復(fù)變函數(shù)與積分變換第八章z課件

1、 音樂能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科學(xué)可以改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)能給予以上的一切。 克萊因 哲學(xué)家也要學(xué)數(shù)學(xué)，因?yàn)樗仨毺龊迫鐭熀５娜f變現(xiàn)象而抓住真正的實(shí)質(zhì)。又因?yàn)檫@使靈魂過渡到真理和永存的捷徑。 柏拉圖 一個(gè)國家只有數(shù)學(xué)蓬勃的發(fā)展，才能展現(xiàn)它國力的強(qiáng)大。數(shù)學(xué)的發(fā)展和至善和國家繁榮昌盛密切相關(guān)。 拿破侖 在通常意義下，F(xiàn)ourier變換存在的條件需要函數(shù)f (t)在(-,+)上絕對可積. 很多常見的初等函數(shù)(例如常數(shù)函數(shù)、多項(xiàng)式函數(shù)、正弦與余弦函數(shù)等)都不滿足這個(gè)要求. 另外，很多以時(shí)間 t 為自變量的函數(shù)，當(dāng)t0時(shí)，往往沒有定義，或者不需要知道t0的

2、情況, 此時(shí)可以認(rèn)為當(dāng)t0時(shí), f (t)0. 于是Fourier變換的表達(dá)式為 第八章 Laplace變換但是仍然需要f (t)在 上絕對可積的條件. 對定義在 上的函數(shù) f (t), 如果考慮 那么 容易滿足在 上絕對可積的要求. 例 如為常數(shù)、多項(xiàng)式、正弦與余弦函數(shù)等, 這是因?yàn)?時(shí),是衰減速度很快的函數(shù). 如果 取得適當(dāng)大，那么 的Fourier變換可能有意義. 的Fourier變換為將 記為s, 可寫成 這就是本章要討論的Laplace變換, 它放寬了對函數(shù)的限制, 使之更適合某些工程實(shí)際, 且仍然保留Fourier變換中許多好的性質(zhì), 在某些工程問題中更實(shí)用、更方便.1 Lapla

3、ce變換的定義 2 周期函數(shù)和d 函數(shù)的Laplace變換 8.1 Laplace變換的定義定義8.1設(shè) 在上有定義, 并且積分 (s是復(fù)參變量)關(guān)于某一范圍s 收斂，則由這個(gè)積分確定的函數(shù)稱為函數(shù) 的Laplace變換, 并記做 即 8.1.1 Laplace變換的定義的像函數(shù)， 稱為 稱為 的像原函數(shù). 已知 是的Laplace變換，則記 并稱為的Laplace逆變換.因?yàn)樵贚aplace變換中不必考慮 時(shí)的情況，所以經(jīng)常記作 例8.1 求單位階躍函數(shù) 的Laplace變換.根據(jù)Laplace變換的定義， 當(dāng)時(shí)， 例8.2 求指數(shù)函數(shù) (其中a是實(shí)數(shù))的Laplace變換. 這個(gè)積分當(dāng) 時(shí)

4、收斂，且 所以根據(jù)Laplace變換的定義 回憶,理解與問題:(1) 回憶:含參量積分就是一個(gè)含參量的積分.(2) 拉氏變換實(shí)際是實(shí)函數(shù)f (t)的集合到復(fù)函數(shù)F(s)的集合的一種對應(yīng)關(guān)系所以記F(s)為Lf(t),并稱F(s)為f(t)的象函數(shù).集合A f(t)集合B F(s)(3) 由(2)產(chǎn)生了以下問題: 集合A中都有什么樣的實(shí)函數(shù)? 換句話說, A中不同實(shí)函數(shù)的象函數(shù)是否也不同?若L什么實(shí)函數(shù)有拉氏變換？是A到B 的一一對應(yīng),則L就有逆映射L-1. 內(nèi)分段連續(xù), 并且當(dāng)時(shí), 的增長速度不超過某一指數(shù)函數(shù), 即存在常數(shù)和使得在 上， 在定理8.1 設(shè)函數(shù) 的任何有限區(qū)間則在半平面上， 存

5、在, 且 是s的解析函數(shù), 其中 稱為的增長指數(shù). 8.1.2 Laplace變換存在定理 定理8.2如果在處收斂，則這個(gè)積分在 上處處收斂, 且由這個(gè)積分確定的函數(shù) 在上解析；如果 在處發(fā)散, 則這個(gè)積分在 上處處發(fā)散. 類似于冪級數(shù)中 ，有下面定理. 根據(jù)定理8.2，存在實(shí)數(shù)s (或是)使得在 上, 積分收斂, 而在上，積分處處發(fā)散. 在收斂區(qū)域內(nèi)， Laplace變換的像函數(shù) 是s的解析函數(shù). O實(shí)軸虛軸s例8.3 求的Laplace變換. Laplace變換存在，且 于是類似可得 因?yàn)楣试?上，注:計(jì)算過程與高等數(shù)學(xué)算法一致,應(yīng)用兩次分部積分記住結(jié)果法即可.在學(xué)習(xí)了拉氏變換的微分性質(zhì)以

6、后,我們還將給出本題的其它證明方法.例8.4 求的Laplace變換. 解 如果a是正整數(shù) m, 則由分部積分法, 易求得方法, 可求出當(dāng)不是正整數(shù)時(shí), 利用復(fù)變函數(shù)論的其中是G函數(shù).設(shè)是以T 為周期的函數(shù), 即 且在一個(gè)周期內(nèi)分段連續(xù)，則 令則例8.5 周期函數(shù)的Laplace變換 而當(dāng)時(shí)，所以 于是這就是周期函數(shù)的Laplace變換公式. 附錄3(見P181 )給出了一些常見函數(shù)的拉氏變換.請?zhí)貏e記住以下結(jié)果(六個(gè)):定理8.3設(shè) 是 的所有孤立奇點(diǎn)(有限個(gè))， 除這些點(diǎn)外, 處處解析, 且存在當(dāng)時(shí), 其中是的實(shí)函數(shù), 且 選取使所有孤立奇點(diǎn)都在 內(nèi), 則當(dāng) 時(shí)， 8.1.3 Laplac

7、e 逆變換計(jì)算公式其中是的增長指數(shù). 積分路徑是在右半平面 上的任意一條直線 這就是Laplace逆變換的一般公式, 稱為Laplace 變換的反演積分. 應(yīng)用Laplace變換的性質(zhì)計(jì)算逆變換的方法，也是常用的方法。Laplace逆變換的一種較一般的方法。后面還有 應(yīng)用復(fù)變函數(shù)論中的留數(shù)理論作為工具，是計(jì)算簡便的方法。在使用時(shí), 應(yīng)該根據(jù)具體情形采用例 求 的Laplace逆變換. 解是 的1級極點(diǎn)， 由計(jì)算 留數(shù)的法則， 例8.6 求的Laplace逆變換. 解和2級極點(diǎn). 和分別是 的1級故由計(jì)算留數(shù)的法則 例8.7求 解和分別是 的3級和2級極點(diǎn). 故由計(jì)算留數(shù)的法則 當(dāng)是有理函數(shù)時(shí),

8、 可把它化為部分分式 再求逆變換，一般來說這樣更為方便. 例8.8求 的Laplace逆變換. 解法1和分別是 的1級和3級極點(diǎn)， 故由計(jì)算留數(shù)的法則 解法2可分解為形如 可以求得因?yàn)?所以 1 線性性質(zhì) 3 像函數(shù)的微分性質(zhì) 6 位移性質(zhì) 5 像函數(shù)的積分性質(zhì) 2 微分性質(zhì) 4 積分性質(zhì) 7 延遲性質(zhì) 10 卷積定理 9 初值和終值定理 8 相似性質(zhì) 8.2 Laplace變換的性質(zhì)以下假定所考慮的 Laplace 變換的像原函數(shù)都滿足存在定理的條件. (1) 線性性質(zhì) 設(shè)a, b 是常數(shù)， 則 由Laplace變換的定義及積分的線性性質(zhì)可證. (2) 微分性質(zhì) 設(shè) 則 此性質(zhì)可以將f (t

9、)的微分方程轉(zhuǎn)化為F(s)的代數(shù)方程.推論對正整數(shù)n, 有 特別地，當(dāng) 時(shí)， 在這個(gè)性質(zhì)中，要求存在且滿足Laplace 變換存在定理的條件例8.9求的Laplace變換. 解因?yàn)樗允褂猛瑯臃椒?，可?參見例8.3, 與這里方法不同 根據(jù) 和線性性質(zhì) 例8.10求的Laplace變換. 解根據(jù)線性性質(zhì)與利用 也可以求出當(dāng)m是正整數(shù)時(shí)， 參見例8.4 事實(shí)上, 設(shè) 則 因?yàn)?所以 于是 (3) 像函數(shù)的微分性質(zhì) 設(shè) 則 一般地，對正整數(shù)n, 有 例8.11 求的Laplace變換. 使用同樣方法，可得 根據(jù) 與例8.12 求 解因?yàn)?所以(4) 積分性質(zhì) 設(shè) 則 (5) 位移性質(zhì) 設(shè) 則 其中

10、是的增長指數(shù). 例8.13求 和 故根據(jù) 使用同樣方法，可得 由例9 例8.14求 使用同樣方法，可得 根據(jù)例10 與 (6) 像函數(shù)的積分性質(zhì) 設(shè) 且 存在，積分 收斂，則 推論如果像函數(shù)積分性質(zhì)的條件滿足, 且積分收斂，則例8.15求 的Laplace變換，并求積分解由 已知 故根據(jù) 再利用 (7) 延遲(平移)性質(zhì) 設(shè) 若當(dāng) 時(shí), 則對任何非負(fù)實(shí)數(shù)t , 有 Ottf (t)f (t-t)(8) 相似性質(zhì) 設(shè) 則 其中下面介紹Laplace變換的卷積性質(zhì)卷積定理. Laplace變換的卷積性質(zhì)不僅能用來求出某些函數(shù) 的Laplace逆變換, 而且在線性系統(tǒng)的研究中起著重 要作用. 因?yàn)樵?/p>

11、Laplace變換中, 總認(rèn)為t 0時(shí)像原函數(shù) 恒為零. 因此, 與 的卷積為 卷積定理 設(shè) 和滿足Laplace變換 存在的條件，即存在 和使得 如果則 或 對一個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行分析和研究, 首先要知道該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型, 也就是要建立該系統(tǒng)特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式. 所謂線性系統(tǒng), 在許多場合, 它的數(shù)學(xué)模型可以用一個(gè)線性微分方程來描述, 或者說是滿足疊加原理的一類系統(tǒng). 這一類系統(tǒng)無論是在電路理論還是在自動控制理論的研究中, 都占有很重要的地位. 本節(jié)將主要討論拉氏變換在求解線性微分方程中的應(yīng)用.8.3 Laplace變換的應(yīng)用像原函數(shù)(常微分方程的解)像函數(shù)常微分方程像函數(shù)的代數(shù)方程Laplace逆變換Laplace變換解代數(shù)方程基本思路例8.16求常系數(shù)線性微分方程的初值問題 的解.解設(shè) 是初值問題解 的 Laplace變換的像. 對方程兩邊進(jìn)行Laplace變換， 根據(jù) 和初值條件, 利用 及因?yàn)樗杂捎谑抢?.17求一階微分方程組 滿足初值條件的解.解設(shè)是所要求的解，記 對方程組兩邊進(jìn)行Laplace變換， 由 和 初值條件解