【數(shù)學(xué)】培優(yōu)一元二次方程輔導(dǎo)專(zhuān)題訓(xùn)練附詳細(xì)答案

1、一、一元二次方程真題與模擬題分類(lèi)匯編（難題易錯(cuò)題）1.某建材銷(xiāo)售公司在2019年第一季度銷(xiāo)售A，B兩種品牌的建材共126件，A種品牌的建材售價(jià)為每件6000元，B種品牌的建材售價(jià)為每件9000元.（1）若該銷(xiāo)售公司在第一季度售完兩種建材后總銷(xiāo)售額不低于96.6萬(wàn)元，求至多銷(xiāo)售A種品牌的建材多少件？（2）該銷(xiāo)售公司決定在2019年第二季度調(diào)整價(jià)格，將A種品牌的建材在上一個(gè)季度的基礎(chǔ)上下調(diào)a%，B種品牌的建材在上一個(gè)季度的基礎(chǔ)上上漲a%；同時(shí)，與（1）問(wèn)中最低1銷(xiāo)售額的銷(xiāo)售量相比，A種品牌的建材的銷(xiāo)售量增加了2a%，B種品牌的建材的銷(xiāo)售量22減少了3a%，結(jié)果2019年第二季度的銷(xiāo)售額比（1）問(wèn)中

2、最低銷(xiāo)售額增加23a%，求a的值.【答案】（1）至多銷(xiāo)售A品牌的建材56件;（2）a的值是30.【解析】【分析】（1）設(shè)銷(xiāo)售A品牌的建材x件，根據(jù)售完兩種建材后總銷(xiāo)售額不低于96.6萬(wàn)元，列不等式求解；（2）根據(jù)題意列出方程求解即可.【詳解】（1）設(shè)銷(xiāo)售A品牌的建材x件.根據(jù)題意，得6000 x+9000（126-x）966000，解這個(gè)不等式，得x56，答：至多銷(xiāo)售A品牌的建材56件.（2）在（1）中銷(xiāo)售額最低時(shí)，B品牌的建材70件,6000(1-a%)0561+-a%+9000(1+a%)o701-2a%12丿I3丿根據(jù)題意，得(6000056+9000070”+23a%令a%二y,整理這

3、個(gè)方程，得10y2-3y二0，3解這個(gè)方程，得y二0,y二-，1210:ai0（舍去），a230，即a的值是30.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程和一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系和不等關(guān)系，列方程組和不等式求解.已知關(guān)于x的方程x2+3x+a二0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于3且關(guān)于x的方程k2-1(k-1)x2+3x-2a=0有實(shí)數(shù)根，又k為正整數(shù)，求代數(shù)式的值.k2+k一6【答案】0.【解析】【分析】由于關(guān)于x的方程x2+3x+a=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于3利用根與系數(shù)的關(guān)系可以得到關(guān)于a的方程求出a,又由于關(guān)于x的方程(k-1)x2+3x-2a=

4、0有實(shí)數(shù)根，分兩種情況討論，該方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k為正整數(shù)，利用判別式可以求出k,最后代入所求代數(shù)式計(jì)算即可求解.【詳解】解：設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為X、x2x+x=312則01x+x由條件，知+二于=3，121239即3，且a，a4故a=1，則方程為(k-1)X2+3x+2=0,k21I當(dāng)k-1=0時(shí)，k=1,x=一，貝y0.k2+k617口.當(dāng)k-lH0時(shí)，A=9-8(k-1)=17-6-8k0，則k-，8k21又k是正整數(shù)，且31,則k=2,但使無(wú)意義.k2+k6k21綜上，代數(shù)式的值為0k2+k6【點(diǎn)睛】本題綜合考查了根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，在解方程時(shí)一定

5、要注意所求k的值與方程判別式的關(guān)系.要注意該方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，已知關(guān)于x的一元二次方程x2(2k-1)x+k2一3=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.求k的取值范圍；設(shè)方程兩實(shí)數(shù)根分別為J,x2,且滿足x2+x2=23，求k的值.121213答案】k-J2)k=-2-【解析】【分析】（1）根據(jù)方程有實(shí)數(shù)根得出=-（2k-1力2-4xlx（k2-3）=-8k+50，解之可得.（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系可用k表示出xi+x2和xix2的值，根據(jù)條件可得到關(guān)于k的方1212程，可求得k的值，注意禾怫根的判別式進(jìn)行取舍.【詳解】解：（】）關(guān)于x的一元二次方程x2-（2k-1）x+k2-3=0有兩個(gè)

6、實(shí)數(shù)根,0，即-（2k-1力2-4x1x（k2-3）=-4k+130,J3解得k0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)0,再利用求根公式即可求出方程的兩根即可；有(1)可知方程的兩根，再有條件Xx2，可知道x1和x2的數(shù)值，代入計(jì)算即可.一位數(shù)學(xué)老師參加本市自來(lái)水價(jià)格聽(tīng)證會(huì)后，編寫(xiě)了一道應(yīng)用題，題目如下：節(jié)約用水、保護(hù)水資源，是科學(xué)發(fā)展觀的重要體現(xiàn).依據(jù)這種理念，本市制定了一套節(jié)約用水的管理措施，其中規(guī)定每月用水量超過(guò)*(噸)時(shí)，超過(guò)部分每噸加收環(huán)境保護(hù)費(fèi)=元下圖反映了每月收取的水費(fèi)(元)與每月用水量二(噸)之間的函數(shù)關(guān)系.請(qǐng)你解答下列問(wèn)題：5.觀察下列組方程：x2x

7、=0；x23x+2=0；x25x+6=0；x2-7x+12=0；它們的根有一定的規(guī)律，都是兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，我們稱(chēng)這類(lèi)一元二次方程為“連根一元二次方程”.若x2+kx+56二0也是“連根一元二次方程，寫(xiě)出k的值，并解這個(gè)一元二次方程；請(qǐng)寫(xiě)出第n個(gè)方程和它的根.【答案】(1)X=7,x2=8.(2)x1=n1,x2=n.【解析】【分析】(1)根據(jù)十字相乘的方法和“連根一元二次方程”的定義,找到56是7與8的乘積,確定k值即可解題,(2)找到規(guī)律,十字相乘的方法即可求解.【詳解】解:(1)由題意可得k=15，則原方程為X215x+56=0,則(x7)(x8)=0，解得x】=7，x2=8.第n個(gè)方程

8、為x2(2n1)x+n(n1)=0,(xn)(xn+1)=0,解得x】=n1,x2=n.【點(diǎn)睛】本題考查了用因式分解法求解一元二次方程,與十字相乘聯(lián)系密切,連根一元二次方程是特殊的十字相乘,中等難度,會(huì)用十字相乘解題是解題關(guān)鍵.已知關(guān)于x的一元二次方程mx2(m+2)x+詈=0.當(dāng)m取什么值時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)m=4時(shí)，求方程的解.【答案】(1)當(dāng)m1且m豐0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)x=土5，143-弱x=.24【解析】【分析】方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，人0，代入求m取值范圍即可，注意二次項(xiàng)系數(shù)丸；將m=4代入原方程，求解即可.【詳解】由題意得：A=b24ac=(m+2

9、)24m扌0，解得m1.因?yàn)閙豐0，即當(dāng)m1且m豐0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.把m=4帶入得4x26x+1=0，解得x=比遼，x=匕5.1424【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根的情況以及求解，熟練掌握根的判別式以及一元二次方程求解是加大本題的關(guān)鍵.1已知關(guān)于x的方程x2-(2k+1)x+4(k-亍)=0.求證：無(wú)論k取何值，此方程總有實(shí)數(shù)根；若等腰ABC的一邊長(zhǎng)。=3,另兩邊b、c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求k值多少？3【答案】(1)詳見(jiàn)解析;(2)k=或2.【解析】【分析】計(jì)算判別式的值，利用完全平方公式得到=(2k-3)20,然后根據(jù)判別式的意義得到結(jié)論；利用求根公式解方程得到x1=2k-

10、1,x2=2，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到2k-1=2或2k-1=3，然后分別解關(guān)于k的方程即可.【詳解】1(1)V=(2k+1)2-4x4(k-)=4k2-12k+9=(2k-3)20，2該方程總有實(shí)數(shù)根；2k+1(2k-3)(2)x=2X=2k-1,x2=2,ta、b、c為等腰三角形的三邊，2k-1=2或2k-1=3,3k=-或2.厶【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式以及等腰三角形的性質(zhì)，分a是等腰三角形的底和腰兩種情況是解題的關(guān)鍵.8閱讀材料:若m2一2mn+2n2一8n+16=0，求m、n的值.解：m2一2mn+2n2一8n+16=0,(m2一2mn+n2)+(n2一8n+16)=0(m一n)

11、2+(n一4)2=0,m一n=0,n一4=0,n=4,m=4.根據(jù)你的觀察,探究下面的問(wèn)題:己知x2+2xy+2y2+2y+1二0，求x一y的值.已知ABC的三邊長(zhǎng)a、b、c都是正整數(shù)，且滿足a2+b2-6a-8b+25=0，求邊c的最大值.若己知a一b=4,ab+c2一6c+13=0,求a一b+c的值.【答案】(1)2(2)6(3)7【解析】【分析】將多項(xiàng)式第三項(xiàng)分項(xiàng)后,結(jié)合并利用完全平方公式化簡(jiǎn),根據(jù)兩個(gè)非負(fù)數(shù)之和為0,兩非負(fù)數(shù)分別為0求出x與y的值，即可求出x-y的值；將已知等式25分為9+16,重新結(jié)合后,利用完全平方公式化簡(jiǎn),根據(jù)兩個(gè)非負(fù)數(shù)之和為0,兩非負(fù)數(shù)分別為0求出a與b的值，根

12、據(jù)邊長(zhǎng)為正整數(shù)且三角形三邊關(guān)系即可求出c的長(zhǎng)；由a-b=4,得到a=b+4，代入已知的等式中重新結(jié)合后，利用完全平方公式化簡(jiǎn)，根據(jù)兩個(gè)非負(fù)數(shù)之和為0,兩非負(fù)數(shù)分別為0求出b與c的值，進(jìn)而求出a的值，即可求出a-b+c的值.【詳解】(1)tx2+2xy+2y2+2y+1=0(x2+2xy+y2)+(y2+2y+1)=0(x+y)2+(y+1)2=0 x+y=0y+1=0解得：x=1,y=-1.x-y=2；va2+b2-6a-8b+25=0.(a2-6a+9)+(b2-8b+16)=0.(a-3)2+(b-4)2=0.a-3=0，b-4=0解得：a=3，b=4v三角形兩邊之和第三邊.ca+b,cV

13、3+4,.cV7.又vc是正整數(shù)，：ABC的最大邊c的值為4,5,6,.c的最大值為6；va-b=4,即a=b+4，代入得：(b+4)b+c2-6c+13=0，整理得：(b2+4b+4)+(C2-6c+9)=(b+2)2+(c-3)2=0,.b+2=0,且c-3=0,即b=-2,c=3,a=2，則a-b+c=2-(-2)+3=7.故答案為7.【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用,以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì),熟練掌握完全平方公式是解答本題的關(guān)鍵.9.如圖，在四邊形ABCD中，AD/BC,zC=90,BC=16,DC=12,AD=21,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段DA的方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出

14、發(fā)，在線段CB上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)P,Q分別從點(diǎn)D,C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)Q隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒)APZ?當(dāng)t=2時(shí)，求BPQ的面積；若四邊形ABQP為平行四邊形，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t當(dāng)t為何值時(shí)，以B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？716【答案】(1)S=84；(2)t=5；(3)t=或【解析】【分析】(1)過(guò)點(diǎn)P作PM丄BC于M，則PM=DC，當(dāng)t=2時(shí)，算出BQ,求出面積即可；(2)當(dāng)四邊形ABQP是平行四邊形時(shí)，AP=BQ，即21-2t=16-1，解出即可；(3)以B、P、q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，分三種情況，PQ二BQ,BP二BQ,PB二PQ

15、分別求出t即可.【詳解】解：（1）過(guò)點(diǎn)P作PM丄BC于M，則四邊形PDCM為矩形.SOC.PM=DC=12,QB=16t，當(dāng)t=2時(shí)，則BQ=14，11則S=-QBxPM=x14x12=84；22（2）當(dāng)四邊形ABQP是平行四邊形時(shí)，AP二BQ,即：212t=16t解得：t=5.當(dāng)t=5時(shí)，四邊形ABQP是平行四邊形.(3)由圖可知，CM=PD=2t,CQ=t,若以B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，可以分為以下三種情況：若PQ=BQ，在RtPMQ中，PQ=t+12，由PQ=BQ得712+122=(16t)2解得：t=；若BP=BQ,在RtPMB中，PB2=(16)2+122，由PB2=BQ

16、2?得(1621)2+122=(16t)2，即3t32t+144=0，此時(shí)，=(-32)4X3x144=7040,所以此方程無(wú)解，所以BP豐BQ；若PB=PQ，由PB=PQ?得t+12=（16t）+12,16得=y，t=16（不合題意，舍去）；716綜上所述，當(dāng)t=或時(shí)，以B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形.【點(diǎn)睛】本題是對(duì)四邊形即可中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的考查，熟練掌握動(dòng)點(diǎn)中線段的表示、平行四邊形和等腰三角形的性質(zhì)及判斷是解決本題的關(guān)鍵，難度適中.10利民商店經(jīng)銷(xiāo)甲、乙兩種商品.現(xiàn)有如下信息信息1：甲乙兩種商品的進(jìn)貨單價(jià)和為11；信息2：甲商品的零售單價(jià)比其進(jìn)貨單價(jià)多2元，乙商品的零售單價(jià)比其進(jìn)貨單價(jià)

17、的2倍少4元：信息3：按零售單價(jià)購(gòu)買(mǎi)甲商品3件和乙商品2件共付37元(1)甲、乙兩種商品的進(jìn)貨單價(jià)各是多少？G)據(jù)統(tǒng)計(jì)該商店平均每天賣(mài)出甲商品500件，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，甲商品零售單價(jià)每降0.1元，這樣甲商品每天可多銷(xiāo)售100件，為了使每天獲取更大的利潤(rùn)，商店決定把甲種商品的零售單價(jià)下降a元，在不考慮其他因素的條件下，當(dāng)a定為多少時(shí)，才能使商店每天銷(xiāo)售甲種商品獲取利潤(rùn)為1500元？【答案】(1)甲種商品的進(jìn)貨單價(jià)是5元/件，乙種商品的進(jìn)貨單價(jià)是6元/件(2)當(dāng)a定為0.5或1時(shí)，才能使商店每天銷(xiāo)售甲種商品獲取利潤(rùn)為1500元【解析】【分析】設(shè)甲種商品的進(jìn)貨單價(jià)是x元/件，乙種商品的進(jìn)貨單價(jià)是y元/件，根據(jù)給定的三個(gè)信息，可得出關(guān)于x,y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；當(dāng)零售單價(jià)下降a元/件時(shí)，每天可售出(500+1000a)件，根據(jù)總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)x銷(xiāo)售數(shù)量，即可得出關(guān)于a的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)甲種商品的進(jìn)貨單價(jià)是x元/件，乙種商品的