一元一次方程的應(yīng)用題歸納

1、一元一次方程的應(yīng)用題歸納方程的有關(guān)概念1. 方程：含有未知數(shù)的等式就叫做方程。2. 一元一次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)(元)x，未知數(shù)x的指數(shù)都是1(次)，這樣的方程叫做一元一次方程。例如： 1700+50 x=1800， 2（x+1.5x）=5等都是一元一次方程。3方程的解：使方程中等號(hào)左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解。注： 方程的解和解方程是不同的概念，方程的解實(shí)質(zhì)上是求得的結(jié)果，它是一個(gè)數(shù)值(或幾個(gè)數(shù)值)，而解方程的含義是指求出方程的解或判斷方程無(wú)解的過(guò)程。 方程的解的檢驗(yàn)方法，首先把未知數(shù)的值分別代入方程的左、右兩邊計(jì)算它們的值，其次比較兩邊的值是否相等從而得出結(jié)論。等式的性質(zhì)等式的

2、性質(zhì)(1)：等式兩邊都加上(或減去)同個(gè)數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等.用式子形式表示為：如果a=b，那么ac=bc等式的性質(zhì)(2)：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等，用式子形式表示為：如果a=b，那么ac=bc;如果a=b(c0)，那么a/c=b/c移項(xiàng)法則把等式一邊的某項(xiàng)變號(hào)后移到另一邊，叫做移項(xiàng)。去括號(hào)法則1. 括號(hào)外的因數(shù)是正數(shù)，去括號(hào)后各項(xiàng)的符號(hào)與原括號(hào)內(nèi)相應(yīng)各項(xiàng)的符號(hào)相同。2. 括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號(hào)后各項(xiàng)的符號(hào)與原括號(hào)內(nèi)相應(yīng)各項(xiàng)的符號(hào)改變。解方程的一般步驟1. 去分母(方程兩邊同乘各分母的最小公倍數(shù))2. 去括號(hào)(按去括號(hào)法則和分配律)3. 移項(xiàng)(把含有未知數(shù)

3、的項(xiàng)移到方程一邊，其他項(xiàng)都移到方程的另一邊，移項(xiàng)要變號(hào))4. 合并(把方程化成ax = b (a0)形式)5. 系數(shù)化為1(在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)a，得到方程的解x=).列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟1.列方程解應(yīng)用題的基本步驟步驟名 稱方 法依 據(jù)注 意 事 項(xiàng)1去分母在方程兩邊同時(shí)乘以所有分母的最小公倍數(shù)（即把每個(gè)含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍數(shù)）等式性質(zhì)21、不含分母的項(xiàng)也要乘以最小公倍數(shù)；2、分子是多項(xiàng)式的一定要先用括號(hào)括起來(lái).2去括號(hào)去括號(hào)法則（可先分配再去括號(hào)）乘法分配律注意正確的去掉括號(hào)前帶負(fù)數(shù)的括號(hào)3移項(xiàng)把未知項(xiàng)移到方程的一邊（左邊），常數(shù)項(xiàng)移到另

4、一邊（右邊）等式性質(zhì)1移項(xiàng)一定要改變符號(hào)4合并 同類項(xiàng)分別將未知項(xiàng)的系數(shù)相加、常數(shù)項(xiàng)相加1、整式的加減；2、有理數(shù)的加法法則單獨(dú)的一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)為“1”5系數(shù)化為“1”在方程兩邊同時(shí)除以未知數(shù)的系數(shù)（或方程兩邊同時(shí)乘以未知數(shù)系數(shù)的倒數(shù)）等式性質(zhì)2不要顛倒了被除數(shù)和除數(shù)（未知數(shù)的系數(shù)作除數(shù)分母）*6檢根x=a方法：把x=a分別代入原方程的兩邊，分別計(jì)算出結(jié)果. 若 左邊右邊，則x=a是方程的解；若 左邊右邊，則x=a不是方程的解.注：當(dāng)題目要求時(shí)，此步驟必須表達(dá)出來(lái).注意：(1)初中列方程解應(yīng)用題時(shí)，怎么列簡(jiǎn)單就怎么列（即所列的每一個(gè)方程都直接的表示題意），不用擔(dān)心未知數(shù)過(guò)多，簡(jiǎn)化審題和列方程

5、的步驟，把難度轉(zhuǎn)移到解方程的步驟上。(2)解方程的步驟不用寫出，直接寫結(jié)果即可。(3)設(shè)未知數(shù)時(shí)，要標(biāo)明單位，在列方程時(shí)，如果題中數(shù)據(jù)的單位不統(tǒng)一，必須把單位換算成統(tǒng)一單位，尤其是行程問題里需要注意這個(gè)問題。2.設(shè)未知數(shù)的方法設(shè)未知數(shù)的方法一般來(lái)講，有以下幾種：(1)“直接設(shè)元”：題目里要求的未知量是什么，就把它設(shè)為未知數(shù)，多適用于要求的未知數(shù)只有一個(gè)的情況。(2)“間接設(shè)元”：有些應(yīng)用題，若直接設(shè)未知數(shù)很難列出方程，或者所列的方程比較復(fù)雜，可以選擇間接設(shè)未知數(shù)，而解得的間接未知數(shù)對(duì)確定所求的量起中介作用。(3)“輔助設(shè)元”：有些應(yīng)用題不僅要直接設(shè)未知數(shù)，而且要增加輔助未知數(shù)，但這些輔助未知數(shù)

6、本身并不需要求出，它們的作用只是為了幫助列方程，同時(shí)為了求出真正的未知量，可以在解題時(shí)消去。(4)“部分設(shè)元”與“整體設(shè)元”轉(zhuǎn)換：當(dāng)整體設(shè)元有困難時(shí)，可以考慮設(shè)其一部分為未知數(shù)，反之亦然，如：數(shù)字問題。題型一：數(shù)字問題(1)多位數(shù)字的表示方法：一個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字、個(gè)位數(shù)字分別為a、b，（其中a、b均為整數(shù)， 1a9，0b9）則這個(gè)兩位數(shù)可以表示為10a+b一個(gè)三位數(shù)的百位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，個(gè)位數(shù)字為c，（其中均為整數(shù)，且1a9，0b9，0c9）則這個(gè)三位數(shù)表示為：100a+b+c(2)奇數(shù)與偶數(shù)的表示方法：偶數(shù)可表示為2k，奇數(shù)可表示為2k+1（其中k表示整數(shù)）(3)三個(gè)相鄰的整數(shù)的表

7、示方法：可設(shè)中間一個(gè)整數(shù)為a，則這三個(gè)相鄰的整數(shù)可表示為a-1,a,a+1例1 一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，小明認(rèn)為自己可以得滿分，不料卷子發(fā)下來(lái)一看得了96分，原來(lái)是由于粗心把一個(gè)題目的答案十位與個(gè)位數(shù)字寫顛倒了，結(jié)果自己的答案比正確答案大了36，而正確答案的個(gè)位數(shù)字是十位數(shù)字的2倍正確答案是多少?例2 某年份的號(hào)碼是一個(gè)四位數(shù)，它的千位數(shù)字是2，如果把2移到個(gè)位上去，那么所得的新四位數(shù)比原四位數(shù)的2倍少6，求這個(gè)年份。題型二：日歷問題(1)在日歷問題中，橫行相鄰兩數(shù)相差1，豎列相鄰兩數(shù)相差7(2)日歷中一個(gè)豎列上相鄰3個(gè)數(shù)的和的最小值時(shí)24，最大值時(shí)72，且這個(gè)和一定是3的倍數(shù)(3)一年中，每月的天數(shù)

8、是有規(guī)律的，一、三、五、七、八、十、十二這七個(gè)月每月都是31天，四、六、九、十一這四個(gè)月每月都是30天，二月平年28天，閏年29天，所以，日歷表中日期的取值是有范圍的題型三：和差倍分問題和、差、倍問題關(guān)鍵要分清是幾倍多幾和幾倍少幾(1)當(dāng)較大量是較小量的幾倍多幾時(shí)，；(2)當(dāng)較大量是較小量的幾倍少幾時(shí)，例5 一部拖拉機(jī)耕一片地，第一天耕了這片地的；第二天耕了剩下部分的，還剩下42公頃沒耕完，則這片地共有多少公頃？例6 牧羊人趕著一群羊?qū)ふ乙粋€(gè)草長(zhǎng)得茂盛的地方，一個(gè)過(guò)路人牽著一只肥羊從后面跟了上來(lái)，他對(duì)牧羊人說(shuō)：“你趕的這群羊大概有100只吧!”牧羊人答道：“如果這群羊增加一倍，再加上原來(lái)這群羊

9、的一半，又加上原來(lái)這群羊一半的一半，連你這只羊也算進(jìn)去，才剛好湊滿100只”問牧羊人的這群羊共有多少只?題型四：行程問題1.行程問題路程=速度時(shí)間相遇路程=速度和相遇時(shí)間追及路程=速度差追及時(shí)間2.流水行船問題順流速度=靜水速度+水流速度逆流速度=靜水速度水流速度水流速度=（順流速度逆流速度）3.火車過(guò)橋問題火車過(guò)橋問題是一種特殊的行程問題，需要注意從車頭至橋起，到車尾離橋止，火車所行距離等于橋長(zhǎng)加上車長(zhǎng)，列車過(guò)橋問題的基本數(shù)量關(guān)系為：車速過(guò)橋時(shí)間=車長(zhǎng)+橋長(zhǎng)例7 有甲、乙、丙三人同時(shí)同地出發(fā)，繞一個(gè)花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲與乙、丙背向而行甲每分鐘走40米，乙每分鐘走38米，丙每分鐘

10、走36米出發(fā)后，甲和乙相遇后3分鐘和丙相遇，求花圃的周長(zhǎng)例8 某人從家里騎摩托車到火車站，如果每小時(shí)行30千米，那么比火車開車時(shí)間早到15分鐘，若每小時(shí)行18千米，則比火車開車時(shí)間遲到15分鐘，現(xiàn)在此人打算在火車開車前10分鐘到達(dá)火車站，則此人此時(shí)騎摩托車的速度應(yīng)為多少？例9 一小船由A港到B港順流需行6小時(shí)，由B港到A港逆流需行8小時(shí)，一天，小船從早晨6點(diǎn)由A港出發(fā)順流行至B港時(shí)，發(fā)現(xiàn)一救生圈在途中掉落在水中，立即返回，1小時(shí)后找到救生圈問：(1)若小船按水流速度由A港漂流到B港需多少小時(shí)？(2)救生圈是何時(shí)掉入水中的？題型五：工程問題工作總量=工作時(shí)間工作效率各部分工作量之和=1例10 有

11、甲、乙、丙三個(gè)水管，獨(dú)開甲管5小時(shí)可以注滿一池水；甲、乙兩管齊開，2小時(shí)可注滿一池水；甲、丙兩管齊開，3小時(shí)注滿一池水現(xiàn)把三管一齊開，過(guò)了一段時(shí)間后甲管因故障停開，停開后2小時(shí)水池注滿問三管齊開了多少小時(shí)？例11 檢修一住宅區(qū)的自來(lái)水管道，甲單獨(dú)完成需14天，乙單獨(dú)完成需18天，丙單獨(dú)完成需12天前7天由甲、乙兩人合作，但乙中途離開了一段時(shí)間，后2天由乙、丙兩人合作完成，問乙中途離開了幾天？題型六：商品銷售問題在現(xiàn)實(shí)生活中，購(gòu)買商品和銷售商品時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到進(jìn)價(jià)、標(biāo)價(jià)、售價(jià)、打折等概念，在了解這些基本概念的基礎(chǔ)上，還必須掌握以下幾個(gè)等量關(guān)系：利潤(rùn)=售價(jià)進(jìn)價(jià)利潤(rùn)=進(jìn)價(jià)利潤(rùn)率 實(shí)際售價(jià)=標(biāo)價(jià)打折率例

12、12 某商場(chǎng)經(jīng)銷一種商品，由于進(jìn)貨時(shí)價(jià)格比原進(jìn)價(jià)降低了，使得利潤(rùn)增加了8個(gè)百分點(diǎn)，求經(jīng)銷這種商品原來(lái)的利潤(rùn)率。例13 某商品月末的進(jìn)貨價(jià)為比月初的進(jìn)貨價(jià)降了8%，而銷售價(jià)不變，這樣，利潤(rùn)率月末比月初高10%，問月初的利潤(rùn)率是多少？題型七：方案決策問題在實(shí)際生活中，做一件事情往往會(huì)有多種選擇，這就需要從幾種方案中，選擇最佳方案，如網(wǎng)絡(luò)的使用，到不同旅行社購(gòu)票等，一般都要運(yùn)用方程解答，把每一種方案的結(jié)果先算出來(lái)，進(jìn)行比較后得出最佳方案。例14 某開發(fā)商進(jìn)行商鋪促銷，廣告上寫著如下條款：投資者購(gòu)買商鋪后，必須由開發(fā)商代為租賃5年，5年期滿后由開發(fā)商以比原商鋪標(biāo)價(jià)高20%的價(jià)格進(jìn)行回購(gòu)，投資者可在以下

13、兩種購(gòu)鋪方案中做出選擇：方案一：投資者按商鋪標(biāo)價(jià)一次性付清鋪款，每年可以獲得的租金為商鋪標(biāo)價(jià)的10%方案二：投資者按商鋪標(biāo)價(jià)的八五折一次性付清鋪款，2年后每年可以獲得的租金為商鋪標(biāo)價(jià)的10%，但要繳納租金的10%作為管理費(fèi)用（1）請(qǐng)問：投資者選擇哪種購(gòu)鋪方案，5年后所獲得的投資收益率更高？為什么？（注：）（2）對(duì)同一標(biāo)價(jià)的商鋪，甲選擇了購(gòu)鋪方案一，乙選擇了購(gòu)鋪方案二，那么5年后兩人獲得的收益將相差5萬(wàn)元問：甲、乙兩人各投資了多少萬(wàn)元？例15 有一個(gè)只允許單向通過(guò)的窄道口，通常情況下，每分鐘可以通過(guò)9人一天王老師到達(dá)道口時(shí)，發(fā)現(xiàn)由于擁擠，每分鐘只能有3人通過(guò)道口，此時(shí)，自己前面還有36個(gè)人等待通

14、過(guò)，通過(guò)道口后，還需7分鐘到達(dá)學(xué)校(1)若繞道而行，要15分鐘到達(dá)學(xué)校。從節(jié)省時(shí)間考慮，王老師應(yīng)選擇繞道去學(xué)校還是選擇通過(guò)擁擠的道口去學(xué)校？(2)若在王老師等人的維持下，幾分鐘后秩序恢復(fù)正常（每分鐘仍有3人通過(guò)道口），結(jié)果王老師比擁擠的情況下提前了6分鐘通過(guò)道口，問維持秩序的時(shí)間是多少？題型八：配套問題“配套”型應(yīng)用題中有三組數(shù)據(jù)：(1)車間工人的人數(shù)；(2)每人每天平均能生產(chǎn)的不同的零件數(shù)；(3)不同零件的配套比（利用(1)(3)得到等量關(guān)系，構(gòu)造方程）一般地說(shuō)，(2)、(3)兩個(gè)數(shù)據(jù)可以預(yù)先給定例如，在給出(2)、(3)兩組數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，如何確定車間工人人數(shù)，使問題有整數(shù)解例16 某車間有28名工人，生產(chǎn)一種螺栓和螺母，每人每天平均能生產(chǎn)螺栓12個(gè)或螺母18個(gè)，一個(gè)螺栓要配兩個(gè)螺母第一天安排14名工人生產(chǎn)螺栓，14名工人生產(chǎn)螺母，問第二天應(yīng)分配多少人生產(chǎn)螺栓、多少人生產(chǎn)螺母，才能使兩天總的生產(chǎn)效率最高？例17 某車間有62個(gè)工人，生產(chǎn)甲、乙兩種零件，每人每天平均能生產(chǎn)甲種零件12個(gè)或乙種零件23個(gè)已知每3個(gè)甲種零件和2個(gè)乙種零件配成一套，問應(yīng)分配多少人生產(chǎn)甲種零件，多少人生產(chǎn)乙種零件，才能使每天生產(chǎn)的這兩種零件剛好配套？題型九：積分問題