2022年人教九級上冊期末數(shù)知識點歸納總結(jié)文檔

1、九年級上冊學(xué)問點總結(jié) （數(shù)學(xué)） 2022 年 12 月 第 1 頁,共 19 頁其次十一章 一元二次方程 一元二次方程 學(xué)問點一 一元二次方程的定義 等號兩邊都是整式,只含有一個未知數(shù)（一元） ,并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 2（二次）的方程,叫做一元二次方程； 留意一下幾點： 只含有一個未知數(shù)；未知數(shù)的最高次數(shù)是 學(xué)問點二 一元二次方程的一般形式 2；是整式方程； 2 一般形式： ax bx c 0a 2 0 其中, ax 是二次項, a 是二次項系數(shù)； bx 是 一次項, b 是一次項系數(shù)； c 是常數(shù)項； 學(xué)問點三 一元二次方程的根 使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解,

2、 也叫做一元 二次方程的根；方程的解的定義是解方程過程中驗根的依據(jù)； 降次 解一元二次方程 配方法 學(xué)問點一 直接開平方法解一元二次方程 （1） 假如方程的一邊可以化成含未知數(shù)的代數(shù)式的平方,另一邊是非負(fù)數(shù), 可以直接開平方；一般地,對于形如 2 x aa 0 的方程,依據(jù)平方根的定義可 解得 x1 a x2 a. x2 p或（ mx 2 a）pm 0 形式的方程, （2） 直接開平方法適用于解形如 假如 p0,就可以利用直接開平方法； （3） 用直接開平方法求一元二次方程的根,要正確運用平方根的性質(zhì),即正 數(shù)的平方根有兩個,它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒有平方根； （4） 直接開平方

3、法解一元二次方程的步驟是：移項；使二次項系數(shù)或含 有未知數(shù)的式子的平方項的系數(shù)為 1；兩邊直接開平方, 使原方程變?yōu)閮蓚€一 元二次方程；解一元一次方程,求出原方程的根； 學(xué)問點二 配方法解一元二次方程 通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法, 叫做配方法, 配方的目的是降 次,把一個一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解； 配方法的一般步驟可以總結(jié)為：一移,二除,三配,四開； （ 1） 把常數(shù)項移到等號的右邊； （ 2） 方程兩邊都除以二次項系數(shù)； 第 1 頁 共 19 頁 第 2 頁,共 19 頁（ 3） 方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方,把左邊配成完全平方式； （ 4） 如等號右邊為

4、非負(fù)數(shù),直接開平方求出方程的解； 公式法 學(xué)問點一 公式法解一元二次方程 （ 1） 一般地,對于一元二次方程 2 ax bx c 0 a 0 ,假如 b2 4 ac 0 ,那 么方程的兩個根為 x bb24ac ,這個公式叫做一元二次方程的求根公 2a 式,利用求根公式, 我們可以由一元二方程的系數(shù) 這種解方程的方法叫做公式法； a,b,c 的值直接求得方程的解, （2） 一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程,就是用配方法解一般形式的一元二 次方程 ax 2bx c 0 a 0 的過程； （3） 公式法解一元二次方程的詳細(xì)步驟： 方程化為一般形式： ax2bx c 0a 0 ,一般 a 化為正值 確

5、定公式中 a,b,c 的值,留意符號； 求出 b24ac 的值； b2 4ac 0 ,就 2 如 b 4ac 0 就把 a,b,c 和 b-4ac 的值代入公式即可求解, 方程無實數(shù)根； 學(xué)問點二 一元二次方程根的判別式 式子 b 24ac 叫做方程 ax2bx c 0a 0 根的判別式,通常用希臘字母 表示 它,即 b2 4ac , 2bx c 0a 0 有兩個不相等的實數(shù)根 0 ,方程 ax一元二次 方程根的 =0 ,方程 ax 22bx c 0a 0 有兩個相等的實數(shù)根 判別式 0,方程 axbx c 0 無實數(shù)根 0a 3 因式分解法 第 2 頁 共 19 頁 第 3 頁,共 19 頁

6、學(xué)問點一 因式分解法解一元二次方程 （ 1） 把一元二次方程的一邊化為 0,而另一邊分解成兩個一次因式的積,進(jìn)而 轉(zhuǎn)化為求兩個一元一次方程的解,這種解方程的方法叫做因式分解法； （ 2） 因式分解法的詳細(xì)步驟： 移項,將全部的項都移到左邊,右邊化為 0； 把方程的左邊分解成兩個因式的積,可用的方法有提公因式,平方差公式 和完全平方公式； 令每一個因式分別為零,得到一元一次方程； 解一元一次方程即可得到原方程的解； 學(xué)問點二 用合適的方法解一元一次方程 方法名稱 理論依據(jù) 適用范疇 直接開平方法 平方根的意義 形如 x 2 p或（ mx 2 n ） p p0 配方法 完全平方公式 全部一元二次方

7、程 公式法 因配方法 全部一元二次方程 式分解法 當(dāng) ab=0,就 a=0 或 一邊為 0,另一邊易于分解成兩個一次 b=0 因式的積的一元二次方程； 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（明白） 如一元二次方程 2 x px q0 的兩個根為 x1 , x2 就有 x 1x 2x p , x x 2 q如 一 元 二 次 方 程 2 ax , x 就 有 bx c 0a 0 有 兩 個 實 數(shù) 根 x 1x 2b, x x 2 c aa 實際問題與一元二次方程 學(xué)問點一 列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟： （1） 審：是指讀懂題目,弄清題意,明確哪些是已知量,哪些是未知量以及 它們之間的等量關(guān)系；

8、（2） 設(shè)：是指設(shè)元,也就是設(shè)出未知數(shù)； （3） 列：就是列方程,這是關(guān)鍵步驟 ,一般先找出能夠表達(dá)應(yīng)用題全部含義的 一個相等含義, 然后列代數(shù)式表示這個相等關(guān)系中的各個量, 就得到含有未知數(shù) 的等式,即方程； （4） 解：就是解方程,求出未知數(shù)的值； （5） 驗：是指檢驗方程的解是否保證明際問題有意義,符合題意； （6） 答：寫出答案； 第 3 頁 共 19 頁 第 4 頁,共 19 頁學(xué)問點二 列一元二次方程解應(yīng)用題的幾種常見類型 （ 1） 數(shù)字問題 三個連續(xù)整數(shù)：如設(shè)中間的一個數(shù)為 x,就另兩個數(shù)分別為 x-1,x+1 ； 三個連續(xù)偶數(shù)（奇數(shù)） ：如中間的一個數(shù)為 x,就另兩個數(shù)分別為

9、x-2,x+2； 三位數(shù)的表示方法：設(shè)百位,十位,個位上的數(shù)字分別為 a,b,c,就這個三位數(shù) 是 100a+10b+c. （ 2） 增長率問題 設(shè)初始量為 a,終止量為 b,平均增長率或平均降低率為 x,就經(jīng)過兩次的增長 或降低后的等量關(guān)系為 a1 x 2 b（ 3）利潤問題 利潤問題常用的相等關(guān)系式有：總利潤 潤 總銷售量；利潤 =成本 利潤率 =總銷售價 -總成本；總利潤 =單位利 （ 4）圖形的面積問題 依據(jù)圖形的面積與圖形的邊, 高等相關(guān)元素的關(guān)系, 將圖 形的面積用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示出來,建立一元二次方程； 其次十二章 二次函數(shù) 學(xué)問點一：二次函數(shù)的定義 1. 二次函數(shù)的定義

10、： 一般地, 形如 y ax2bx c（ a ,b ,c 是常數(shù), a 0 ）的函數(shù), 叫做二次函數(shù) 其中 a 是二次項系數(shù), b 是一次項系數(shù), c 是常數(shù)項 學(xué)問點二：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 拋物線的三要素：開口,對稱軸,頂點 22. 二次函數(shù) y a x h k 的圖象與性質(zhì) 2（ 1）二次函數(shù)基本形式 y ax 的圖象與性質(zhì)： a 的確定值越大, 拋物線的開口越 小 第 4 頁 共 19 頁 第 5 頁,共 19 頁（ 2） y 2 ax c 的圖象與性質(zhì)： 上加下減 第 5 頁 共 19 頁 第 6 頁,共 19 頁2（ 3） y a x h 的圖象與性質(zhì)： 左加右減 2（ 4）二次函

11、數(shù) y a x h k 的圖象與性質(zhì) 第 6 頁 共 19 頁 第 7 頁,共 19 頁3. 二次函數(shù) y ax 2bx c 的圖像與性質(zhì) 2b（1）當(dāng) a 0 時,拋物線開口向上,對稱軸為 x b,頂點坐標(biāo)為 2a 2a b ,4ac b 4 a 2 當(dāng) x b時,y 隨 x 的增大而減??； 當(dāng) x b時,y 隨 x 的增大而增大； 當(dāng) x 2a 2a 2a 時, y 有最小值 4ac b2 4a （2）當(dāng) a 0 時,拋物線開口向下, 對稱軸為 x b,頂點坐標(biāo)為 b , 4 ac b2a 4a 2a 當(dāng) x b時,y 隨 x 的增大而增大； 當(dāng) x b時,y 隨 x 的增大而減??； 當(dāng)

12、x b2a 2a 2a 時, y 有最大值 4ac b2 4a 4. 二次函數(shù)常見方法指導(dǎo) （ 1）二次函數(shù) y ax 2bx c 圖象的畫法 畫精確圖 五點繪圖法（列表 - 描點 - 連線） 2 2利用配方法將二次函數(shù) y ax bx c 化為頂點式 y a x h k ,確定其開口方向, 對稱軸及頂點坐標(biāo),然后在對稱軸兩側(cè),左右對稱地描點畫圖 . 畫草圖 抓住以下幾點：開口方向,對稱軸,與 x 軸的交點,頂點 . （ 2）二次函數(shù)圖象的平移 平移步驟： 2 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式 y a x h k ,確定其頂點坐標(biāo) h ,k ； 2 可以由拋物線 y ax 經(jīng)過適當(dāng)?shù)钠揭频玫剑?詳細(xì)

13、平移方法如下： 第 7 頁 共 19 頁 第 8 頁,共 19 頁y=ax 2向上 k0【或向下 k0【或左 h0【或左 h0 【或左 h0 【或下 k0 【或下 k0】平移 |k|個單位 平移規(guī)律：概括成八個字“左加右減,上加下減” （ 3）用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 一般式： . 已知圖象上三點或三對 （ x, y）,的值,通常選擇一般式 . 頂點式： . 已知圖象的頂點或?qū)ΨQ軸,通常選擇頂點式 . 交點式： . 已知圖象與 軸的交點坐標(biāo) , ,通常選擇交點式 . （ 4）求拋物線的頂點,對稱軸的方法 2 2 2公式法： y ax 2bx c a x 2a b 4ac 4a b,頂點是

14、（ 2 a b , ac 44a b）,對稱 軸是直線 x b . 2a 配方法：運用配方的方法,將拋物線的解析式化為 y a x h 2k 的形式,得到頂 點為 h , k ,對稱軸是直線 x h . 運用拋物線的對稱性： 由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形, 所以對稱軸的連 線的垂直平分線是拋物線的對稱軸,對稱軸與拋物線的交點是頂點 . （ 5）拋物線 y ax 2bx c 中, a,b, c 的作用 a 準(zhǔn)備開口方向及開口大小,這與 y ax 2中的 a 完全一樣 . b 和 a 共同準(zhǔn)備拋物線對稱軸的位置 由于拋物線 y ax 2 bx c 的對稱軸是直線 x b,故 2 a 假如

15、b 0 時,對稱軸為 y 軸； 假如 b 0 （即 a , b 同號）時,對稱軸在 y 軸左側(cè)； a假如 b 0 （即 a , b 異號）時,對稱軸在 y 軸右側(cè) . a第 8 頁 共 19 頁 第 9 頁,共 19 頁 c 的大小準(zhǔn)備拋物線 y ax 2 bx c 與 y 軸交點的位置 當(dāng) x 0 時, y c,所以拋物線 y ax2bx c 與 y 軸有且只有一個交點（ 0, c ）,故 假如 c 0 ,拋物線經(jīng)過原點； 假如 c 0 , 與 y 軸交于正半軸； 假如 c 0 , 與 y 軸交于負(fù)半軸 . 學(xué)問點三：二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系 5. 函數(shù) y ax 2 bx c ,當(dāng) y

16、 0 時,得到一元二次方程 ax 2bx c 0 ,那么一元二 次方程的解就是二次函數(shù)的圖象與 x 軸交點的橫坐標(biāo),因此二次函數(shù)圖象與 x 軸的交 點情形準(zhǔn)備一元二次方程根的情形 . 1 當(dāng)二次函數(shù)的圖象與 x 軸有兩個交點, 這時 實根； ,就方程有兩個不相等 2 當(dāng)二次函數(shù)的圖象與 x 軸有且只有一個交點, 這時 ,就方程有兩個 相等實根； 3 當(dāng)二次函數(shù)的圖象與 x 軸沒有交點, 這時 ,就方程沒有 實根 . 通過下面表格可以直觀地觀看到二次函數(shù)圖象和一元二次方程的關(guān)系： 的圖象 方程有兩個相等實數(shù) 的解 方程有兩個不等實數(shù) 解 方程沒有實數(shù)解 解 6. 拓展：關(guān)于直線與拋物線的交點學(xué)問

17、 （ 1） y 軸與拋物線 y 2 ax bx c 得交點為 0, c . bx c 有 且 只 有一 個 交點 （ 2 ）與 y 軸 平 行 的 直線 x h與 拋物 線 y ax 2第 9 頁 共 19 頁 第 10 頁,共 19 頁2 h , ah bh c . （ 3）拋物線與 x 軸的交點 二次函數(shù) y ax 2bx c 的圖像與 x 軸的兩個交點的橫坐標(biāo) x , ,是對 1 x2 應(yīng)一元二次方程 2 ax bx c 0 的兩個實數(shù)根 . 拋物線與 x 軸的交點情形 可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定： 有兩個交點 0拋物線與 x 軸相交； 有一個交點（頂點在 x 軸 0上）

18、沒有交點 0 拋物線與 x 軸相離 . （4）平行于 x 軸的直線與拋物線的交點 拋物線與 x 軸相切； 同（ 3）一樣可能有 0 個交點, 1 個交點, 2 個交點 . 當(dāng)有 2 個交點時,兩 交點的縱坐標(biāo)相等,設(shè)縱坐標(biāo)為 k ,就橫坐標(biāo)是 ax2bx c k 的兩個實 數(shù)根 . （5）一次函數(shù) y kx n k 0的圖像 l 與二次函數(shù) y 2 ax bx c a 0的圖 像 G 的交點,由方程組 y y kx n 的解的數(shù)目來確定： 2 ax bx c 方程組有兩組不同的解時 l 與 G 有兩個交點 ; 方程組只有一組解時 l 與 G 只有一個交點； ax 2bbx c 與 x 軸兩交點

19、 a方程組無解時 l 與 G 沒有交點 . （6）拋物線與 x 軸兩交點之間的距離： 如拋物線 y c 為 A x1,0, B x2,02,由于 x1 , x2 是方程 ax bx 0 的兩個根,故 x1 x2 b, x1 x2 c aa24c b 2 a4ac AB x1 x2 x1 x2 2x1 x2 24x1 x2 aa學(xué)問點四：利用二次函數(shù)解決實際問題 7. 利用二次函數(shù)解決實際問題, 要建立數(shù)學(xué)模型, 即把實際問題轉(zhuǎn)化為二次 函數(shù)問題,利用題中存在的公式,內(nèi)含的規(guī)律等相等關(guān)系,建立函數(shù)關(guān)系式,再 利用函數(shù)的圖象及性質(zhì)去爭論問題 應(yīng)具有實際意義 . . 在爭論實際問題時要留意自變量的取

20、值范疇 利用二次函數(shù)解決實際問題的一般步驟是： 第 10 頁 共 19 頁 第 11 頁,共 19 頁1 建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系； . 2 把實際問題中的一些數(shù)據(jù)與點的坐標(biāo)聯(lián)系起來； 3 用待定系數(shù)法求出拋物線的關(guān)系式； 利用二次函數(shù)4 的圖象及其性質(zhì)去分析問題,解決問題 其次十三章 旋轉(zhuǎn) 圖形的旋轉(zhuǎn) 學(xué)問點一 旋轉(zhuǎn)的定義 在平面內(nèi),把一個平面圖形圍著平面內(nèi)某一點 O 轉(zhuǎn)動一個角度,就叫做圖 形的旋轉(zhuǎn),點 O 叫做旋轉(zhuǎn)中心, 轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角； 我們把旋轉(zhuǎn)中心,旋轉(zhuǎn)角度,旋轉(zhuǎn)方向稱為旋轉(zhuǎn)的三要素； 學(xué)問點二 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì) 旋轉(zhuǎn)的特點：（1）對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等； （ 2）對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中

21、心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角； （ 3）旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等； 懂得以下幾點： （ 1）圖形中的每一個點都繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度； （ 2）對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等,對應(yīng)線段相等,對應(yīng)角相等； （ 3）圖形的大小和形狀都沒有發(fā)生轉(zhuǎn)變,只轉(zhuǎn)變了圖形的位置； 學(xué)問點三 利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)作圖 旋轉(zhuǎn)有兩條重要性質(zhì)：（1）任意一對對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于 旋轉(zhuǎn)角；（2）對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等,它是利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖的關(guān)鍵； 步驟可分為： 連：即連接圖形中每一個關(guān)鍵點與旋轉(zhuǎn)中心； 轉(zhuǎn)：即把直線按要求繞旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)過確定角度（作旋轉(zhuǎn)角） 截：即在角的 另一邊上截取關(guān)鍵點到旋轉(zhuǎn)中心的距離,得到各

22、點的對應(yīng)點； 接：即連接 到所連接的各點； 中心對稱 學(xué)問點一 中心對稱的定義 中心對稱：把一個圖形圍著某一個點旋轉(zhuǎn) 180,假如它能夠與另一個圖形重合, 那么就說這兩個圖形關(guān)于這個點對稱或中心對稱,這個點叫做 對稱中心 ； 留意以下幾點： 中心對稱指的是兩個圖形的位置關(guān)系； 只有一個對稱中心； 繞對稱中心旋轉(zhuǎn) 180兩個圖形能夠完全重合； 學(xué)問點二 作一個圖形關(guān)于某點對稱的圖形 第 11 頁 共 19 頁 第 12 頁,共 19 頁要作出一個圖形關(guān)于某一點成中心對稱的圖形, 關(guān)鍵是作出該圖形上關(guān)鍵點 關(guān)于對稱中心的對稱點； 最終將對稱點依據(jù)原圖形的形狀連接起來, 即可得出成 中心對稱圖形；

23、學(xué)問點三 中心對稱的性質(zhì) 有以下幾點： （ 1）關(guān)于中心對稱的兩個圖形上的對應(yīng)點的連線都經(jīng)過對稱中心,并且都被對 稱中心平分； （ 2） 關(guān)于中心對稱的兩個圖形能夠相互重合,是全等形； （ 3） 關(guān)于中心對稱的兩個圖形,對應(yīng)線段平行（或共線）且相等； 學(xué)問點四 中心對稱圖形的定義 把一個圖形圍著某一個點旋轉(zhuǎn) 180,假如旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原先的圖形 重合,那么這個圖形叫做中心對稱圖形,這個點就是它的對稱中心； 學(xué)問點五 關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo) 在平面直角坐標(biāo)系中, 假如兩個點關(guān)于原點對稱, 它們的坐標(biāo)符號相反, 即 點 p（x,y）關(guān)于原點對稱點為（ -x,-y）； 其次十四章 圓 圓 圓 學(xué)

24、問 點一 圓的定義 圓的定義：第一種：在一個平面內(nèi),線段 OA 繞它固定的一個端點 O 旋轉(zhuǎn)一 周,另一個端點 A 所形成的圖形叫作圓； 固定的端點 O 叫作圓心, 線段 OA 叫 作半徑； 其次種：圓心為 O,半徑為 r 的圓可以看成是全部 到定點 O 的距離等于定長 r 的點的集合； 比較圓的兩種定義可知： 第一種定義是圓的形成進(jìn)行描述的, 其次種是運用集合 的觀點下的定義,但是都說明確定了定點與定長,也就確定了圓； 學(xué)問點二 圓的相關(guān)概念 （ 1） 弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦,經(jīng)過圓心的弦叫作直徑； （ 2） ?。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧,簡稱弧；圓的任意一條直徑的兩個 端點把

25、圓分成兩條弧,每一條弧都叫做半圓； （ 3） 等圓：等夠重合的兩個圓叫做等圓； （ 4） 等?。涸谕瑘A或等圓中,能夠相互重合的弧叫做等?。?弦是線段,弧是 曲線,判定等弧首要的條件是在同圓或等圓中, 只有在同圓或等圓中完全重合的 弧才是等弧,而不是長度相等的?。?垂直于弦的直徑 第 12 頁 共 19 頁 第 13 頁,共 19 頁學(xué)問點一 圓的對稱性 圓是軸對稱圖形,任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸； 學(xué)問點二 垂徑定理 （ 1）垂徑定理： 垂直于弦的直徑平分弦, 并且平分弦所對的兩條??； 如以下圖, 直徑為 CD, AB 是弦,且 CDAB , CA B MD垂足為 M AM BM AC

26、BCAD BD 垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的 兩條弧 如上圖所示,直徑 CD 與非直徑弦 AB 相交于點 M, AM BM CD AB ACBCAD BD 留意：由于圓的兩條直徑必需相互平分, 弦必需不是直徑,否就結(jié)論不成立； 24.1.3 弧,弦,圓心角 學(xué)問點 弦,弧,圓心角的關(guān)所以垂徑定理的推論中, 被平分的 系 （1） 弦,弧,圓心角之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中,相等的圓心角所對 的弧相等,所對的弦也相等； （2） 在同圓或等圓中,假如兩個圓心角,兩條弧,兩條弦中有一組量相等, 那么它們所對應(yīng)的其余的各組量也相等； （3） 留意不能忽視同圓或等圓

27、這個前提條件,假如丟掉這個條件,即使圓心 角相等,所對的弧,弦也不愿定相等,比如兩個同心圓中,兩個圓心角相同,但 此時弧,弦不愿定相等； 圓周角 學(xué)問點一 圓周角定理 （ 1） 圓周角定理：在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等,都等于這 條弧所對的圓心角的一半； 第 13 頁 共 19 頁 第 14 頁,共 19 頁（ 2） 圓周角定理的推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角, 90的圓周角 所對弦是直徑； （ 3） 圓周角定理揭示了同弧或等弧所對的圓周角與圓心角的大小關(guān)系； “同弧 或等弧 ”是不能改為 “同弦或等弦 ”的,否就就不成立了,由于一條弦所對的圓周 角有兩類； 學(xué)問點二 圓

28、內(nèi)接四邊形及其性質(zhì) 圓內(nèi)接多邊形：假如一個多邊形的全部頂點都在同一個圓上,這個多邊形叫 做圓內(nèi)接多邊形,這個圓叫做這個多邊形的外接圓； 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補； 點,直線,圓和圓的位置關(guān)系 點和圓的位置關(guān)系 學(xué)問點一 點與圓的位置關(guān)系 （1） 點與圓的位置關(guān)系有：點在圓外,點在圓上,點在圓內(nèi)三種； （2） 用數(shù)量關(guān)系表示：如設(shè) O 的半徑是 r,點 P 到圓的距離 OP=d,就有： 點 P 在圓外 dr；點 p 在圓上 d=r；點 p 在圓內(nèi) dr； 學(xué)問點二 過已知點作圓 （ 1） 經(jīng)過一個點的圓 以點 A 外的任意一點（如點 圓可以作許多個； （2）經(jīng)過兩點的圓 O）為

29、圓心,以 OA 為半徑作圓即可,這樣的 以線段 AB 的垂直平分線上的任意一點（如點 O）為圓心,以 OA（或 OB） 為半徑作圓即可,這樣的圓可以作許多個； （ 2） 經(jīng)過三點的圓 經(jīng)過在同一條直線上的三個點不能作圓 不在同一條直線上的三個點確定一個圓, 即經(jīng)過不在同一條直線上的三個點 可以作圓, 且只能作一個圓； 如經(jīng)過不在同一條直線上的三個點 A ,B,C 作圓, 作法：連接 AB ,BC（或 AB ,AC 或 BC,AC ）并 作它們的垂直平分線,兩條 垂直平分線相交于點 O,以點 O 為圓心,以 OA（或 OB, OC）的長為半徑作 圓即可,這樣的圓只能作一個； 學(xué)問點三 三角形的外

30、接圓與外心 （1）經(jīng)過三角形三個頂點可以作一個圓,這個圓叫做三角形的外接圓； （2） 外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點,叫做這個三角形的 外心； 學(xué)問點四 反證法 （1） 反證法：假設(shè)命題的結(jié)論不成立,經(jīng)過推理得出沖突,由沖突確定所作 第 14 頁 共 19 頁 第 15 頁,共 19 頁假設(shè)不正確,從而得到原命題成立,這種證明命題的方法叫做反證法； （2） 反證法的一般步驟： 假設(shè)命題的結(jié)論不成立； 從假設(shè)動身,經(jīng)過規(guī)律推理,推出或與定義,或與公理,或與定理,或與已 知等相沖突的結(jié)論； 由沖突判定假設(shè)不正確,從而得出原命題正確； 24.2.2 直線和圓的位置關(guān)系 學(xué)問點一 直線與

31、圓的位置關(guān)系 （ 1）直線與圓的位置關(guān)系有：相交,相切,相離三種； （ 2） 直線與圓的位置關(guān)系可以用數(shù)量關(guān)系表示 如設(shè) O 的半徑是 r,直線 l 與圓心 0 的距離為 d,就有： 直線 l和 O 相交 d r； 相切 d = r； 直線 l和 O 和 O 相離 d r； 直線 l 學(xué)問點二 切線的判定和性質(zhì) （ 1） 切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切 線； （2） 切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點的半徑； （3） 切線的其他性質(zhì)：切線與圓只有一個公共點；切線到圓心的距離等于半 徑；經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必過切點； 過圓心； 學(xué)問點三 切線長定理 必過切

32、點且垂直于切線的直線必經(jīng) （ 1） 切線長的定義：經(jīng)過圓外一點作圓的切線,這點和切點之間的線段的長, 叫做這點到圓的切線長； （2） 切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線,它們的切線長相等,這 一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角； （3） 留意：切線和切線長是兩個完全不同的概念,必需弄清楚切線是直線, 是 不能度量的；切線長是一條線段的長, 這條線段的兩個端點一個是在圓外一點, 另一個是切點； 學(xué)問點四 三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心 （1）三角形的內(nèi)切圓定義：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓；這 個三角形叫做圓的外切三角形； 2 三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心； 3 留意

33、：三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點,所以當(dāng)三角形的內(nèi)心 已知時,過三角形的頂點和內(nèi)心的射線,必平分三角形的內(nèi)角； 第 15 頁 共 19 頁 第 16 頁,共 19 頁圓和圓的位置關(guān)系 學(xué)問點一 圓與圓的位置關(guān)系 （ 1） 圓與圓的位置關(guān)系有五種： 假如兩個圓沒有公共點,就說這兩個圓相離,包括外離和內(nèi)含兩種； 假如兩個圓只有一個公共點,就說這兩個圓相切,包括內(nèi)切和外切兩種； 假如兩個圓有兩個公共點,就說這兩個圓相交； （2） 圓與圓的位置關(guān)系可以用數(shù)量關(guān)系來表示： d,兩圓的半徑分別是 r1 r2,且 r1 r2,就有 兩圓外離 d r1+r2 兩圓外切 d=r1+r2 兩圓相交 r2-

34、r1dr1+r2 兩圓內(nèi)切 d=r2-r1 兩圓內(nèi)含 dr2-r1 正多邊形和圓 學(xué)問點一 正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形 如設(shè)兩圓圓心之間的距離為 正多邊形與圓的關(guān)系特殊親熱,把圓分成 n（ n 是大于 2 的自然數(shù)）等份, 順次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊形, 形的外接圓； 這個圓就是這個正多邊 正多邊形的中心：一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心； 正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑； 正多邊形的中心角：正多邊形每一條邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角； 正多邊形的邊心距：中心到正多邊形一邊的距離叫做正多邊形的邊心距； 學(xué)問點二 正多邊形的性質(zhì)

35、（ 1） 正 n 邊形的半徑和邊心距把正多邊形分成 （ 2） 全部的正多邊形都是軸對稱圖形,每個正 2n 個全等的直角三角形； n 邊形共有 n 條對稱軸,每條 對稱軸都經(jīng)過正 n 邊形的中心；當(dāng)正 n 邊形的邊數(shù)為偶數(shù)時,這個正 n 邊形也 是中心對稱圖形,正 n 邊形的中心就是對稱中心； （3） 正 n 邊形的每一個內(nèi)角等于 （ n 2） 180 n弧長和扇形面積 學(xué)問點一 弧長公式 ln R 180 ,中心角和外角相等, 等于 360 n在半徑為 R的圓中, 360的圓心角所對的弧長就是圓的周長 C=2R,所以 n 的圓心角所對的弧長的運算公式 ln2 R n R ； 360 180 學(xué)問點二 扇形面積公式 第 16 頁 共 19 頁 第 17 頁,共 19 頁在半徑為 R的圓中, 360的圓心角所對的扇形面積就是圓的面積 S R2,所 以圓心角為 n的扇形的面積為 S 扇n R 2 360 ； 形 比較扇形的弧長公式和面積公式發(fā)覺： S 扇nR2n R 1R1lR 所以 S 扇1lR 360 180 222形 形 學(xué)問點三 圓錐的側(cè)面積和全面積 圓錐的側(cè)面積是曲面, 沿著圓錐的一條母線將圓錐的側(cè)面開放, 簡潔得到圓錐的 側(cè)面開放圖是一個扇形；設(shè)圓錐的母線長為 l,底面圓的半徑為 r,那么這個扇 形的半徑為 l,扇形的弧長為 2 ,r