線性代數(shù)基本概念

1、線性代數(shù)知識矩陣的相關(guān)內(nèi)容1線性代數(shù)知識矩陣（Matrix） 的概念矩陣的運算幾種特殊的矩陣向量（Vector）的概念矩陣的性質(zhì)矩陣（Matrix） 的概念矩陣A matrix is a rectangular array of number/一組數(shù)排成矩形陣列，稱為矩陣橫的一排稱為行（row），豎的一排稱為列（column）m行n列的矩陣稱mn矩陣，矩陣中的數(shù)aij稱為矩陣的元素（element），矩陣A一般簡記為(aij ) mnnn矩陣也稱為n階方陣，a11 ，a22 ，ann稱為矩陣主對角線的元素A=a11 a12 a1na21 a22 a2n am1 am2 amn矩陣的運算數(shù)值可以

2、加、減、乘、除，對于矩陣是否有相應(yīng)的運算呢？A=(aij)mn，B=(bij)pq矩陣的相等(=)A=B aij=bij，for all i and jm=p，n=q矩陣的加(+)A+B = (aij+bij) mnm=p，n=qA=4 7 B=2 3 A+B = 6 102 53 15 6矩陣的運算矩陣的減(-)A-B = (aij-bij) mnm=p，n=q矩陣的數(shù)乘（multiply a matrix by a number）kA = (kaij) mnA=4 7 B=2 3 A-B = 2 42 53 1-1 4A=4 7 3A = 12 212 5 6 15矩陣的運算矩陣的乘()p

3、=nAB是mq矩陣 nAB = (aikbkj) mq i=1此時BA沒有定義，即使BA有定義，一般情況下BA也不等于AB，甚至行數(shù)和列數(shù)也不同A=4 7 B=2 3 42 53 1 6AB=42+73 43+71 44+76 = 29 19 5822+53 23+51 24+5619 11 38矩陣的運算例如又如A=4 73 82 5B=2 3 43 1 6AB=29 19 5830 17 6019 11 38BA=25 5827 59A=2 43 7B=3 56 1AB=30 1451 22BA=21 4715 31矩陣的運算矩陣乘法的應(yīng)用例子 2x1 x2 + 5x3 + x4 = 20

4、 x1 + 5x2 + 4x3 + 5x4 = 30 3x1 + x2 - 6x3 + 2x4 = 20 可寫為 AX = bA=2 -1 5 11 5 4 53 1 -6 2b=203020X=x1 x2 x3 x4 矩陣的運算矩陣的除法沒有定義矩陣的運算律A + B = B + A(A + B) + C = A + (B + C)A(B + C) = AB + ACA(BC) = (AB)C矩陣的轉(zhuǎn)置（Transpose Operation）AT or AA=2 3 43 1 6AT=2 33 14 6幾種特殊的矩陣在數(shù)的運算中，有兩個特殊的數(shù)0和1，那么在矩陣的運算中是否也有類似作用的矩

5、陣呢？單位陣（Identity Matrix）一般用 I 或 E 表示是方陣（m=n），對角線元素為1，其余為0對任意矩陣A，有 A I = A = I AI=1 0 0 00 1 0 00 0 1 0 0 0 0 1幾種特殊的矩陣零陣（Null Matrix）一般用 O 表示是方陣（m=n），所有元素為0對任意矩陣A，有A+O=A，AA=O，OA=O=AOO=0 0 0 00 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0幾種特殊的矩陣對角陣一般用 D 表示是方陣（m=n），對角線以外的元素都為0數(shù)量矩陣：對角線元素相同的對角陣上三角形矩陣：對角線下方元素都為0的方陣下三角形矩陣：對角線上方元素都

6、為0的方陣D=d1 0 00 d2 0 0 0 dn幾種特殊的矩陣分塊矩陣、子陣（submatrix）A12 = a12 a13 a14 A21= a21 A22 = a22 a23 a24a31a32 a33 a34=a11 A12A21 A22A=a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24a31 a32 a33 a34如果B = b1 b2 = b1，則AB = a11b1 + A12 B2 b3 b4 B2A21b1 + A22 B2向量（Vector）的概念只有1行或1列的矩陣一般稱為向量，按行排列稱為行向量（row vector），按列排列稱列向量（column v

7、ector），矩陣的行（列）也可稱行（列）向量向量的元素個數(shù)稱為向量的維數(shù)為了表示方便，列向量用行向量的轉(zhuǎn)置來表示元素均為0的向量稱為0向量（null vector）向量（Vector）的概念向量的線性相關(guān)（linearly dependent）與線性無關(guān)（ linearly independent ）對于一組向量x1, x2, , xm，如果存在一組不全為0的數(shù)c1, c2, , cm，使得 c1x1 + c2x2 + + cmxm = 0，則稱這組向量線性相關(guān)；否則稱這組向量線性無關(guān)例如， x1= 1，1，1， x2= 0，1，1，x3= 2，5，5，由于 x3= 2x1+3x2，稱x1,

8、 x2, x3是線性相關(guān)的幾個性質(zhì)包含0向量的向量組一定線性相關(guān)向量組中如果有兩個向量相等，則向量組線性相關(guān)如果某向量組線性相關(guān)，則再添加若干向量后的向量組仍線性相關(guān)；如果某向量組線性無關(guān)，則其中部分向量組成的向量組必定線性無關(guān)向量（Vector）的概念向量組的秩（Rank）向量組中線性無關(guān)的向量的最大個數(shù)稱為該向量組的秩例如，向量組x1= 1, 1, 1，x2= 0, 1, 1，x3= 2, 5, 5，由于x1, x2, x3是線性相關(guān)的，而x1, x2是線性無關(guān)的，因此該向量組的秩為2基向量（basis）向量組中的線性無關(guān)的一個子向量組，如果其他的向量都是該子向量組中的向量的線性組合，則稱

9、該子向量組中的向量為該向量組的基向量，該子向量組為該向量組的基定理向量組中線性無關(guān)的r個向量組成的子向量組稱為基當(dāng)且僅當(dāng)該子向量組的秩為r矩陣的性質(zhì)矩陣的行秩（Row Rank）和列秩（Column Rank）矩陣的列向量組成的向量組的秩稱為該矩陣的列秩；矩陣的行向量組成的向量組的秩稱為該矩陣的行秩定理矩陣的行秩和列秩一定相等矩陣的秩（Rank）矩陣的行秩和列秩相等，也稱為矩陣的秩如矩陣A=1 1 1 的秩為20 1 12 5 5矩陣的性質(zhì)對于數(shù)k存在倒數(shù)k-1=1/k，使得k k-1 = 1 = k-1 k，那么對矩陣A是否也存在A-1，使得A A-1= I = A-1A呢？只有方陣A才有可

10、能存在A-1，滿足上式定義：如果矩陣的秩等于其行數(shù)以及列數(shù)，則稱該矩陣為非奇異的（nonsingular）或滿秩，否則稱該矩陣為奇異的（singular）定理如果A是非奇異的，則存在惟一的非奇異矩陣A-1 ，稱為矩陣A的逆矩陣(Inverse)，滿足AA-1=I=A-1A，A為可逆矩陣如果A是非奇異的，且矩陣B滿足AB=I或BA=I，則B=A-1只有非奇異矩陣才有逆矩陣矩陣的性質(zhì)例如對于方程組Ax = b ，如果A是非奇異的（或稱可逆矩陣），方程組的解為x =A-1b A=5 -4，矩陣的秩為2，因此是非奇異的，存在逆矩陣1 -1A-1=1 -4，滿足 AA-1 = I22 = A-1A1 -5矩陣的性質(zhì)矩陣的初等行變換矩陣的兩行互調(diào)位置矩陣的某一行乘以某個數(shù)k矩陣的某一行加上（減去）另一行的k倍可以利用矩陣的行