磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積問(wèn)題202209

1、磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積問(wèn)題考題中屢次出現(xiàn)求磁場(chǎng)的最小范圍問(wèn)題，這類題對(duì)學(xué)生的平面幾何知識(shí)與物理知識(shí)的綜合運(yùn)用能力要求較高。其難點(diǎn)在于帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡不是完整的圓，其進(jìn)入邊界未知的磁場(chǎng)后一般只運(yùn)動(dòng)一段圓弧后就飛出磁場(chǎng)邊界，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的臨界點(diǎn)如運(yùn)動(dòng)形式的轉(zhuǎn)折點(diǎn)、軌跡的切點(diǎn)、磁場(chǎng)的邊界點(diǎn)等難以確定。下面我們以實(shí)例對(duì)此類問(wèn)題進(jìn)行分析。一、磁場(chǎng)范圍為圓形1、一帶電質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為m，電荷量為q，以平行于x軸的速度v從y軸上的a點(diǎn)射入如下圖的第一象限所示的區(qū)域、為了使該質(zhì)點(diǎn)能從x軸上的b點(diǎn)以垂直于x軸的速度v射出，可在適當(dāng)?shù)胤郊右粋€(gè)垂直于xOy平面磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)假設(shè)此磁場(chǎng)僅分布在一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，試求這

2、個(gè)圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小半徑，重力忽略不計(jì)2、2022北京朝陽(yáng)一模，23題18分如下圖，在真空室中平面直角坐標(biāo)系的y軸豎直向上，x軸上的P點(diǎn)與Q點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱，PQ間的距離d=30cm。坐標(biāo)系所在空間存在一勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)的大小E=1.0N/C。一帶電油滴在xOy平面內(nèi)，從P點(diǎn)與x軸成30的夾角射出，該油滴將做勻速直線運(yùn)動(dòng)，油滴的速度v=2.0m/s射出，所帶電荷量q=1.010-7C，重力加速度為g=10m/s2。1求油滴的質(zhì)量m。2假設(shè)在空間疊加一個(gè)垂直于xOy平面的圓形有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，使油滴通過(guò)Q點(diǎn)，且其運(yùn)動(dòng)軌跡關(guān)于y軸對(duì)稱。磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B=2.0T，求：a油滴在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

3、t；b圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積S。2、【答案】見(jiàn)解析【 解析】1對(duì)帶電油滴進(jìn)行受力分析，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律有所以kg4分2帶電油滴進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其軌跡如下圖，設(shè)其做勻速圓周運(yùn)動(dòng)設(shè)圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R、運(yùn)動(dòng)周期為T、油滴在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，根據(jù)牛頓第二定律： 所以m 所以s設(shè)帶電油滴從M點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，從N點(diǎn)射出磁場(chǎng)，由于油滴的運(yùn)動(dòng)軌跡關(guān)于y軸對(duì)稱，如下圖，根據(jù)幾何關(guān)系可知，所以，帶電油滴在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間s 由題意可知，油滴在P到M和N到Q的過(guò)程中做勻速直線運(yùn)動(dòng)，且運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等。根據(jù)幾何關(guān)系可知，所以油滴在P到M和N到Q過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間s 那么油滴從P到Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間s8分3連接MN，當(dāng)MN為圓形磁場(chǎng)

4、的直徑時(shí)，圓形磁場(chǎng)面積最小，如下圖。根據(jù)幾何關(guān)系圓形磁場(chǎng)的半徑m其面積為m2 m2 6分3、一質(zhì)量為m、帶電量為q的粒子以速度v0從O點(diǎn)沿y軸的正方向射入磁感強(qiáng)度為B的一圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)方向垂直于紙面，粒子飛出磁場(chǎng)區(qū)域后，從b處穿過(guò)x軸，速度方向與x軸正方向夾角為30，如下圖，粒子的重力不計(jì)，試求：圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積。粒子從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域到達(dá)b點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間。b點(diǎn)的坐標(biāo)。 解析：此題可以這樣作軌跡示意圖：反向延長(zhǎng)過(guò)b點(diǎn)的速度線為了方便以下稱為vt線與v0線的延長(zhǎng)線相交成一夾角，做該角的角平分線交x軸于O1點(diǎn)，O1點(diǎn)就是粒子作圓周運(yùn)動(dòng)的圓心。過(guò)O1點(diǎn)作vt線的垂線O1B，連接OB交前

5、面所作角平分線于O2點(diǎn)，O2點(diǎn)就是所求最小圓形磁場(chǎng)區(qū)域的圓心，OO2就是該圓形磁場(chǎng)區(qū)域的半徑，如下圖。設(shè)帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R，由洛倫茲力提供向心力有：， 從圖6中的幾何關(guān)系可知，圓形磁場(chǎng)區(qū)域的半徑為：故最小面積為：。粒子從O點(diǎn)到A點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速度方向偏轉(zhuǎn)了，故在此過(guò)程中所需時(shí)間為：粒子從A飛到b是勻速直線運(yùn)動(dòng)，令A(yù)b長(zhǎng)為L(zhǎng)，那么： 粒子從A點(diǎn)飛到b的時(shí)間為：故粒子從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域到達(dá)b點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間為 ： 由圖可知，b點(diǎn)的坐標(biāo)為：，yb0。二、磁場(chǎng)范圍為矩形4、如下圖，直線OA與軸成角。在y范圍內(nèi)有沿軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在AOx范圍內(nèi)有一個(gè)矩形區(qū)域的勻強(qiáng)磁場(chǎng)

6、，該磁場(chǎng)區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度，方向垂直紙面向里。一帶電微粒電荷量，質(zhì)量，微粒在y軸上的某點(diǎn)以速度垂直于y軸進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)，并以速度垂直穿過(guò)直線OA，運(yùn)動(dòng)中經(jīng)過(guò)矩形磁場(chǎng)區(qū)域后，最終又垂直穿過(guò)軸。不計(jì)微粒重力，求：(結(jié)果保存兩位有效數(shù)字)1帶電微粒進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的初速度多大?2帶電微粒在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r3畫出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡圖并求出最小矩形磁場(chǎng)區(qū)域的長(zhǎng)和寬。解析：帶電微粒做類平拋運(yùn)動(dòng) 2洛侖茲力提供向心力，有 3畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如下圖 設(shè)最小矩磁場(chǎng)區(qū)域的長(zhǎng)為寬為，由數(shù)學(xué)知識(shí)可知 例2：如下圖，第四象限內(nèi)有互相正交的勻強(qiáng)電場(chǎng)E與勻強(qiáng)磁場(chǎng)B1，E的大小為0.5103V/m，B1大小為0.5T；第一象限的某

7、個(gè)矩形區(qū)域內(nèi)，有方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B2，磁場(chǎng)的下邊界與x軸重合。一個(gè)質(zhì)量m=110-14kg、電荷量q=110-10C的帶正電的微粒以某一速度v沿與y軸正方向成60角從M點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)P點(diǎn)進(jìn)入第一象限內(nèi)的磁場(chǎng)B2區(qū)域。一段時(shí)間后，小球經(jīng)過(guò)y軸上的N點(diǎn)并沿與y軸正方向成60角的方向飛出。M點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，-10)，N點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，30)，不計(jì)粒子重力，取g=10m/s2。(1)請(qǐng)分析判斷勻強(qiáng)電場(chǎng)E的方向并求出微粒的運(yùn)動(dòng)速度v；(2)勻強(qiáng)磁場(chǎng)B2為多大?(3)B2磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積為多少?解析：1,所以m/sE方向如圖2,由，得T3最小面積如圖陰影局部：m2三、磁場(chǎng)范圍為樹葉形例1(

8、2022蘇北三市一模) (16分)如下圖的直角坐標(biāo)系第、象限內(nèi)存在方向向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=0.5T，處于坐標(biāo)原點(diǎn)O的放射源不斷地放射出比荷C/kg的正離子，不計(jì)離子之間的相互作用。求離子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)周期；假設(shè)某時(shí)刻一群離子自原點(diǎn)O以不同速率沿x軸正方向射出，求經(jīng)過(guò)s時(shí)間這些離子所在位置構(gòu)成的曲線方程；xOy假設(shè)離子自原點(diǎn)O以相同的速率v0=2.0106m/s沿不同方向射入第象限，要求這些離子穿過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域后都能平行于y軸并指向y軸正方向運(yùn)動(dòng)，那么題干中的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域應(yīng)怎樣調(diào)整畫圖說(shuō)明即可？并求出調(diào)整后磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積。1516分解：根據(jù)牛頓第二定律 有分 運(yùn)動(dòng)周期分離子運(yùn)動(dòng)時(shí)

9、間分根據(jù)左手定那么，離子沿逆時(shí)針?lè)较蜃靼霃讲煌膱A周運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)過(guò)的角度均為分這些離子所在位置均在過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的同一條直線上，ORO該直線方程分離子自原點(diǎn)O以相同的速率v0沿不同方向射入第一象限磁場(chǎng)，均做逆時(shí)針?lè)较虻膭蛩賵A周運(yùn)動(dòng)根據(jù)牛頓第二定律 有分 分這些離子的軌道圓心均在第二象限的四分之一圓弧AC上，欲使離子穿過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域后都能平行于y軸并指向y軸正方向運(yùn)動(dòng)，離開磁場(chǎng)時(shí)的位置在以點(diǎn),為圓心、半徑m的四分之一圓弧從原點(diǎn)起順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)上，磁場(chǎng)區(qū)域?yàn)閮蓚€(gè)四分之一圓的交集，如下圖分調(diào)整后磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積m2分例22022北京石景山一模，24題20分如下圖的直角坐標(biāo)系中，在直線x=-2l0到y(tǒng)軸區(qū)域內(nèi)存在著

10、兩個(gè)大小相等、方向相反的有界勻強(qiáng)電場(chǎng)，其中x軸上方的電場(chǎng)方向沿y軸負(fù)方向，x軸下方的電場(chǎng)方向沿y軸正方向。在電場(chǎng)左邊界上A-2l0，-l0到C-2l0，0區(qū)域內(nèi)的某些位置，分布著電荷量+q質(zhì)量為m的粒子。從某時(shí)刻起A點(diǎn)到C點(diǎn)間的粒子，依次以相同的速度v0沿x軸正方向射入電場(chǎng)。假設(shè)從A點(diǎn)射入的粒子，恰好從y軸上的A0，l0沿x軸正方向射出電場(chǎng)，其軌跡如下圖。不計(jì)粒子的重力及它們間的相互作用。 1求勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E： 2假設(shè)帶電粒子通過(guò)電場(chǎng)后都能沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)推測(cè)帶電粒子在AC間的初始位置到C點(diǎn)的距離。 3假設(shè)以直線x=2l0上的某點(diǎn)為圓心的圓形區(qū)域內(nèi)，分布著垂直于xOy平面向里的勻強(qiáng)磁

11、場(chǎng)，使沿x軸正方向射出電場(chǎng)的粒子，經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后，都能通過(guò)直線x=2l0與圓形磁場(chǎng)邊界的一個(gè)交點(diǎn)處，而便于被收集，求磁場(chǎng)區(qū)域的最小半徑及相應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小?！?解析】四、磁場(chǎng)范圍為三角形及其他形狀30OPAv08、如下圖，在傾角為30的斜面OA的左側(cè)有一豎直檔板，其上有一小孔P，OP=0.5m.現(xiàn)有一質(zhì)量m=410 20kg，帶電量q=+21014C的粒子，從小孔以速度v0=3104m/s水平射向磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.2T、方向垂直紙面向里的一圓形磁場(chǎng)區(qū)域且在飛出磁場(chǎng)區(qū)域后能垂直打在OA面上，粒子重力不計(jì)求：1粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑；2粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；3圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積4假

12、設(shè)磁場(chǎng)區(qū)域?yàn)檎切吻掖艌?chǎng)方向垂直向里，粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終不碰到擋板，其他條件不變，求：此正三角形磁場(chǎng)區(qū)域的最小邊長(zhǎng)。解析：1由，得：2畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖，可知，得：30OPAv0abco160egf3無(wú)確定解，圓形面積只能無(wú)限接近4由數(shù)學(xué)知識(shí)可得： 得：9、【2022浙江聯(lián)考】如下圖，虛線MO與水平線PQ相交于O，二者夾角=30，在MO左側(cè)存在電場(chǎng)強(qiáng)度為E、方向豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，MO右側(cè)某個(gè)區(qū)域存在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，O點(diǎn)處在磁場(chǎng)的邊界上.現(xiàn)有一群質(zhì)量為m、電量為+q的帶電粒子在紙面內(nèi)以速度v()垂直于MO從O點(diǎn)射入磁場(chǎng),所有粒子通過(guò)直線MO時(shí)，速度方向均平行于PQ

13、向左.不計(jì)粒子的重力和粒子間的相互作用力，求：1速度最大的粒子自O(shè)點(diǎn)射入磁場(chǎng)至返回水平線POQ所用的時(shí)間.2磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積.3根據(jù)你以上的計(jì)算可求出粒子射到PQ上的最遠(yuǎn)點(diǎn)離O的距離，請(qǐng)寫出該距離的大小只要寫出最遠(yuǎn)距離的最終結(jié)果，不要求寫出解題過(guò)程【答案】(1) 或 (2) 或 (3)d= 【解析】1(11分)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如下圖，設(shè)粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，周期為T，粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t1那么 即 最大速度vm的粒子自N點(diǎn)水平飛出磁場(chǎng)，出磁場(chǎng)后做勻速運(yùn)動(dòng)至OM，設(shè)勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t2，有： 過(guò)MO后粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，那么： 又由題知最大速度vm= 那

14、么速度最大的粒子自O(shè)進(jìn)入磁場(chǎng)至重回水平線POQ所用的時(shí)間 (1分)解以上各式得： 或 2由題知速度大小不同的粒子均要水平通過(guò)OM，那么其飛出磁場(chǎng)的位置均應(yīng)在ON的連線上，故磁場(chǎng)范圍的最小面積是速度最大的粒子在磁場(chǎng)中的軌跡與ON所圍成的面積。扇形的面積 的面積為： 又 聯(lián)立得：或 3(4分)粒子射到PQ上的最遠(yuǎn)點(diǎn)離O的距離d= 扣2分10、(2022常州中學(xué)期中) (16分)如圖甲所示，直角坐標(biāo)系中直線AB與橫軸x夾角BAO=30，AO長(zhǎng)為a。假設(shè)在點(diǎn)A處有一放射源可沿BAO所夾范圍內(nèi)的各個(gè)方向放射出質(zhì)量為m、速度大小均為v、帶電量為e的電子，電子重力忽略不計(jì)。在三角形ABO內(nèi)有垂直紙面向里的勻

15、強(qiáng)磁場(chǎng)，當(dāng)電子從頂點(diǎn)A沿AB方向射入磁場(chǎng)時(shí)，電子恰好從O點(diǎn)射出。試求：1從頂點(diǎn)A沿AB方向射入的電子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t；2磁場(chǎng)大小、方向保持不變，改變勻強(qiáng)磁場(chǎng)分布區(qū)域，使磁場(chǎng)存在于三角形ABO內(nèi)的左側(cè)，要使放射出的電子穿過(guò)磁場(chǎng)后都垂直穿過(guò)y軸后向右運(yùn)動(dòng)，試求勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域分布的最小面積S；3磁場(chǎng)大小、方向保持不變，現(xiàn)改變勻強(qiáng)磁場(chǎng)分布區(qū)域，使磁場(chǎng)存在于y軸與虛線之間，示意圖見(jiàn)圖乙所示，仍使放射出的電子最后都垂直穿過(guò)y軸后向右運(yùn)動(dòng)，試確定勻強(qiáng)磁場(chǎng)左側(cè)邊界虛線的曲線方程。解：1根據(jù)題意，電子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)的軌道半徑R=a由evB=mv2/a 得：B=mv/ea 由T=2m/eB t=T/6=a/3v

16、 2有界磁場(chǎng)的上邊界：以AB方向發(fā)射的電子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡與AO中垂線交點(diǎn)的左側(cè)圓弧 有界磁場(chǎng)的下邊界：以A點(diǎn)正上方、距A點(diǎn)的距離為a的點(diǎn)為圓心，以a為半徑的圓弧故最小磁場(chǎng)區(qū)域面積為： 3設(shè)在坐標(biāo)x，y的點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，由相似三角形得到：圓的方程為：消去y+b，磁場(chǎng)邊界的方程為： yMBOx45EPv11、揭陽(yáng)二模1304(18分)直角坐標(biāo)系xoy界線OM兩側(cè)區(qū)域分別有如下圖電、磁場(chǎng)第三象限除外，勻強(qiáng)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向垂直紙面向外，勻強(qiáng)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)、方向沿x軸負(fù)方向。一不計(jì)重力的帶正電的粒子，從坐標(biāo)原點(diǎn)O以速度為v、沿x軸負(fù)方向射入磁場(chǎng)，隨后從界線上的P點(diǎn)垂直電場(chǎng)方向進(jìn)入電場(chǎng)，并最終飛離電、磁

17、場(chǎng)區(qū)域。粒子的電荷量為q，質(zhì)量為m，求：1粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑R及P點(diǎn)的位置坐標(biāo)； 2粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；3粒子最終飛離電、磁場(chǎng)區(qū)域的位置坐標(biāo)。11、18分解：1由洛侖茲力提供向心力，有： 3分 解得： 3分 如下圖，由幾何關(guān)系可知，粒子經(jīng)過(guò)界線OM的位置P的坐標(biāo)為，2分yMBOx45EPvQ 2粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期 2分 粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間 2分 3粒子從P點(diǎn)射入電場(chǎng)將做類平拋運(yùn)動(dòng)，如下圖，有： 1分 1分 其中： 1分 聯(lián)立式解得2分 故粒子最終飛離電、磁場(chǎng)區(qū)域的位置坐標(biāo)為1分12、(2022年浙江五校聯(lián)考) 如下圖，方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)的邊界，是一個(gè)半徑為r的圓，圓

18、心O1在x軸上，OO1距離等于圓的半徑。虛線MN平行于x軸且與圓相切于P點(diǎn)，在MN的上方是正交的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為E，方向沿x軸的負(fù)方向，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向外。有一群相同的正粒子，以相同的速率，在紙面內(nèi)沿不同方向從原點(diǎn)O射入第象限，粒子的速度方向在與x軸成=30角的范圍內(nèi)，其中沿x軸正方向進(jìn)入磁場(chǎng)的粒子經(jīng)過(guò)P點(diǎn)射入MN后，恰好在正交的電磁場(chǎng)中做直線運(yùn)動(dòng)。粒子的質(zhì)量為m，電荷量為q不計(jì)粒子的重力。求：xMNEBOPO1y第19題圖 1粒子的初速率；2圓形有界磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度；3假設(shè)只撤去虛線MN上面的磁場(chǎng)B，這些粒子經(jīng)過(guò)y軸的坐標(biāo)范圍。12、解析： 1Eq=qv0B 1分 得：v0= EQ F(E,B) 1分 2設(shè)正粒子在圓形有界磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R，有： R=r 1分 qv0B= EQ F(mv02,R) 1分 得：B= EQ F(mE,qBr) 1分3沿x軸正方向進(jìn)入圓形有界磁場(chǎng)的粒子經(jīng)電場(chǎng)E偏轉(zhuǎn)后，過(guò)y軸上點(diǎn)的坐標(biāo)最大 r= EQ F(1,2) EQ F(Eq,m) t12 1分 y1=v0t1 1分 y1=y1r得：y1