高中數(shù)學(xué)選修2-2配北師版-課后習(xí)題版第一章　§1　歸納與類比

1、第一章DIYIZHANG推理與證明1歸納與類比課后篇鞏固提升A組1.下列圖形都是由同樣大小的正方形按一定的規(guī)律組成,其中第1個圖形由1個小正方形組成,第2個圖形由3個小正方形組成,第3個圖形由7個小正方形組成,第4個圖形由13個小正方形組成,那么第8個圖形中小正方形的個數(shù)是() A.72B.73C.57D.58解析因為第1個圖形中的小正方形個數(shù)為1;第2個圖形中的小正方形個數(shù)為1+2=3;第3個圖形中的小正方形個數(shù)為1+2+4=7;第4個圖形中的小正方形個數(shù)為1+2+4+6=13;所以第8個圖形中的小正方形個數(shù)為1+2+4+6+8+10+12+14=57.故選C.答案C2.下列幾種推理中是合情

2、推理的是()由圓的性質(zhì)類比出球的有關(guān)性質(zhì).由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和均為180,歸納出所有三角形的內(nèi)角和均為180.教室內(nèi)有一把椅子壞了,猜想該教室內(nèi)所有的椅子都壞了.由a1=1,a2=3,a3=5,a4=7,歸納出數(shù)列an的通項公式為an=2n-1.A.B.C.D.解析是類比推理,是歸納推理,故都是合情推理.答案C3.下面使用類比推理恰當(dāng)?shù)氖?)A.“若a3=b3,則a=b”類比推出“若a0=b0,則a=b”B.“(a+b)c=ac+bc”類比推出“(ab)c=acbc”C.“(a+b)c=ac+bc”類比推出“a+bc=ac+bc(c0)”D.“(ab)n=anbn”類比

3、推出“(a+b)n=an+bn”答案C4.已知數(shù)對如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),則第60個數(shù)對是()A.(3,8)B.(4,7)C.(4,8)D.(5,7)解析由前面的幾個數(shù)對不難發(fā)現(xiàn),數(shù)對中兩數(shù)之和為2的有1個,為3的有2個,為4的有3個,為11的有10個,則根據(jù)數(shù)對規(guī)律可推出第56個數(shù)對為(1,11),往下的數(shù)對依次為(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),(6,6),.故選D.答案D5.在平面直角坐標(biāo)系中,點(x0,y0)到直線Ax+By+C=0的距離d=|A

4、x0+By0+C|A2+B2,類比可得在空間直角坐標(biāo)系中,點(2,3,4)到平面x+2y+2z-4=0的距離為()A.4B.5C.163D.203解析類比可得,點(x0,y0,z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距離為d=|Ax0+By0+Cz0+D|A2+B2+C2,故點(2,3,4)到平面x+2y+2z-4=0的距離d=|2+23+24-4|12+22+22=4.故選A.答案A6.若數(shù)列an是等差數(shù)列,則數(shù)列bn=an+1+an+2+an+mm(mN*)也為等差數(shù)列,類比上述性質(zhì),相應(yīng)地,若正項數(shù)列cn是等比數(shù)列,則數(shù)列dn=也是等比數(shù)列.答案mcn+1cn+2cn+m7.觀察下列等式:

5、sin30+sin90cos30+cos90=3,sin15+sin75cos15+cos75=1,sin20+sin40cos20+cos40=33.照此規(guī)律,對于一般的角,有等式.解析根據(jù)等式的特點,發(fā)現(xiàn)tan30+902=3,tan 15+752=1,tan 20+402=33,故對于一般的角,的等式為sin+sincos+cos=tan+2.答案sin+sincos+cos=tan+28.閱讀以下求1+2+3+n(nN+)的過程:因為(n+1)2-n2=2n+1,n2-(n-1)2=2(n-1)+1,22-12=21+1,以上各式相加得(n+1)2-12=2(1+2+n)+n,所以1+

6、2+3+n=n2+2n-n2=n(n+1)2.類比上述過程,可得12+22+32+n2=(nN+).解析因為(n+1)3-n3=3n2+3n+1,n3-(n-1)3=3(n-1)2+3(n-1)+1,23-13=312+31+1,以上各式相加得(n+1)3-13=3(12+22+n2)+3(1+2+n)+n,所以12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1)6.答案n(n+1)(2n+1)69.已知數(shù)列an滿足a1=1,anan+1=nn+1(nN+).(1)求a2,a3,a4,a5,并猜想通項公式an;(2)根據(jù)(1)中的猜想,有下面的數(shù)陣:S1=a1S2=a2+a3S3=a4+a5+a6

7、S4=a7+a8+a9+a10S5=a11+a12+a13+a14+a15試求S1,S1+S3,S1+S3+S5,并猜想S1+S3+S5+S2n-1的值.解(1)因為a1=1,由anan+1=nn+1,知an+1=n+1nan,故a2=2,a3=3,a4=4,a5=5,可歸納猜想出an=n(nN+).(2)根據(jù)(1)中的猜想,數(shù)陣為:S1=1S2=2+3=5S3=4+5+6=15S4=7+8+9+10=34S5=11+12+13+14+15=65故S1=1=14S1+S3=1+15=16=24S1+S3+S5=1+15+65=81=34可猜想S1+S3+S5+S2n-1=n4.10.在RtAB

8、C中,C=90,當(dāng)n2時,有cnan+bn成立,請你類比直角三角形的這個性質(zhì),猜想一下空間四面體的性質(zhì).解如圖,與RtABC對應(yīng)的是四面體P-DEF;與RtABC的兩條邊交成一個直角相對應(yīng)的是四面體P-DEF的三個面在一個頂點D處構(gòu)成3個直二面角;與RtABC直角邊a,b相對應(yīng)的是四面體P-DEF的平面DEF,FPD,DPE的面積S1,S2,S3;與RtABC的斜邊c相對應(yīng)的是四面體P-DEF的平面PEF的面積S.由此猜想:當(dāng)n2時,SnS1n+S2n+S3n.B組1.已知點P(10,3)在橢圓C:x2a2+y299=1上.若點N(x0,y0)在圓M:x2+y2=r2上,則圓M過點N的切線方程

9、為x0 x+y0y=r2.由此類比得橢圓C在點P處的切線方程為()A.x33+y11=1B.x110+y99=1C.x11+y33=1D.x99+y110=1解析因為點P(10,3)在橢圓C:x2a2+y299=1上,故可得100a2+999=1,解得a2=110.由類比可得橢圓C在點P處的切線方程為10 x110+3y99=1,整理可得x11+y33=1.故選C.答案C2.如圖,坐標(biāo)紙上的每個單元格的邊長為1,由下往上的六個點1,2,3,4,5,6的橫、縱坐標(biāo)分別對應(yīng)數(shù)列annN+的前12項(即橫坐標(biāo)為奇數(shù)項,縱坐標(biāo)為偶數(shù)項),按如此規(guī)律下去,則a2 013+a2 014+a2 015=()

10、A.1 006B.1 007C.1 008D.2 015解析觀察點的坐標(biāo)可知,偶數(shù)項的值等于其項數(shù)的一半,則a4n-3=n,a4n-1=-n,a2n=n,2 013=4504-3,2 015=4504-1,a2 013=504,a2 015=-504,a2 014=1 007.a2 013+a2 014+a2 015=1 007.答案B3.記等差數(shù)列an的前n項和為Sn,利用倒序求和法,可將Sn表示成首項a1,末項an與項數(shù)n的一個關(guān)系式,即Sn=n(a1+an)2;類似地,記等比數(shù)列bn的前n項積為Tn,且bn0(nN+),試類比等差數(shù)列求和的方法,可將Tn表示成首項b,末項bn與項數(shù)n的一

11、個關(guān)系式,即Tn=()A.n(b1+bn)2B.(b1+bn)n2C.nb1bnD.(b1bn)n2解析利用等比數(shù)列的性質(zhì),若m+n=p+q,則bmbn=bpbq,利用倒序求積法可得Tn=b1b2bn,Tn=bnbn-1b1,兩式相乘得Tn2=(b1bn)n,故Tn=(b1bn)n2.答案D4.觀察下列式子:1+12232,1+122+13253,1+122+132+14274,根據(jù)以上式子可以猜想:1+122+132+12 0212.解析由已知的式子:1+12232,1+122+13253,1+122+132+14274,1+122+132+1n22n-1n,故可得1+122+132+12

12、02124 0412 021.答案4 0412 0215.在長方形ABCD中,對角線AC與兩鄰邊所成的角分別為,則cos2+cos2=1,請在立體幾何中,給出類比猜想.分析由平面幾何中的長方形可聯(lián)想到立體幾何中的長方體,如圖.解在長方形ABCD中,cos2+cos2=ac2+bc2=a2+b2c2=c2c2=1.于是類比到長方體中,猜想其體對角線與共頂點的三條棱所成的角分別為,則cos2+cos2+cos2=1.證明如下:cos2+cos2+cos2=ml2+nl2+gl2=m2+n2+g2l2=l2l2=1.6.一種十字繡作品由相同的小正方形構(gòu)成,圖分別是制作該作品前四步所對應(yīng)的圖案,按照如

13、此規(guī)律,第n步完成時對應(yīng)圖案中所包含小正方形的個數(shù)記為f(n).(1)求出f(2),f(3),f(4),f(5)的值;(2)利用歸納推理,歸納出f(n+1)與f(n)的關(guān)系式;(3)猜想f(n)的表達式,并寫出推導(dǎo)過程.解(1)圖中只有一個小正方形,得f(1)=1;圖中有3層,以第2層為對稱軸,有1+3+1=5(個)小正方形,得f(2)=5;圖中有5層,以第3層為對稱軸,有1+3+5+3+1=13(個)小正方形,得f(3)=13;圖中有7層,以第4層為對稱軸,有1+3+5+7+5+3+1=25(個)小正方形,得f(4)=25;第五步所對應(yīng)的圖案中有9層,以第5層為對稱軸,有1+3+5+7+9+7+5+3+1=41(個)小正方形,得f(5)=41.(2)f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25,f(5)=41,f(2)-f(1)=4=41,f(3)-f(2)=8=42,f(4)-f(3)=12=43,f(5)-f(4)=16=44,f(n+1)-