一二時間響應和狀態(tài)響應矩陣

1、第七章 狀態(tài)空間分析法8/22/20221主要內(nèi)容時間響應狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣（矩陣指數(shù)）的運算系統(tǒng)的能控性和能觀測性對偶原理能控性和能觀測性與傳遞函數(shù)的關系8/22/202227.1 引言 用狀態(tài)空間法對線性系統(tǒng)進行定量和定性的分析。定量分析給出系統(tǒng)對給定輸入響應的解析表達式，討論狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)和計算方法。定性分析討論線性系統(tǒng)的能控性和能觀測性及穩(wěn)定性。7.2 時間響應與狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣一、狀態(tài)方程的求解（時間響應）及狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)： 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： ，給定初值 和輸入 ，要求確定狀態(tài)變量的未來的變化。即求出 -時間響應。8/22/20223兩端拉氏變換得： ，整理

2、得：拉氏反變換得：這里用到了拉氏變換的卷積性質(zhì): 若式中，回憶標量方程： （初值為 ）的求解： 8/22/20224同樣，對于狀態(tài)方程，兩邊求拉氏變換得：兩邊左乘 得：參考右邊的標量式：上式右邊是等比級數(shù)之和（初值= ， ）。其和為我們也可以將 寫成上述形式：8/22/20225那麼，它由兩部分組成：一部分是由初始狀態(tài) 引起的自由解，也叫零輸入解，即是齊次方程 的解， 。另一部分是由輸入 引起的強迫解。也叫零狀態(tài)解，即 時的解。若初始時刻為 ，可以不加證明的說明如下：我們稱 為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，或叫矩陣指數(shù)。它是維方陣。方程 稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程。8/22/20226 表明了系統(tǒng)從初始狀態(tài) 到任意狀態(tài)

3、 的轉(zhuǎn)移特征。它只取決于狀態(tài)陣 而與輸入 無關。 討論齊次方程 ， 的解：，則有：如上圖，若將 看作 的初值，則有： 所以， ，它表示了隨著時間 的推移，狀態(tài)的轉(zhuǎn)移過程。狀態(tài)可以在時間軸上分段。8/22/20227轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)：對于任意的 方陣 ，恒有 ，式中， 為標量。可以用定義證明之。 ，用定義證明。矩陣指數(shù) 總是非奇異的，即其逆存在，且 。證明：同樣，8/22/20228對于矩陣指數(shù) ，有：，可以用定義證明。用途：對于齊次方程 ，有：由此性質(zhì)可以看出:已知矩陣指數(shù) 可求 ，方法為：8/22/20229對方陣 ，當若有n階方陣 ，及n階非奇異陣 ，且 ，則： 。 上面性質(zhì)告訴我們：若求

4、較復雜，而求 簡單時，可用此法。比如可以令 8/22/202210狀態(tài)和矩陣指數(shù)的關系：當沒有輸入時（ ），有：給定 及一組 ，可求出 。給定兩組 及 ，可求出 。例7-2-1已知某二階系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程為： ，其解為：試求矩陣指數(shù) 。解：設 ，則：8/22/202211由上述四個方程可以解出也可以寫成下列形式：則： 8/22/202212例7-2-2：已知： ，求 。 解：8/22/202213二、矩陣指數(shù)的計算：直接級數(shù)求和法： ，適用于數(shù)值運算。拉氏變換法：例7-2-3：若 ，求：解：8/22/202214 標準型法（特征值，特征向量法）：這個方法是根據(jù) 的性質(zhì)而得到的：若 ，則： ，可以

5、分為兩步求解：8/22/202215b、如何求解 或 。a、取適當?shù)淖儞Q陣 ，使 （對角陣）或 （約當陣）。當 有互異特征根時， 可化為 ；當 有相同特征根時， 只能化為 ；關于 的求法已在上面介紹過了。 下面根據(jù)四種情況分別說明：、 有互異特征根，則 ，若對角陣為：8/22/202216證明：8/22/202217、 有全重特征根，則 ，若約當陣為：8/22/202218、當 中有m個重特征根 ，n-m個互異根 時， 可化為：則：式中：8/22/202219 中有 個重根 ， 個重根 ，其余互異根 時。、依次類推。8/22/202220例7-2-4：設 ,求解： 的特征方程：解得：同理，當

6、時，求得： 轉(zhuǎn)換陣：求特征向量：當 時，有 ， 為對應的特征向量。8/22/202221那麼8/22/202222例7-2-5：設 求所以 不能選范德蒙陣。解： 是可控標準型，我們以前講過，當特征根互異時，轉(zhuǎn)換成對角陣的轉(zhuǎn)換陣 是范德蒙矩陣。我們先求特征根。8/22/202223求 時的特征向量：設為 同理，由 ，得： 。求 時的特征向量： ，得 8/22/2022248/22/202225凱萊哈密爾頓法（待定系數(shù)法）：凱萊哈密爾頓定理：設 階方陣 的特征多項式為：8/22/202226當 有互異的特征根 時，有：上述定理可由凱萊-哈密而頓定理證明（略）。當 有重特征根時，較繁，略去。8/22/202227例7-2-6：設 ，求 。解：8/22/202228 信號流圖法： 為了避免矩陣求逆的運算，可以根據(jù)狀態(tài)方程，畫出信號流圖，再用梅遜公式求出矩陣指數(shù) 。 因 只與 陣有關，因此討論 的解：，其拉氏變換為：以二階系統(tǒng)為例說明：上式中， 表示以 為輸入， 為輸出的傳遞函數(shù)。在信號流圖上可以用梅遜公式求 和 之間的傳遞函數(shù) ，即可得出 ，進而求出 。8/22/202229例7-2-7：狀態(tài)方程為：解：兩邊求拉