拉普拉斯變換2課件

1、2022/8/2112022/8/2124.6 系統(tǒng)函數(shù)H(s)主要內(nèi)容系統(tǒng)函數(shù)LTIS互聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)并聯(lián)級(jí)聯(lián) 反饋連接重點(diǎn) 系統(tǒng)函數(shù)難點(diǎn) 反饋連接 2022/8/213 1 定義若設(shè)系統(tǒng)的 n 階微分方程為：（1）對(duì)式（1）兩邊取拉氏變換得：一、系統(tǒng)函數(shù)H(s)2022/8/214H(s)X(s)Y(s)- “系統(tǒng)函數(shù)”或“網(wǎng)絡(luò)函數(shù)”簡寫為：或：2022/8/215 系統(tǒng)函數(shù) 的定義：定義：系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的拉氏變換與激勵(lì)的拉氏變換之比叫系統(tǒng)函數(shù)或網(wǎng)絡(luò)函數(shù)。注意：1、H(s)獨(dú)立于輸入，僅由系統(tǒng)特性決定； 2、系統(tǒng)函數(shù)是在零狀態(tài)條件下得到的； 3、線性時(shí)不變系統(tǒng)的H(s)是s的有理函數(shù)。2

2、022/8/216一、系統(tǒng)函數(shù)H(s)2. H(s)與h(t)的關(guān)系h(t)(t) yzs(t) = (t)*h(t)簡記為：2022/8/217一、系統(tǒng)函數(shù)H(s)3. 求零狀態(tài)響應(yīng)h(t)H(s)x(t)yzs (t) = x(t)*h(t)X(s)Yzs (s) = X(s)H(s)系統(tǒng)的時(shí)域特征系統(tǒng)的復(fù)頻域特征2022/8/218求 的經(jīng)典方法和步驟列系統(tǒng)微分方程求微分方程的特征根得齊次解求各階導(dǎo)數(shù)代入微分方程兩邊奇異函數(shù)的系數(shù)平衡，可求出系數(shù)2022/8/219一、系統(tǒng)函數(shù)H(s)4. 求H(s)的方法 由系統(tǒng)的沖激響應(yīng)求解：H(s)=Lh(t) 由系統(tǒng)的微分方程寫出H(s) 由定義

3、式2022/8/2110例1已知一LTI連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)滿足的微分方程為y(t)+3y(t)+2y(t)=3x(t)+2x(t) t 0試求該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)和單位沖激響應(yīng)h(t)。解：對(duì)微分方程兩邊進(jìn)行Laplace變換得 根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)的定義可得進(jìn)行Laplace反變換，可得 2022/8/2111策動(dòng)點(diǎn)導(dǎo)納： 策動(dòng)點(diǎn)阻抗： 一、系統(tǒng)函數(shù)H(s)策動(dòng)點(diǎn)函數(shù)：激勵(lì)與響應(yīng)在同一端口時(shí)5. H(s)的幾種情況2022/8/2112轉(zhuǎn)移函數(shù)：激勵(lì)和響應(yīng)在不同端口轉(zhuǎn)移導(dǎo)納： 轉(zhuǎn)移阻抗：電壓比： 電流比：2022/8/2113 H(s)名稱的含義2022/8/2114例4-17：下示電路在t=0時(shí)開關(guān)

4、S閉合，接入信號(hào)源x(t),電感起始電流為 零，求電流i(t)。x(t)- 策動(dòng)點(diǎn)導(dǎo)納函數(shù)2022/8/2115x(t)+-vR(t)- 轉(zhuǎn)移電壓比（電壓傳輸函數(shù)）2022/8/2116【例】已知系統(tǒng)激勵(lì)為 求系統(tǒng)的沖激響應(yīng) 和零狀態(tài)響應(yīng)解：(1) 在零起始狀態(tài)下，對(duì)原方程兩端取拉氏變換則（2） 或2022/8/2117例4-18：求下圖電路的轉(zhuǎn)移導(dǎo)納函數(shù)+-V1(s)I1(s)I2(s)1111F1FI3(s)2022/8/2118解：列寫回路方程+-V1(s)I1(s)I2(s)1111F1FI3(s)2022/8/21192022/8/21202022/8/2121二、 LTI互聯(lián)的系統(tǒng)

5、函數(shù)1. 兩個(gè)LTI系統(tǒng)的并聯(lián)2022/8/2122二、 LTI互聯(lián)的系統(tǒng)函數(shù)2. 兩個(gè)LTI系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)2022/8/21233. 兩個(gè)LTI系統(tǒng)的反饋連接2022/8/2124二、 LTI互聯(lián)的系統(tǒng)函數(shù)4.結(jié)論:在s域可進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算 已知總的 及部分系統(tǒng)的 ，也可以求出另一個(gè)子系統(tǒng)的2022/8/2125【例】已知系統(tǒng)的框圖如下，請(qǐng)寫出此系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和描述此系統(tǒng)的微分方程。解：即 2022/8/2126一、系統(tǒng)函數(shù)的 零點(diǎn)與極點(diǎn)的概念4.7 由系統(tǒng)函數(shù)的極零點(diǎn)分布決定 時(shí)域特性 H(s)能否反映h(t)的特性？=2022/8/2127 零極點(diǎn)分布圖極點(diǎn)零點(diǎn)jws零極點(diǎn)增益形式零極點(diǎn)分布圖s

6、 平面在s平面上，畫出H(s)的零極點(diǎn)圖： 極點(diǎn)：用表示，零點(diǎn)：用表示2022/8/2128極點(diǎn)：零點(diǎn)：- jj2022/8/2129H(s)在s平面中零極點(diǎn)分布特點(diǎn)：若系統(tǒng)為實(shí)系統(tǒng)，則H(s)的零極點(diǎn)如為復(fù)數(shù)零極點(diǎn)必然成對(duì)地出現(xiàn)。2. H(s)的零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)必然相等。只要知道H(s)在s平面中零極點(diǎn)分布 h(t)波形的特性2022/8/2130反變換第 i個(gè)極點(diǎn)決定總特性Ki與零點(diǎn)分布有關(guān)只要知道H(s)在s平面中零極點(diǎn)分布 h(t)波形的特性2022/8/2131系統(tǒng)固有頻率或自然頻率 設(shè)系統(tǒng)H(s)無高階極點(diǎn)極點(diǎn) 具有頻率的量綱，稱為系統(tǒng)固有頻率或稱為自然頻率。因?yàn)?的零、極點(diǎn)決定于系

7、統(tǒng)本身的特性。 2022/8/2132二、 幾種典型的極點(diǎn)分布(a)一階極點(diǎn)在原點(diǎn)2022/8/2133二、 幾種典型的極點(diǎn)分布(b)一階極點(diǎn)在負(fù)實(shí)軸2022/8/2134二、 幾種典型的極點(diǎn)分布(c)一階極點(diǎn)在正實(shí)軸2022/8/2135二、 幾種典型的極點(diǎn)分布(d)一階共軛極點(diǎn)在虛軸上2022/8/2136二、 幾種典型的極點(diǎn)分布(e)共軛極點(diǎn)在虛軸上，原點(diǎn)有一零點(diǎn)2022/8/2137二、 幾種典型的極點(diǎn)分布(f)共軛極點(diǎn)在左半平面2022/8/2138二、 幾種典型的極點(diǎn)分布(g)共軛極點(diǎn)在右半平面2022/8/2139三、 有二重極點(diǎn)分布(a)在原點(diǎn)有二重極點(diǎn)2022/8/2140三

8、、 有二重極點(diǎn)分布(b)在負(fù)實(shí)軸上有二重極點(diǎn)2022/8/2141三、 有二重極點(diǎn)分布(c)在虛軸上有二重極點(diǎn)2022/8/2142三、 有二重極點(diǎn)分布(d)在左半平面有二重共軛極點(diǎn)2022/8/21432022/8/2144極點(diǎn)影響小結(jié)：極點(diǎn)：左半s平面h(t)衰減右半s平面h(t)增長虛軸上一階極點(diǎn)h(t) 等幅振蕩或階躍二階極點(diǎn)h(t) 呈增長形式h(t)衰減 穩(wěn)定系統(tǒng)（極點(diǎn)在左半s平面）h(t)增長 非穩(wěn)定系統(tǒng)（極點(diǎn)在右半s平面）如果在虛軸上一階：階躍或等幅振蕩（臨界穩(wěn)定） 二階：以上不穩(wěn)定系統(tǒng)2022/8/2145四、零點(diǎn)的影響零點(diǎn)移動(dòng)到原點(diǎn)結(jié)論：H(s)的零點(diǎn)只影響h(t)的幅度和

9、相位，而不影響形狀。幅度多了一個(gè)因子多了相移2022/8/2146五、自由響應(yīng)與強(qiáng)迫響應(yīng)2022/8/2147來自H(s)的極點(diǎn)來自E(s)的極點(diǎn)自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)五、自由響應(yīng)與強(qiáng)迫響應(yīng)2022/8/2148結(jié)論響應(yīng)函數(shù)r(t)由兩部分組成：系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)自由響應(yīng)分量；激勵(lì)函數(shù)的極點(diǎn)強(qiáng)迫響應(yīng)分量。H(s)的極點(diǎn)決定了自由響應(yīng)的振蕩頻率，與激勵(lì)無關(guān)自由響應(yīng)的幅度和相位與H(s)和E(s)的零點(diǎn)有關(guān)，即零點(diǎn)影響 K i , K k 系數(shù)E(s)的極點(diǎn)決定了強(qiáng)迫響應(yīng)的振蕩頻率，與H(s) 無關(guān)用H(s)只能研究零狀態(tài)響應(yīng)， H(s) E(s)中零極點(diǎn)相消將使某固有頻率丟失。2022/8/2149六、暫

10、態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 暫態(tài)響應(yīng)：激勵(lì)信號(hào)接入以后一段時(shí)間內(nèi)，全響應(yīng)中暫時(shí)出現(xiàn)的分量，隨著時(shí)間t的增大，它將逐漸消失。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：全響應(yīng)減去暫態(tài)響應(yīng)就是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。由位于S平面右半平面及虛軸上的極點(diǎn)所決定的響應(yīng)。由位于S平面左半平面的極點(diǎn)所決定的響應(yīng)。來自H(s) E(s)的極點(diǎn)H(s)的極點(diǎn)：左半s平面自由響應(yīng)屬于暫態(tài)響應(yīng)右半s平面虛軸自由響應(yīng)屬于穩(wěn)態(tài)響應(yīng)E(s)的極點(diǎn)：左半s平面強(qiáng)迫響應(yīng)屬于暫態(tài)響應(yīng)右半s平面虛軸強(qiáng)迫響應(yīng)屬于穩(wěn)態(tài)響應(yīng)2022/8/2150例4-19：電路如圖所示，輸入信號(hào)x(t)=5cos2t u(t),求輸出電壓y(t),并指出y(t)中的自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)分量。R=1y(t)x(

11、t) C=1F+-2022/8/21514.8 由系統(tǒng)函數(shù)零、極點(diǎn)分布決定頻響特性不同頻率的正弦激勵(lì)下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)一般為復(fù)數(shù)，可表示為下列兩種形式：頻響特性:指系統(tǒng)在正弦信號(hào)激勵(lì)下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)隨頻率的變化情況。2022/8/2152由正弦激勵(lì)的極點(diǎn)決定的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)如系統(tǒng)是穩(wěn)定的，該項(xiàng)最后衰減為零2022/8/2153穩(wěn)態(tài)響應(yīng)有關(guān)的幅度該變相位偏移2022/8/2154若 換成變量 系統(tǒng)頻率特性幅頻特性相位特性穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：-與激勵(lì)信號(hào)同頻率的正弦信號(hào)2.H(s)和頻響特性的關(guān)系2022/8/21553.幾點(diǎn)說明前提： 穩(wěn)定的因果系統(tǒng)。 有實(shí)際意義的物理系統(tǒng)都是穩(wěn)定的因果系統(tǒng)。 時(shí)域：頻域：H(s)的全

12、部極點(diǎn)落在s左半平面。 其收斂域包括虛軸： 拉氏變換存在 傅里葉變換存在2022/8/21564. 系統(tǒng)頻響特性2022/8/21574. 系統(tǒng)頻響特性2022/8/2158二、根據(jù)H(s)零極圖繪制系統(tǒng)的頻響特性曲線jpi0j-zj和j-pi矢量演示2022/8/21592022/8/2160三、 典型系統(tǒng)的頻響特性例4-20：研究下圖所示的RC濾波網(wǎng)絡(luò)的頻響特性+-+-RCv1v2 一階系統(tǒng)的頻響特性2022/8/2161演示2022/8/21621本例中：一般將 中最大值的 倍所對(duì)應(yīng)的頻率 稱為截止頻率。（高通濾波網(wǎng)絡(luò)）2022/8/2163解：例4-21：研究下圖所示RC濾波網(wǎng)絡(luò)的頻響特性+-v1RC+-v22022/8/2164演示2022/8/2165010（低通濾波