2022年人教九級(jí)上冊(cè)期末數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)文檔

1、九年級(jí)上冊(cè)學(xué)問(wèn)點(diǎn)總結(jié) （數(shù)學(xué)） 2022 年 12 月 第 1 頁(yè),共 19 頁(yè)其次十一章 一元二次方程 一元二次方程 學(xué)問(wèn)點(diǎn)一 一元二次方程的定義 等號(hào)兩邊都是整式,只含有一個(gè)未知數(shù)（一元） ,并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 2（二次）的方程,叫做一元二次方程； 留意一下幾點(diǎn)： 只含有一個(gè)未知數(shù)；未知數(shù)的最高次數(shù)是 學(xué)問(wèn)點(diǎn)二 一元二次方程的一般形式 2；是整式方程； 2 一般形式： ax bx c 0a 2 0 其中, ax 是二次項(xiàng), a 是二次項(xiàng)系數(shù)； bx 是 一次項(xiàng), b 是一次項(xiàng)系數(shù)； c 是常數(shù)項(xiàng)； 學(xué)問(wèn)點(diǎn)三 一元二次方程的根 使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解,

2、 也叫做一元 二次方程的根；方程的解的定義是解方程過(guò)程中驗(yàn)根的依據(jù)； 降次 解一元二次方程 配方法 學(xué)問(wèn)點(diǎn)一 直接開(kāi)平方法解一元二次方程 （1） 假如方程的一邊可以化成含未知數(shù)的代數(shù)式的平方,另一邊是非負(fù)數(shù), 可以直接開(kāi)平方；一般地,對(duì)于形如 2 x aa 0 的方程,依據(jù)平方根的定義可 解得 x1 a x2 a. x2 p或（ mx 2 a）pm 0 形式的方程, （2） 直接開(kāi)平方法適用于解形如 假如 p0,就可以利用直接開(kāi)平方法； （3） 用直接開(kāi)平方法求一元二次方程的根,要正確運(yùn)用平方根的性質(zhì),即正 數(shù)的平方根有兩個(gè),它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根； （4） 直接開(kāi)平方

3、法解一元二次方程的步驟是：移項(xiàng)；使二次項(xiàng)系數(shù)或含 有未知數(shù)的式子的平方項(xiàng)的系數(shù)為 1；兩邊直接開(kāi)平方, 使原方程變?yōu)閮蓚€(gè)一 元二次方程；解一元一次方程,求出原方程的根； 學(xué)問(wèn)點(diǎn)二 配方法解一元二次方程 通過(guò)配成完全平方形式來(lái)解一元二次方程的方法, 叫做配方法, 配方的目的是降 次,把一個(gè)一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)解； 配方法的一般步驟可以總結(jié)為：一移,二除,三配,四開(kāi)； （ 1） 把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊； （ 2） 方程兩邊都除以二次項(xiàng)系數(shù)； 第 1 頁(yè) 共 19 頁(yè) 第 2 頁(yè),共 19 頁(yè)（ 3） 方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方,把左邊配成完全平方式； （ 4） 如等號(hào)右邊為

4、非負(fù)數(shù),直接開(kāi)平方求出方程的解； 公式法 學(xué)問(wèn)點(diǎn)一 公式法解一元二次方程 （ 1） 一般地,對(duì)于一元二次方程 2 ax bx c 0 a 0 ,假如 b2 4 ac 0 ,那 么方程的兩個(gè)根為 x bb24ac ,這個(gè)公式叫做一元二次方程的求根公 2a 式,利用求根公式, 我們可以由一元二方程的系數(shù) 這種解方程的方法叫做公式法； a,b,c 的值直接求得方程的解, （2） 一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過(guò)程,就是用配方法解一般形式的一元二 次方程 ax 2bx c 0 a 0 的過(guò)程； （3） 公式法解一元二次方程的詳細(xì)步驟： 方程化為一般形式： ax2bx c 0a 0 ,一般 a 化為正值 確

5、定公式中 a,b,c 的值,留意符號(hào)； 求出 b24ac 的值； b2 4ac 0 ,就 2 如 b 4ac 0 就把 a,b,c 和 b-4ac 的值代入公式即可求解, 方程無(wú)實(shí)數(shù)根； 學(xué)問(wèn)點(diǎn)二 一元二次方程根的判別式 式子 b 24ac 叫做方程 ax2bx c 0a 0 根的判別式,通常用希臘字母 表示 它,即 b2 4ac , 2bx c 0a 0 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 0 ,方程 ax一元二次 方程根的 =0 ,方程 ax 22bx c 0a 0 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 判別式 0,方程 axbx c 0 無(wú)實(shí)數(shù)根 0a 3 因式分解法 第 2 頁(yè) 共 19 頁(yè) 第 3 頁(yè),共 19 頁(yè)

6、學(xué)問(wèn)點(diǎn)一 因式分解法解一元二次方程 （ 1） 把一元二次方程的一邊化為 0,而另一邊分解成兩個(gè)一次因式的積,進(jìn)而 轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)一元一次方程的解,這種解方程的方法叫做因式分解法； （ 2） 因式分解法的詳細(xì)步驟： 移項(xiàng),將全部的項(xiàng)都移到左邊,右邊化為 0； 把方程的左邊分解成兩個(gè)因式的積,可用的方法有提公因式,平方差公式 和完全平方公式； 令每一個(gè)因式分別為零,得到一元一次方程； 解一元一次方程即可得到原方程的解； 學(xué)問(wèn)點(diǎn)二 用合適的方法解一元一次方程 方法名稱(chēng) 理論依據(jù) 適用范疇 直接開(kāi)平方法 平方根的意義 形如 x 2 p或（ mx 2 n ） p p0 配方法 完全平方公式 全部一元二次方

7、程 公式法 因配方法 全部一元二次方程 式分解法 當(dāng) ab=0,就 a=0 或 一邊為 0,另一邊易于分解成兩個(gè)一次 b=0 因式的積的一元二次方程； 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（明白） 如一元二次方程 2 x px q0 的兩個(gè)根為 x1 , x2 就有 x 1x 2x p , x x 2 q如 一 元 二 次 方 程 2 ax , x 就 有 bx c 0a 0 有 兩 個(gè) 實(shí) 數(shù) 根 x 1x 2b, x x 2 c aa 實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程 學(xué)問(wèn)點(diǎn)一 列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟： （1） 審：是指讀懂題目,弄清題意,明確哪些是已知量,哪些是未知量以及 它們之間的等量關(guān)系；

8、（2） 設(shè)：是指設(shè)元,也就是設(shè)出未知數(shù)； （3） 列：就是列方程,這是關(guān)鍵步驟 ,一般先找出能夠表達(dá)應(yīng)用題全部含義的 一個(gè)相等含義, 然后列代數(shù)式表示這個(gè)相等關(guān)系中的各個(gè)量, 就得到含有未知數(shù) 的等式,即方程； （4） 解：就是解方程,求出未知數(shù)的值； （5） 驗(yàn)：是指檢驗(yàn)方程的解是否保證明際問(wèn)題有意義,符合題意； （6） 答：寫(xiě)出答案； 第 3 頁(yè) 共 19 頁(yè) 第 4 頁(yè),共 19 頁(yè)學(xué)問(wèn)點(diǎn)二 列一元二次方程解應(yīng)用題的幾種常見(jiàn)類(lèi)型 （ 1） 數(shù)字問(wèn)題 三個(gè)連續(xù)整數(shù)：如設(shè)中間的一個(gè)數(shù)為 x,就另兩個(gè)數(shù)分別為 x-1,x+1 ； 三個(gè)連續(xù)偶數(shù)（奇數(shù)） ：如中間的一個(gè)數(shù)為 x,就另兩個(gè)數(shù)分別為

9、x-2,x+2； 三位數(shù)的表示方法：設(shè)百位,十位,個(gè)位上的數(shù)字分別為 a,b,c,就這個(gè)三位數(shù) 是 100a+10b+c. （ 2） 增長(zhǎng)率問(wèn)題 設(shè)初始量為 a,終止量為 b,平均增長(zhǎng)率或平均降低率為 x,就經(jīng)過(guò)兩次的增長(zhǎng) 或降低后的等量關(guān)系為 a1 x 2 b（ 3）利潤(rùn)問(wèn)題 利潤(rùn)問(wèn)題常用的相等關(guān)系式有：總利潤(rùn) 潤(rùn) 總銷(xiāo)售量；利潤(rùn) =成本 利潤(rùn)率 =總銷(xiāo)售價(jià) -總成本；總利潤(rùn) =單位利 （ 4）圖形的面積問(wèn)題 依據(jù)圖形的面積與圖形的邊, 高等相關(guān)元素的關(guān)系, 將圖 形的面積用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示出來(lái),建立一元二次方程； 其次十二章 二次函數(shù) 學(xué)問(wèn)點(diǎn)一：二次函數(shù)的定義 1. 二次函數(shù)的定義

10、： 一般地, 形如 y ax2bx c（ a ,b ,c 是常數(shù), a 0 ）的函數(shù), 叫做二次函數(shù) 其中 a 是二次項(xiàng)系數(shù), b 是一次項(xiàng)系數(shù), c 是常數(shù)項(xiàng) 學(xué)問(wèn)點(diǎn)二：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 拋物線的三要素：開(kāi)口,對(duì)稱(chēng)軸,頂點(diǎn) 22. 二次函數(shù) y a x h k 的圖象與性質(zhì) 2（ 1）二次函數(shù)基本形式 y ax 的圖象與性質(zhì)： a 的確定值越大, 拋物線的開(kāi)口越 小 第 4 頁(yè) 共 19 頁(yè) 第 5 頁(yè),共 19 頁(yè)（ 2） y 2 ax c 的圖象與性質(zhì)： 上加下減 第 5 頁(yè) 共 19 頁(yè) 第 6 頁(yè),共 19 頁(yè)2（ 3） y a x h 的圖象與性質(zhì)： 左加右減 2（ 4）二次函

11、數(shù) y a x h k 的圖象與性質(zhì) 第 6 頁(yè) 共 19 頁(yè) 第 7 頁(yè),共 19 頁(yè)3. 二次函數(shù) y ax 2bx c 的圖像與性質(zhì) 2b（1）當(dāng) a 0 時(shí),拋物線開(kāi)口向上,對(duì)稱(chēng)軸為 x b,頂點(diǎn)坐標(biāo)為 2a 2a b ,4ac b 4 a 2 當(dāng) x b時(shí),y 隨 x 的增大而減?。?當(dāng) x b時(shí),y 隨 x 的增大而增大； 當(dāng) x 2a 2a 2a 時(shí), y 有最小值 4ac b2 4a （2）當(dāng) a 0 時(shí),拋物線開(kāi)口向下, 對(duì)稱(chēng)軸為 x b,頂點(diǎn)坐標(biāo)為 b , 4 ac b2a 4a 2a 當(dāng) x b時(shí),y 隨 x 的增大而增大； 當(dāng) x b時(shí),y 隨 x 的增大而減?。?當(dāng)

12、x b2a 2a 2a 時(shí), y 有最大值 4ac b2 4a 4. 二次函數(shù)常見(jiàn)方法指導(dǎo) （ 1）二次函數(shù) y ax 2bx c 圖象的畫(huà)法 畫(huà)精確圖 五點(diǎn)繪圖法（列表 - 描點(diǎn) - 連線） 2 2利用配方法將二次函數(shù) y ax bx c 化為頂點(diǎn)式 y a x h k ,確定其開(kāi)口方向, 對(duì)稱(chēng)軸及頂點(diǎn)坐標(biāo),然后在對(duì)稱(chēng)軸兩側(cè),左右對(duì)稱(chēng)地描點(diǎn)畫(huà)圖 . 畫(huà)草圖 抓住以下幾點(diǎn)：開(kāi)口方向,對(duì)稱(chēng)軸,與 x 軸的交點(diǎn),頂點(diǎn) . （ 2）二次函數(shù)圖象的平移 平移步驟： 2 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式 y a x h k ,確定其頂點(diǎn)坐標(biāo) h ,k ； 2 可以由拋物線 y ax 經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)钠揭频玫剑?詳細(xì)

13、平移方法如下： 第 7 頁(yè) 共 19 頁(yè) 第 8 頁(yè),共 19 頁(yè)y=ax 2向上 k0【或向下 k0【或左 h0【或左 h0 【或左 h0 【或下 k0 【或下 k0】平移 |k|個(gè)單位 平移規(guī)律：概括成八個(gè)字“左加右減,上加下減” （ 3）用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 一般式： . 已知圖象上三點(diǎn)或三對(duì) （ x, y）,的值,通常選擇一般式 . 頂點(diǎn)式： . 已知圖象的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸,通常選擇頂點(diǎn)式 . 交點(diǎn)式： . 已知圖象與 軸的交點(diǎn)坐標(biāo) , ,通常選擇交點(diǎn)式 . （ 4）求拋物線的頂點(diǎn),對(duì)稱(chēng)軸的方法 2 2 2公式法： y ax 2bx c a x 2a b 4ac 4a b,頂點(diǎn)是

14、（ 2 a b , ac 44a b）,對(duì)稱(chēng) 軸是直線 x b . 2a 配方法：運(yùn)用配方的方法,將拋物線的解析式化為 y a x h 2k 的形式,得到頂 點(diǎn)為 h , k ,對(duì)稱(chēng)軸是直線 x h . 運(yùn)用拋物線的對(duì)稱(chēng)性： 由于拋物線是以對(duì)稱(chēng)軸為軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形, 所以對(duì)稱(chēng)軸的連 線的垂直平分線是拋物線的對(duì)稱(chēng)軸,對(duì)稱(chēng)軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn) . （ 5）拋物線 y ax 2bx c 中, a,b, c 的作用 a 準(zhǔn)備開(kāi)口方向及開(kāi)口大小,這與 y ax 2中的 a 完全一樣 . b 和 a 共同準(zhǔn)備拋物線對(duì)稱(chēng)軸的位置 由于拋物線 y ax 2 bx c 的對(duì)稱(chēng)軸是直線 x b,故 2 a 假如

15、b 0 時(shí),對(duì)稱(chēng)軸為 y 軸； 假如 b 0 （即 a , b 同號(hào)）時(shí),對(duì)稱(chēng)軸在 y 軸左側(cè)； a假如 b 0 （即 a , b 異號(hào)）時(shí),對(duì)稱(chēng)軸在 y 軸右側(cè) . a第 8 頁(yè) 共 19 頁(yè) 第 9 頁(yè),共 19 頁(yè) c 的大小準(zhǔn)備拋物線 y ax 2 bx c 與 y 軸交點(diǎn)的位置 當(dāng) x 0 時(shí), y c,所以拋物線 y ax2bx c 與 y 軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（ 0, c ）,故 假如 c 0 ,拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)； 假如 c 0 , 與 y 軸交于正半軸； 假如 c 0 , 與 y 軸交于負(fù)半軸 . 學(xué)問(wèn)點(diǎn)三：二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系 5. 函數(shù) y ax 2 bx c ,當(dāng) y

16、 0 時(shí),得到一元二次方程 ax 2bx c 0 ,那么一元二 次方程的解就是二次函數(shù)的圖象與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),因此二次函數(shù)圖象與 x 軸的交 點(diǎn)情形準(zhǔn)備一元二次方程根的情形 . 1 當(dāng)二次函數(shù)的圖象與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn), 這時(shí) 實(shí)根； ,就方程有兩個(gè)不相等 2 當(dāng)二次函數(shù)的圖象與 x 軸有且只有一個(gè)交點(diǎn), 這時(shí) ,就方程有兩個(gè) 相等實(shí)根； 3 當(dāng)二次函數(shù)的圖象與 x 軸沒(méi)有交點(diǎn), 這時(shí) ,就方程沒(méi)有 實(shí)根 . 通過(guò)下面表格可以直觀地觀看到二次函數(shù)圖象和一元二次方程的關(guān)系： 的圖象 方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù) 的解 方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù) 解 方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解 解 6. 拓展：關(guān)于直線與拋物線的交點(diǎn)學(xué)問(wèn)

17、 （ 1） y 軸與拋物線 y 2 ax bx c 得交點(diǎn)為 0, c . bx c 有 且 只 有一 個(gè) 交點(diǎn) （ 2 ）與 y 軸 平 行 的 直線 x h與 拋物 線 y ax 2第 9 頁(yè) 共 19 頁(yè) 第 10 頁(yè),共 19 頁(yè)2 h , ah bh c . （ 3）拋物線與 x 軸的交點(diǎn) 二次函數(shù) y ax 2bx c 的圖像與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo) x , ,是對(duì) 1 x2 應(yīng)一元二次方程 2 ax bx c 0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 . 拋物線與 x 軸的交點(diǎn)情形 可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定： 有兩個(gè)交點(diǎn) 0拋物線與 x 軸相交； 有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在 x 軸 0上）

18、沒(méi)有交點(diǎn) 0 拋物線與 x 軸相離 . （4）平行于 x 軸的直線與拋物線的交點(diǎn) 拋物線與 x 軸相切； 同（ 3）一樣可能有 0 個(gè)交點(diǎn), 1 個(gè)交點(diǎn), 2 個(gè)交點(diǎn) . 當(dāng)有 2 個(gè)交點(diǎn)時(shí),兩 交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等,設(shè)縱坐標(biāo)為 k ,就橫坐標(biāo)是 ax2bx c k 的兩個(gè)實(shí) 數(shù)根 . （5）一次函數(shù) y kx n k 0的圖像 l 與二次函數(shù) y 2 ax bx c a 0的圖 像 G 的交點(diǎn),由方程組 y y kx n 的解的數(shù)目來(lái)確定： 2 ax bx c 方程組有兩組不同的解時(shí) l 與 G 有兩個(gè)交點(diǎn) ; 方程組只有一組解時(shí) l 與 G 只有一個(gè)交點(diǎn)； ax 2bbx c 與 x 軸兩交點(diǎn)

19、 a方程組無(wú)解時(shí) l 與 G 沒(méi)有交點(diǎn) . （6）拋物線與 x 軸兩交點(diǎn)之間的距離： 如拋物線 y c 為 A x1,0, B x2,02,由于 x1 , x2 是方程 ax bx 0 的兩個(gè)根,故 x1 x2 b, x1 x2 c aa24c b 2 a4ac AB x1 x2 x1 x2 2x1 x2 24x1 x2 aa學(xué)問(wèn)點(diǎn)四：利用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題 7. 利用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題, 要建立數(shù)學(xué)模型, 即把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次 函數(shù)問(wèn)題,利用題中存在的公式,內(nèi)含的規(guī)律等相等關(guān)系,建立函數(shù)關(guān)系式,再 利用函數(shù)的圖象及性質(zhì)去爭(zhēng)論問(wèn)題 應(yīng)具有實(shí)際意義 . . 在爭(zhēng)論實(shí)際問(wèn)題時(shí)要留意自變量的取

20、值范疇 利用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟是： 第 10 頁(yè) 共 19 頁(yè) 第 11 頁(yè),共 19 頁(yè)1 建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系； . 2 把實(shí)際問(wèn)題中的一些數(shù)據(jù)與點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)； 3 用待定系數(shù)法求出拋物線的關(guān)系式； 利用二次函數(shù)4 的圖象及其性質(zhì)去分析問(wèn)題,解決問(wèn)題 其次十三章 旋轉(zhuǎn) 圖形的旋轉(zhuǎn) 學(xué)問(wèn)點(diǎn)一 旋轉(zhuǎn)的定義 在平面內(nèi),把一個(gè)平面圖形圍著平面內(nèi)某一點(diǎn) O 轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度,就叫做圖 形的旋轉(zhuǎn),點(diǎn) O 叫做旋轉(zhuǎn)中心, 轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角； 我們把旋轉(zhuǎn)中心,旋轉(zhuǎn)角度,旋轉(zhuǎn)方向稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)的三要素； 學(xué)問(wèn)點(diǎn)二 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì) 旋轉(zhuǎn)的特點(diǎn)：（1）對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等； （ 2）對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中

21、心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角； （ 3）旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等； 懂得以下幾點(diǎn)： （ 1）圖形中的每一個(gè)點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度； （ 2）對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等,對(duì)應(yīng)線段相等,對(duì)應(yīng)角相等； （ 3）圖形的大小和形狀都沒(méi)有發(fā)生轉(zhuǎn)變,只轉(zhuǎn)變了圖形的位置； 學(xué)問(wèn)點(diǎn)三 利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)作圖 旋轉(zhuǎn)有兩條重要性質(zhì)：（1）任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于 旋轉(zhuǎn)角；（2）對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等,它是利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖的關(guān)鍵； 步驟可分為： 連：即連接圖形中每一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心； 轉(zhuǎn)：即把直線按要求繞旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)過(guò)確定角度（作旋轉(zhuǎn)角） 截：即在角的 另一邊上截取關(guān)鍵點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離,得到各

22、點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)； 接：即連接 到所連接的各點(diǎn)； 中心對(duì)稱(chēng) 學(xué)問(wèn)點(diǎn)一 中心對(duì)稱(chēng)的定義 中心對(duì)稱(chēng)：把一個(gè)圖形圍著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 180,假如它能夠與另一個(gè)圖形重合, 那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱(chēng)或中心對(duì)稱(chēng),這個(gè)點(diǎn)叫做 對(duì)稱(chēng)中心 ； 留意以下幾點(diǎn)： 中心對(duì)稱(chēng)指的是兩個(gè)圖形的位置關(guān)系； 只有一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心； 繞對(duì)稱(chēng)中心旋轉(zhuǎn) 180兩個(gè)圖形能夠完全重合； 學(xué)問(wèn)點(diǎn)二 作一個(gè)圖形關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的圖形 第 11 頁(yè) 共 19 頁(yè) 第 12 頁(yè),共 19 頁(yè)要作出一個(gè)圖形關(guān)于某一點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)的圖形, 關(guān)鍵是作出該圖形上關(guān)鍵點(diǎn) 關(guān)于對(duì)稱(chēng)中心的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)； 最終將對(duì)稱(chēng)點(diǎn)依據(jù)原圖形的形狀連接起來(lái), 即可得出成 中心對(duì)稱(chēng)圖形；

23、學(xué)問(wèn)點(diǎn)三 中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì) 有以下幾點(diǎn)： （ 1）關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)中心,并且都被對(duì) 稱(chēng)中心平分； （ 2） 關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形能夠相互重合,是全等形； （ 3） 關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形,對(duì)應(yīng)線段平行（或共線）且相等； 學(xué)問(wèn)點(diǎn)四 中心對(duì)稱(chēng)圖形的定義 把一個(gè)圖形圍著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 180,假如旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原先的圖形 重合,那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱(chēng)圖形,這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱(chēng)中心； 學(xué)問(wèn)點(diǎn)五 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo) 在平面直角坐標(biāo)系中, 假如兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng), 它們的坐標(biāo)符號(hào)相反, 即 點(diǎn) p（x,y）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（ -x,-y）； 其次十四章 圓 圓 圓 學(xué)

24、問(wèn) 點(diǎn)一 圓的定義 圓的定義：第一種：在一個(gè)平面內(nèi),線段 OA 繞它固定的一個(gè)端點(diǎn) O 旋轉(zhuǎn)一 周,另一個(gè)端點(diǎn) A 所形成的圖形叫作圓； 固定的端點(diǎn) O 叫作圓心, 線段 OA 叫 作半徑； 其次種：圓心為 O,半徑為 r 的圓可以看成是全部 到定點(diǎn) O 的距離等于定長(zhǎng) r 的點(diǎn)的集合； 比較圓的兩種定義可知： 第一種定義是圓的形成進(jìn)行描述的, 其次種是運(yùn)用集合 的觀點(diǎn)下的定義,但是都說(shuō)明確定了定點(diǎn)與定長(zhǎng),也就確定了圓； 學(xué)問(wèn)點(diǎn)二 圓的相關(guān)概念 （ 1） 弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦,經(jīng)過(guò)圓心的弦叫作直徑； （ 2） 弧：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧,簡(jiǎn)稱(chēng)?。粓A的任意一條直徑的兩個(gè) 端點(diǎn)把

25、圓分成兩條弧,每一條弧都叫做半圓； （ 3） 等圓：等夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓； （ 4） 等弧：在同圓或等圓中,能夠相互重合的弧叫做等?。?弦是線段,弧是 曲線,判定等弧首要的條件是在同圓或等圓中, 只有在同圓或等圓中完全重合的 弧才是等弧,而不是長(zhǎng)度相等的?。?垂直于弦的直徑 第 12 頁(yè) 共 19 頁(yè) 第 13 頁(yè),共 19 頁(yè)學(xué)問(wèn)點(diǎn)一 圓的對(duì)稱(chēng)性 圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形,任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱(chēng)軸； 學(xué)問(wèn)點(diǎn)二 垂徑定理 （ 1）垂徑定理： 垂直于弦的直徑平分弦, 并且平分弦所對(duì)的兩條弧； 如以下圖, 直徑為 CD, AB 是弦,且 CDAB , CA B MD垂足為 M AM BM AC

26、BCAD BD 垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的 兩條弧 如上圖所示,直徑 CD 與非直徑弦 AB 相交于點(diǎn) M, AM BM CD AB ACBCAD BD 留意：由于圓的兩條直徑必需相互平分, 弦必需不是直徑,否就結(jié)論不成立； 24.1.3 弧,弦,圓心角 學(xué)問(wèn)點(diǎn) 弦,弧,圓心角的關(guān)所以垂徑定理的推論中, 被平分的 系 （1） 弦,弧,圓心角之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中,相等的圓心角所對(duì) 的弧相等,所對(duì)的弦也相等； （2） 在同圓或等圓中,假如兩個(gè)圓心角,兩條弧,兩條弦中有一組量相等, 那么它們所對(duì)應(yīng)的其余的各組量也相等； （3） 留意不能忽視同圓或等圓

27、這個(gè)前提條件,假如丟掉這個(gè)條件,即使圓心 角相等,所對(duì)的弧,弦也不愿定相等,比如兩個(gè)同心圓中,兩個(gè)圓心角相同,但 此時(shí)弧,弦不愿定相等； 圓周角 學(xué)問(wèn)點(diǎn)一 圓周角定理 （ 1） 圓周角定理：在同圓或等圓中,同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等,都等于這 條弧所對(duì)的圓心角的一半； 第 13 頁(yè) 共 19 頁(yè) 第 14 頁(yè),共 19 頁(yè)（ 2） 圓周角定理的推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角, 90的圓周角 所對(duì)弦是直徑； （ 3） 圓周角定理揭示了同弧或等弧所對(duì)的圓周角與圓心角的大小關(guān)系； “同弧 或等弧 ”是不能改為 “同弦或等弦 ”的,否就就不成立了,由于一條弦所對(duì)的圓周 角有兩類(lèi)； 學(xué)問(wèn)點(diǎn)二 圓

28、內(nèi)接四邊形及其性質(zhì) 圓內(nèi)接多邊形：假如一個(gè)多邊形的全部頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上,這個(gè)多邊形叫 做圓內(nèi)接多邊形,這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的外接圓； 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)； 點(diǎn),直線,圓和圓的位置關(guān)系 點(diǎn)和圓的位置關(guān)系 學(xué)問(wèn)點(diǎn)一 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 （1） 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有：點(diǎn)在圓外,點(diǎn)在圓上,點(diǎn)在圓內(nèi)三種； （2） 用數(shù)量關(guān)系表示：如設(shè) O 的半徑是 r,點(diǎn) P 到圓的距離 OP=d,就有： 點(diǎn) P 在圓外 dr；點(diǎn) p 在圓上 d=r；點(diǎn) p 在圓內(nèi) dr； 學(xué)問(wèn)點(diǎn)二 過(guò)已知點(diǎn)作圓 （ 1） 經(jīng)過(guò)一個(gè)點(diǎn)的圓 以點(diǎn) A 外的任意一點(diǎn)（如點(diǎn) 圓可以作許多個(gè)； （2）經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的圓 O）為

29、圓心,以 OA 為半徑作圓即可,這樣的 以線段 AB 的垂直平分線上的任意一點(diǎn)（如點(diǎn) O）為圓心,以 OA（或 OB） 為半徑作圓即可,這樣的圓可以作許多個(gè)； （ 2） 經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的圓 經(jīng)過(guò)在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)不能作圓 不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓, 即經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn) 可以作圓, 且只能作一個(gè)圓； 如經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn) A ,B,C 作圓, 作法：連接 AB ,BC（或 AB ,AC 或 BC,AC ）并 作它們的垂直平分線,兩條 垂直平分線相交于點(diǎn) O,以點(diǎn) O 為圓心,以 OA（或 OB, OC）的長(zhǎng)為半徑作 圓即可,這樣的圓只能作一個(gè)； 學(xué)問(wèn)點(diǎn)三 三角形的外

30、接圓與外心 （1）經(jīng)過(guò)三角形三個(gè)頂點(diǎn)可以作一個(gè)圓,這個(gè)圓叫做三角形的外接圓； （2） 外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn),叫做這個(gè)三角形的 外心； 學(xué)問(wèn)點(diǎn)四 反證法 （1） 反證法：假設(shè)命題的結(jié)論不成立,經(jīng)過(guò)推理得出沖突,由沖突確定所作 第 14 頁(yè) 共 19 頁(yè) 第 15 頁(yè),共 19 頁(yè)假設(shè)不正確,從而得到原命題成立,這種證明命題的方法叫做反證法； （2） 反證法的一般步驟： 假設(shè)命題的結(jié)論不成立； 從假設(shè)動(dòng)身,經(jīng)過(guò)規(guī)律推理,推出或與定義,或與公理,或與定理,或與已 知等相沖突的結(jié)論； 由沖突判定假設(shè)不正確,從而得出原命題正確； 24.2.2 直線和圓的位置關(guān)系 學(xué)問(wèn)點(diǎn)一 直線與

31、圓的位置關(guān)系 （ 1）直線與圓的位置關(guān)系有：相交,相切,相離三種； （ 2） 直線與圓的位置關(guān)系可以用數(shù)量關(guān)系表示 如設(shè) O 的半徑是 r,直線 l 與圓心 0 的距離為 d,就有： 直線 l和 O 相交 d r； 相切 d = r； 直線 l和 O 和 O 相離 d r； 直線 l 學(xué)問(wèn)點(diǎn)二 切線的判定和性質(zhì) （ 1） 切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切 線； （2） 切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑； （3） 切線的其他性質(zhì)：切線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；切線到圓心的距離等于半 徑；經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必過(guò)切點(diǎn)； 過(guò)圓心； 學(xué)問(wèn)點(diǎn)三 切線長(zhǎng)定理 必過(guò)切

32、點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng) （ 1） 切線長(zhǎng)的定義：經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線,這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng), 叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)； （2） 切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線,它們的切線長(zhǎng)相等,這 一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角； （3） 留意：切線和切線長(zhǎng)是兩個(gè)完全不同的概念,必需弄清楚切線是直線, 是 不能度量的；切線長(zhǎng)是一條線段的長(zhǎng), 這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)一個(gè)是在圓外一點(diǎn), 另一個(gè)是切點(diǎn)； 學(xué)問(wèn)點(diǎn)四 三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心 （1）三角形的內(nèi)切圓定義：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓；這 個(gè)三角形叫做圓的外切三角形； 2 三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心； 3 留意

33、：三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn),所以當(dāng)三角形的內(nèi)心 已知時(shí),過(guò)三角形的頂點(diǎn)和內(nèi)心的射線,必平分三角形的內(nèi)角； 第 15 頁(yè) 共 19 頁(yè) 第 16 頁(yè),共 19 頁(yè)圓和圓的位置關(guān)系 學(xué)問(wèn)點(diǎn)一 圓與圓的位置關(guān)系 （ 1） 圓與圓的位置關(guān)系有五種： 假如兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn),就說(shuō)這兩個(gè)圓相離,包括外離和內(nèi)含兩種； 假如兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn),就說(shuō)這兩個(gè)圓相切,包括內(nèi)切和外切兩種； 假如兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn),就說(shuō)這兩個(gè)圓相交； （2） 圓與圓的位置關(guān)系可以用數(shù)量關(guān)系來(lái)表示： d,兩圓的半徑分別是 r1 r2,且 r1 r2,就有 兩圓外離 d r1+r2 兩圓外切 d=r1+r2 兩圓相交 r2-

34、r1dr1+r2 兩圓內(nèi)切 d=r2-r1 兩圓內(nèi)含 dr2-r1 正多邊形和圓 學(xué)問(wèn)點(diǎn)一 正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形 如設(shè)兩圓圓心之間的距離為 正多邊形與圓的關(guān)系特殊親熱,把圓分成 n（ n 是大于 2 的自然數(shù)）等份, 順次連接各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形, 形的外接圓； 這個(gè)圓就是這個(gè)正多邊 正多邊形的中心：一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心； 正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑； 正多邊形的中心角：正多邊形每一條邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角； 正多邊形的邊心距：中心到正多邊形一邊的距離叫做正多邊形的邊心距； 學(xué)問(wèn)點(diǎn)二 正多邊形的性質(zhì)

35、（ 1） 正 n 邊形的半徑和邊心距把正多邊形分成 （ 2） 全部的正多邊形都是軸對(duì)稱(chēng)圖形,每個(gè)正 2n 個(gè)全等的直角三角形； n 邊形共有 n 條對(duì)稱(chēng)軸,每條 對(duì)稱(chēng)軸都經(jīng)過(guò)正 n 邊形的中心；當(dāng)正 n 邊形的邊數(shù)為偶數(shù)時(shí),這個(gè)正 n 邊形也 是中心對(duì)稱(chēng)圖形,正 n 邊形的中心就是對(duì)稱(chēng)中心； （3） 正 n 邊形的每一個(gè)內(nèi)角等于 （ n 2） 180 n弧長(zhǎng)和扇形面積 學(xué)問(wèn)點(diǎn)一 弧長(zhǎng)公式 ln R 180 ,中心角和外角相等, 等于 360 n在半徑為 R的圓中, 360的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)就是圓的周長(zhǎng) C=2R,所以 n 的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)的運(yùn)算公式 ln2 R n R ； 360 180 學(xué)問(wèn)點(diǎn)二 扇形面積公式 第 16 頁(yè) 共 19 頁(yè) 第 17 頁(yè),共 19 頁(yè)在半徑為 R的圓中, 360的圓心角所對(duì)的扇形面積就是圓的面積 S R2,所 以圓心角為 n的扇形的面積為 S 扇n R 2 360 ； 形 比較扇形的弧長(zhǎng)公式和面積公式發(fā)覺(jué)： S 扇nR2n R 1R1lR 所以 S 扇1lR 360 180 222形 形 學(xué)問(wèn)點(diǎn)三 圓錐的側(cè)面積和全面積 圓錐的側(cè)面積是曲面, 沿著圓錐的一條母線將圓錐的側(cè)面開(kāi)放, 簡(jiǎn)潔得到圓錐的 側(cè)面開(kāi)放圖是一個(gè)扇形；設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為 l,底面圓的半徑為 r,那么這個(gè)扇 形的半徑為 l,扇形的弧長(zhǎng)為 2 ,r