分段低次插值

1、關于分段低次插值第一張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月1例：考慮函數(shù) ，它在 上的各階導數(shù)均存在.所構造的拉格朗日插值多項式為 取 上的 個等距節(jié)點令則第二張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月2 表2-5列出了 時的 的計算結(jié)果及 在 上的誤差圖2-5問題：從表和圖中的結(jié)果你發(fā)現(xiàn)了什么？第三張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月3 從圖上看到，在 附近, 與 偏離很遠， 這說明用高次插值多項式 近似 效果并不好.解決辦法：不用高次插值，改用分段低次插值. 表中，隨 的增加， 的絕對值幾乎成倍增加. 這說明當 時 在 上是不收斂的. 問題：如何克服龍格現(xiàn)象呢？上述現(xiàn)象稱為龍格現(xiàn)

2、象。 Runge證明了，存在一個常數(shù) ，使得當 時， 而當 時 發(fā)散.第四張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月4下圖是用Matlab完成的Lagrange插值（附程序）：第五張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月5附：Lagrange插值程序n=11; m=61;x= -5:10/(m-1):5;y=1./(1+x.2);z=0*x;x0=-5:10/(n-1):5;y0=1./(1+x0.2);y1=lagr1(x0, y0, x);plot(x, z, r, x, y, k: ,x, y1, r)gtext(Lagr.), gtext(y=1/(1+x2)title(Lagran

3、ge)第六張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月6附：Lagrange插值子程序 lagr1:function y=lagr1(x0,y0,x)n=length(x0); m=length(x);for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j=k p=p*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s;end第七張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月72.5.2 分段線性插值 由于升高插值多項式的階數(shù)有時并不能達到提高精度的效果, 所以實際中往往采用分段插值的

4、思想. 分段插值的基本思想是將插值區(qū)間劃分為若干個小區(qū)間, 然后在每個小區(qū)間上做滿足一定條件的低階插值.第八張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月8 設已知節(jié)點 上的函數(shù)值 記求一折線函數(shù) , 滿足： 在每個小區(qū)間 上是線性函數(shù).則稱 為分段線性插值函數(shù). 所謂分段線性插值就是通過插值點用折線段連接起來逼近 一、分段線性插值第九張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月9 由定義可知 在每個小區(qū)間 上可表示為 (5.1) 若用插值基函數(shù)表示，則在整個區(qū)間 上 為 (5.2)其中基函數(shù) 滿足條件 其形式是(5.3)第十張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月10 利用線性插值余項公式,得到

5、分段線性插值的誤差估計則 (5.4)其中第十一張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月11第十二張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月12下圖是用Matlab完成的分段線性插值（附程序）：第十三張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月13附：分段線性插值程序n=11; m=61;x=-5:10/(m-1):5;y=1./(1+x.2);z=0*x;x0=-5:10/(n-1):5;y0=1./(1+x0.2);y1=interp1(x0, y0, x);plot(x, z, r, x, y, k:, x, y1, r)gtext(Piece. linear.), gtext(y=1/(

6、1+x2)title(Piecewise Linear)注：interp1(x0,y0,x)為Matlab中現(xiàn)成的分段線性插值程序.第十四張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月142.5.3 分段三次埃爾米特插值 分段線性插值函數(shù) 的導數(shù)是間斷的，若在節(jié)點上除已知函數(shù)值 外還給出導數(shù)值 在每個小區(qū)間 上是三次多項式.插值函數(shù) ， 這樣就可構造一個導數(shù)連續(xù)的分段滿足條件設則當 時，在 上一致收斂于 .定理3第十五張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月152.6 三次樣條插值問題：1. 為什么引進分段低次插值？2. 分段線性和分段二次插值有何特點？3. 分段Hermite插值有何特點？4.

7、 是否有辦法在只給出函數(shù)值的情況下，構造出一個具有較高整體光滑度（如二階導數(shù)連續(xù)）的低次插值函數(shù)呢？第十六張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月16 2.6.1 三次樣條函數(shù)上是三次多項式，其中 是給定節(jié)點， 若函數(shù) 且在每個小區(qū)間 則稱 是節(jié)點 上的三次樣條函數(shù). 若在節(jié)點 上給定函數(shù)值 （6.1）則稱 為三次樣條插值函數(shù).定義4并成立第十七張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月17 由于 在每個小區(qū)間 上有4個待定系數(shù)，共有 個小區(qū)間，所以共有 個待定參數(shù). 由于 在 上二階導數(shù)連續(xù)，所以在節(jié)點 處應滿足連續(xù)性條件這些共有 個條件，再加上 本身還要滿足的 個插值條件，共有 個條件，

8、還需要2個才能確定 . （6.2）第十八張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月18 通?？稍趨^(qū)間 端點 上各加一個條件 1. 已知兩端的一階導數(shù)值，即（6.3）（6.5）稱為自然邊界條件. 2. 已知兩端的二階導數(shù)，即其特殊情況為（6.4）（6.5）常見的邊界條件有以下3種：（稱為邊界條件），第十九張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月19此時插值條件（6.1）中 . 這樣確定的樣條函數(shù) 稱為周期樣條函數(shù). 這時邊界條件應滿足 （6.6） 3. 當 是以 為周期的周期函數(shù)時，則要求也是周期函數(shù).第二十張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月20 2.6.2 樣條插值函數(shù)的建立 下面利

9、用 的二階導數(shù)值 表示 . 由于 在區(qū)間 上是三次多項式，故 在 上是線性函數(shù)，（6.7）對 積分兩次并利用 及 ， 可表示為可定出積分常數(shù)，于是得三次樣條表達式第二十一張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月21這里 是未知的. （6.8）第二十二張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月22 為了確定 ,對 求導得 （6.9）同理可得：第二十三張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月23（6.11）對第一種邊界條件（6.3），可導出兩個方程 （6.12）利用 可得 （6.10）其中 第二十四張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月24如果令 （6.13）那么（6.10）及（6.12）

10、可寫成矩陣形式 第二十五張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月25 對第二種邊界條件（6.4），直接得端點方程 （6.14）如果令 , 也可以寫成（6.13）的矩陣形式.則（6.10）和（6.14）第二十六張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月26 對于第三種邊界條件（6.5），可得 其中 （6.15）（6.10）和（6.15）可以寫成矩陣形式第二十七張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月27（6.16） （6.13）和（6.16）是關于 的三對角方程組， 在力學上解釋為細梁在 截面處的彎矩，稱為 的矩， （6.13）和（6.16）的系數(shù)矩陣為嚴格對角占優(yōu)陣，有唯一解, 求解方法可

11、見5.3節(jié)追趕法，將解得結(jié)果代入（6.8）的表達式即可.方程組（6.13）和（6.16）稱為三彎矩方程.第二十八張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月28 設 為定義在 上的函數(shù)，在節(jié)點 試求三次樣條函數(shù) ，使它滿足邊界條件 例7上的值如下：第二十九張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月29由此得矩陣形式的方程組（6.13）為 解由（6.11）及（6.12）第三十張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月30求解得 第三十一張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月31代入（6.8）得曲線見圖2-6圖2-6第三十二張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月32 給定函數(shù) 節(jié)點 用三次樣

12、條插值求 取直接上機計算可求出 在表2-6所列各點的值. 例8第三十三張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月33第三十四張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月34下圖是用Matlab完成的樣條插值（附程序）：第三十五張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月35附：樣條插值程序n=11; m=61;x=-5:10/(m-1):5;y=1./(1+x.2);z=0*x;x0=-5:10/(n-1):5;y0=1./(1+x0.2);y1=interp1(x0, y0, x, spline);plot(x, z, r, x, y, k:, x, y1, r)gtext(Spline), gtext(y=1/(1+x2)title(Spline)注：interp1(x0, y0, x, spline)為Matlab中現(xiàn)成的