理論力學(xué)教學(xué)課件剛體平面運動

1、主 講：吳瑩 教授辦公室：東校區(qū)中1樓2109理論力學(xué)西安交通大學(xué)航天航空學(xué)院 國家力學(xué)實驗教學(xué)中心2 本章以剛體平動和定軸轉(zhuǎn)動為根底，應(yīng)用運動分解和合成的方法，研究工程中一種常見而又比較復(fù)雜的運動剛體平面運動，同時介紹平面運動剛體上各點速度和加速度的計算方法。根本概念速度分析加速度分析運動學(xué)綜合應(yīng)用作業(yè)題8.剛體的平面運動3 剛體在運動過程中，其上各點至某一固定平面的距離始終保持不變，稱剛體相對于固定平面作平面運動。根本概念及運動方程剛體上每一點的運動軌跡為平面曲線。剛體上任一點都在與該固定平面平行的某一平面內(nèi)運動.8.剛體的平面運動定義：4輪子在運動過程中，其上各點至固定平面的距離始終保持

2、不變，輪子作平面運動。 曲柄連桿滑塊機構(gòu)在運動過程中，其上各點至固定平面的距離始終保持不變。 其中，曲柄作定軸轉(zhuǎn)動，滑塊作平動，連桿作平面運動。 根本概念及運動方程8.剛體的平面運動5四連桿機構(gòu)在運動過程中，其上各點至固定平面的距離始終保持不變。 其中，盤形曲柄、搖桿DB作定軸轉(zhuǎn)動，連桿作平面運動。根本概念及運動方程8.剛體的平面運動6行星輪機構(gòu)在運動過程中，其上各點至固定平面的距離始終保持不變。 其中，曲柄作定軸轉(zhuǎn)動，小齒輪作平面運動。根本概念及運動方程8.剛體的平面運動7請分析機構(gòu)中那些構(gòu)件做平面運動？根本概念及運動方程8.剛體的平面運動8設(shè)一剛體作平面運動,MNSA1A2A假設(shè)作一平面N

3、與平面M平行,并以此去截割剛體得一平面圖形S. 可知該平面圖形S始終在平面N內(nèi)運動.因而垂直于圖形S的任一條直線A1A2必然作平動.故 A1A2 的運動可用其與圖形 S的交點 A的運動來替代.因此剛體的平面運動可以簡化為平面圖形在其自身平面S內(nèi)的運動.9 剛體的平面運動可以簡化為平面圖形S在自身所在平面內(nèi)的運動。自由度數(shù)=3 而平面圖形S的位置可由其上的任意直線AB完全確定，即這一直線的運動可以代表平面圖形S的運動，也就是剛體的平面運動。平面運動方程：根本概念及運動方程8.剛體的平面運動10 由剛體的平面運動方程可以看到，如果圖形中的A點固定不動，那么剛體將作定軸轉(zhuǎn)動；如果線段AB的方位不變即

4、 =常數(shù)，那么剛體將作平動。 可見，剛體平面運動包含平動和轉(zhuǎn)動兩種根本運動。平面運動的分解：根本概念及運動方程8.剛體的平面運動11建立靜系Oxy 以基點O為原點建立平動坐標(biāo)系Oxy .Sxyo在平面圖形S上選取基點O.Oxy平面運動的分解：12 剛體的平面運動 (絕對運動)xyoSAxyOSAxyO 隨同基點的平動(牽連運動) 繞著基點的轉(zhuǎn)動(相對運動).A13有關(guān)基點選取的討論ABSASABB12那么直線AB隨之運動到的AB位置. 設(shè)在時間t內(nèi)平面圖形S從位置運動到位置.由幾何關(guān)系可知: 1 = 2由此推得:1 = 21 = 2以A為基點以B為基點14平面運動的分解：根本概念及運動方程8.

5、剛體的平面運動15Axy平動坐標(biāo)系A(chǔ)基點平面運動分解繞基點的轉(zhuǎn)動隨基點的平動平面運動的分解：根本概念及運動方程8.剛體的平面運動16rA rB， vA vB， aA aB結(jié)論：隨基點的平動局部與基點的選擇有關(guān) 1=2=A= B= A= B= 繞基點的轉(zhuǎn)動局部與基點的選擇無關(guān) 平面運動的分解：根本概念及運動方程8.剛體的平面運動17 凡涉及到平面運動圖形相對轉(zhuǎn)動的角速度和角加速度時，不必指明基點和坐標(biāo)系，只需說明是平面圖形的角速度和角加速度。平面運動分解繞基點的轉(zhuǎn)動隨基點的平動繞基點的轉(zhuǎn)動局部與基點的選擇無關(guān) 平面運動的分解：根本概念及運動方程8.剛體的平面運動18根本概念及運動方程8.剛體的平

6、面運動1剛體的平動和定軸轉(zhuǎn)動均是剛體平面運動的特例，對嗎？答：不完全對，剛體作空間曲線平動就不是特例。2剛體作平面運動，用基點法可將運動分解為兩局部，即隨基點的平動與繞基點的轉(zhuǎn)動，其中轉(zhuǎn)動角速度是剛體繞基點的相對速度，也等于剛體的絕對速度，對嗎？為什么？答：對。因為動坐標(biāo)系只作平動。思考題：19yxOyxBAvA基點：A平動坐標(biāo)系：Axy剛體平面運動的速度分析動點：B任務(wù)：分析B點的速度于是，平面圖形內(nèi)任意一點B的絕對運動平面曲線運動也可以看成： 任何平面圖形在自身平面內(nèi)的運動都可以分解為隨基點A的平動和繞基點A的轉(zhuǎn)動。平動坐標(biāo)系的牽連運動相對于平動坐標(biāo)系的相對運動以A為圓心，BA為半徑的圓周

7、運動合成8.剛體的平面運動20yxOyxB由速度合成定理： va = ve + vr 平面圖形上任意點的速度，等于基點的速度，與這一點相對于基點運動的速度的矢量和。vBvBAvAAvA基點：A平動坐標(biāo)系：AxyvB = vA+ vBAvBvBAvA動點：B任務(wù)：分析B點的速度剛體平面運動的速度分析8.剛體的平面運動基點法21vB = vA+ vBA1是矢量式，符合矢量合成法那么；2共包括大小方向六個要素，任意四個要素，能求出另外兩個要素。yxOyxBvBvBAvAAvA剛體平面運動的速度分析8.剛體的平面運動基點法22其中：rAB 速度投影定理：平面圖形上任意兩點的速度在這兩點連線上的投影相等

8、。ABvB = vA+ vBA剛體平面運動的速度分析8.剛體的平面運動投影法231該式是代數(shù)方程，可解一個未知量。2速度投影定理反映了剛體中兩點間距離不變的特性。rABAB剛體平面運動的速度分析8.剛體的平面運動投影法24例題11-3. 橢圓規(guī)的構(gòu)造如下圖.滑塊 A 和 B分別可在相互垂直的直槽中滑動,并用長 l = 20cm 的連桿AB連接設(shè)vA = 30 時滑塊 B和連桿中點 C的速度.ABCvA25ABCvA解: (1)取A為基點B為動點.vB = vA + vBA (1)把(1)式向AB方向投影得:vB sin = vA cosvB = vA ctg = 34.64 cm/s把(1)式

9、向 vA方向投影得:0 = vA - vBA sinvBA = 40 cm/s = 2 rad/svAvBvBA26ABCvAvAvBvBA取A為基點C為動點.vC = vA + vCA (2)vCAvCvAvCA = (CA) = 20 cm/s 對(2)式應(yīng)用余弦定理得:vA = 20 cm/s27ABCvA(2)直接建立點的運動方程.Oxy由 vA = 20 cm/s , =30 vB = l cos = 34.64 cm/svA = - l sinxA = l cosyB = l sin xC l cosyC l sin得: vC = 20 cm/s 得: = 2 rad/s28例題1

10、1-4.在圖示結(jié)構(gòu)中,曲柄O1A的角速度,求滑塊C的速度.圖中O1A = r, O2B= BC= l .O1O2ABC29O1O2ABC解:分析A, B和C點的運動并畫速度矢量圖.vAvBvC由速度投影定理得:vA cos = vB cos(+)vB cos(90-2) = vC cos聯(lián)立上述兩式得:vA = r30AvA 設(shè)在某一瞬時,圖形上A點的速度為vA圖形的角速度為.假設(shè)沿速度vA的方向取半直線 AL.vC = vA - vCALLCvAvCA 將此半直線繞A點按 的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)過90到AL的位置. 那么在AL上由長度AC = vA/ 所定出的一點 C,就是此瞬時圖形上速度等于零的一點.證

11、明:= vA - (AC)= vA -(vA/)= 0瞬心法剛體平面運動的速度分析8.剛體的平面運動31 一般情況下,在平面圖形中,每一瞬時 都唯一地存在著速度等于零的點.該點稱為平面圖形 在此瞬時的瞬時速度中心.簡稱速度瞬心.CNMvM =(CM)vMvNvN =(CN) 圖形上任一點的速度大小與該點到速度瞬心C的距離成正比,其速度方位垂直于該點與速度瞬心C的連線. C又稱為平面圖形的瞬時轉(zhuǎn)動中心. CM和 CN稱為瞬時轉(zhuǎn)動半徑.記為C.32速度瞬心某瞬時，平面圖形內(nèi)速度等于零的點。PBvBAvAAB2、瞬時性不同的瞬時，有不同的速度瞬心；3、唯一性某一瞬時只有一個速度瞬心；1、速度瞬心客觀

12、存在結(jié)論：瞬心法剛體平面運動的速度分析8.剛體的平面運動33 某瞬間平面圖形上A, B兩點速度vA、vB的方向，且vA不平行于vB， 過A , B兩點分別作速度的垂線,其交點 P 即為該瞬時的速度瞬心.幾種確定速度瞬心位置的方法 圖形上一點的速度vA 和圖形角速度，可以確定速度瞬心P的位置。 一平面圖形在固定面上作無滑動的滾動, 那么圖形與固定面的接觸點P為速度瞬心 瞬心法剛體平面運動的速度分析8.剛體的平面運動34 在某瞬時圖形上任意兩點A和BA和B分別作速度vA 和 vB 的垂線其交點C即為瞬心.COAB35 某瞬時圖形上A, B兩點速度vA、vB大小,且二者都與A、B連線垂直。(b)(a

13、)幾種確定速度瞬心位置的方法瞬心法剛體平面運動的速度分析8.剛體的平面運動36 某瞬時圖形上A, B兩點的速度大小相等，方向相同此時, 圖形的瞬心在無窮遠(yuǎn)處,圖形的角速度 =0, 圖形上各點速度相等, 這種情況稱為 瞬時平動. 幾種確定速度瞬心位置的方法各點的加速度也不相等此時 0瞬心法剛體平面運動的速度分析8.剛體的平面運動OBA37 (1) 在不同的瞬時，平面圖形有不同的速度瞬心； (2) 速度瞬心只是瞬時速度為零的點，它的加速度一般并不為零。(3)“瞬時平動與“剛體的平動 不同！瞬心法剛體平面運動的速度分析8.剛體的平面運動注意：38例題11-6.在圖示結(jié)構(gòu)中,曲柄O1A的角速度.圖中O

14、1A = r, O2B= BC= l .確定平面運動桿件的瞬心.O1O2ABC39O1O2ABC解:桿O1A和桿O2B 作定軸轉(zhuǎn)動.滑塊C作直線動.AB 桿和BC桿作平面運動.其瞬心分別為C1和C2 C1C240例題A以速度 vA 沿水平直槽向左運動, 并通過連桿AB 帶動輪B B的半徑為r ,園弧軌道的半徑為R ,滑塊A 離園弧軌道中心O 的距離為l .求該瞬時連桿AB的角速度及輪B邊緣上M1和M2點的速度.rROBlAvAM1M241rROBlAvAM1M2解:輪B和桿AB作平面運動,C為輪B的瞬心.CvB桿AB作瞬時平動. AB = 0vA = vBvM1vM2vM1 = 2 vB =

15、2 vAB42例題11-8. 圖示曲柄肘式壓床,曲柄OA的角速度 = 40rad/s ,OA=15cm,AB=80cm,CB=BD=60cm.當(dāng)曲柄與水平線成 30角時連桿AB處于水平位置,而肘桿 CB與鉛垂線也成30角.求此機構(gòu)在圖示位置時連桿AB和BD的角速度及沖頭D的速度.OABCD30303043OABCD303030C1C2C1為AB桿的瞬心.C2為BD桿的瞬心.解:桿AB和BD桿作平面運動.vA= (OA) = 6m/sABvB=(C1B)ABvD=(C2D)BDBDvDBDvAvBvD=(C2B)BD44例題11-9. 圖示為一平面連桿機構(gòu),等邊三角形構(gòu)件 ABC 的邊長為a 三

16、個頂點 A,B 和分別與套筒A,桿O1B 和O1C鉸接,套筒又可沿著桿OD 滑動.設(shè)桿O1B長為a并以角速度轉(zhuǎn)動,求機構(gòu)處于圖示位置時桿OD的角速度OD .OABCO1O260D45OABCO1O260D解:等邊三角形構(gòu)件ABC作 平面運動 C1為其瞬心.C1vBvB= (O1B) = a vAvAcos30 = vBcos60vrveOD46O45ABC0例2：已知四桿機構(gòu)中，曲柄OAr=0.5m，角速度0=4rad/s，AB=2r，BC=22 r。圖示瞬時，OA水平，AB垂直。 求：此時AB、BC的角速度。剛體平面運動的速度分析8.剛體的平面運動47O45ABC0vAABBCvAvBAvB

17、OA定軸轉(zhuǎn)動，vA=OA 0AB平面運動動點：B，基點： A大小：？ ？ 方位： vBA=vA=2m/sAB=vBA/AB=2rad/svB=vA/sin45= 22 m/sBC=vB/BC=2rad/s運動分析速度分析解：剛體平面運動的速度分析8.剛體的平面運動48我們也可以用速度瞬心法求AB桿的角速度。用速度投影法求BC桿的角速度。O45ABC0vAABBCvBvB=vA/sin45= 22 m/sBC=vB/BC=2rad/sAB=vA/AC=2rad/s該瞬時，C是AB桿的速度瞬心。剛體平面運動的速度分析8.剛體的平面運動49例3：組合機構(gòu)中，曲柄OAr= O1C，角速度 0，AB=

18、O1B= CD=2r。圖示情形, ABBC, =45。 求：此時CD桿的角速度及滑塊D的速度。OAC0BDO1剛體平面運動的速度分析8.剛體的平面運動50解： OA轉(zhuǎn)動，vA=r0； AB平面運動，速度瞬心PBC定軸轉(zhuǎn)動；OAC0BDO1vAvBPABvDvCCD桿的速度瞬心在無窮遠(yuǎn)處，故作瞬時平動，滑塊D的速度方向，由速度投影法，得到剛體平面運動的速度分析8.剛體的平面運動51例5：行星輪系固定輪半徑R，行星輪半徑 r，行星輪沿固定輪只滾不滑，曲柄角速度 。求：行星輪上M點的速度。剛體平面運動的速度分析8.剛體的平面運動52解：OA桿定軸轉(zhuǎn)動 行星輪作平面運動，速度瞬心為兩輪的接觸點C。C剛

19、體平面運動的速度分析8.剛體的平面運動53 任何平面圖形在自身平面內(nèi)的運動都可以分解為隨基點A的平動和繞基點A的轉(zhuǎn)動。 剛體平面運動的加速度分析 于是，平面圖形內(nèi)任意一點B的絕對運動平面曲線運動也可以看成：平動坐標(biāo)系的牽連運動相對于平動坐標(biāo)系的相對運動以A為圓心，BA為半徑的圓周運動合成根據(jù)牽連運動為平動時的加速度合成定理：8.剛體的平面運動基點法54由于B的相對運動軌跡總是以基點A為圓心，以AB為半徑的圓弧。由及對應(yīng)關(guān)系剛體平面運動的加速度分析8.剛體的平面運動基點法55注意： 實際應(yīng)用時要將矢量方程化成兩個投影方程求解。 即平面圖形內(nèi)任一點的加速度等于基點的加速度與該點隨圖形繞基點轉(zhuǎn)動的切

20、向加速度及法向加速度的矢量和。剛體平面運動的加速度分析8.剛體的平面運動基點法56B思考： 平面圖形在其平面內(nèi)運動，某瞬時其上有兩點A、B的加速度矢相同。試判斷下述哪些說法是否正確? (1)其上各點速度、加速度一定都相等； (2)其上各點速度一定都相等，加速度不相等； (3)其上各點加速度一定都相等，速度不相等。 平動！剛體平面運動的加速度分析8.剛體的平面運動基點法57 車輪沿直線滾動。半徑為R，中心O的速度為v0，加速度為a0，求圖示瞬間車輪上的速度瞬心C點的加速度。例一剛體平面運動的加速度分析8.剛體的平面運動58解：車輪作平面運動，其速度瞬心為與地面的接觸點C。由于車輪只滾不滑，輪心O

21、點作水平直線運動，所以有將其對t求一次導(dǎo)數(shù)，可得 純滾動條件O1CxyxOOvOaO剛體平面運動的加速度分析8.剛體的平面運動59速度瞬心的加速度不等于零。取輪心O為基點，那么C點的加速度為acon剛體平面運動的加速度分析8.剛體的平面運動思考:如輪放在圓弧軌道上純滾動,如何分析?60 如圖所示，在橢圓規(guī)的機構(gòu)中，曲柄OD以勻角速度繞O軸轉(zhuǎn)動，OD=AD=BD=l，求當(dāng) 時，規(guī)尺AB的角加速度和A點的加速度。 yOBAxD60剛體平面運動的加速度分析8.剛體的平面運動例二61解：AB桿作平面運動，作出滑塊A、B的速度方向，得到AB桿的速度瞬心O。OD作定軸轉(zhuǎn)動。剛體平面運動的加速度分析8.剛體

22、的平面運動yOBAxD60vBvDO62曲柄OD 繞O軸轉(zhuǎn)動，規(guī)尺AB作平面運動。AB上的 D點加速度 ，取AB上的D點為基點，A點的加速度大?。悍较颍?？aADn剛體平面運動的加速度分析8.剛體的平面運動60aDaDaAaADn6360取 和 軸如下圖，將上式分別在 和 軸上投影，得規(guī)尺 AB角加速度故aA的實際方向與原假設(shè)的方向相反。剛體平面運動的加速度分析8.剛體的平面運動64剛體平面運動的加速度分析8.剛體的平面運動例三四連桿機構(gòu)，如下圖。：OA =0.5 m， AB =1 m, = 4 rad/s, = 2 rad/s2 , 求：圖示位置時，vB ，aB ,AB ,AB ,CB ,CB

23、65步驟：速度分析1瞬心法 作 vA，vB 的垂線可找到AB 的速度瞬心P ，那么:解：AB 桿作平面運動，OA、BC 桿定軸轉(zhuǎn)動。vAOA 0.5*42 (m/s)剛體平面運動的加速度分析8.剛體的平面運動662基點法以A為基點，分析B點速度，即vB = vAvBA由圖示幾何關(guān)系可求出vB、vBA，那么轉(zhuǎn)向逆時針轉(zhuǎn)向順時針vAvBA剛體平面運動的加速度分析8.剛體的平面運動67步驟2：加速度分析基點法以A 點為基點,分析B 點加速度,因為：由加速度合成定理有矢量關(guān)系：方向： 剛體平面運動的加速度分析8.剛體的平面運動68取投影軸B ，那么上述矢量式子投影到兩軸上得：剛體平面運動的加速度分析8.剛體的平面運動69 外嚙合行星齒輪的機構(gòu)中，O1O=l, 齒輪I固定不動，桿O1O以勻角速度1轉(zhuǎn)動，齒輪II的半徑為r。A在O1O的延長線上。試求此瞬時點A的速度和加速度的大小。例三運動學(xué)綜合應(yīng)用8.剛體的平面運動70解：分析運動齒輪II作平面運動純滾動。分析速度O點的速度為齒輪II的速度瞬心為兩齒輪的嚙合點C。得到齒輪II的角速度為角加速度為CvO運動學(xué)綜合應(yīng)用8.剛體的平面運動71A點的速度為加速度分析CvOvA以A為動點，O為基點，nC運動學(xué)綜合應(yīng)用8.剛體的平面運動72 圖示一連桿機構(gòu)，