彈性力學(xué)總結(jié)與復(fù)習(xí)思考題(土木)課件

1、彈性力學(xué)課程總結(jié)與復(fù)習(xí)一、彈性力學(xué)問題研究的基本框架：彈性力學(xué)問題基本假設(shè)與基本量5個(gè)基本假設(shè)；基本量：基本原理平衡原理能量原理（單元體）（整體）基本方程控制微分方程邊界條件平衡微分方程幾何方程物理方程應(yīng)力邊界條件位移邊界條件 數(shù)學(xué)上構(gòu)成偏微分方程的定解問題求解方法混合邊界條件求解方法函數(shù)解精確解；近似解；（如：基于能量原理的解）數(shù)值解（如：有限差分法、有限單元法等）實(shí)驗(yàn)方法二、彈性力學(xué)平面問題的求解（1）按未知量的性質(zhì)分：按位移求解；按應(yīng)力求解；（2）按采用的坐標(biāo)系分：直角坐標(biāo)解答；極坐標(biāo)解答；1. 平面問題的求解方法逆解法；半逆解法；2. 平面問題按應(yīng)力求解的基本方程（1）平衡方程(2-2

2、)（2）相容方程（形變協(xié)調(diào)方程）（2-23）（3）邊界條件：（2-18）（平面應(yīng)力情形）（1）對(duì)應(yīng)力邊界問題，且為單連通問題，滿足上述方程的解是唯一正確解。（2）對(duì)多連通問題，滿足上述方程外，還需滿足位移單值條件，才是唯一正確解。說明：3. 常體力下平面問題求解的基本方程與步驟：（1）(2-27)（2）然后將 代入式（2-26）求出應(yīng)力分量：先由方程（2-27）求出應(yīng)力函數(shù)：(2-26)（3）再讓 滿足應(yīng)力邊界條件和位移單值條件（多連體問題）。（2-18）（2-17）直角坐標(biāo)下三、彈性力學(xué)問題求解的能量法1. 基本概念與基本量（1）形變勢(shì)能U、比能U 1；（2）總勢(shì)能2. 變分方程與變分原理

3、位移變分方程；虛功方程； 最小勢(shì)能原理；3. 求解彈性力學(xué)問題的變分法（1） Ritz 法；（2）最小勢(shì)能原理；如何設(shè)定位移函數(shù)？4. Ritz 法解題步驟：（1）假設(shè)位移函數(shù)，使其位移邊界條件；（2） 計(jì)算形變勢(shì)能 U ；（3）代入Ritz 法方程求解待定系數(shù)；（4）回代求解位移、應(yīng)力等。5. 最小勢(shì)能原理解題步驟：（1）假設(shè)位移函數(shù)，使其位移邊界條件；（2） 計(jì)算系統(tǒng)的總勢(shì)能 ；（3） 由最小勢(shì)能原理確定待定系數(shù)；（4）回代求解位移、應(yīng)力等。四、其它問題（1）一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)分析；（2）應(yīng)力邊界條件的列寫；（圣維南原理的應(yīng)用）二、試題形式簡(jiǎn)單敘述、計(jì)算題；各章節(jié)的復(fù)習(xí)思考題第一章 緒 論（1）

4、彈性力學(xué)與材料力學(xué)）、結(jié)構(gòu)力學(xué)課程的異同。（從研究對(duì)象、研究?jī)?nèi)容、研究方法等討論）（2）彈性力學(xué)中應(yīng)用了哪些基本假定？ 這些基本假定在建立彈性力學(xué)基本方程時(shí)的作用是什么？ 舉例說明哪些使用了這些基本假定？（3）彈性力學(xué)中應(yīng)力分量的正負(fù)是如何規(guī)定的？與材料力學(xué)中有何不同？應(yīng)力正負(fù)號(hào)的規(guī)定：正應(yīng)力 拉為正，壓為負(fù)。剪應(yīng)力 坐標(biāo)正面上，與坐標(biāo)正向一致時(shí)為正；坐標(biāo)負(fù)面上，與坐標(biāo)正向相反時(shí)為正。材力中規(guī)定使得單元體順時(shí)針的剪應(yīng)力為正，反之為負(fù)。1. 研究?jī)?nèi)容材力:（內(nèi)容）桿件在外力或溫度作用下的應(yīng)力、變形、材料的宏觀力學(xué)性質(zhì)、破壞準(zhǔn)則等。 結(jié)力:（內(nèi)容）桿件系統(tǒng)（桿系結(jié)構(gòu)）在外力或溫度作用下的應(yīng)力、變形

5、、位移等變化規(guī)律。 （任務(wù)）解決桿系的強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性問題。 （任務(wù)）解決桿件的強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性問題。 彈力:（內(nèi)容）彈性體在外力或溫度作用下的應(yīng)力、變形、位移等分布規(guī)律。 （任務(wù)）解決彈性體的強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性問題。 （1）彈性力學(xué)與材料力學(xué)）、結(jié)構(gòu)力學(xué)課程的異同。2. 彈性力學(xué)與材力、結(jié)力課程的區(qū)別材力：（1）研究對(duì)象桿件（直桿、小曲率桿）結(jié)力：桿件系統(tǒng)（或結(jié)構(gòu)）彈力：一般彈性實(shí)體結(jié)構(gòu)：三維彈性固體、板狀結(jié)構(gòu)、桿件等（2）研究方法材力：借助于直觀和實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象作一些假定，如平面假設(shè)等，然后由靜力學(xué)、幾何關(guān)系、物理方程三方面進(jìn)行分析。結(jié)力：與材力類同。彈力：僅由靜力平衡、幾何方程、物理方程三

6、方面分析，放棄了材力中的大部分假定。 彈性力學(xué)中的基本假定1. 連續(xù)性假定整個(gè)物體的體積都被組成物體的介質(zhì)充滿，不留下任何空隙。 該假定在研究物體的宏觀力學(xué)特性時(shí)，與工程實(shí)際吻合較好；研究物體的微觀力學(xué)性質(zhì)時(shí)不適用。作用：使得、u 等量表示成坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)。保證中極限的存在。（平衡方程、幾何方程、物理方程）2. 線彈性假定 假定物體完全服從虎克（Hooke）定律，應(yīng)力與應(yīng)變間成線性比例關(guān)系（正負(fù)號(hào)變化也相同）。比例常數(shù) 彈性常數(shù)（E、）脆性材料 一直到破壞前，都可近似為線彈性的；塑性材料 比例階段，可視為線彈性的。3. 均勻性假定作用：可使求解方程線性化 假定整個(gè)物體是由同一種材料組成 的，各

7、部分材料性質(zhì)相同。作用：彈性常數(shù)（E、）等不隨位置坐標(biāo)而變化；取微元體分析的結(jié)果可應(yīng)用于整個(gè)物體。（物理方程）（平衡方程、幾何方程、物理方程）4. 各向同性假定 假定物體內(nèi)一點(diǎn)的彈性性質(zhì)在所有各個(gè)方向都相同。作用：彈性常數(shù)（E、）不隨坐標(biāo)方向而變化；金屬 上述假定符合較好；木材、巖石 上述假定不符合，稱為各向異性材料；符合上述4個(gè)假定的物體，稱為理想彈性體。5. 小變形假定 假定位移和形變是微小的，即物體受力后物體內(nèi)各點(diǎn)位移遠(yuǎn)遠(yuǎn)小物體的原來的尺寸。作用：建立方程時(shí)，可略去高階微量；可用變形前的尺寸代替變形后的尺寸。使求解的方程線性化。（物理方程）（平衡方程、幾何方程、物理方程）第二章 平面問題

8、的基本理論（1）兩類平面問題的特點(diǎn)？（幾何、受力、應(yīng)力、應(yīng)變等）。（2）試列出兩類平面問題的基本方程，并比較它們的異同。（3）在建立平面問題基本方程（平衡方程、幾何方程）時(shí)，作了哪些近似簡(jiǎn)化處理？其作用是什么？（4）位移分量與應(yīng)變分量的關(guān)系如何？是否有位移就有應(yīng)變？（5）已知位移分量可唯一確定其形變分量，反過來是否也能唯一確定？需要什么條件？（6）已知一點(diǎn)的應(yīng)力分量，如何求任意斜截面的應(yīng)力、主應(yīng)力、主方向？（7）什么是線應(yīng)變（正應(yīng)變）、剪應(yīng)變（切應(yīng)變、角應(yīng)變）？（8）平面應(yīng)力與平面應(yīng)變問題的物理方程有何關(guān)系？（9）邊界條件有哪幾類？如何列寫？（10）何為圣維南原理？其要點(diǎn)是什么？圣維南原理的作

9、用是什么？如何利用圣維南原理列寫邊界條件？（11）彈性力學(xué)問題為超靜定問題，試說明之。（12）彈性力學(xué)問題按位移求解的基本方程有哪些？（13）彈性力學(xué)平面問題的變形協(xié)調(diào)方程（相容方程）有哪些形式？各自的使用條件是什么？（14）按應(yīng)力求解彈性力學(xué)問題，為什么除了滿足平衡方程、邊界條件外，還必須滿足變形協(xié)調(diào)方程（相容方程）？而按位移求解為什么不需要滿足變形協(xié)調(diào)方程？（15）應(yīng)力分量滿足平衡方程、相容方程、邊界條件，是否就是問題的正確解？為什么？（16）何為逆解法？何為半逆解法？對(duì)多連通問題，滿足上述方程外，還需滿足位移單值條件，才是唯一正確解。兩類平面問題：平面應(yīng)力問題幾何特征受力特征應(yīng)力特征平面

10、應(yīng)變問題幾何特征;受力特征;應(yīng)變特征。xyyztba水壩滾柱圣維南原理(Saint-Venant Principle)原理：若把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力，則近處的應(yīng)力分布將有顯著改變，而遠(yuǎn)處所受的影響可忽略不計(jì)。PPPP/2P/2要點(diǎn)： 小部分邊界（次要邊界）； 靜力等效； 影響范圍限于近處，遠(yuǎn)處不受影響； 圣維南原理的應(yīng)用(1)對(duì)復(fù)雜的力邊界，用靜力等效的分布面力代替。(2)有些位移邊界不易滿足時(shí)，也可用靜力等效的分布面力代替。注意事項(xiàng)：(1)必須滿足靜力等效條件；(2)只能在次要邊界上用圣維南原理，在主要邊界上不能使用。如：AB主要邊界P次要邊界第三章 平

11、面問題的直角坐標(biāo)解答（1）直角坐標(biāo)解答適用于什么情況？（2）用應(yīng)力函數(shù)法求解彈性力學(xué)問題的基本步驟？（3）常體力下應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量間的（直角坐標(biāo)）關(guān)系如何？第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答（1）極坐標(biāo)解答適用的問題結(jié)構(gòu)的幾何形狀？（圓環(huán)、圓筒、圓弧形曲桿、楔形體、半無限平面體等）（2）極坐標(biāo)下彈性力學(xué)平面問題的基本方程？（平衡微分方程、幾何方程、物理方程、邊界條件方程）（3）極坐標(biāo)下彈性力學(xué)平面問題的相容方程？（用應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程等）（4）極坐標(biāo)下應(yīng)力分量與應(yīng)力函數(shù) 間關(guān)系？（5）極坐標(biāo)下彈性力學(xué)平面問題邊界條件的列寫？（6）極坐標(biāo)下軸對(duì)稱問題應(yīng)力函數(shù) 、應(yīng)力分量、位移分量的特點(diǎn)？第五章

12、平面問題的差分法與變分法（1）了解差分法的基本思想；（3）了解應(yīng)力函數(shù)差分解中，應(yīng)力分量的差分公式；應(yīng)力函數(shù)的差分方程；（6）了解應(yīng)力函數(shù)差分解求解彈性力學(xué)問題的基本方法步驟；（2）了解基本的差分計(jì)算公式；（4）了解邊界結(jié)點(diǎn)的應(yīng)力函數(shù)值及其導(dǎo)數(shù)值求?。唬?）了解虛結(jié)點(diǎn)的應(yīng)力函數(shù)值求??；彈性力學(xué)問題求解的能量法1. 基本概念與基本量（1）形變勢(shì)能U、比能U 1；（2）總勢(shì)能2. 變分方程與變分原理 位移變分方程；虛功方程； 最小勢(shì)能原理；3. 求解彈性力學(xué)問題的變分法（1） Ritz 法；（2）最小勢(shì)能原理；如何設(shè)定位移函數(shù)？4. Ritz 法解題步驟：（1）假設(shè)位移函數(shù)，使其位移邊界條件；（2

13、） 計(jì)算形變勢(shì)能 U ；（3）代入Ritz 法方程求解待定系數(shù)；（4）回代求解位移、應(yīng)力等。5. 最小勢(shì)能原理解題步驟：（1）假設(shè)位移函數(shù)，使其位移邊界條件；（2） 計(jì)算系統(tǒng)的總勢(shì)能 ；（3） 由最小勢(shì)能原理確定待定系數(shù)；（4）回代求解位移、應(yīng)力等。第七章 空間問題的基本理論（3）空間一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)及其表示；如何由一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的六個(gè)分量求任意斜截面上的應(yīng)力、主應(yīng)力。（1）空間問題的基本方程：平衡方程、幾何方程、物理方程；（4）空間問題物理方程的各種表達(dá)形式：（a）用應(yīng)力表示應(yīng)變；（b）用應(yīng)變表示應(yīng)力；（c）用體積應(yīng)力表示體積應(yīng)變。（2）空間軸對(duì)稱問題的基本方程：平衡方程、幾何方程、物理方程；第

14、八章 空間問題的解答（1）按位移求解空間問題的基本方程：（a）用位移表示的平衡微分方程；（b）應(yīng)力邊界條件；位移邊界條件。（2）按位移求解空間軸對(duì)稱問題的基本方程。（3）按應(yīng)力求解空間問題的基本方程：（a）平衡微分方程；（b）相容方程：（Michell 密切爾方程）、（Beltrami貝爾特拉密方程）；（c）邊界條件。補(bǔ)充題2-5下面給出平面應(yīng)力問題（單連通域）的應(yīng)力場(chǎng)和應(yīng)變場(chǎng)，試分別判斷它們是否為可能的應(yīng)力場(chǎng)與應(yīng)變場(chǎng)（不計(jì)體力）。（1）（2）解：（1）驗(yàn)證是否滿足平衡微分方程； 滿足平衡微分方程驗(yàn)證是否滿足相容方程； 顯然滿足結(jié)論：所給應(yīng)力分量為一組可能的應(yīng)力分量。補(bǔ)充題下面給出平面應(yīng)力問題

15、（單連通域）的應(yīng)力場(chǎng)和應(yīng)變場(chǎng)，試分別判斷它們是否為可能的應(yīng)力場(chǎng)與應(yīng)變場(chǎng)（不計(jì)體力）。（1）（2）解：（2）驗(yàn)證是否滿足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程：要使下式成立：須有：上式成立的條件：結(jié)論：（1）僅當(dāng)式（1）成立時(shí)，所給應(yīng)變分量為可能的。補(bǔ)充題試寫出圖示構(gòu)件的邊界條件。(應(yīng)用圣維南原理)(a)(b)(c)(d)解：（a）補(bǔ)充題2-6試寫出圖示構(gòu)件的邊界條件。(應(yīng)用圣維南原理)(a)左側(cè)：右側(cè)：上側(cè)：y =0下側(cè)：y = l反力：(b)解：（b）補(bǔ)充題2-6試寫出圖示構(gòu)件的邊界條件。(應(yīng)用圣維南原理)左側(cè)：右側(cè)：上側(cè)：y =0下側(cè)：y = l反力：解：（b）補(bǔ)充題2-6試寫出圖示構(gòu)件的邊界條件。(應(yīng)用圣維南原理

16、)下側(cè)：y = l反力：(b)補(bǔ)充題2-6試寫出圖示構(gòu)件的邊界條件。(應(yīng)用圣維南原理)(c)解：（c）左側(cè)：x =0右側(cè)：x = h上側(cè)：y =0下側(cè)：y = l反力：補(bǔ)充題2-6試寫出圖示構(gòu)件的邊界條件。解：（d）上側(cè)：下側(cè)：右側(cè)：x = l左側(cè)：x = 0反力：(d)例：圖示矩形板，長(zhǎng)為 l ，高為 h ，體力不計(jì)，試證以下函數(shù)是應(yīng)力函數(shù)，并指出能解決什么問題。式中k為常數(shù)。xyOlh解：(1)應(yīng)力分量：邊界條件：顯然，上下邊界無面力作用。上下邊界(2)xyOlh左邊界k右邊界kkl結(jié)論：可解決懸臂梁左端受集中力問題。2. 試問 f(x)、f1(x) 取何種形式，以下函數(shù)能作為應(yīng)力函數(shù)(x，y) 。解：將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程，有上述方程中，要使對(duì)任意的 x、y 成立，有積分得習(xí)題2-3試證明，如果體力雖然不是常量，但卻是有勢(shì)力，即：其中V是勢(shì)函數(shù)，則應(yīng)力分量亦可用應(yīng)力函數(shù) 表示成為：試導(dǎo)出相應(yīng)的相容方程。證明：當(dāng)式（1）成立時(shí) ，有： （1） （2） 將式（2）代入 ，有： 式（2）滿足平衡微分方程 表明應(yīng)力分量可用式（2）表示。習(xí)題2-3試證明