應(yīng)用回歸分析證明題及答案

1、 應(yīng)用回歸分析證明題及答案工xe0。iii1證明殘差滿足的約束條件：Le0,ii1證明：由偏導(dǎo)方程即得該結(jié)論：IBl-2L（y.-卩0-卩產(chǎn)）0吧沁,=101黑-2L（y.-,-卩嚴(yán)）x0丐，廣,=101 # 證畢.二.證明平方和分解式：SSTSSR+SSE。證明：SST=L(yy)2=L(yy+yy)2iiiii1i1=L(yy)2+L(yy)2+2L(yy)(yy)iiiiiii1i1i1上式第三項(xiàng)2LeyLeyIiii.i1i1=2,Le+,LL0i1=iLe(,+,x)-0i01ii1e+,Lxei1ii丿i10即SST=工(yy)2+工(y一y)2iii1SSR+SSEi1證畢.三.

2、證明三種檢驗(yàn)的關(guān)系（1）t=rElG孤h一r2,L1_=t2G2證明：由于n一2n一2SSR2r2SST, 所以，ssr一Trr，yyssr/1SSE/(n-2)32L1x.02證畢.四.證明：Var(e)=i證明：由于于是11(x-x)21一一一Jn乙(x-x)2ie=y-y=y-(卩+卩x)iiii01i=y-y卩(x-x)1工y-一ii=y-丄藝ini=1(x.-無(wú))y.(-)iL(x-x)LixxVar(e)=Vary-1工ini=1=Var(y)+Var(工in2i=1yy廠LxxyVari“-2Covy丄工ini=1(x.-無(wú))y,(_)ii(x-x)i工(x-無(wú))yii(x-x)

3、Liyxx(x-x)yiJ(x-x)iy-2Covy,i1y工(x-x)y乙y,；匚(x-x)niLii=1xx1(x-x)21x-x)2=02O2iO2一2O2一2iO2nLnxx1(x-x)21，i-nLxxiLxx+2Cov五.證明：在一元回歸中，Cov(B,B)=-丄O2。01Lxx證明：Lxx證畢. 六證明：Cov(,)=Cov01=Cov=CovLi=1i=1Li=11_xni=1x=O2LxxSSEnp1工(x-x)yiiLxx1_(x-X)xinL丿XX1-(xx)xinL丿XX(xx)(xx)iL丿XX工(x-X)yiiLxx(xx)y,*yiLii=1xx(xx)y,七ii

4、=1LyixxiO2Lxx證畢.是誤差項(xiàng)方差o2的無(wú)偏估計(jì)。 # #證明：由于而所以D(e)=i11(xx)21一一一Jn乙(xx)2iE(e2)=D(e)+(E(e)2=D(e)iiii E(02)=E、SSE工E(e2)np1ii=1=工D(e)=工(1h)o2np1inp1iii=1i=1 =(np1)o2=o2np1證畢.七.證明：E()=；D()=o2(X”X)-1。證明：E()=E(XX)-1Xy)=(XX)-1X”E(y=(X”X)1X”E(X+)=(XX)-1XXD()=Cov(,)=Cov(XX)-1Xy,(XX)-1Xy-=(XX)-1XCov(y,y)X(XX)-1=(X

5、X)-1X,2IX(XX)-1=,2(XX)-1證畢.證明：在多元線性回歸中，假設(shè)N(0,21),則隨機(jī)向量yN(X,21)。nn證明：當(dāng)yN(X,21)時(shí)，貝V：n(1)N(,2(XX)-1)；(2)SSE/,22(n-p-1)。證明：因?yàn)?(XX)-1Xy,X是固定的設(shè)計(jì)矩陣，因此，是y的線性變換。又當(dāng)N(0,21)時(shí)，有隨機(jī)向量yN(X,21)，所以服從正態(tài)分布，且nnE()=,D()=,2(XX)-1，即有N(,2(XX)-1)。：由于SSE=ee=(y-y)(y-y)=(I-H)y】(I-H)y=y(I-H)y=yNy=(X+)N(X+)NX=0N借助于定理：設(shè)XN(0,1)，A為n

6、xn對(duì)稱陣，秩為r,則當(dāng)A滿足：A2=A，n二次型XA2X2，只需證明：rk(N)=np1即可。r因?yàn)镹是冪等陣，所以有rk(N)=tr(N)，故rk(N)=trI-X(XX)-1X=n-tr(X(XX)-1X)=n-tr(XX)-1XX=n-p-1證畢.十證明：在多元線性回歸中，最小二乘估計(jì)與殘差向量e不相關(guān)，即 十證明：在多元線性回歸中，最小二乘估計(jì)與殘差向量e不相關(guān)，即 #Cov(,e)0。證明：十證明：在多元線性回歸中，最小二乘估計(jì)與殘差向量e不相關(guān)，即 #Cov(,e)Cov(XX)-1Xy,(I-H)y(XX)-iXCov(y,y)(I-H丫(XX)-iXc2I(I-H)(XX)-iXd2I(I-X(XX)-iX)0證畢.2nee一證明：DW2(1-p)，其中ptt-1-4=2Z2t-1t=2十證明：在多元線性回歸中，最小二乘估計(jì)與殘差向量e不相關(guān)，即 #證明：由于十證明：在多元線性回歸中，最小二乘估計(jì)與殘差向量e不相關(guān)，即 #2(e-e)2tt-1DW亠2ne2tt2藝e2+2e22藝eett-1tt-1t21三212e2tt2十證明：在多元線性回歸中，最小二乘估計(jì)與殘差向量e不相關(guān)，即 #十證明：在多元線性回歸中，最小二乘估計(jì)與殘差向量e不相關(guān)，即 2nee如果認(rèn)為2e22e2，則有p誼，所以2e2tt2tt2e2t-1t2DW22neett-1