2022年北京市新高考數(shù)學(xué)試題及答案解析

1、 2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）數(shù)學(xué)本試卷共5頁，150分。考試時長120分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題 共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1已知全集，集合，則（ ）A B C D2若復(fù)數(shù)z滿足，則（ ）A1 B5 C7 D253若直線是圓的一條對稱軸，則（ ）A B C1 D4已知函數(shù)，則對任意實(shí)數(shù)x，有（ ）A B C D5已知函數(shù)，則（ ）A在上單調(diào)遞減 B在上單調(diào)遞增C在上單調(diào)遞減 D在上單調(diào)遞增6設(shè)是公差不為0的無窮等差數(shù)

2、列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時，”的（ ）A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件7在北京冬奧會上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn)如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和的關(guān)系，其中T表示溫度，單位是K；P表示壓強(qiáng)，單位是下列結(jié)論中正確的是（ ）A當(dāng)，時，二氧化碳處于液態(tài)B當(dāng)，時，二氧化碳處于氣態(tài)C當(dāng)，時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)D當(dāng)，時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)8若，則（ ）A40 B41 C D9已知正三棱錐的六條棱長均為6，S是及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合設(shè)集合，則T表示的區(qū)域的面積為（ ）

3、A B C D10在中，P為所在平面內(nèi)的動點(diǎn)，且，則的取值范圍是（ ）A B C D第二部分（非選擇題 共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11函數(shù)的定義域是_12已知雙曲線的漸近線方程為，則_13若函數(shù)的一個零點(diǎn)為，則_；_14設(shè)函數(shù)若存在最小值，則a的一個取值為_；a的最大值為_15已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和滿足給出下列四個結(jié)論：的第2項(xiàng)小于3； 為等比數(shù)列；為遞減數(shù)列； 中存在小于的項(xiàng)其中所有正確結(jié)論的序號是_三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程16（本小題13分）在中，（I）求；（II）若，且的面積為，求的周長17（本小題14分

4、）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，M，N分別為，AC的中點(diǎn)（I）求證：平面；（II）再從條件、條件這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值條件：；條件：注：如果選擇條件和條件分別解答，按第一個解答計分18（本小題13分）在校運(yùn)動會上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績達(dá)到以上（含）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎為預(yù)測獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32

5、，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16假設(shè)用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨(dú)立（I）估計甲在校運(yùn)動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率；（II）設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的總?cè)藬?shù)，估計X的數(shù)學(xué)期望EX；（III）在校運(yùn)動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？（結(jié)論不要求證明）19（本小題15分）已知橢圓的一個頂點(diǎn)為，焦距為（I）求橢圓E的方程；（II）過點(diǎn)作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B，C，直線AB，AC分別與x軸交于點(diǎn)M，N，當(dāng)時，求k的值20（本小題15分）已知函數(shù)（I）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（II）設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；

6、（III）證明：對任意的，有21（本小題15分）已知為有窮整數(shù)數(shù)列給定正整數(shù)m，若對任意的，在Q中存在，使得，則稱Q為連續(xù)可表數(shù)列（I）判斷是否為連續(xù)可表數(shù)列？是否為連續(xù)可表數(shù)列？說明理由；（II）若為連續(xù)可表數(shù)列，求證：k的最小值為4；（III）若為連續(xù)可表數(shù)列，且，求證：2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）數(shù)學(xué)答案解析1.【答案】D【解析】【分析】 本題考查集合的補(bǔ)集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題【解答】 解：易得 CUA=(3,2(1 ， 3) 2.【答案】B【解析】【分析】 本題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題【解答】 解：由條件可知 z=34ii=43i ，所以 |z|=5 3.【答案】

7、A【解析】【分析】 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題【解答】 解：若直線是圓的對稱軸，則直線過圓心，圓心坐標(biāo) (a,0) ，所以由 2a+01=0 解得 a=12 4.【答案】C【解析】【分析】 本題考查了指數(shù)的運(yùn)算 求出 f(x) ，通過運(yùn)算，判斷選項(xiàng)即可 【解答】 解：由 f(x)=11+2x ，可得 f(x)=11+2x=2x2x+1 ，所以得 f(x)+f(x)=2x+12x+1=1 5.【答案】C【解析】【分析】 本題考查判斷余弦型函數(shù)的單調(diào)性，二倍角的余弦公式，屬于基礎(chǔ)題【解答】 解： f(x)=cos2xsin2x=cos2x ， 選項(xiàng) A 中： 2x(,3) ，此時 f(

8、x) 單調(diào)遞增， 選項(xiàng) B 中： 2x(2,6) ，此時 f(x) 先遞增后遞減， 選項(xiàng) C 中： 2x(0,23) ，此時 f(x) 單調(diào)遞減， 選項(xiàng) D 中： 2x(2,76) ，此時 f(x) 先遞減后遞增 6.【答案】C【解析】【分析】 本題主要考查充分必要條件的判斷，屬于中檔題【解答】 解： 充分性證明： 若 an 為遞增數(shù)列，則有對 nN ， an+1an ，公差 d=an+1an0 ， 故數(shù)列中從某項(xiàng)開始后均為正數(shù)且數(shù)列遞增，則存在正整數(shù) N0 ，當(dāng) nN0 時， an0 ， 充分性成立； 必要性證明： 若存在正整數(shù) N0 ，當(dāng) nN0 時， an0 ， an=a1+(n1)d

9、，若 dN0 時， an0 ，又 d0 ， 若 d0 ，此時 an 為遞增數(shù)列，則存在正整數(shù) N0 ，當(dāng) nN0 時， an0 ，可滿足條件， 所以“ an 為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù) N0 ，當(dāng) nN0 時， an0 ”的充要條件7.【答案】D【解析】【分析】 本題考查對數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，函數(shù)圖象的應(yīng)用，屬于中檔題 【解答】 解： A 選項(xiàng)： 4lgP=lg10263 ， T=220 ，由圖易知處于固態(tài) ; B 選項(xiàng)： 3lgP=lg1282 ， T=270 ，由圖易知處于液態(tài) ; C 選項(xiàng)： lgP=lg99873.999 ， T=300 ，由圖易知處于固態(tài) ; D 選項(xiàng)： 3lgP=lg

10、7292 ， T=360 ，由圖易知處于超臨界狀態(tài) ;8.【答案】B【解析】【分析】 本題考查二項(xiàng)式，取 1 和 1 代入即可，屬于基礎(chǔ)題【解答】 解：當(dāng) x=1 時， 1=a4+a3+a2+a1+a0; 當(dāng) x=1 時， 81=a4a3+a2a1+a0; + ，可得 a0+a2+a4=41 9.【答案】B【解析】【分析】 本題考查投影的相關(guān)知識，屬于基礎(chǔ)題【解答】 解：過點(diǎn) P 作底面射影點(diǎn) O ，則由題意， CO=23 ， PC=6; PO=26 ，當(dāng) CO 上存在一點(diǎn) Q 使得 PQ=5 ，此時 QO=1 ，則動點(diǎn) Q 在以 QO 為半徑， O 為圓心的圓里， 所以面積為 10.【答案】

11、D【解析】【分析】 解：法一：建立如圖所示坐標(biāo)系， 由題易知，設(shè) C(0,0) ， A(3,0) ， B(0,4) ， PC=1 ， 設(shè) P(cos,sin) ， 0,2) PAPB=(3cos,sin)(cos,4sin)=3cos4sin+cos2+sin2 =15sin(+)(sin=35,cos=45)4 ， 6 法二：注意： =|2| ，且 CACB=0 PAPB =(PC+CA)(PC+CB) =PC2+PCCA+PCCB+CACB =PC2CPCACPCB+CACB =13cos4cos+0 =13cos4sin =15sin+ 其中， (0,2) ， tan=34 4PAPB6

12、【解答】 本題考查平面向量的數(shù)量積計算 法一：建立平面直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解 法二：利用平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算進(jìn)行求解11.【答案】(,0)(0,1【解析】【分析】 本題考查求函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題【解答】 解：依題意 x0,1x0, 解得 x(,0)U(0,1 12.【答案】3【解析】【分析】 本題主要考查雙曲線的漸近線方程，屬于基礎(chǔ)題【解答】 解：雙曲線 y2+x2m=1 的漸近線方程為 y=xm ，故 m=3 13.【答案】12【解析】【分析】 本題考查輔助角公式，函數(shù)零點(diǎn)的概念，屬于基礎(chǔ)題【解答】 解：由題意知： f(3)=Asin33cos3=32A32=0

13、，解得 A=1 f(x)=sinx3cosx=2sin(x3) ， f(12)=2sin(123)=2sin(4)=2 14.【答案】0(答案不唯一)1【解析】【分析】 本題考查分段函數(shù)的取值問題，題目較難【解答】 解：由題意知，函數(shù)最值與函數(shù)單調(diào)性相關(guān)，故可考慮以 0 ， 2 為分界點(diǎn)研究函數(shù)的性質(zhì)， 當(dāng) a0 時， f(x)=ax+1 ， xa ，該段的值域?yàn)?(,a2+1) ，故整個函數(shù)沒有最小值 ; 當(dāng) a=0 時， f(x)=ax+1 ， xa 該段的值域?yàn)?1 ，而 f(x)=x22 ， xa 的值域?yàn)?0,+) ，故此時 f(x) 的值域?yàn)?0,+) ，即存在最小值為 0 ，故第

14、一個空可填寫 0; 當(dāng) 0a2 時， f(x)=ax+1 ， xa ，該段的值域?yàn)?(a2+1,+) ，而 f(x)=(x2)2 ， xa 的值域?yàn)?0,+) ，若存在最小值，則需滿足 a2+10 ， 于是可得 02 時， f(x)=ax+1 ， xa ，該段的值域?yàn)?a2+1,+. 而 f(x)=(x2)2 ， xa 的值域?yàn)?a22,+) ，若存在最小值，則需滿足 a2+1(a2)2 ，此不等式無解。 綜上， a 的取值范圍是 0,1 ，故 a 的最大值為 1 15.【答案】【解析】【分析】 本題考查數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題【解答】 解： n=1 ，可得 a12=9 ，又各項(xiàng)均為正，可得 a

15、1=3 ，令 n=2 可得 a2(3+a2)=9 ，可解得 a2=3(51)23 ，故 正確 ; 當(dāng) n2 時，由 Sn=9an 得 Sn1=9an1 ，于是可得 an=9an9an1 ，即 anan1=9an29 ，若 an 為等比數(shù)列，則 n2 時 an+1=an ，即從第二項(xiàng)起為常數(shù)，可檢驗(yàn) n=3 則不成立，固 錯誤 ; anSn=9(n=1,2). 可得 anSn=an+1Sn+1 ，于是 an+1an=SnSn+11 ，所以 an+190000 ，則 an1100 ， Sn900 ，于是 anSn9 ， 與已知矛盾， 所以 正確。 16.【答案】解：(1)sin2C=3sinC，2

16、sinCcosC=3sinC，cosC=32，0C0可得(16k2+8k)24(1+4k2)(16k2+16k)0，解得k0故(x)在0,+)上遞增，故(x)(0)=10，因此g(x)0對任意x0,+)恒成立，故g(x)在0,+)上單調(diào)遞增;(3)設(shè)m(s)=f(s+t)f(s)f(t)=es+tln(1+s+t)esln(1+s)etln(1+t)，則m(s)=es+t(ln(1+s+t)+11+s+t)es(ln(1+s)+11+s)=g(s+t)g(s)，由(2)，g(x)在0,+)上單調(diào)遞增，故s0，t0時，m(s)=g(s+t)g(s)g(t)g(0)g(0)g(0)=0，因此，m(

17、s)在(0,+)上遞增，故m(s)m(0)=f(0+t)f(0)ft=f(0)=0，因此，對任意的s，t(0,+)，有f(s+t)f(s)+f(t)【解析】本題將指對函數(shù)以乘法的方式聯(lián)系到一起，構(gòu)思新穎。第()問判斷導(dǎo)函數(shù)符號可以求二階導(dǎo)，也可以直接放縮處理;第()問借助()的結(jié)論可以快速得到結(jié)果21.【答案】解：(1)由于2+1=3，1+4=5，故Q為5連續(xù)可表數(shù)列.而Q數(shù)列無法找到連續(xù)的若干個數(shù)和為6，故Q不是6連續(xù)可表數(shù)列(2)當(dāng)k3時，至多可以表示a1，a2，a3，a1+a2，a2+a3，a1+a2+a3這6個數(shù)，不符題意.當(dāng)k=4時，取數(shù)列Q:3，1，4，2滿足題意.故k的最小值為4

18、(3)先證k6.若k5，則至多可以表示15個數(shù)，不符題意當(dāng)k=6時，由于a1+a2+ak20，故數(shù)列中存在為負(fù)的項(xiàng)，且僅有一個為負(fù)的項(xiàng)，不妨設(shè)該項(xiàng)為ai(i1,2,3,4,5,6)，因此數(shù)列中一定存在若干項(xiàng)正數(shù)的和為20.由于對稱性，我們只需考察i=1，2，3的情況(i)當(dāng)i=2時，由于a1+a2+a6a1，矛盾.若a3+a4+a5+a6為連續(xù)若干個數(shù)中的最大的數(shù)，同理可得矛盾(ii)當(dāng)i=3時，與i=2同理，不符合題意(iii)當(dāng)i=1時，則連續(xù)若干個數(shù)的和中最大的數(shù)為a2+a3+a6=20，那么有：19a1+a2+a6,a2+a3+a4+a5,a3+a4+a5+a6.由前文分析可知a1+a20，因此19a1+a2+a6,a2+a3+a4+a5.若a1+a2+a6=19，則a1=1.如果a2+a3+a4+a5=18，那么a6=2，并且此時a3+a4+a5+a6=17，有a2=3，則a6=a1+a2，矛盾如果a3+a4+a5+a6=18，那么a2=2，并且此時a2+a3+a4+a5=17，有a6=3.下面我們考察