對(duì)數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)-知識(shí)點(diǎn)及題型歸納

1、-高考明方向1.理解對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)；了解對(duì)數(shù)在簡(jiǎn)化運(yùn)算中的作用2.理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，理解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握對(duì)數(shù)函數(shù)圖象通過(guò)的特殊點(diǎn)3.知道對(duì)數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型4.了解指數(shù)函數(shù)yax與對(duì)數(shù)函數(shù)ylogx互為反函數(shù)(a0，a且a1)備考知考情通過(guò)對(duì)近幾年高考試題的統(tǒng)計(jì)分析可以看出，本節(jié)內(nèi)容-.可修編.-在高考中屬于必考內(nèi)容，且占有重要的分量，主要以選擇題的形式命題，也有填空題和解答題主要考查對(duì)數(shù)運(yùn)算、換底公式等及對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)對(duì)數(shù)函數(shù)與冪、指數(shù)函數(shù)結(jié)合考查，利用單調(diào)性比較大小、解不等式是高考的熱點(diǎn).一、知識(shí)梳理名師一號(hào)

2、P27注意：知識(shí)點(diǎn)一對(duì)數(shù)及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)1.對(duì)數(shù)的概念一般地，對(duì)于指數(shù)式abN，我們把“以a為底N的對(duì)數(shù)b”記作logN，即blogN(a0，且a1)其中，數(shù)a叫做對(duì)aa數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)，讀作“b等于以a為底N的對(duì)數(shù)”-.可修編.-注意：(補(bǔ)充)關(guān)注定義-指對(duì)互化的依據(jù)2對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則(1)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則如果a0且a1，M0，N0，那么log(MN)logMlogN；aaalogMaNlogMlogN；aamlogMnnlogM(nR)；aanlogmMnlogM.aa(2)對(duì)數(shù)的性質(zhì)alogaNN；logaNN(a0，且a1)a-.可修編.-(3)對(duì)數(shù)的重要公式-換底公式：logN

3、(a，b均大于零且不等于1)；logb1，推廣logblogclogdlogd.logNablogbaalogaabcab注意：(補(bǔ)充)特殊結(jié)論:log10,loga1aa知識(shí)點(diǎn)二對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)（注意定義域!）a10a0，a1，N0)a11練習(xí):(補(bǔ)充)已知3a5bk,ab答案:k152求k例3.名師一號(hào)P28高頻考點(diǎn)例1(2)-.可修編.-logx，x0，已知函數(shù)f(x)則f(f(1)flog的值32是()23x1，x0，1A5B3C1D.72因?yàn)閒(1)log10，所以f(f(1)f(0)2.2因?yàn)閘og0，所以flog3323211log132131213.

4、所以f(f(1)flog235.32log231-.可修編.-二、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)的應(yīng)用例1.(補(bǔ)充)求下列函數(shù)的定義域(1)ylog(4x3).0.5(2)ylog(x1)(164x)log(4x3)0解析：(1)由函數(shù)定義知：4x313即0，0.54x304-.可修編.故原函數(shù)的定義域是x|x1x2即1x0(2)由函數(shù)有意義知x11164x0 x1x0故原函數(shù)的定義域?yàn)閤|1x0，或0 x0恒成立，a24a04a0，即a的X圍為(4,0)例2.名師一號(hào)P27對(duì)點(diǎn)自測(cè)5(2014XX卷)函數(shù)f(x)log為_(kāi)2xlog2(2x)的最小值-.可修編.-解析根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，f(x)log2

5、xlog2(2x)logx2log(2x)logx(1logx)(logx)2logx2424logx2，當(dāng)x時(shí)，函數(shù)取得最小值.1222222211212注意：換元后“新元”的取值X圍練習(xí)：1、求下列函數(shù)的值域-.可修編.（2）f(x)log2x3logx22x22解析令tlogx，x21t1.當(dāng)t1，即x時(shí)，y9.-（1）ylog1(x22x4)5答案1，)122122函數(shù)化為yt26t2(t3)271t1.12max當(dāng)t1，即x2時(shí)，y3，min函數(shù)的值域?yàn)?,9.2、已知集合yylogx22axaR-.可修編.-XX數(shù)a的取值X圍-分析當(dāng)且僅當(dāng)f(x)x2axa的值能夠取遍一切正實(shí)數(shù)時(shí)

6、，ylog2(x2axa)的值域才為R.而當(dāng)0恒成立，僅僅說(shuō)明函數(shù)定義域?yàn)镽，而f(x)不一定能取遍一切正實(shí)數(shù)(一個(gè)不漏)要使f(x)能取遍一切正實(shí)數(shù)，作為二次函數(shù)，f(x)圖像應(yīng)與x軸有交點(diǎn)(但此時(shí)定義域不再為R)正解要使函數(shù)ylog2(x2axa)的值域?yàn)镽，應(yīng)使f(x)x2axa能取遍一切正數(shù)，要使f(x)x2axa能取遍一切正實(shí)數(shù)，應(yīng)有a24a0，a0或a4，所求a的取值X圍為(，40，)-.可修編.已知a0且a1，則函數(shù)ylog(x2015)2的圖象-例3.（1）名師一號(hào)P27對(duì)點(diǎn)自測(cè)4a恒過(guò)定點(diǎn)_解析令x20151，即x2014時(shí)，y2，故其圖象恒過(guò)定點(diǎn)(2014,2)練習(xí):-.可

7、修編.-無(wú)論a取何正數(shù)(a1)，函數(shù)ylogax33恒過(guò)定點(diǎn)【答案】4,3注意：對(duì)數(shù)函數(shù)ylogxa0,且a1圖象都經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(1,0)aylogx，ylogx的圖象，則a、b、c、d例3.（2）(補(bǔ)充)如右下圖是對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax，ylogbx，cd與1的大小關(guān)系是()Aab1cdBba1dcC1abcd-.可修編.-Dab1dc-【答案】B在上圖中畫(huà)出直線y1，分別與、交于A(a,1)、B(b,1)、C(c,1)、D(d,1)，由圖可知cd1a0，-則該直線與圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為底數(shù)a。例3.（3）名師一號(hào)P28高頻考點(diǎn)例2(1)a且a1)的圖象如圖所示，則下列函數(shù)圖象正確的是()ABC

8、D答案：B.-.可修編.-例4.名師一號(hào)P28高頻考點(diǎn)例3已知函數(shù)f(x)log(ax22x3)4(1)若f(1)1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使f(x)的最小值為0？若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由解析:(1)f(1)1，log(a5)1，因此a54，a1.4這時(shí)f(x)log(x22x3)4由x22x30得1x0，因此應(yīng)有3a1a1，1解得a.1故存在實(shí)數(shù)a使f(x)的最小值為0.-.可修編.-練習(xí)：溫故知新P32第5題三、比較大小例1.名師一號(hào)P29特色專題典例，則()AabcBbacCacbDcab【規(guī)X解答】方法1：在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)ylogx，y2l

9、ogx，ylogx的圖象，如圖所示34-.可修編.-由圖象知：log3.4log21033log3.6.4333方法2：log1010log31，且3.4，3log1033log3.4log3.4.32log3.61，log3.6log21033log3.6.4由于y5x為增函數(shù)，故acb.注意：名師一號(hào)P28問(wèn)題探究問(wèn)題3比較冪、對(duì)數(shù)大小有兩種常用方法：數(shù)形結(jié)合；找中間量結(jié)合函數(shù)單調(diào)性練習(xí):1、若0 xy1，則()A3y3xBlog3log3xy-.可修編.44-11ClogxlogyD.xy44444解析：0 xy1，由y3u為增函數(shù)知3x3y，排除A；logu在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，3l

10、ogxlogylog3，B錯(cuò)33xy由ylogu為增函數(shù)知logxy，排除D.答案：C-.可修編.aaaa-2、對(duì)于0a1，給出下列四個(gè)不等式1log(1a)log(1)；aa1111a1aa.其中成立的是()A與B與C與D與解析：由于0a1a1alog(1)，a1aa.-11aaa選D.四、對(duì)數(shù)方程與不等式例1.(1)(補(bǔ)充)方程log(x210)1logx的解是_33答案x5解析原方程化為log(x210)log(3x)，由于logx333在(0，)上嚴(yán)格單增，則x2103x，解之得x5，x122.要使logx有意義，應(yīng)有x0，x5.3-.可修編.注意：-依據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)恒單調(diào)求解。已知函數(shù)f

11、xlog2xx0例1.(2)溫故知新P32第9題3xx0，且關(guān)于x的方程fxxa0有且只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值X圍是練習(xí)：溫故知新P31第5、6題溫故知新P29第10題-.可修編.-A0 x1BxC0 xD.x1例2.（1）(補(bǔ)充)已知0a1，log(1x)logx則()aa111222分析：底數(shù)相同，真數(shù)不同，可利用對(duì)數(shù)函數(shù)ylogx的單a調(diào)性脫去對(duì)數(shù)符號(hào)轉(zhuǎn)化為整式不等式求解解析：0a0原不等式化為x01xx1，解得0 x.-.可修編.-例2.(2)(補(bǔ)充)設(shè)0a1，函數(shù)f(x)log(a2x2ax2)，則使f(x)0的xa取值X圍是()A(，0)B(0，)C(，log3)D(log3，

12、)aa解析：0a1log(a2x2ax2)1a2x2ax30ax3或ax1(舍)xlog3，故選C.a-.可修編.注意：-當(dāng)0 x時(shí)，4xlogx，則a的取值X圍是()22關(guān)于含對(duì)數(shù)式(或指數(shù)式)的不等式求解，一般都是用單調(diào)性或換元法求解例2.（3）名師一號(hào)P28高頻考點(diǎn)例2(2)12a22A.0，B.，1C(1，2)D(2，2)21解析：由題意得，當(dāng)0a1時(shí)，要使得4xlogx0 x，a-.可修編.2-1即當(dāng)0 x時(shí)，函數(shù)y4x的圖象在函數(shù)ylogx圖象的下a方122，即函數(shù)y4x的圖象過(guò)點(diǎn)，2，1又當(dāng)x時(shí)，42122把點(diǎn)，2代入函數(shù)ylogx，得a，若函數(shù)y4x的圖12a2象在函數(shù)ylog

13、x圖象的下方，則需2a2a1時(shí)，不符合題意，舍去-.可修編.2-2所以實(shí)數(shù)a的取值X圍是，1.答案：B.練習(xí):當(dāng)x(1,2)時(shí)，不等式(x1)2logx恒成立，則實(shí)數(shù)aa的取值X圍是_。分析：若將不等號(hào)兩邊分別設(shè)成兩個(gè)函數(shù)，則左邊為二次函數(shù)，圖象是拋物線，yy1=(x-1P-1.可修編.02y2=logax只需f(2)f(2)即可。故，a1-右邊為常見(jiàn)的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，故可以通過(guò)觀察圖象求解。解：設(shè)f(x)(x1)2，f(x)logx，12a則f(x)的圖象為右圖1所示的拋物線，要使對(duì)一切x(1,2)，f(x)f(x)恒成立，a1,12觀察圖象得：log21a21取值X圍是a1a2。變式:名師

14、一號(hào)P28變式思考2(2)不等式logx(x1)2恰有三個(gè)整數(shù)解，則a的取值X圍a為()-.可修編.-A165，94B165，91694)C(1，5D(1,4log441則應(yīng)滿足得5a(x1)2恰有三個(gè)整數(shù)解，畫(huà)出示意圖a可知a1，其整數(shù)解為2,3,4，2，169aa答案:B-.可修編.-五、反函數(shù)的概念例1.(補(bǔ)充)已知函數(shù)f(x)2x1(x0)，記f(x)的反函數(shù)為f15(x)，那么f1()()44451A.B4C.D244分析：利用函數(shù)f(x)及其反函數(shù)f1(x)的關(guān)系求解55解析：設(shè)f1()a，則f(a)，-.可修編.4-52a1，a2.注意：如果點(diǎn)(a，b)在反函數(shù)yf1(x)的圖象

15、上，則點(diǎn)(b，a)在原來(lái)函數(shù)的圖象上；互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線yx對(duì)稱例2.(補(bǔ)充)函數(shù)ylg(x1)的反函數(shù)的圖象為()-.可修編.-解析：函數(shù)ylg(x1)的圖象過(guò)點(diǎn)(0,0)，故反函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)(0,0)，排除A、B、C，選D.五個(gè)點(diǎn)M(1,1)，N(1,2)，P(2,1)，Q(2,2)，G(2，)中，“世博練習(xí)：如果一個(gè)點(diǎn)是一個(gè)指數(shù)函數(shù)的圖象與一個(gè)同底的對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的公共點(diǎn)，那么稱這個(gè)點(diǎn)為“世博點(diǎn)”在下面的12點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為()A0個(gè)B1個(gè)C2個(gè)D3個(gè)-.可修編.-答案B解析指數(shù)函數(shù)與同底的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于直線yx對(duì)稱，故若它們有交點(diǎn)，則交點(diǎn)一定在直線yx上，而M(1,1)不適

16、合題意，故只有點(diǎn)Q滿足題意計(jì)時(shí)雙基練P226培優(yōu)第1題六、指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合問(wèn)題第11周周練第13題設(shè)a1,則當(dāng)yax與ylogx兩個(gè)函數(shù)圖像有且只有一個(gè)a公共點(diǎn)時(shí),lnlna-.可修編.-答案:-1第11周周練第10題課后作業(yè)一、計(jì)時(shí)雙基練P225基礎(chǔ)1-9課本P28變式思考1、2、3；二、計(jì)時(shí)雙基練P226基礎(chǔ)10、11；培優(yōu)1-4課本P29對(duì)應(yīng)訓(xùn)練1、2-.可修編.-預(yù)習(xí)第二章第五節(jié)冪函數(shù)與二次函數(shù)補(bǔ)充練習(xí)1:已知函數(shù)y4x32x3的值域?yàn)?,7，則x的X圍是（）A.2,4B.(,0)C.(0,1)2,4D.,01,2答案:D-.可修編.-練習(xí)2:已知方程9x23x3k10有兩個(gè)實(shí)數(shù)解

17、，試XX數(shù)k的取值X圍解析令t3x，則t0.原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，即方程t22t3k10有兩個(gè)正實(shí)數(shù)解，則(2)4(3k1)0tt3k10解得012121233，-.可修編.-練習(xí)3:對(duì)任意的xR,(1)(4m5)x24x3(1)4mxm2x2恒成立，求m的X33圍.3由解：011題意即對(duì)任意的或1m19m1xR,(4m5)x24x34mxm2x2恒成立即對(duì)任意的xR,(m24m5)x2(44m)x30恒成立m24m50m24m50或(44m)212(m24m5)044m0m1或m5m1或m51m19-.可修編.-練習(xí)4:已知函數(shù)y1xlg(34xx2)的定義域?yàn)镸，1x（1）求M（2）當(dāng)xM時(shí)，求f(x)a2x234x(a3)的最小值.1x解(1)由題可得1x0且x134xx20可解得M1,1)(2)f(x)a2x234x=3(2x2a)24a233-.可修編.-x1,1),12x2，,2a3，2a32若2a1，即a3時(shí)，f(x)=f(1)=2a，3244所以