數(shù)理邏輯與二元關(guān)系

1、數(shù)理邏輯與二元關(guān)系24 八月 2022:1.3 無限集質(zhì) 變 無限集合無法用確切的元素個(gè)數(shù)來描述，因此，無限集合有許多有限集合所沒有的一些特征，而有限集合的一些特征也不能任意推廣到無限集合中去，即使有的能推廣，也要做某些意義上的修改。有限集無限集量 變1.3.1 可數(shù)集合和不可數(shù)集合 二十世紀(jì)初，集合成為數(shù)學(xué)的基本概念之后，由馮諾依曼（Von Neumann，J）用集合的方式來定義自然數(shù)取得了成功，提出了用序列 ， ， ,， ,， 來定義自然數(shù)。 自然數(shù)集合N的定義 N， 若nN，則n:nnN。也即：0:， 1:0， 2:,0,1 . n:0,1,2,3,.n-1 .故 N0,1,2,3,.,

2、n,.等勢(shì)的概念 定義1.3.1 設(shè)A，B是兩個(gè)集合，若在A，B之間存在1-1對(duì)應(yīng)的關(guān)系：AB則稱A與B是等勢(shì)的(equipotential)，記為：AB。也稱集合A與B等勢(shì)(equipotent)。 注意：若AB，則 AB。 若AB，則 AB （）（）可數(shù)集合(可列集） 定義1.3.2 凡是與自然數(shù)集合等勢(shì)的集合，統(tǒng)稱為可數(shù)集合(可列集)(Countable Set )?？蓴?shù)集合記為：0 (讀作阿列夫零) 。例1.3.1 下列集合都是可數(shù)集合： 1)O+x|xN，x是正奇數(shù); 2)Px|xN，x是素?cái)?shù); 3)有理數(shù)集合Q.解：1）在O+與N之間建立1-1對(duì)應(yīng)的關(guān)系 f：NO+ 如下：N .

3、. . . O+ . 2n+1 .所以，O+是可數(shù)集合。2）在P與N之間建立1-1對(duì)應(yīng)的關(guān)系f：NP如下：N . .P 11 . 所以，P是可數(shù)集合。3）-3/118 -2/15 -1/14 0/10 1/11 2/110 -3/111 -3/217 -2/2 -1/23 0/2 1/22 2/2 3/212 -3/3 -2/36 -1/37 0/3 1/38 2/39 3/3 -3/416 -2/4 -1/415 0/4 1/414 2/4 3/413所以，有理數(shù)集合必是可數(shù)集合。 定理1.3.1兩個(gè)有限集合等勢(shì)當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的元素個(gè)數(shù)；有限集合不和其任何真子集等勢(shì)；可數(shù)集合可以和其可數(shù)

4、的真子集等勢(shì)。不可數(shù)集合定義1.3.3開區(qū)間(0,1)稱為不可數(shù)集合，其基數(shù)設(shè)為(讀作阿列夫)；凡是與開區(qū)間(0,1)等勢(shì)的集合都是不可數(shù)集合。例1.3.2 (1)閉區(qū)間0,1 是不可數(shù)集合； (2)實(shí)數(shù)集合R是不可數(shù)集合。解（1）在閉區(qū)間0, 1和開區(qū)間(0, 1)之間建立如下對(duì)應(yīng)關(guān)系：例1.3.2(續(xù))則上述對(duì)應(yīng)是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。 所以0，1與（0，1）一定是等勢(shì)的，即0，1是不可數(shù)集合。（2）在實(shí)數(shù)集和開區(qū)間(0,1)之間建立如下對(duì)應(yīng)關(guān)系：顯然此對(duì)應(yīng)關(guān)系是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，即（0，1）與R之間是等勢(shì)的，所以R是一個(gè)不可數(shù)集合。1.4 集合的應(yīng)用例1.4.1 用H代表硬幣正面，T代表硬幣反面。試寫出當(dāng)扔出三個(gè)硬幣時(shí)可能出現(xiàn)的結(jié)果所組成的集合。解: 8種可能：HHH，HHT，HTH，HTT，THH，THT，TTH，TTT。但這三個(gè)硬幣沒有順序之分，即HHT和HTH是同一個(gè)元素，所以 A = HHH，HHT，HTT，TTT。例1.4.2一個(gè)正三角形被均分為三個(gè)小三角形，如圖1.4.1所示。現(xiàn)用黑、白二色對(duì)其小三角形著色，假設(shè)經(jīng)旋轉(zhuǎn)能使之重合的圖像算一種。試寫出由不同圖像構(gòu)成的集合。圖1.4.1圖1.4.2解因?yàn)槊總€(gè)小三角形均可著色，三個(gè)小三角形共有222 = 8種著色方案，所以可得