中考復(fù)習(xí)《二次函數(shù)》綜合測(cè)試題

1、22沈進(jìn)老師專用資料中考復(fù)習(xí)二次函數(shù)綜合測(cè)試題一、與線段、周長有關(guān)的問題1. 如圖，拋物線 y=x +bx+c 過點(diǎn) A（3，0），B（1，0），交 y 軸于點(diǎn) C，點(diǎn) P 是該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) P 從 C 點(diǎn)沿拋物線向 A 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（點(diǎn) P 不與點(diǎn) A 重合），過點(diǎn) P 作 PDy 軸交直 線 AC 于點(diǎn) D.求拋物線的解析式；求點(diǎn) P 在運(yùn)動(dòng)的過程中線段 PD 長度的最大值；在拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn) M，使|MA-MC|的值最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn) M 的坐 標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.第 1 題圖備用圖2. （2015 珠海）如圖，折疊矩形 OABC 的一邊 BC，使點(diǎn) C 落在 OA 邊

2、的點(diǎn) D 處，已知折痕 BE=5 5 ,且OD 4= .以 O 為原點(diǎn)，OA 所在的直線為 x 軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo) OE 31 1系，拋物線 l：y= - x + x+c 經(jīng)過點(diǎn) E，且與 AB 邊相交于點(diǎn) F.16 2求證：ABDODE;若 M 是 BE 的中點(diǎn)，連接 MF，求證：MFBD;P 是線段 BC 上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) Q 在拋物線 l 上，且始終滿足 PDDQ，在點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)過程中，能否使得 PD=DQ？若能，求出所有符合條件的 Q 點(diǎn)坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由.第 2 題圖222沈進(jìn)老師專用資料3. （2015 孝感改編）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 y= - 與 y 軸交于點(diǎn)

3、C，直線 y=x+4 經(jīng)過 A，C 兩點(diǎn).求拋物線的解析式；在 AC 上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn) P.x +bx+c 與 x 軸交于點(diǎn) A，B，如圖，過點(diǎn) P 作 y 軸的平行線交 AC 于點(diǎn) D，當(dāng)線段 PD 取得最大值時(shí)，求出 點(diǎn) P 的坐標(biāo)；如圖，過點(diǎn) O，P 的直線 y=kx 交 AC 于點(diǎn) E，若 PEOE=38，求 k 的值.圖第 3 題圖4. （2015 天水）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線 y-圖x +bx+c(b、c 為常數(shù))的頂點(diǎn)為P，等腰直角三角形 ABC 的頂點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（0，-1），點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（4，3），直角頂點(diǎn) B 在第四象限.(1)如圖，若拋物線經(jīng)過 A、B

4、 兩點(diǎn)，求拋物線的解析式;(2)平移（1）中的拋物線，使頂點(diǎn) P 在 AC 上并沿 AC 方向滑動(dòng)距離為 平移后的拋物線與直線 AC 交于 x 軸上的同一點(diǎn);2時(shí)，試證明：(3)在（2）的情況下，若沿 AC 方向任意滑動(dòng)時(shí)，設(shè)拋物線與直線 AC 的另一交點(diǎn)為 Q，取 BC 的中點(diǎn) N，試探究 NP+BQ 是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，請(qǐng) 說明理由.5. 如圖，拋物線 y= -第 4 題圖x +bx+c 與 x 軸交于 A、B 兩點(diǎn)，與 y 軸交于點(diǎn) C,且 OA=2,OC=3.沈進(jìn)老師專用資料求拋物線的解析式；作 eq oac(,Rt)OBC 的高 OD，延長 OD 與拋物線

5、在第一象限內(nèi)交于點(diǎn) E，求點(diǎn) E 的坐標(biāo)；在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在一點(diǎn) Q，使得BEQ 的周長最??？若存在，求出 點(diǎn) Q 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.第 5 題圖6. 如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，四邊形 OABC 的邊 OA 在 y 軸的正半軸上，OC 在x 軸的正半軸上，ABOC,OA=AB=2,OC=3，過點(diǎn) B 作 BDBC，交 OA 于點(diǎn) D，將DBC 繞點(diǎn) B 順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別交 y 軸的正半軸、x 軸的正半軸于點(diǎn) E、F.求經(jīng)過 A、B、C 三點(diǎn)的拋物線的解析式；當(dāng) BE 經(jīng)過（1）中拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，求 CF 的長；在拋物線的對(duì)稱軸上取兩點(diǎn) P、Q（點(diǎn)

6、 Q 在點(diǎn) P 的上方），且 PQ=1，要使四邊形 BCPQ 的周長最小，求出 P、Q 兩點(diǎn)的坐標(biāo).第 6 題圖2222222沈進(jìn)老師專用資料參考答案1.解：（1）拋物線 yx +bx+c 過點(diǎn) A（3，0），B（1，0），93b c 0 1 b c 0，b -4解得 c 3,拋物線的解析式為 y=x -4x+3. （2）令 x=0,則 y=3,點(diǎn) C（0，3），又點(diǎn) A(3,0),直線 AC 的解析式為 y= -x+3, 設(shè)點(diǎn) P（x,x -4x+3）,PDy 軸，且點(diǎn) D 在 AC 上， 點(diǎn) D(x,-x+3),PD=(-x+3)-(x-4x+3)=-x+3x=-(x-3 9) + ,2

7、4a=-10,當(dāng) x=329時(shí)，線段 PD 的長度有最大值，最大值為 .4(3)存在.由拋物線的對(duì)稱性可知，對(duì)稱軸垂直平分 AB，可得：MAMB，由三角形的三邊關(guān)系，MA-MC-4,當(dāng) x=-2 時(shí)，線段 PD 取得最大值，將 x=-2 代入 y= -x -x+4 中得 y=4,線段 PD 取得最大值時(shí),點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（-2,4）.過點(diǎn) P 作 PFOC 交 AC 于點(diǎn) F，如解圖. PFOC,PEFOEC,PE PFOE OC.PE 3 3 又 = ,OC=4,PF= .OE 8 2由 得 PF（-x3-x+4）-(x+4)= .2化簡(jiǎn)得：x +4x+3=0,解得 x = -1,x = -

8、3.1 22222222當(dāng) x= -1 時(shí)，y=沈進(jìn)老師專用資料9 5；當(dāng) x= -3 時(shí)，y= .2 2即滿足條件的 P 點(diǎn)坐標(biāo)是（-1，又點(diǎn) P 在直線 y=kx 上，9 5 ）或（-3， ）.2 2k= -9 5 或 k= - .2 64.(1)解：設(shè) AC 與 x 軸的交點(diǎn)為 M，等腰直角三角形 ABC 的頂點(diǎn) A 的坐標(biāo)為(0,-1),C 的坐標(biāo)為(4,3), 直線 AC 的解析式為 y=x-1，直線 AC 與 x 軸的交點(diǎn) M(1，0).OM=OA，CAO=45.CAB 是等腰直角三角形，ACB=45，BCy 軸,又OMA=45，OAB90，ABx 軸,點(diǎn) B 的坐標(biāo)為(4，-1)

9、.拋物線過 A(0，-1)，B(4，-1)兩點(diǎn)，將兩點(diǎn)代入拋物線的解析式中， c -1 b 2得 1 ,解得 ，- 16 4b c -1 c -1 2拋物線的解析式為 y-x +2x-1.(2)證明：拋物線 y= -1 1 1x +2x-1= - (x -4x)-1= (x2) +1, 2 2 2頂點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(2，1)，拋物線 y= -(x2) +1 頂點(diǎn) P 平移到直線 AC 上并沿 AC 方向移動(dòng)的距離為2，其實(shí)是先向右平移 1 個(gè)單位長度，再向上平移 1 個(gè)單位長度,平移后的二次函數(shù)的解析式為 y= -(x-3) +2，當(dāng) y=0 時(shí)，有 0= -(x-3)+2，22沈進(jìn)老師專用資

10、料解得 x =1，x =5，1 2y-(x-3) +2 過點(diǎn)(1，0)和(5,0)，直線 AC 的解析式為 y=x-1，直線 AC 與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，平移后的拋物線與直線 AC 交于 x 軸上的同一點(diǎn).(3)解：如解圖，NP+BQ 存在最小值，最小值為 2 5 .理由：取 AB 的中點(diǎn) F，連接 FN，F(xiàn)Q， 作 B 點(diǎn)關(guān)于直線 AC 的對(duì)稱點(diǎn) B，設(shè)平移后的拋物線的頂點(diǎn)為 P.連接 BB，BQ,BQ,則 BQBQ,拋物線 y= -(x-2) +1 的頂點(diǎn) P(2，1)，A(0,-1)，PA=(2 - 0)2(1 1)2=2 2 ,拋物線沿 AC 方向任意滑動(dòng)時(shí)，PQ=2 2

11、， A(0，-1)，B(4，-1)，AB 中點(diǎn) F(2，-1)，B(4，-1)，C(4，3)，N(4，1)，F(xiàn)N=BF2BN2=2 2 ,FNPQ,在ABC 中，F(xiàn)、N 分別為 AB、BC 的中點(diǎn)， FNPQ，四邊形 PNFQ 是平行四邊形，NP=FQ,第 4 題解圖NP+BQ=FQ+BQFB =2 2 4 2=25.當(dāng) B、Q、F 三點(diǎn)共線時(shí)，NP+BQ 最小，最小值為 2 5 . 5.解：（1）OA=2,點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（-2，0）.OC=3,點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（0，3）.222沈進(jìn)老師專用資料把 A（-2，0），C（0，3）分別代入拋物線 y= - 0-2 - 2b c，得 3 cb 12

12、，解得 c 31 1拋物線的解析式為 y-x + x+3.2 21 1(2)把 y=0 代入 y= - x + x+3,2 2解得 x =3,x =-2,1 2點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（3，0），OB=OC=3,ODBC,OE 所在的直線為 y=x.y x,解方程組 1 1y - x 2 x 3 2 2x +bx+c,解得 x 21y 2,1x -32y = -32,點(diǎn) E 在第一象限內(nèi)，第 5 題解圖點(diǎn) E 的坐標(biāo)為（2，2）.（3）存在，如解圖，設(shè) Q 是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，連接 QA、QB、QE、BE， QA=QB,BEQ 的周長BE+QA+QE,BE 為定值，且 QA+QEAE,當(dāng) A、Q、

13、E 三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，BEQ 的周長最小，由 A(-2,0)、E(2，2)可得直線 AE 的解析式為 y=x+1,由（2）易得拋物線的對(duì)稱軸為 x=1 5點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為（， ）,2 4,22 22沈進(jìn)老師專用資料在拋物線的對(duì)稱軸上，存在點(diǎn) Q（1 5， ），使得BEQ 的周長最小. 2 46.解：(1)由題意得 A(0，2)、B(2，2)、C(3，0).設(shè)經(jīng)過 A,B,C 三點(diǎn)的拋物線的解析式為 y=ax +bx+2(a0),4a 2b 2 2將點(diǎn) B、C 分別代入得 9 a 3b 2 0, 2a - 3解得 4b 3,拋物線的解析式為 y= -2 4x + x+2.3 32 4 2 8(

14、2)y= - x + x+2= - x 1 + ，3 3 3 3 設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為 G，則頂點(diǎn) G 的坐標(biāo)為（1，83），過 G 作 GHAB，垂足為 H，如解圖,則 AH=BH=1,GH=8 2-2= ,3 3EAAB,GHAB, EAGH,GH 是BEA 的中位線,EA=2GH=43.過 B 作 BMOC,垂足為 M,如解圖,則 MB=OA=AB.第 6 題解圖EBF=ABM=90,EBA=FBM=90-ABF. eq oac(,Rt)EBA eq oac(,Rt)FBM.第 6 題解圖2沈進(jìn)老師專用資料FM=EA=43.CM=OC-OM=3-2=1,CF=FM+CM=73.(3)如解圖,

15、要使四邊形 BCPQ 的周長最小，將 B 點(diǎn)向下平移一個(gè)單位至點(diǎn) K，取 C 點(diǎn)關(guān)于 對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn) M，連接 KM 交對(duì)稱軸于 P，將 P 向上平移 1 個(gè)單位至 Q，此時(shí) M、P、K 三點(diǎn)共線可使 KP+PM最短，則 QPKB 為平行四邊形，QB=PK,連接 CP，根據(jù)軸對(duì)稱求出 CP=MP，則 CP+BQ 最 小，CB，QP 為定值，四邊形 BCPQ 周長最短.將點(diǎn) C 向上平移一個(gè)單位，坐標(biāo)為（3，1），再作其關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn) C ，1得點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（-1，1）.1可求出直線 BC 的解析式為 y=11 4x+ .3 3直線 y1 4 5 x+ 與對(duì)稱軸 x1 的交點(diǎn)即為點(diǎn)

16、Q，坐標(biāo)為（1， ）.3 3 3點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（1，）.2 5綜上所述，滿足條件的 P、Q 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1， ）、（1， ）.3 3二、與面積有關(guān)的問題1. （2015 桂林）如圖，已知拋物線 y= -x +bx+c 與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn) A(0，8)、B(8，0)和點(diǎn) E,動(dòng)點(diǎn) C 從原點(diǎn) O 開始沿 OA 方向以每秒 1 個(gè)單位長度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn) D 從點(diǎn) B 開始沿 BO方向以每秒 1 個(gè)單位長度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn) C、D 同時(shí)出發(fā)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn) D 到達(dá)原點(diǎn) O 時(shí)，點(diǎn) C、D 停止運(yùn)動(dòng).求拋物線的解析式；求CED 的面積 S 與 D 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t 的函數(shù)解析式：當(dāng) t 為何值時(shí) eq oac(

17、,，)CED 的面積最大? 最大面積是多少?當(dāng)CED 的面積最大時(shí)，在拋物線上是否存在點(diǎn) P(點(diǎn) E 除外)， eq oac(,使)PCD 的面積等于 CED 的最大面積，若存在，求出 P 點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.22沈進(jìn)老師專用資料第 1 題圖2. （2015 海南）如圖，二次函數(shù) y=ax +bx+3 的圖象與 x 軸相交于點(diǎn) A（-3，0）、B(1,0)，與 y 軸相交于點(diǎn) C，點(diǎn) G 是二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，直線 GC 交 x 軸于點(diǎn) H(3,0)，AD 平行 GC 交 y 軸于點(diǎn) D.求該二次函數(shù)的表達(dá)式；求證：四邊形 ACHD 是正方形；如圖，點(diǎn)M(t,p)是該二次函數(shù)圖象上

18、的動(dòng)點(diǎn)，并且點(diǎn) M 在第二象限內(nèi)，過點(diǎn) M 的直 線 y=kx 交二次函數(shù)的圖象于另一點(diǎn) N.若四邊形 ADCM 的面積為 S，請(qǐng)求出 S 關(guān)于 t 的函數(shù)表達(dá)式，并寫出 t 的取值范圍；若CMN 的面積等于214，請(qǐng)求出此時(shí)中 S 的值.圖圖第 2 題圖3. (2015 深圳)如圖，關(guān)于 x 的二次函數(shù) y= - x +bx+c 經(jīng)過點(diǎn) A(-3,0),點(diǎn) C(0，3)，點(diǎn) D 為二 次函數(shù)的頂點(diǎn),DE 為二次函數(shù)的對(duì)稱軸，E 在 x 軸上.求拋物線的解析式；DE 上是否存在點(diǎn) P 到 AD 的距離與到 x 軸的距離相等？若存在,求出點(diǎn) P;若不存在,請(qǐng) 說明理由；2沈進(jìn)老師專用資料（3）如

19、圖，DE 的左側(cè)拋物線上是否存在點(diǎn) F，使 2 =3 ？若存在,求出點(diǎn) F 的坐eq oac(,S)FBC eq oac(,S)EBC標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.圖圖第 3 題圖4. （2015 武威）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn) A（0，4），B（1，0），C（5， 0），其對(duì)稱軸與 x 軸相交于點(diǎn) M.求此拋物線的解析式和對(duì)稱軸；在此拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn) P，使PAB 的周長最?。咳舸嬖?，請(qǐng)求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；連接 AC，在直線 AC 下方的拋物線上，是否存在一點(diǎn) N， eq oac(,使)NAC 的面積最大？若存 在，請(qǐng)求出點(diǎn) N 的坐標(biāo)；若不存在，

20、請(qǐng)說明理由.第 4 題圖【答案】1.解：(1)將點(diǎn) A(0，8)、B(8，0)代入拋物線 y= - c 8 b3得 1 ,解得 ， - 64 8b c 0 c 8 2x +bx+c，22222拋物線的解析式為 y= -沈進(jìn)老師專用資料x +3x+8.(2)點(diǎn) A(0,8)、B(8，0)，OA=8,OB=8，令 y=0，得 -x +3x+8=0,解得:x =8,x =-2,1 2點(diǎn) E 在 x 軸的負(fù)半軸上，點(diǎn) E(-2，0)，OE=2，根據(jù)題意得：當(dāng) D 點(diǎn)運(yùn)動(dòng) t 秒時(shí)，BD=t,OC=t, OD=8-t,DE=OE+OD=10-t,eq oac(,S)CED1 1 1= DE OC= (1

21、0-t) t= - t 2 2 2+5t,1 1 25 即 S= - t +5t=- (t-5) + ,2 2 2當(dāng) t=5 時(shí)，SCED 最大252(3)存在.由(2)知：當(dāng) t=5 時(shí)，S當(dāng) t=5 時(shí)，OC=5,OD=3, C(0,5),D(3,0),CED 最大252由勾股定理得 CD=34,設(shè)直線 CD 的解析式為：y=kx+b（k0）,將 C(0,5),D(3,0)，代入上式得：b 53k b 0,k -解得 b 553 ,直線 CD 的解析式為y= -53x+5,過 E 點(diǎn)作 EFCD，交拋物線于點(diǎn) P ，則15如解圖，設(shè)直線 EF 的解析式為 y= - x+m,3eq oac(

22、,S)CEDSCP D1，第 1 題解圖10將 E(-2，0)代入得：m= - ,3直線 EF 的解析式為 y= -5 10 x- ,3 322234DD將 y= -沈進(jìn)老師專用資料5 10 1x- 與 y= - x +3x+8 聯(lián)立成方程組得：3 3 2 5 10y = - x - 3 31y = - x 2 + 3 x + 8 2,解得 x -21y 01（與 E 點(diǎn)重合，舍去）,34x 3200y -9,P (134 200,- );3 9過點(diǎn) E 作 EGCD，垂足為 G，當(dāng) t=5 時(shí)，S =ECD25 34EG=,341 25 CD EG= ,CD=2 234,過點(diǎn) D 作 DNC

23、D,垂足為 N，且使 DN=EGDDMN,25 3434,過點(diǎn) N 作 NMx 軸，垂足為 M，可得3425EG ED= ,即 DM DN DM2553434，解得：DM=125 227 ,OM= ,34 34由勾股定理得：MN=DN 2 - DM2=(2534 125 75 ) 2 - ( )2 ,34 34 34N(227 75, ),34 34過點(diǎn) N 作 NP CD，與拋物線交于點(diǎn) P ，P (與 B 點(diǎn)重合)，則 2 2 3 eq oac(,S)CEDSCP2，S CEDSCP3,設(shè)直線 NP 的解析式為 y= - 253x+n,227 75 40 將 N( , )，代入上式得 n=

24、 ,34 34 3221 9 232 22直線 NP 的解析式為 y= - 2沈進(jìn)老師專用資料 5 40 x+ ,3 3將 y= -5 40 1 x+ 與 y= - x3 3 2+3x+8 聯(lián)立成方程組得： 5 40 4 y - x x 3 3 x 8 3 ,解得 , 1 y 0 100 y - x 2 3 x 8 1 y 2,P (24 100, )或 P (8,0), 3 9綜上所述，當(dāng)CED 的面積最大時(shí)，在拋物線上存在點(diǎn) P(點(diǎn) E 除外)， eq oac(,使)PCD 的面積等于CED 的最大面積，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為：(34 200 4 100,- )或( , )或(8,0). 3 9

25、 3 92.(1)解：二次函數(shù) y=ax +bx+3 過點(diǎn) A(-3，0)、B(1，0)，9a - 3b 3 0 a -1 ,，解得 ，a b 3 0 b -2二次函數(shù)的表達(dá)式為 y=x 2x+3.(2)證明：由(1)知二次函數(shù)的表達(dá)式為 y=x 2x+3， 令 x=0，則 y=3,點(diǎn) C 的坐標(biāo)為(0，3)，OC=3，又點(diǎn) A、H 的坐標(biāo)分別為(-3,0)、(3,0)， OA=OH=OC=3， OCHOHC，ADGC，OCHODA,OHC=OAD,OADODA, OA=OD=OC=OH=3，又 AHCD,四邊形 ACHD 為正方形.(3)解：S =S + ，四邊形 ADCM 四邊形 AOCM

26、 eq oac(,S)AOD第 2 題解圖222S =S22四邊形 AOCM2222112沈進(jìn)老師專用資料由(2)知 OA=OD=3， =eq oac(,S)AOD1 933= ，2 2點(diǎn) M(t,p)是直線 y=kx 與拋物線 y= -x -2x+3 在第二象限內(nèi)的交點(diǎn)，點(diǎn) M 的坐標(biāo)為(t,-t-2t+3)，如解圖，作 MKx 軸于點(diǎn) K,MEy 軸于點(diǎn) E，則 MK=-t -2t+3,ME=t=-t， 四邊形 AOCM AOM eq oac(,+S)MOC=1 13(-t -2t+3)+ 3(-t)， 2 23 9 9即 S = - t - t+ ，2 2 2S S + =- 四邊形 A

27、DCM 四邊形 AOCM eq oac(,S)AOD3 9 9 9 3 9 t - t+ + = - t - t+9,2 2 2 2 2 2S= -3 9t - t+9,-3t0. 2 2設(shè)點(diǎn) N 的坐標(biāo)為(t ,p ),過點(diǎn) N 作 NFy 軸于點(diǎn) F，1 1NF=t ,又由知 ME=t，1則 SCMN=SCOM+S1= OC(t+t )， CON 1又點(diǎn) M(t,p)、N(t ,p )分別在第二、四象限內(nèi)，1 1t0, t 0, = 1 eq oac(,S)CMN32(t -t), 1即3 21 7 (t -t)= ，t -t= .2 4 2由直線 y=kx 交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn) M、N

28、得：y kxy - x 2 - 2 x 3,則 x +(2+k)x-3=0,x=- (2 k ) (2 k )22- 4 1(-3),即 t=- (2 k ) - (2 k ) 2 - 4 1(-3)2,t =1- (2 k ) (2 k )22- 4 1(-3),t -t= 1(2 k) 2 12=72,22122122222220沈進(jìn)老師專用資料72是(2+k) +12 的算術(shù)平方根,(2+k) +12=4943 5,解得 k =- ,k =- ,2 2又(k+2) +12 恒大于 0，且 k0, 3 5k =- ,k =- 都符合條件. 2 23(i)若 k= - ,有 x23+(2-

29、)x-3=0,23解得 x =-2,x = (不符合題意，舍去); 1 25 5(ii)若 k= - ,有 x +(2- )x-3=0,2 2解得 x =-332,x =2(不符合題意，舍去)， 4t= -2 或-32，當(dāng) t= -2 時(shí),S=12;當(dāng) t=-3 99 時(shí),S= ，2 8S 的值是 12 或998.3.解：（1）將 A(-3，0)，C(0，3)代入 y=-x +bx+c,c 3得 - 9 - 3b c 0b -2,解得 c 3.拋物線的解析式為 y= -x -2x+3.(2 存在，由(1)知拋物線的解析式可化為頂點(diǎn)式 y=-(x+1) +4，則 D(-1，4)，當(dāng) P 在DAB

30、 的平分線上時(shí)，如解圖，作 PMAD，設(shè) P(-1，y )，0sinADE=AE 2 5= = ，PE=y , AD 2 5 5則 PM=PDsinADE=55(4-y ),0PM=PE,第 3 題解圖55(4-y )=y , 0 0解得 y = 5 -1.0EBCeq oac(,S)FBCeq oac(,S)FBC22沈進(jìn)老師專用資料當(dāng) P 在DAB 的外角平分線上時(shí)，如解圖，作 PNAD,設(shè) P(-1，y )，0PE=-y ,0則 PN=PDsinADE=PN=PE,55(4-y ),055(4-y )=-y ，解得 y =- 5 -1. 0 0 0第 3 題解圖存在滿足條件的點(diǎn) P，且點(diǎn)

31、 P 的坐標(biāo)為（-1，5-1）或（-1，-5-1）.(3)存在. =3,2S =3S , eq oac(,S)EBC FBC EBC =eq oac(,S)FBC3 3 9 S 3 ,2 2 2過點(diǎn) F 作 FHx 軸，交 BC 的延長線于點(diǎn) Q，如解圖,連接 BF,設(shè) BF 交 y 軸于點(diǎn) M，易得BMCBFQ，OB CM ，OB OH QF即 CMOB QFOB OH，1 1 1 CM OB+ CM OH OB QF. 2 2 21 1 9 = FQ OB= FQ= ,2 2 2FQ=9.BC 的解析式為 y=-3x+3，設(shè) F(x ,-x -2x +3),則 Q 點(diǎn)的坐標(biāo)為（x ,-3x

32、 +3）,0 0 0 0 0QF=-3x +3+x +2x -3=9,0 0 0或1- 37 1 37 解得 x =02 2滿足條件的點(diǎn) F 的坐標(biāo)是(舍去)，1- 37 3 37 -15，2 2).第 3 題解圖22沈進(jìn)老師專用資料4.解：（1）拋物線過點(diǎn) A（0，4）、B（1，0）、C（5，0），設(shè)過 A、B、C 三點(diǎn)的拋物線的解析式為 y=a(x-1)( x-5)(a0)，將點(diǎn) A（0，4）代入 y=a(x-1)(x -5)，得 a=4 24此拋物線的解析式為 y=x - x+4,5 5拋物線過點(diǎn) B（1，0）、C（5，0），拋物線的對(duì)稱軸為直線 x5=3.（2）存在，如解圖，連接 AC

33、 交對(duì)稱軸于點(diǎn) P，連接 BP、BA, 點(diǎn) B 與點(diǎn) C 關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，PB=PC,AB+AP+PB=AB+AP+PC=AB+AC,AB 為定值，且 AP+PCAC,當(dāng) A、P、C 三點(diǎn)共線時(shí)PAB 的周長最小， A（0，4）、C（5，0），設(shè)直線 AC 的解析式為 y=ax+b(a0)，第 4 題解圖b 4將 A、C 兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式得 5a b 0 4a -解得 5 ,b 4,直線 AC 的解析式為 y= -x+4.在 y= -4 8 x+4 中，當(dāng) x3 時(shí)，y= ，5 5P 點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，85），即當(dāng)對(duì)稱軸上的點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（3，85）時(shí)，ABP 的周長最小.（3）在直線 AC

34、 下方的拋物線上存在點(diǎn) N，使NAC 面積最大.如解圖，設(shè) N 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 t，4 24此時(shí)點(diǎn) N（t, t - t+4）（0t5），5 5過點(diǎn) N 作 y 軸的平行線，分別交 x 軸、AC 于點(diǎn) F、G，過點(diǎn) A 作 ADNG，垂足為點(diǎn) D，222 222222沈進(jìn)老師專用資料由（2）可知直線 AC 的解析式為 y= -4 4把 x=t 代入 y= -x+4 得 y- t+4， 5 5x+4，4則 G 點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，- t+4 ），54 4 24 4此時(shí)，NG- t+4-（ t - t+4）- t +4t. 5 5 5 5ADCFOC5，1 1 S NG AD NG CF eq oac(

35、,S)NAC ANG eq oac(,S)CGN1 1 4NG OC= （- t +4t）5-2t +10t2 2 5-2（t-5 25） + .2 2-20，即在對(duì)稱軸處取得最大值.當(dāng) t=5 25 時(shí)，NAC 面積有最大值為 ，2 2第 4 題解圖5 4 24由 t= ，得 y= t t+4-3， 2 5 5N（52，-3）.存在滿足條件的點(diǎn) N，使NAC 的面積最大，N 點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 三、與特殊三角形有關(guān)的問題52,-3）.1.（2015 岳陽）如圖，拋物線 y=ax+bx+c 經(jīng)過 A(1,0)、B(4,0)、C(0,3)三點(diǎn).求拋物線的解析式；如圖，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使

36、得四邊形 PAOC 的周長最?。咳舸嬖?， 求出四邊形 PAOC 周長的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由；如圖，點(diǎn) Q 是線段 OB 上一動(dòng)點(diǎn)，連接 BC,在線段 BC 上是否存在這樣的點(diǎn) M，使CQM 為等腰三角形且BQM 為直角三角形？若存在，求點(diǎn) M 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說 明理由.22. 如圖，直線 y=-沈進(jìn)老師專用資料圖圖第 1 題圖x+2 與 x 軸交于點(diǎn) B，與 y 軸交于點(diǎn) C，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn) B、C 和點(diǎn) A（-1，0）.求 B、C 兩點(diǎn)坐標(biāo)；求該二次函數(shù)的關(guān)系式；若拋物線的對(duì)稱軸與 x 軸的交點(diǎn)為點(diǎn) D，則在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn) P，使PCD是以 CD 為腰的等

37、腰三角形？如果存在，直接寫出 P 點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由；（4）點(diǎn) E 是線段 BC 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) E 作 x 軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn) F，當(dāng)點(diǎn) E 運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形 CDBF 的面積最大？求出四邊形 CDBF 的最大面積及此時(shí) E 點(diǎn)的 坐標(biāo).第 2 題圖【答案】針對(duì)演練1.解：（1）點(diǎn) A（1，0），B（4,0）在拋物線上， 設(shè)拋物線解析式為 y=a(x-1)(x-4)，將點(diǎn) C（0,3）代入得 a(0-1)(0-4)=3，3解得 a= ，4拋物線解析式為 y=3 15即 y=x - x+3.4 4(x-1)(x-4)，（2）存在.連接 BC 交對(duì)稱軸于點(diǎn) P，連

38、接 PA,如解圖,點(diǎn) A 與點(diǎn) B 關(guān)于對(duì)稱軸 x=52對(duì)稱，BCPB+PC=PA+PC，即當(dāng)點(diǎn) P 在直線 BC 上時(shí)，四邊形 PAOC 的周長最小，- m 342 m沈進(jìn)老師專用資料在 eq oac(,Rt)BOC 中，OB=4，OC=3，BOC=90，BC=OB 2 OC2=5，四邊形 PAOC 的周長的最小值為 OA+OC+BC=1+3+5=9. （3）存在.設(shè)直線 BC 的解析式為 y=kx+t， 34k t 0 k -將點(diǎn) B(4,0)，點(diǎn) C（0,3）代入得 ，解得 4 ，t 3t 3第 1 題解圖直線 BC 的解析式為 y= -x+3.點(diǎn) M 在 BC 上，設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（

39、m,-m+3）（0m4），要使CQM 是等腰三角形， eq oac(,且)BQM 是直角三角形，則只有以下兩種情況， ()當(dāng) MQOB，CM=MQ 時(shí)，如解圖所示，則 CM=MQ=-m+3,3 3MB=BC-CM=5-(- m+3)=2+ m，4 4OC MQ 3 由 sinCBO= = = ，BC BM 533 3即 = ，解得 m= , 3 5 24則點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（3 15, ）；2 8()當(dāng) CM=MQ,MQBC 時(shí)，如解圖， 過 M 作 MNOB 于 N，3則 ON=m,MN=- m+3,4第 1 題解圖在 eq oac(,Rt)BMN 中，易得 BM= 5=- m+5，4MN 5

40、 3= (- m+3)sinMBN 3 4CM=BC-BM=54m，在 eq oac(,Rt)BMQ 中，QM=BMtanMBQ=3 5 5由 CM=MQ 得(- m+5)= m， 4 4 43 5(- m+5)，4 4第 1 題解圖221232223解得 m=沈進(jìn)老師專用資料12 12 12，此時(shí)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（ , ）.7 7 7綜上所述，存在滿足條件的點(diǎn) M,點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（ 2. 解：（1）令 x=0，可得 y=2，令 y=0，可得 x=4，即點(diǎn) B（4，0），C（0，2）.（2）設(shè)二次函數(shù)的解析式為 y=ax +bx+c， 將點(diǎn) A、B、C 的坐標(biāo)代入解析式得，3 15 12 1

41、2 , ）或（ ， ）.2 8 7 7a- b c 0 16a 4b c 0 c 2 1a -2 3 ,解得 b b2c 2,1 3即該二次函數(shù)的關(guān)系式為 y=- x + x+2.2 23 3 5 3 5（3）存在.滿足條件的點(diǎn) P 的坐標(biāo)分別為 P （ ,4），P （ , ）,P ( ,- ).2 2 2 2 2【解法提示】y= -1 3x + x+2， 2 2y=-1 3 25 （x- ） + ，2 2 8拋物線的對(duì)稱軸是 x=32，OD=32C（0，2），OC=2在 eq oac(,Rt)OCD 中，由勾股定理得 CD=52CDP 是以 CD 為腰的等腰三角形， CP =DP =DP =

42、CD1 2 3如解圖所示，作 CE對(duì)稱軸于點(diǎn) E， EP =ED=2，DP =41 1P （13 3 5 3 5 ，4），P （ ， ），P （ ，- ）.2 2 2 2 2第 2 題解圖（4）如解圖，過點(diǎn) C 作 CMEF 于點(diǎn) M，222222222設(shè) E（a，-沈進(jìn)老師專用資料1 1 3a+2），F(xiàn)（a，- a + a+2），2 2 21 3 1EF=- a + a+2-（- a+2）2 2 2=-a +2a（0a4）S = +S + 四邊形 CDBF eq oac(,S)BCD CEF eq oac(,S)BEF第 2 題解圖=1 1 1BD OC+ EF CM+ EFBN 2 2 2

43、5 1 1 1 1= + a（- a +2a）+ （4-a） （- a +2a） 2 2 2 2 25=-a +4a+2=-（a-2） +132（0a4）,a=2 時(shí)，S四邊形 CDBF 最大=132，E（2，1）四 、與特殊四邊形有關(guān)的問題1. （2015 重慶模擬）已知正方形 OABC 中，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) A 在 y 軸的正半軸上，點(diǎn) C 在 x 軸的正半軸上，點(diǎn) B（4，4）.二次函數(shù) y= -16x +bx+c 的圖象經(jīng)過點(diǎn) A、B.點(diǎn) P（t，0）是 x 軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接 AP.求此二次函數(shù)的解析式；如圖，過點(diǎn) P 作 AP 的垂線與線段 BC 交于點(diǎn) G，當(dāng)點(diǎn) P 在線段 OC

44、（點(diǎn) P 不與點(diǎn) C、 O 重合）上運(yùn)動(dòng)至何處時(shí)，線段 GC 的長有最大值，求出這個(gè)最大值；（3）如圖，過點(diǎn) O 作 AP 的垂線與直線 BC 交于點(diǎn) D，二次函數(shù) y= -16x +bx+c 的圖象上是否存在點(diǎn) Q，使得以 P、C、Q、D 為頂點(diǎn)的四邊形是以 PC 為邊的平行四邊形？若存在， 求出 t 的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.圖圖備用圖222沈進(jìn)老師專用資料第 1 題圖2. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù) y=x +bx+c 的圖象與 x 軸交于 A、B 兩點(diǎn)，A 點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè)，B 點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0），與 y 軸交于 C（0，-4）點(diǎn)，點(diǎn) P 是直線 BC 下方的拋物 線上一動(dòng)點(diǎn).

45、求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式;連接 PO、PC，并把POC 沿 CO 翻折，得到四邊形 POPC，那么是否存在點(diǎn) P，使四邊形 POPC 為菱形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由;（3）當(dāng)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形 ABPC 的面積最大？求出此時(shí) P 點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形 ABPC 的最大面積.【答案】1.解：（1）B（4，4），AB=BC=4，四邊形 ABCO 是正方形， OA=4，A（0，4），將點(diǎn) A（0，4），B（4，4）代入 y= -16第 2 題圖x +bx+c，得c 4 1- 16 4b c 4 6，b解得 ，c 4二次函數(shù)解析式為 y=-（2）P（ t，0），

46、OP=t，PC=4-t，1 2x + x+4.6 32222沈進(jìn)老師專用資料APPG，APO+CPG=180-90=90， OAP+APO=90，OAP=CPG，又AOP=PCG=90， AOPPCG，即AO OP= ，PC GC4 t= ，4 - t GC整理得，GC=-14（t-2） +1，當(dāng) t=2 時(shí)，GC 有最大值是 1，即 P（2，0）時(shí)，GC 的最大值是 1.（3）存在點(diǎn) Q，使得以 P、C、Q、D 為頂點(diǎn)的四邊形是以 PC 為邊的平行四邊形 理由如下：如解圖、，易得OAP=COD，在AOP 和OCD 中，OAP CODOA OCAOP OCD 90,AOPOCD（ASA）， O

47、P=CD，第 1 題解圖由 P、C、Q、D 為頂點(diǎn)的四邊形是以 PC 為邊的平行四邊形得，PCDQ 且 PC=DQ， P（t，0），D（4，t），PC=DQ=|t-4|，點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為（t，t）或（8-t，t），當(dāng) Q（t，t）時(shí)，-1 2t + t+4= t， 6 3整理得，t+2t-24=0，解得 t =4（舍去），t =-6，1 2當(dāng) Q（8-t，t）時(shí)，-1 2（8-t） + （8-t）+4=t， 6 3第 1 題解圖222222沈進(jìn)老師專用資料整理得，t -6t+8=0，解得 t =2，t =4（舍去），1 2綜上所述，存在點(diǎn) Q（-6，-6）或（6，2），使得以 P、C、Q、D

48、為頂點(diǎn)的四邊形是以 PC 為邊的平行四邊形2.解：（1）將 B、C 兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：16 4b c 0 b -3 ，解得 ，c -4 c -4二次函數(shù)的表達(dá)式為 y=x -3x-4.（2）存在點(diǎn) P，使四邊形 POPC 為菱形；設(shè) P 點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x -3x-4），PP交 CO 于點(diǎn) E，若四邊形 POPC 是菱形，則有 PC=PO；如解圖，連接 PP，則 PECO 于點(diǎn) E，C（0，-4），CO=4，又OE=EC，OE=EC=2，y=-2，x-3x-4=-2，第 2 題解圖解得 x =13 17 3 - 17，x =2 2（不合題意，舍去），P 點(diǎn)的坐標(biāo)為（3 172，-2）.（3）如解

49、圖，過點(diǎn) P 作 y 軸的平行線與 BC 交于點(diǎn) Q，與 OB 交于點(diǎn) F，設(shè) P（x，x -3x-4）， 設(shè)直線 BC 的解析式為 y=kx+d，d -4 k 1 則 ,解得 4k d 0 d -4，直線 BC 的解析式為 y=x-4，則 Q 點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，x-4）；2222沈進(jìn)老師專用資料當(dāng) 0=x -3x-4，解得：x = -1，x =4， 1 2AO=1，AB=5，S =S +S +S 四邊形 ABPC ABC BPQ CPQ第 2 題解圖=1 1 1AB OC+ QP BF+ QP OF 2 2 21 1 1= 54+ （4-x）x-4-（x -3x-4）+ xx-4-（x 2 2

50、 2=-2x +8x+10-3x -4）=-2（x-2）2+18,當(dāng) x=2 時(shí)，四邊形 ABPC 的面積最大，此時(shí) P 點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-6），四邊形 ABPC 的面積的最大值為 18 五、與三角形相似有關(guān)的問題1. （2015 廣元）如圖，已知拋物線 y-1m（x+2）（x-m）（m0）與 x 軸相交于點(diǎn) A、B，與 y 軸相交于點(diǎn) C，且點(diǎn) A 在點(diǎn) B 的左側(cè).若拋物線過點(diǎn) G（2，2），求實(shí)數(shù) m 的值.在（1）的條件下，解答下列問題：求ABC 的面積.在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn) H，使 AH+CH 最小，并求出點(diǎn) H 的坐標(biāo).（3）在第四象限內(nèi)，拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn) A、B

51、、M 為頂點(diǎn)的三角形 eq oac(,與)ABC 相似？若存在，求 m 的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.第 1 題圖2. 如圖，拋物線經(jīng)過 A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三點(diǎn).求出拋物線的解析式；P 是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過 P 作 P Mx 軸，垂足為 M，是否存在 P 點(diǎn)，使得以 A，P，M 為頂點(diǎn)的三角形 eq oac(,與)OAC 相似？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng) 說明理由；eq oac(,S)ABC沈進(jìn)老師專用資料（3）在直線 AC 上方的拋物線上有一點(diǎn) D，使得DCA 的面積最大，求出點(diǎn) D 的坐標(biāo).第 2 題圖【答案】1.解：(1)拋物線過點(diǎn) G(2

52、，2)，2=-1m(2+2)(2-m)，m=4.(2)y=0,-1m(x+2)(x-m)=0，解得 x =-2,x =m,1 2m0,A(-2,0)、B(m,0),又m=4,AB=6.令 x=0,得 y=2,C(0,2), OC=2， =1ABOC= 626.2第 1 題解圖m=4，拋物線 y= -14(x+2)(x-4)的對(duì)稱軸為 x=1，如解圖，連接 BC 交對(duì)稱軸于點(diǎn) H，由軸對(duì)稱的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)可知， 此時(shí) AH+CH=BH+CH=BC 最小.設(shè)直線 BC 的解析式為 y=kx+b(k0).4k b 0 k - 則 ,解得 b 2b 2,1直線 BC 的解析式為 y=- x+2.2第 1 題解圖當(dāng) x=1 時(shí)，y=323,H(1, ).22222沈進(jìn)老師專用資料(3)存在.如解圖，分兩種情況討論：()當(dāng)ACBABM 時(shí)，AC AB= ，AB AM即 AB =AC AM.A(-2,0),C(0,2)，即 OA=OC=2,CAB=45,BAM=45.過點(diǎn) M 作 MNx 軸于點(diǎn) N， 則 AN=MN，OA+ON=2