人教A版高中數(shù)學(xué)必修五3.4 基本不等式課件 課件

1、3.4 基本不等式引入新課正方形的面積為：四個(gè)直角三角形的面積和為：我們得到一個(gè)不等式： 當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即a=b時(shí)，正方形EFGH縮為一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)有一般地，對于任意實(shí)數(shù)a，b，我們有當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號成立。 特別地，如果a0,b0,我們用 ， 分別代替a，b，可得到通常，我們把上式寫作 以上的不等式是我們從幾何圖形中的面積關(guān)系得出的，能否利用不等式的性質(zhì)直接推導(dǎo)出來呢？證明：在圓中，AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn)，AC=a，BC=b.過點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD.你能利用這個(gè)圖形，得出不等式（ *）的幾何解釋嗎？ABCDEab合作探究2.幾何意義：半弦長小

2、于等于半徑（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號成立）1.思考:如果用 去替換 中的 , 能得到什么結(jié)論? 必須要滿足什么條件?3.代數(shù)意義：幾何平均數(shù)小于等于算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)幾何平均數(shù)探究新知構(gòu)造條件例1、若 ,求 的最小值.變3:若 ,求 的最小值.變1:若 求 的最小值變2:若 ,求 的最小值.發(fā)現(xiàn)運(yùn)算結(jié)構(gòu)，應(yīng)用不等式問:在結(jié)論成立的基礎(chǔ)上,條件“a0,b0”可以變化嗎？例2、已知 ,求函數(shù) 的最大值.變式:已知 ,求函數(shù) 的最大值.發(fā)現(xiàn)運(yùn)算結(jié)構(gòu)，應(yīng)用不等式均值定理：已知x,y都是正數(shù)，（1）如果積xy是定值P，那么當(dāng)x=y時(shí)，和x+y有最小值 ；（2）如果和x+y是定值S，那么當(dāng)x=y時(shí)，積xy

3、有最大值條件說明：1、函數(shù)式中各項(xiàng)必須都是正數(shù).2、函數(shù)式中含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須都是常值（定值）.3、等號成立條件必須存在.“一正二定三等”，這三個(gè)條件缺一不可.【例3】(1)用籬笆圍成一個(gè)面積為100m2的矩形菜園，問這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短。最短的籬笆長 是多少？ (2)一段長為36 m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，問這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少?解： (1)設(shè)矩形菜園的長為x m，寬為y m，則xy=100，籬笆的長為2(x+y) m. 等號當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)成立，此時(shí)x=y=10. 因此，這個(gè)矩形的長、寬都為10m時(shí)，所用的籬笆最短，

4、最短的籬笆是40m. (2)設(shè)矩形菜園的寬為xm，則長為(36-2x)m，其中 0 x18 ,解： 其面積為:當(dāng)且僅當(dāng)2x=36-2x，即x=9時(shí)菜園面積最大，即菜園長18m，寬為9 m時(shí)菜園面積最大為162 m2.【例4】某工廠要建造一個(gè)長方體無蓋貯水池，其容積為4800m3,深為3m，如果池底每1m2的造價(jià)為150元，池壁每1m2的造價(jià)為120元，問怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是多少元？ 分析：此題首先需要由實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化，即建立函數(shù)關(guān)系式，然后求函數(shù)的最值，其中用到了均值不等式定理。解： 設(shè)水池底面一邊的長度為xm， 則水池的寬為 ,水池的總造價(jià)為y元，根據(jù)題意，得當(dāng)時(shí)

5、y有最小值297600所以將水池的地面設(shè)計(jì)成邊長為40m的正方形時(shí)總造價(jià)最低，最低造價(jià)是297600元1.(1)已知 ，求函數(shù) 的最大值。 (2)已知 ， ，且 ，求 的最小值。小試牛刀2. 求 函數(shù)的值域。3.用邊長為60厘米的正方形鐵皮做一個(gè)無蓋的水箱，先在四 角分別截去一個(gè)小正方形，然后做成一個(gè)無蓋的水箱，問 水箱邊長取多少時(shí)，水箱容積最大，最大的容積為多少？ (1)函數(shù)的解析式中，各項(xiàng)均為正數(shù)；(3)函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項(xiàng)均相等，取得最值即用均值不等式求某些函數(shù)的最值時(shí)，應(yīng)具備三個(gè)條件：一正二定三取等。 本節(jié)課我們用兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系順利解決了函數(shù)的一些最值問題。