高中數(shù)學(xué)選修2-2配人教A版-課后習(xí)題word-第一章　導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.5.3　定積分的概念

1、1.5.3定積分的概念課后篇鞏固提升基礎(chǔ)鞏固1.定積分ab f(x)dx的大小() A.與f(x)和積分區(qū)間a,b有關(guān),與i的取法無(wú)關(guān)B.與f(x)有關(guān),與區(qū)間a,b以及i的取法無(wú)關(guān)C.與f(x)以及i的取法有關(guān),與區(qū)間a,b無(wú)關(guān)D.與f(x)、區(qū)間a,b和i的取法都有關(guān)解析由定積分定義及求曲邊梯形面積的四個(gè)步驟知A正確.答案A2.設(shè)f(x)是a,b上的連續(xù)函數(shù),則ab f(x)dx-ab f(t)dt的值()A.大于零B.等于零C.小于零D.不能確定解析定積分的值只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān),與積分變量用什么字母表示無(wú)關(guān).ab f(x)dx和ab f(t)dt都表示曲線y=f(x)與x=a,x

2、=b及y=0所圍成的曲邊梯形的面積,它們的值相等,故選B.答案B3.設(shè)f(x)=x2,x0,2x,x0,則-11 f(x)dx的值是()A.-11 x2dxB.-11 2xdxC.-10 x2dx+01 2xdxD.-10 2xdx+01 x2dx解析-11 f(x)dx=-10 f(x)dx+01 f(x)dx=-10 2xdx+01 x2dx.答案D4.由函數(shù)y=-x的圖象,直線x=1,x=0,y=0所圍成的圖形的面積可表示為()A.01 (-x)dxB.01 |-x|dxC.-10 xdxD.-01 xdx解析圍成圖形如圖,由定積分的幾何意義可知,所求圖形面積S=-01 (-x)dx=0

3、1 |-x|dx,故選B.答案B5.已知定義在R上的函數(shù)f(x)與g(x),若函數(shù)f(x)為偶函數(shù),函數(shù)g(x)為奇函數(shù),且0a f(x)dx=6,則-aa f(x)+2g(x)dx=.解析函數(shù)f(x)為偶函數(shù),函數(shù)g(x)為奇函數(shù),函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).-aa f(x)dx=20a f(x)dx=12,-aa g(x)dx=0,-aa f(x)+2g(x)dx=-aa f(x)dx+2-aa g(x)dx=12.答案126.已知ab f(x)+g(x)dx=3,ab f(x)-g(x)dx=1,則ac 2f(x)dx+cb 2f(x)dx=(其中ac

4、1,x+1,0 x1,求02 f(x)dx.解f(x)=-2x+4,x1,x+1,0 x1,02 f(x)dx=01 (x+1)dx+12 (-2x+4)dx.由定積分的幾何意義得01 (x+1)dx=12(1+2)1=32,12 (-2x+4)dx=1212=1,故02 f(x)dx=32+1=52.9.求證:1201 xdx1.證明如圖,01 xdx表示圖中陰影部分面積,OAB的面積是12,正方形OABC的面積是1,顯然,OAB的面積陰影部分面積正方形OABC的面積,即1201 xdx0D.若f(x)在a,b上連續(xù)且ab f(x)dx0,則f(x)在a,b上恒正解析A項(xiàng),因?yàn)閒(x)是奇函

5、數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),所以x軸上方的面積和x軸下方的面積相等,故積分是0,所以A項(xiàng)正確;B項(xiàng),因?yàn)閒(x)是偶函數(shù),圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),故y軸兩側(cè)的圖象都在x軸上方或下方且面積相等,故B項(xiàng)正確;由定積分的幾何意義知,C項(xiàng)顯然正確;D項(xiàng),f(x)也可以小于0,但必須有大于0的部分,且 f(x)0的曲線圍成的面積比f(wàn)(x)01 x2dx.答案01 xdx01 x2dx5.02 4-(x-2)2-xdx=.解析02 4-(x-2)2dx表示圓心在(2,0),半徑等于2的圓的面積的14,即02 4-(x-2)2dx=1422=.02 xdx表示底和高都為2的直角三角形的面積.即02 xdx=1222=2

6、.原式=02 4-(x-2)2dx-02 xdx=-2.答案-26.將limn+1n+1+1n+2+12n表示為定積分為.解析由定積分的定義limn+1n+1+1n+2+12n=limn+i=1n1in+11n=limn+i=1nnn+i1n=01 11+xdx.答案01 11+xdx7.利用定積分的定義,計(jì)算01 (x2+2)dx.解把區(qū)間0,1分成n等份,分別為0,1n,1n,2n,i-1n,in,n-1n,1,小區(qū)間的長(zhǎng)度為x=1n,取i=in(i=1,2,n),作和i=1nf(i)x=i=1n(i2+2)x=i=1nin2+21n=1n3i=1ni2+2=161+1n2+1n+2.因?yàn)閤=1n,當(dāng)x0時(shí),n,所以01 (x2+2)dx=limx0i=1nf(i)x=limn161+1n2+1n+2=13+2=73.8.利用定積分的幾何意義求-3232 1-x2dx.解由y=1-x2可知,x2+y2=1(y0)的圖象為如圖所示的半圓,由定積分的幾何意義知-3232 1-x2dx