高等數(shù)學(xué)第一章第五節(jié)《極限運(yùn)算法則》課件

1、 第一章 二、 極限的四則運(yùn)算法則 三、 復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則 一 、無(wú)窮小運(yùn)算法則 第五節(jié)極限運(yùn)算法則時(shí), 有一、 無(wú)窮小運(yùn)算法則定理1. 有限個(gè)無(wú)窮小的和還是無(wú)窮小 .證: 考慮兩個(gè)無(wú)窮小的和 .設(shè)當(dāng)時(shí) , 有當(dāng)時(shí) , 有取則當(dāng)因此這說(shuō)明當(dāng)時(shí),為無(wú)窮小量 .思考: 無(wú)限個(gè)無(wú)窮小之和是否為無(wú)窮小 ？例如，類(lèi)似可證: 有限個(gè)無(wú)窮小之和仍為無(wú)窮小 . 定理2 . 有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小 . 證: 設(shè)又設(shè)即當(dāng)時(shí), 有取則當(dāng)時(shí) , 就有故即是時(shí)的無(wú)窮小 .推論 1 . 常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小 .推論 2 . 有限個(gè)無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小 .例1. 求解: 利用定理 2 可知說(shuō)明 : y

2、= 0 是的漸近線(xiàn) .二、 極限的四則運(yùn)算法則則有證: 因則有(其中為無(wú)窮小) 于是由定理 1 可知也是無(wú)窮小,再利用極限與無(wú)窮小的關(guān)系定理 , 知定理結(jié)論成立 .定理 3 . 若推論: 若且則( P45 定理 5 )利用保號(hào)性定理證明 .說(shuō)明: 定理 3 可推廣到有限個(gè)函數(shù)相加、減的情形 .提示: 令定理 4 . 若則有提示: 利用極限與無(wú)窮小關(guān)系定理及本節(jié)定理2 證明 .說(shuō)明: 定理 4 可推廣到有限個(gè)函數(shù)相乘的情形 .推論 1 .( C 為常數(shù) )推論 2 .( n 為正整數(shù) )例2. 設(shè) n 次多項(xiàng)式試證證:為無(wú)窮小(詳見(jiàn)P44)定理 5 . 若且 B0 , 則有證: 因有其中設(shè)無(wú)窮小

3、有界因此由極限與無(wú)窮小關(guān)系定理 , 得為無(wú)窮小,定理6 . 若則有提示: 因?yàn)閿?shù)列是一種特殊的函數(shù) ,故此定理 可由定理3 , 4 , 5 直接得出結(jié)論 . x = 3 時(shí)分母為 0 !例3. 設(shè)有分式函數(shù)其中都是多項(xiàng)式 ,試證: 證: 說(shuō)明: 若不能直接用商的運(yùn)算法則 .例4. 若例5 . 求解: x = 1 時(shí)分母 = 0 , 分子0 ,但因例6 . 求解: 時(shí),分子分子分母同除以則分母“ 抓大頭”原式一般有如下結(jié)果：為非負(fù)常數(shù) )( 如P47 例5 )( 如P47 例6 )( 如P47 例7 )三、 復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則定理7. 設(shè)且 x 滿(mǎn)足時(shí),又則有證: 當(dāng)時(shí), 有當(dāng)時(shí), 有對(duì)上述取則當(dāng)時(shí)故因此式成立.例7. 求解: 令已知 原式 =例8 . 求解: 方法 1則令 原式方法 2內(nèi)容小結(jié)1. 極限運(yùn)算法則(1) 無(wú)窮小運(yùn)算法則(2) 極限四則運(yùn)算法則(3) 復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則注意使用條件2. 求函數(shù)極限的方法(1) 分式函數(shù)極限求法時(shí), 用代入法( 分母不為 0 )時(shí), 對(duì)型 , 約去公因子時(shí) , 分子分母同除最高次冪“ 抓大頭”(2) 復(fù)合函數(shù)極限求法設(shè)中間變量Th1Th2Th3Th4Th5思考及練習(xí)1.是否存在 ? 為什么 ?答: 不存在 .否則由利用極限四則運(yùn)算法則可知存在 ,與已知條件矛盾.解:原式2.問(wèn)3.