初三數(shù)學(xué)圓的綜合的專項(xiàng)培優(yōu) 易錯(cuò) 難題練習(xí)題(含答案)

1、初三數(shù)學(xué)圓的綜合的專項(xiàng)培優(yōu)易錯(cuò)難題練習(xí)題（含答案）一、圓的綜合1.如圖，四邊形OABC是平行四邊形，以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓交AB于D,延長(zhǎng)AO交O于E,連接CD，CE，若CE是OO的切線，解答下列問題：（1）求證：CD是OO的切線；（2）若BC=4，CD=6，求平行四邊形OABC的面積.【答案】（1）證明見解析（2）24【解析】試題分析：（1）連接OD,求出/EOC=ZDOC，根據(jù)SAS推出E0居DOC，推出乙ODC=ZOEC=90，根據(jù)切線的判定推出即可；（2）根據(jù)切線長(zhǎng)定理求出CE=CD=4，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)求出OA=OD=4,根據(jù)平行四邊形的面積公式=2COD的面積即可求解.試題解

2、析：（1）證明：連接OD,TOD=OA,ZODA=ZA,T四邊形OABC是平行四邊形，OCIIAB,.ZEOC=ZA，ZCOD=ZODA，.ZEOC=ZDOC，在厶EOC和厶DOC中，OE=ODZEOC=ZDOCOC=OC.EOCDOC（SAS）,.ZODC=ZOEC=90，即卩OD丄DC,.CD是OO的切線；（2）由（1）知CD是圓O的切線，.CDO為直角三角形，1Tcdo=2CD0D，又:OA=BC=OD=4,1=2心4=12平行四邊形OABC的面積S=2Scd=24.uuru2.如圖，ABC是OO的內(nèi)接三角形，點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E在弦AB上（E不與A重合），且四邊形BDCE為菱形.（1）求

3、證：AC=CE；（2）求證：BC2-AC2=ABAC；（3）已知OO的半徑為3.AB5若匚不=3，求BC的長(zhǎng)；AC3當(dāng)需7為何值時(shí)，ABAC的值最大?AC3【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）BC=4.；2；2【解析】分析：（1）由菱形知/D=ZBEC，由/A+ZD=ZBEC+ZAEC=180。可得ZA=ZAEC，據(jù)此得證；（2）以點(diǎn)C為圓心，CE長(zhǎng)為半徑作OC,與BC交于點(diǎn)F,于BC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,則BEBGCF=CG=AC=CE=CD，證厶BEF-BGA得二，即BFBG=BEAB，將BF=BC-CF=BC-BFBAAC、BG=BC+CG=BC+AC代入可得；(3)設(shè)AB=5k

4、、AC=3k，由BC2-AC2=ABAC知BC=2J6k,連接ED交BC于點(diǎn)M,RtADMC中由DC=AC=3k、MC=2BC6k求得DM=yCD2一CM2=j3k,可知OM=OD-DM=3-J3k,在RtACOM中，由OM2+MC2=OC2可得答案.設(shè)OM=d，貝MD=3-d,MC2=OC2-OM2=9-d2，繼而知BC2=(2MC)2=36-4d2、AC2=DC2=DM2+CM2=(3-d)2+9-d2，由(2)得ABAC=BC2-AC2，據(jù)此得出關(guān)于d的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案.詳解：(1)四邊形EBDC為菱形，ZD=ZBEC,T四邊形ABDC是圓的內(nèi)接四邊形，.ZA+ZD=

5、180，又ZBEC+ZAEC=180,.ZA=ZAEC，.AC=CE；(2)以點(diǎn)C為圓心，CE長(zhǎng)為半徑作OC,與BC交于點(diǎn)F,于BC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,則CF=CG，由(1)知AC=CE=CD,.CF=CG=AC,四邊形AEFG是OC的內(nèi)接四邊形,.ZG+ZAEF=180,又:ZAEF+ZBEF=180,.ZG=ZBEF,TZEBF=ZGBA,BEFBGA,.BE_BG在RtADMC中，DC=AC=3k,，即BFBG=BEAB,BFBATBF=BC-CF=BC-AC、BG=BC+CG=BC+AC,BE=CE=AC,.(BC-AC)(BC+AC)=ABAC,即卩BC2-AC2=ABAC；(3)設(shè)AB

6、=5k、AC=3k，TBC2-AC2=ABAC,BC=2k,連接ED交BC于點(diǎn)M，T四邊形BDCE是菱形，.DE垂直平分BC，則點(diǎn)E、O、M、D共線，.DM=Jcd2CM2=p3k,.OM=OD-DM=3-J3k,在RtACOM中，由OM2+MC2=OC2得(3-0,由(2)可知當(dāng)a增大到30時(shí)，點(diǎn)O在半圓上，當(dāng)0a30。時(shí)點(diǎn)O在半圓內(nèi)，線段NO與半圓只有一個(gè)公共點(diǎn)B；當(dāng)a增大到45時(shí)NA與半圓相切，即線段NO與半圓只有一個(gè)公共點(diǎn)B.當(dāng)a繼續(xù)增大時(shí)，點(diǎn)P逐漸靠近點(diǎn)N,但是點(diǎn)P,N不重合，a90，當(dāng)45Wa90線段BO與半圓只有一個(gè)公共點(diǎn)B.綜上所述0a30或45a90.【點(diǎn)睛】本題考查了切線的

7、性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理、三角函數(shù)的定義、30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半、翻折問題等知識(shí)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵6.如圖，AB為eO的直徑，弦CD/AB,E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，上CDB=ZADE.DE是eO的切線嗎？請(qǐng)說明理由；求證：AC2二CD-BE.CE【答案】(1)結(jié)論：DE是eO的切線，理由見解析；(2)證明見解析.【解析】【分析】連接OD，只要證明OD丄DE即可；只要證明：AC=BD，VCDBsVDBE即可解決問題.【詳解】(1)解：結(jié)論：DE是eO的切線.理由：連接ODQZCDB=ZADE，:.ZADC=ZEDB，QCD/AB，.ZCDA=ZDAB，QOA=OD，/.ZOA

8、D=ZODA，/.ZADO=ZEDB，QAB是直徑，/ZADB=90o，/ZADB=ZODE=90o/.DE丄OD，DE是eO的切線.（2）QCD/AB,/.ZADC=ZDAB,ZCDB=ZDBE,AC=BD，AC=BD,QZDCB=ZDAB,ZEDB=ZDAB,:.ZEDB=ZDCB,:VCDB-VDBE,.CD=DB：BD=BE，：.BD2=CD-BE,:AC2=CDBE.【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理、切線的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，準(zhǔn)確尋找相似三角形解決問題，屬于中考?？碱}型.7.已知：如圖，ABC中，AC=3,ZABC=3O.（1）尺規(guī)作圖：求作

9、厶ABC的外接圓，保留作圖痕跡，不寫作法；（2）求（1）中所求作的圓的面積ASC【答案】（1）作圖見解析；（2）圓的面積是9n.【解析】試題分析：（1）按如下步驟作圖：作線段AB的垂直平分線；作線段BC的垂直平分線；以兩條垂直平分線的交點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半圓畫圓，則圓O即為所求作的圓.如圖所示（2）要求外接圓的面積，需求出圓的半徑，已知AC=3,如圖弦AC所對(duì)的圓周角是ZABC=3O，所以圓心角ZAOC=60,所以AAOC是等邊三角形，所以外接圓的半徑是3（2）連接OA，OBTAC=3,ZABC=30,ZAOC=60,AOC是等邊三角形,.圓的半徑是3,.圓的面積是S=nr2=9n.8矩形A

10、BCD中，點(diǎn)C(3,8),E、F為AB.CD邊上的中點(diǎn)，如圖1點(diǎn)A在原點(diǎn)處，點(diǎn)B在y軸正半軸上，點(diǎn)C在第一象限，若點(diǎn)A從原點(diǎn)出發(fā)，沿x軸向右以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B隨之沿y軸下滑，并帶動(dòng)矩形ABCD在平面內(nèi)滑動(dòng)，如圖2,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間表示為t秒，當(dāng)點(diǎn)B到達(dá)原點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)當(dāng)t=0時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為；當(dāng)t=4時(shí)，求0E的長(zhǎng)及點(diǎn)B下滑的距離;求運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)F到點(diǎn)0的最大距離；4）當(dāng)以點(diǎn)F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓與坐標(biāo)軸相切時(shí)，求t的值.詠SEC),且BD=2朽.過點(diǎn)D作DFIIBC,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證：DF為OO的切線；若ZBAC=60,DE=j7，求圖中陰影部分的面積.【答案】(1)詳

11、見解析；(2)9運(yùn)-2n.解析】分析】連結(jié)OD,根據(jù)垂徑定理得到OD丄BC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OD丄DF，根據(jù)切線的判定定理證明；連結(jié)0B,連結(jié)0D交BC于P,作BH丄DF于H,證明OBD為等邊三角形，得到厶ODB=60,oB=BD=2訂3，根據(jù)勾股定理求出PE，證明ABE-AFD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出AE,根據(jù)陰影部分的面積=BDF的面積-弓形BD的面積計(jì)算.【詳解】證明：(1)連結(jié)0D,TAD平分/BAC交O0于D,ZBAD=ZCAD,二Bd=Cd，.0D丄BC,TBCIIDF,.OD丄DF,.DF為OO的切線；(2)連結(jié)OB,連結(jié)OD交BC于P,作BH丄DF于H,TZBAC=60,

12、AD平分ZBAC,.ZBAD=30,.ZBOD=2ZBAD=60,.OBD為等邊三角形,ZODB=60,OB=BD=2,.ZBDF=30,TBCIDF,.ZDBP=30,在RtADBP中，PD=2BD=V3,PB/3PD=3,在RtADEP中，tpd=43,de=V7,.PE=J（77）2TOP丄BC,（73）2=2,.BP=CP=3,.CE=3-2=1,TZDBE=ZCAE,ZBED=ZAEC.BDE-ACE,AE：BE=CE：DE,即AE：5=1：*7,.ae=5門7TBEIIDF,ABE-AFD,BE_AEDFAD5j75_7即DF=1217解得DF=12,在RtABDH中，BH=陰影部

13、分的面積=厶BDF的面積-弓形BD的面積=BDF的面積-（扇形BOD的面積-BOD的面積)=2X123-601滬一手%(23仝-2n【點(diǎn)睛】考查的是切線的判定,扇形面積計(jì)算,相似三角形的判定和性質(zhì),圓周角定理的應(yīng)用,等邊三角形的判定和性質(zhì),掌握切線的判定定理,扇形面積公式是解題的關(guān)鍵12.如圖1,已知OO是AADB的外接圓，ZADB的平分線DC交AB于點(diǎn)M,交O0于點(diǎn)C,連接AC，BC.（1）求證：AC=BC；（2）如圖2,在圖1的基礎(chǔ)上做OO的直徑CF交AB于點(diǎn)E,連接AF,過點(diǎn)A作OO的切線AH,若AH/BC，求ZACF的度數(shù)；（3）在（2）的條件下，若AABD的面積為6運(yùn),AABD與AA

14、BC的面積比為2：9,求CD的長(zhǎng).&|B1那【答案】（1）證明見解析；（2）30；（3）2呂解析】分析：(1)運(yùn)用“在同圓或等圓中，弧相等，所對(duì)的弦相等”可求解；連接AO并延長(zhǎng)交BC于丨交OO于J,由AH是OO的切線且AHIIBC得AI丄BC,易證ZIAC=30,故可得ZABC=60=ZF=ZACB，由CF是直徑可得/ACF的度數(shù)；過點(diǎn)D作DG丄AB,連接AO,知ABC為等邊三角形，求出AB、AE的長(zhǎng)，在RtAAEO中，求出AO的長(zhǎng)，得CF的長(zhǎng)，再求DG的長(zhǎng)，運(yùn)用勾股定理易求CD的長(zhǎng).詳解：(1)TDC平分ZADB，ZADC=ZBDC，二AC=BC.(2)如圖，連接AO并延長(zhǎng)交BC于I交OO于

15、JTAH是OO的切線且AHIIBC，AI丄BC，.BI=IC，TAC=BC，IC1.IC=2AC，.ZIAC=30，.ZABC=60=ZF=ZACB.TFC是直徑，.ZFAC=90，.ZACF=180-90-60=30.(3)過點(diǎn)D作DGAB，連接AO由(1)(2)知ABC為等邊三角形TZACF=30，AB丄CF,AE=BE,S二二AB2二27朽,ABC4AB=6悩3,AE二3朽.在RtAAEO中，設(shè)EO=x，則A0=2x,AO2=A2x=6,OO的半徑為6,CF=12.1_1_S=ABxDGx=6、.：3xDGx=6弋3,ABD22DG=2.如圖，過點(diǎn)D作DG丄CF，連接od.AB丄CF,D

16、G丄AB,CF/DG,四邊形GZDGE為矩形，GE=2,CG=GE+CE=6+3+2=11,在RtAOGD中，OG=5,OD=6,DG二11,CD=、JDG2+CG2二、：11+112=點(diǎn)睛：本題是一道圓的綜合題.考查了圓的基本概念，垂徑定理，勾股定理，圓周角定理等相關(guān)知識(shí).比較復(fù)雜，熟記相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.13.如圖，線段BC所在的直線是以AB為直徑的圓的切線，點(diǎn)D為圓上一點(diǎn)，滿足BD=BC,且點(diǎn)C、D位于直徑AB的兩側(cè)，連接CD交圓于點(diǎn)E.點(diǎn)F是BD上一點(diǎn)，連接EF,分別交AB、BD于點(diǎn)G、H,且EF=BD.求證：EFIIBC；若EH=4,HF=2，求BE的長(zhǎng).2廠【答案】見解析；3v3【

17、解析】【分析】（1）根據(jù)EF=BD可得EF=BD，進(jìn)而得到Be=Df，根據(jù)在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等”即可得出角相等進(jìn)而可證.（2）連接DF，根據(jù)切線的性質(zhì)及垂徑定理求出GF、GE的長(zhǎng)，根據(jù)在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等及平行線求出相等的角，利用銳角三角函數(shù)求出/BHG，進(jìn)而求出/BDE的度數(shù)，確定BE所對(duì)的圓心角的度數(shù)，根據(jù)ZDFH=90確定DE為直徑，代入弧長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】（1）TEF=BD,二EF=BD-Be=DfZD=ZDEF又BD=BC,ZDZC，.ZDEF=ZC.AB丄BC又EFIIBC，AB丄EF,弧BF=弧BE,1GF=GE=(HF+EH)=

18、3,HG=1DB平分ZEDF，又BFIICD,ZFBD=ZFDB=ZBDE=ZBFHHB=HF=2ZBHG=60.cosZBHG=HG=1HB2ZFDB=ZBDE=30ZDFH=90,DE為直徑，DE=4、：3，且弧BE所對(duì)圓心角=60.TOC o 1-5 h z12.弧BE=x4：3兀=3兀63【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，主要考查圓周角、切線、垂徑定理、弧長(zhǎng)公式等相關(guān)知識(shí)，掌握?qǐng)A周角的有關(guān)定理，切線的性質(zhì)，垂徑定理及弧長(zhǎng)公式是解題關(guān)鍵.14.如圖1,等腰直角厶ABC中，ZACB=90,AC=BC,過點(diǎn)A,C的圓交AB于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E,連結(jié)DE若AD=7,BD=1,分別求DE,CE的長(zhǎng)如圖2

19、,連結(jié)CD,若CE=3,ACD的面積為10,求tanZBCD如圖3,在圓上取點(diǎn)P使得ZPCD=ZBCD(點(diǎn)P與點(diǎn)E不重合)，連結(jié)PD,且點(diǎn)D是厶CPF的內(nèi)心請(qǐng)你畫出CPF，說明畫圖過程并求ZCDF的度數(shù)設(shè)PC=a,PF=b,PD=c，若(a-2c)(b-、；2c)=8,求厶CPF的內(nèi)切圓半徑長(zhǎng).aDBECBSCEi23【答案】(1)DE=1,CE=3、2；(2)tanZBCD=4；(3)135；2.【解析】【分析】由A、C、E、D四點(diǎn)共圓對(duì)角互補(bǔ)為突破口求解；找ZBDF與ZODA為對(duì)頂角，在O0中，ZCOD=2ZCAD，證明OCD為等腰直角三角形，從而得到ZEDC+ZODA=45,即可證明ZC

20、DF=135；過點(diǎn)D做DH丄CB于點(diǎn)H,以D為圓心，DH為半徑畫圓，過點(diǎn)P做eD切線PF交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,結(jié)合圓周角定理得出ZCPD=ZCAD=45,再根據(jù)圓的內(nèi)心是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)，得出ZCPF=90，然后根據(jù)角平分線性質(zhì)得出11ZDCF+ZCFD=2cf+2FC=450，最后再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解；證明/DCF+ZCFD=45,從而證明/CPF是直角，再求證四邊形PKDN是正方形，最后以厶PCF面積不變性建立等量關(guān)系，結(jié)合已知(a-巨c)(b-f2c)=8，消去字母a，b求出c值，即求出厶CPF的內(nèi)切圓半徑長(zhǎng)為上2c.2【詳解】(1)由圖可知：設(shè)BC=x.在RtAA

21、BC中，AC=BC.由勾股定理得:AC2+BC2=AB2，TAB=AD+BD,AD=7,BD=1，二x2+X2=82,解得：x=4邁.OO內(nèi)接四邊形，ZACD=90,ZADE=90,ZEDB=90,TZB=45，.BDE是等腰直角三形.DE=DB，又:DB=1,.DE=1，又：CE=BC-BE,.CE=4j2-邁=3邁.2)如圖所示：1在厶DCB中過點(diǎn)D作DM丄BE，設(shè)BE=y,則DM=下y,2又:CE=3,BC=3+y,S=S+S,ACBACDDCB.x4：2x42=10+x（3+y）x1y,222解得：y=2或y=-11（舍去）.EM=1，CM=CE+ME=1+3=4，又:ZBCD=ZMC

22、D,.tanZBCD=tanZMCD,DM在RtADCM中，tanZMCD=,CM4.tanZBCD=4（3）如下圖所示：過點(diǎn)D做DH丄CB于點(diǎn)H,以D為圓心，DH為半徑畫圓，過點(diǎn)P做eD切線PF交CBZCAD=45,.ZCPD=ZCAD=45,又點(diǎn)D是ACPF的內(nèi)心，.PD、CD、DF都是角平分線,.ZFPD=ZCPD=45,ZPCD=ZDCF,ZPFD=ZCFD.ZCPF=90.ZPCF+ZPFC=90ZDCF+ZCFD=-ZPCF+-ZPFC=45。22.ZCDF=180-ZDCF-ZCFDF=90+45=135,即ZCDF的度數(shù)為135.2如下圖所示過點(diǎn)d分別作DK丄pc,dm丄cf,DN丄PF于直線pc,cf和pf于點(diǎn)k,m,n三點(diǎn),設(shè)厶PCF內(nèi)切圓的半徑為m,則DN=m,點(diǎn)D是厶PCF的內(nèi)心，DM=DN=DK,又:ZDCF+ZCFD+ZFDC=180,ZFDC=45,ZDCF+ZCFD=45,又TDC,DF分別是ZPCF和ZPFC的角平分線,.ZPCF=2ZDCF,ZPFC=2ZDFC,.ZPCF+ZPFC=90,.ZCPF=90在四邊形PKDN中,ZPND=ZNPK=ZPKD=90,.四邊形PKDN是矩形,又:KD=ND,.四邊形PKDN是正方形又:ZMBD=ZBDM=45,ZBDM=