空間位置關(guān)系的判斷與證明

1、空間位置關(guān)系的判斷與 證明模 塊 框高 考 要要求層重難點次空空間線、面間中的的位置關(guān)系線面關(guān)系公理1，公理 2，公理 3，公理 4，定理*B 理解空 間直線、平面位置關(guān)系的定 義，并了解如下可以作 為推理依據(jù)的公理和定理A公理 1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直 線上所有的點在此1平面內(nèi)公理 2：過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面公理 3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它 們有且只有一條過該 點的公共直 線公理 4：平行于同一條直線的兩條直 線互相平行定理：空間中如果一個角的兩 邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)以立體幾何的上述定義、公理和定理為

2、出發(fā)點，認(rèn)識和理解空 間中線面平行、垂直的有關(guān)性 質(zhì)與判定理解以下判定定理如果平面外一條直2線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面平行如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直如果一個平面經(jīng)過另一個平面的垂 線，那么這兩個平面互相垂直理解以下性質(zhì)定理，并能夠證明如果一條直線與一個平面平行，經(jīng)過該 直線的任一個平面與此平面相交，那么這條直線就和交線平行如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么3它們的交線相互平行垂直于同一個平面的兩條直 線平行如果兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直 線

3、與另一個平面垂直能運(yùn)用公理、定理和已 獲得的 結(jié)論證 明一些空間位置關(guān)系的 簡單命題公理 1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么 這條直線在此平面內(nèi)公理 2：過不在一條直 線上的三點，有且只有一個平面公理 3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它 們有且只有一條過該點的公共直 線公理 4：平行于同一條直線的兩條直 線平行定理：空間中如果兩個角的兩條 邊分別對應(yīng) 平行，那么這兩個角相等或互 補(bǔ)知 識 內(nèi)41集合的語言：我們把空間看做點的集合，即把點看成空 間中的基本元素，將直線與平面看做空 間的子集，這樣便可以用集合的 語言來描述點、直線和平面之 間的關(guān)系：點A在直線 上，記作：；點 不

4、在直線 上，記作；lA lAlAl點A在平面內(nèi)，記作：；點 不在平面內(nèi)，記作；AAA直線 l 在平面內(nèi)（即直線上每一個點都在平面內(nèi)），記作 l；直線 l 不在平面內(nèi)（即直線上存在不在平面內(nèi)的點），記作；直線 l 和 m 相交于點 A ，記作 lm A平面與平面相交于直 線 a ，記作2平面的三個公理：，簡記為 lmA ； 公理一：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么 這條直線上所有的點都在 這個平面內(nèi)圖形語言表述：如右圖：ABl符號語言表述：Al ,Bl, A, Bl5 公理二：經(jīng)過不在同一條直 線上的三點，有且只有一個平面，也可以簡單地說成，不共線的三點確定一個平面圖形語言表述：如右圖，A

5、BC符號語言表述：A, B,C 三點不共 線有且只有一個平面，使A,B,C 公理三：如果不重合的兩個平面有一個公共點，那么它們有且只有一條 過這個點的公共直 線圖形語言表述：如右圖：Aa符號語言表述：Aa, Aa 如果兩個平面有一條公共直線，則稱這兩個平面相交， 這條公共直 線叫做兩個平面的交 線3平面基本性質(zhì)的推論：推論 1：經(jīng)過一條直線和直線外的一點，有且只有一個平面6推論 2：經(jīng)過兩條相交直 線，有且只有一個平面推論 3：經(jīng)過兩條平行直 線，有且只有一個平面4共面：如果空間中幾個點或幾條直 線可以在同一平面內(nèi)，那么我們說它們共面1公理反映了直線與平面的位置關(guān)系，由此公理我 們知道如果一條

6、直 線與一個平面有公共點，那公共點要么只有一個，要么直線上所有點都是公共點，即直線在平面內(nèi)2公理可以用來確定平面，只要有不在同一條直 線上的三點，便可以得到一個確定的平面，后面的三個推論都是由這個公理得到的要 強(qiáng)調(diào)這 三點必須不共線，否則有無數(shù)多個平面 經(jīng)過它們確定一個平面的意思是有且僅有一個平面3公理反應(yīng)了兩個平面的位置關(guān)系，兩個平面（一般都指兩個不重合的平面）只要有公共點，它 們的交集就是一條公共直線此公理可以用來 證明點共線或點在直 線上，可以從后面的例 題中看到74平面基本性質(zhì)的三個公理是不需要 證明的，后面的三個推論都可以由 這三個公理得到推 論與直接在直線上取點，利用公理與便可得到

7、結(jié)論，推論是由平行的定義得到存在性的，再由公理保證唯一性線線關(guān)系與線面平行1平行線：在同一個平面內(nèi)不相交的兩條直 線平行公理：過直線外一點有且只有一條直 線與這條直線平行公理（空間平行線的傳遞性）：平行于同一條直線的兩條直 線互相平行；等角定理：如果一個角的兩 邊和另一個角的兩 邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等2空間中兩直線的位置關(guān)系：共面直 線：平行直線與相交直 線；異面直 線：不同在任一平面內(nèi)的兩條直 線3空間四邊形：順次連結(jié)不共面的四點所構(gòu)成的 圖形這四個點叫做空 間四邊形的頂點；所連結(jié)的相鄰頂點間的線段叫做空間四邊形的邊；連結(jié)不相鄰的頂點的線段叫做空 間四邊形的對角線8如右圖中

8、的空間四邊形 ABCD ，它有四條邊 AB, BC,CD, DA ，兩條對角線 AC,BD 其中 AB,CD ；AC,BD ；AD,BC 是三對異面直線ABDC4直線與平面的位置關(guān)系：直 線 l 在平面內(nèi)：直線上所有的點都在平面內(nèi)，記作，如圖；直 線 l 與平面相交：直線與平面有一個公共點A ；記作A ，如圖；直 線 l 與平面平行：直線與平面沒有公共點， 記作 l / /，如圖lllA1235直線與平面平行的判定定理：如果不在一個平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條9直線平行，那么這條直線和這個平面平行符號語言表述：l / /l,m,l / /m圖象語言表述：如右圖：lm6直線與平面平行的性 質(zhì)定

9、理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這 條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和兩平面的交線平行符號語言表述：m l / / ml / / ,l,圖象語言表述：如右圖：lm1畫線面平行 時，常常把直線畫成與平面的一條邊平行；2等角定理證明：已知：如圖所示，BAC 和B A C 的邊AB/AB ，AC /AC ，且射線 AB與 AB 同向，射線 AC與10AC 同向求證： BACBAC證明：對于BAC 和BAC 在同一平面內(nèi)的情形，在初中幾何中已經(jīng)證明，下面證明兩個角不在同一平面內(nèi)的情形分別在BAC的兩邊和BA C 的兩邊上截取線段AD、AE 和 AD、AE ，使ADAD ,AEAE ，因為

10、AD/ /AD，所以 AA D D 是平行四 邊形所以 AA/ /DD 同理可得 AA / /EE ，因此DD / / EE 所以 DD E E 是平行四 邊形因此DEDE于是所以ADEA D EBACB A CECADBECADB3根據(jù)等角定理可以定 義異面直 線所成的角的概念：過11空間一點作兩異面直 線的平行線，得到兩條相交直線，這兩條相交直線成的直角或 銳角叫做兩異面直 線成的角異面直線所成角的范 圍是(0,24線面平行判定定理（ l,m,l / /ml / /），即線線平面，則線面平行要證明這個定理可以考慮用反 證法，因為線線 平行（l/ /m ），所以它們可以確定一個平面， 與已知

11、平面的交線恰為 m ，若線面不平行，則線面相交于一點，此點必在兩個平面的交 線 m 上，從而得到 l 與 m 相交，與已知矛盾5線面平行性 質(zhì)定理，即線面平行，則線線 平行，這平行的定義立即可得（共面且無交點）面面平行的判定與性 質(zhì)1兩個平面的位置關(guān)系兩個平面,平行：沒有公共點，記為/ /；畫兩個平行平面 時，一般把表示平面的平行四 邊形畫成對應(yīng)邊平行，如右圖：12兩個平面,相交，有一條交線，l 2兩個平面平行的判定定理 ：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直 線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行符號語言表述：a, b, abA, a / /,b / / /推論：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直 線分別平行

12、于另一個平面內(nèi)的兩條相交直 線，則這兩個平面平行3兩個平面平行的性 質(zhì)定理：如果兩個平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行符號語言表述：/ /,a,ba / /b 圖象語言表述：如右圖：ab131畫兩個平面相交 時，可以先畫出交線，再補(bǔ)充其它，平面被遮住的部分畫成虛線或不畫如右圖所示：2面面平行的判定定理可以由線面平行的性 質(zhì)直接得到，如果滿足定理條件的兩個平面相交，則這兩條相交直 線都平行于平面的交 線，與過直線外一點只能作一條直 線與已知直線平行的公理矛盾故 這兩個平面不相交，是平行平面3面面平行的性 質(zhì)定理可以直接由兩條交 線無交點且共面得到4在證明線面平行，線線平行和面面平行的

13、題時，常常遇到平行關(guān)系的 轉(zhuǎn)化，要靈活運(yùn)用兩個性 質(zhì)定理與兩個判定定理，證明要求的 結(jié)論由于空間中平行關(guān)系與垂直關(guān)系是高考的核心內(nèi)容，因此在出題時經(jīng)常會有所 結(jié)合，本板塊專門就平行知 識的題目類型歸納，更綜合的題目會在第十一 講中詳細(xì)講解由于線面與面面 問題之間都是互相轉(zhuǎn)化的，因此本板 塊中的面面平行題目較少，多數(shù)都為線面平行 問14題本板塊題 目多采用兩種方法，事 實上就是兩種思路 證明線面平行，一種方法 線線平行線面平行，另一種方法是面面平行線面平行線面垂直1線線 垂直：如果兩條直線相交于一點或 經(jīng)過平移后相交于一點，并且交角 為直角，則稱這兩條直 線互相垂直由定 義知，垂直有相交垂直和異

14、面垂直2直線與平面垂直：概念：如果一條直 線和一個平面相交于點O ，并且和這個平面內(nèi)過交點的任何直 線都垂直，則稱這條直線與這個平面互相垂直這條直線叫做平面的垂 線，這個平面叫做直 線的垂面，交點叫垂足垂線上任意一點到垂足 間的線段，叫做這個點到這個平面的垂 線段垂線段的長度叫做這個點到平面的距離如果一條直 線垂直于一個平面，那么它就和平面內(nèi)的任意一條直線垂直畫直線與平面垂直 時，通常把直線畫成和表示平面的平行四邊形15的一邊垂直，如右圖l直線 l 與平面互相垂直，記作 l線面垂直的判定定理：如果一條直 線與平面內(nèi)的兩條相交直 線垂直，則這條直線與這個平面垂直推論：如果在兩條平行直線中，有一條

15、垂直于平面，那么另一條直線也垂直于 這個平面線面垂直的性 質(zhì)定理：如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行1如果定義了異面直 線所成角，則異面垂直即異面直線所成角為90 2線面垂直的判定定理把定義中的與任意一條直線垂直這個很強(qiáng)的命題，轉(zhuǎn)化為只需證明與兩條相交直 線垂直這個問題，從而大大簡化了線面垂直的判斷16AmBnCDEA要證明判定定理，只能用定義，若，要證AA ，AA m, AA n,m n B m,n在平面內(nèi)任選一條直線 g ，去證 AA g ，結(jié)合右圖，通過全等三角形的 證明可得到，從而得到判定定理，具體的證法略3線面垂直的性 質(zhì)定理，可以用同一法 證明，如圖：mlmABa直線

16、 l,m，若直線 l, m 不平行，則過直線 l 與平面的交點 B 作直線 m/ /l，從而有 m又相交直 線 m, m 可以確定一個平面，記a ，則因為 m, m 都垂直于平面，故m,m 都垂直于交 線 a 這與在一個平面內(nèi)， 過直線上17一點有且只有一條直線與已知直 線垂直相矛盾故 m, m 重合，m / / l ，性質(zhì)定理得證由同一法 還可以證明：過一點與已知平面垂直的直線只有一條點面距離與 線面角（一）主要方法：本板塊所學(xué)內(nèi)容 為點面距離與 線面角，求點面距離有兩種方法，首先可以通 過直接法作面的垂 線，其次可以通過體積法轉(zhuǎn)化，或者將問題轉(zhuǎn)化為與面平行的直 線上的點到面的距離；線面角問

17、題屬于線面關(guān)系的一種，是線面垂直與面面垂直定理的應(yīng)用點、斜線、斜線段及射影點在直 線上的射影自點A 向直線 l 引垂線，垂足A1 叫做點 A 在直線 l 上的射影點 A 到垂足的距離叫點到直 線的距離點在平面內(nèi)的射影自點 A 向平面 引垂線，垂足 A1 叫做點 A 在平面內(nèi)的射影，這點和垂足 間的線段叫做 這點到平面的垂 線段垂線段的長度叫做這點到這個平面的距離斜線在平面內(nèi)的射影一條直 線和一個平面相交，但不和 這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜 線，斜線和平面的交點叫做斜足，180 ,90斜線上一點和斜足 間的線段，叫做這點到平面的斜 線段過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足和斜足的直 線叫做斜線在這平面內(nèi)的射影，垂足與斜足 間的線段叫做這點到平面的斜 線段在這個平面內(nèi)的射影2直線和平面所成的角直線和平面所成的角，應(yīng)分三種情況：直線和平面斜交 時，線面所成的角是 這條直線和它在平面內(nèi)的射影所成的 銳角；直 線和平面垂直 時，直線和平面所成的角的大小為 90 ；直