圓錐曲線-傾斜角互補(bǔ)(斜率為定值)問題(原題+答案)

1、 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系專題五：傾斜角互補(bǔ)(斜率定值)問題1、如圖所示，拋物線關(guān)于X軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P(l,2),A(x,y),B(x,y)均在拋物線上.1122(1)寫出該拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程.(2)當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，求y+y的值及直線AB的斜率.12【解析】(1)由已知條件,可設(shè)拋物線的方程為y2=2px.因?yàn)辄c(diǎn)P(1,2)在拋物線上，所以22=2p1,得p=2.故所求拋物線的方程是y2=4x,準(zhǔn)線方程是x=-1.設(shè)直線PA的斜率為k，直線PB的斜率為k.PAPB則k=(xH1),k=，(xH1).PA電一11PB住一12因?yàn)镻A與PB的斜率存在且傾

2、斜角互補(bǔ)，所以k=-k.PAPB所以.所以丫1+2=-匕+2).所以人+丫2=-4.由A(x，y),B(x，y)在拋物線上，得v：=4x,廠=4x2,由-得直線AB的斜率k=1(xHx).AB1232、(2009遼寧卷文、理)已知，橢圓C以過點(diǎn)A(1,2)，兩個(gè)焦點(diǎn)為(一1，0)(1，0)。求橢圓C的方程；E,F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個(gè)定值。x2y2解：(I)由題意，c=l,可設(shè)橢圓方程為+二1，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入方a2a2-1程：+9=1，解得a2=4，a2=b)上的三點(diǎn)其中點(diǎn)a(2巨)是橢圓的右頂點(diǎn)，直線bc過橢圓的

3、中心o,且ACBC0，|BC|2|AC|，如圖。(I)求點(diǎn)C的坐標(biāo)及橢圓E的方程;(II)若橢圓E上存在兩點(diǎn)P、Q,使得直線PC與直線QC關(guān)于直線x-爲(wèi)對(duì)稱，求直線PQ的斜率。ACBC二0/.ZACO冷又:A(2”3,0)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(朽,朽)。:A(2+3。)是橢圓的右頂點(diǎn)，二a2*3，則橢圓方程為：+-=112b2將點(diǎn)C(73,代入方程，得b2=4,二橢圓E的方程為百+罕1124(II)t直線PC與直線QC關(guān)于直線x=*3對(duì)稱，/設(shè)直線PC的斜率為k，則直線QC的斜率為-k，從而直線PC的方程為:y2=k(x*3)，即y=kx+*3(1k)，y=kx+73(1k)由消y，整理得：x2+3y

4、212=0(1+3k2)x2+6：3k(1k)x+9k218k3=0tx=3是方程的個(gè)根，9k218k31+3k2-9k318k3同理可得:v3(1+3k2)9k2+18k-33(1+3k2)y=kx+：3(1k)+kx：3(1+k)=k(x+x)2：3k=PQPQ12k3(1+3k2)9k2-18k-39k2+18k-33(1+3k2)3(1+3k2)-36k3(1+3k2)yy11k=一Q=則直線PQ的斜率為定值pQx-x33pQ4、在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知?jiǎng)訄AS過定點(diǎn)p(-22,0)，且與定圓Q：(x2.2)2+y2=36相切，記動(dòng)圓圓心S的軌跡為曲線C.求曲線C的方程；設(shè)曲線C與

5、x軸，y軸的正半軸分別相交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)M,N為橢圓C上相異的兩點(diǎn)，其中點(diǎn)M在第一象限，且直線AM與直線BN的斜率互為相反數(shù)，試判斷直線MN的斜率是否為定值.如果是定值，求出這個(gè)值；如果不是定值，說明理由；在(2)條件下，求四邊形AMBN面積的取值范圍.解：(1)設(shè)圓S的半徑為R，V點(diǎn)：在圓工內(nèi)，且兩圓相切，.設(shè)PS=R,QS=6-R,.,圓心S的軌跡為以P,Q為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6的橢圓，：2a=6,-，.a=3,，Ab2=1，A曲線C的方程為：-I9(2)由(1)可知A(3,0),B(0,1),設(shè)AM的斜率為k,則直線AM方程為y=k(x-3),直線BN方程為y=-kx+1,由I：得M點(diǎn)坐標(biāo)為八；18k1-9k+9k2!49k2；-6k1-9k29k2+19k2i1所以MN的斜率卜柿:27k-318k9k:+11-6k+94?-112.7k2-18k-33設(shè)MN的方程為y：+m,-1m1,來:,#2x2+6mx+9m2則+Qy(-4k9m-3-10.2一乳A到豆線MN的阿空:分-，11ml3J1m)斤為叫二廠，二：廠到白統(tǒng)MN拘逗分別為吟二廠MM+xN=-3m,xuxN=MN-11Ir3!1ml薩以川it形AMBN自札S=S/AMN+S/B