)有種等可能結(jié)果，2份陽(yáng)性在一組有種等可能結(jié)果，所以檢測(cè)的總費(fèi)用的分布列為：Y7a11aP的數(shù)學(xué)期望所以的方案更好一些；()時(shí)檢測(cè)總次數(shù)比n=4時(shí)的少，時(shí)檢測(cè)總次數(shù)比時(shí)的少，猜想的方案更好一些.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：古典概型的概率問(wèn)題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求概率的事件包含的基本事件數(shù)20已知拋物線過(guò)點(diǎn)，直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn).(1)若，求直線l的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作直線和，其中交C于M，N兩點(diǎn)，交C于P，Q兩點(diǎn)，M，P位于x軸的同

17、側(cè)，Q，N位于x軸的同側(cè)，求直線MP與直線QN交點(diǎn)的軌跡方程.【答案】(1)或(2)【分析】（1）利用過(guò)點(diǎn)確定拋物線方程，聯(lián)立l與C的方程，通過(guò)弦長(zhǎng)確定斜率即可得解；（2）設(shè)出直線M，N，P，Q四點(diǎn)坐標(biāo)，表示出直線與的方程，聯(lián)立即可得出交點(diǎn)軌跡方程.【詳解】(1)拋物線過(guò)點(diǎn)，拋物線.聯(lián)立消去x并整理，得，設(shè)，則，.，（舍去）或，.直線l的方程為或.(2)設(shè)，.由（1）可知，.直線的斜率為，直線的方程為，同理，直線的方程為，聯(lián)立化簡(jiǎn)可得，.，.解得，則直線，的交點(diǎn)在直線上，直線，交點(diǎn)的軌跡方程為.21已知函數(shù).(1)求在點(diǎn)處的切線方程；(2)已知關(guān)于x的方程存在兩根，且，證明：.【答案】(1)(

18、2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可得切線的斜率，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程；（2）將變?yōu)槔茫?）構(gòu)造函數(shù)，則的根為，則，進(jìn)而利用函數(shù)的單調(diào)性證明，再利用構(gòu)造函數(shù)結(jié)合其單調(diào)性證明，即可得到，從而證明原不等式.【詳解】(1)由，得當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，,切線方程為，即.(2)證明：方程有兩根，即有兩根，令，設(shè)的根為，則,單調(diào)遞減，且，.在處的切線方程為,令，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，令 ，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，.設(shè)的根為，則，在上單調(diào)遞增，.，即.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題，綜合性強(qiáng)，計(jì)算量大，綜