二章節(jié)隨機(jī)信號分析課件

1、第二章 隨機(jī)信號分析2.1 隨機(jī)過程的基本概念2.2 平穩(wěn)隨機(jī)過程2.4 高斯過程2.5 窄帶隨機(jī)過程2.6 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)12.1 隨機(jī)過程的基本概念隨機(jī)過程是時間t的函數(shù)在任意時刻觀察，它是一個隨機(jī)變量隨機(jī)過程是全部可能實(shí)現(xiàn)的總體 23分布函數(shù)與概率密度：設(shè) 表示一個隨機(jī)過程， （t1為任意時刻）是一個隨機(jī)變量。 F1（x1，t1）=P x1 的一維分布函數(shù)如果存在 則稱之為 的一維概率密度函數(shù) 4 的n維分布函數(shù)n維概率密度函數(shù) n越大，F(xiàn)n，fn描述 的統(tǒng)計特性就越充分5數(shù)學(xué)期望與方差 E = D =E -E 2 =E 2-E 2 =協(xié)方差函數(shù)與相關(guān)函數(shù) 用來衡量任意兩個時刻上獲

2、得的隨機(jī)變量的統(tǒng)計相關(guān)特性協(xié)方差 B（t1，t2）=E -a（t1） -a（t2）=6相關(guān)函數(shù) R（t1，t2）=E =B（t1，t2）=R（t1，t2）-E E ， 表示兩個隨機(jī)過程互協(xié)方差函數(shù) 互相關(guān)函數(shù)72.2 平穩(wěn)隨機(jī)過程任何n維分布函數(shù)或概率密度函數(shù)與時間起點(diǎn)無關(guān)任意的n和 因此，一維分布與t無關(guān)，二維分布只與t1，t2間隔 有關(guān)。均值 （2）方差 （3）相關(guān)函數(shù) R（t1，t2）= （4）（1）8均值，方差與時間無關(guān)相關(guān)函數(shù)只與時間間隔有關(guān)滿足（2），（3），（4）廣義平穩(wěn)（寬平穩(wěn)）滿足（1） 狹義平穩(wěn) （嚴(yán)平穩(wěn)） 時間平均：取一固定的樣本函數(shù)（實(shí)現(xiàn)）對時間取平均 x（t）為任意實(shí)

3、現(xiàn)9平穩(wěn)隨機(jī)過程 ，其實(shí)現(xiàn)為x1（t），x2（t），xn（t），如其時間平均都相等，且等于統(tǒng)計 平均， 即 a= 則稱平穩(wěn)隨機(jī)過程 具有各態(tài)歷經(jīng)性。 各態(tài)歷經(jīng)性可使統(tǒng)計平均轉(zhuǎn)化為時間平均，簡化計算。10相關(guān)函數(shù)與功率譜密度 為實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程，其自相關(guān)函數(shù)性質(zhì)：（1） R（0）=E =S 的平均功率（2） R（ ）=R（- ） R（ ）是偶函數(shù)（3） 證明：11（4） 的直流功率（5） 的交流功率 任意確定功率信號f（t），功率譜密度 是fT（t）（f（t）截短函數(shù)）的頻譜函數(shù)隨機(jī)過程的功率譜密度應(yīng)看作是每一可能實(shí)現(xiàn)的功率譜的統(tǒng)計平均， 某一實(shí)現(xiàn)之截短函數(shù)12你應(yīng)該知道的：傅里葉變換記為：F（j

4、）=F f（t）f（t） =F -1F（j）13 的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度之間互為傅氏變換關(guān)系例：某隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)為R（ ），求功率譜密度。解：1415例 求隨機(jī)相位正弦波 的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度， 常數(shù)， 在（0，2 ）均勻分布。解 162.3高斯過程 任意的n維分布都服從正態(tài)分布的隨機(jī)過程一維概率密度函數(shù) a 數(shù)學(xué)期望， 均方差， 方差f（x）關(guān)于 x=a 對稱f（x）在 單調(diào)上升， 單調(diào)下降 或 且有 1718分布函數(shù) 概率積分函數(shù)誤差函數(shù)互補(bǔ)誤差函數(shù)192.4 窄帶隨機(jī)過程窄帶：信號頻譜被限制在“載波”或某中心頻率附近一個窄的頻帶上，中心頻率遠(yuǎn)離零頻20 同相分量 正交分量 為零

5、均值，平穩(wěn)高斯窄帶，確定 統(tǒng)計特性21結(jié)論1：推導(dǎo)：由于 平穩(wěn)，零均值，即任意t，均有22結(jié)論2：同一時刻 不相關(guān)，或統(tǒng)計獨(dú)立。 23令 t=0顯然要求令 同理可得（1）（2）24由（1），（2）可得根據(jù)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)有 是 的奇函數(shù) 有 同理可證 即同一時刻 不相關(guān)，或統(tǒng)計獨(dú)立。（3）25由（1），（2）還可得 平均功率相等即 方差相等結(jié)論3： ， 是高斯過程 證：當(dāng)故：是高斯隨機(jī)變量。是高斯過程26重要結(jié)論：均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過程，其同相分量和正交分量同樣是平穩(wěn)隨機(jī)過程，均值為零，方差相同，在同一時刻得到的 及 不相關(guān)，或統(tǒng)計獨(dú)立。 27 統(tǒng)計特性 服從瑞利分布 服從均勻分布28

6、理想的寬帶過程白噪聲 n0為常數(shù)白噪聲的自相關(guān)函數(shù)僅在 時才不為零，故白噪聲只有在 時才相關(guān)，在任意兩個時刻上隨機(jī)變量都不相關(guān)。 29帶限白噪聲對帶限白噪聲按抽樣定理抽樣，則各抽樣值是互不相關(guān)的隨機(jī)變量3031例：限帶3400Hz的語音信號和加性噪聲，以fs=6800Hz的速率對x（t）進(jìn)行抽樣 tX(t)=s(t)+n(t)322.5隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)響應(yīng)v0（t），輸入vi（t），沖激響應(yīng)h（t）線性系統(tǒng)是物理可實(shí)現(xiàn)的，則 或當(dāng)輸入是隨機(jī)過程 時，輸出為33假定輸入 是平穩(wěn)隨機(jī)過程，考察 的特性（平穩(wěn)性） 1、342、 的自相關(guān)函數(shù)由平穩(wěn)性 輸出過程是廣義平穩(wěn)的。353、 的功率譜密度令 則364、輸出過程 的分布將 改寫為和式： 可知：若 為正態(tài)隨機(jī)變量 也為正態(tài)隨機(jī)變量 高斯過程經(jīng)線性變換后的過程仍為高斯的。37思考：隨機(jī)過程 ，A是均值為a，方差為 的高斯隨機(jī)變量，求：1、 及 的兩個一維概率密度。2、 是否廣義平穩(wěn)？3、 的功率譜4、平均功率是多少