平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 同步習(xí)題 高中數(shù)學(xué)新蘇教版必修第二冊(cè)（2022年）

1、9.3.2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，共40.0分）給出下列幾種說法：相等向量的坐標(biāo)相同;平面上一個(gè)向量對(duì)應(yīng)于平面上唯一的坐標(biāo);相反向量是共線向量若a0，則對(duì)任一非零向量b都有ab0；其中正確說法的個(gè)數(shù)是()A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)【答案】C【解析】【分析】本題考查向量的定義及表示，屬于基礎(chǔ)題根據(jù)向量的定義及坐標(biāo)表示逐項(xiàng)判斷即可.【解答】解：由向量的坐標(biāo)定義可以看出，相等向量的坐標(biāo)相同，正確;一個(gè)坐標(biāo)可以對(duì)應(yīng)無數(shù)個(gè)相等的向量，錯(cuò)誤；相反向量是共線向量，正確；若a0，則對(duì)任一非零向量b都有ab0，正確；所以正確的個(gè)數(shù)有3個(gè)故選C已知點(diǎn)A(1,2)，B(-1,

2、0)，則AB=()A. (2,0)B. (2,2)C. (-2,-2)D. (0,2)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)表示，求出AB即可本題考查了平面向量的坐標(biāo)表示與運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題【解答】解：點(diǎn)A(1,2)，B(-1,0)，則AB=(-1-1,0-2)=(-2,-2)故選：C在ABCD中，已知AD=(3,7)，AB=(-2,3)，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，則CO的坐標(biāo)是()A. -12,5B. -12,-5C. 12,-5D. 12,5【答案】B【解析】【分析】本題考查平行四邊形法則，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題根據(jù)平行四邊形法則可以用AD和AB表示出AC，表示出的向量與要求的

3、向量之間的關(guān)系可以通過平行四邊形對(duì)角線知道，是反向且模長是已知向量的一半，寫出坐標(biāo)【解答】解：AD=(3,7)，AB=(-2,3)，根據(jù)平行四邊形法則可得AC=AB+AD=(1,10)，則CO=-12AC=(-12,-5)，故選：B已知向量AB=(2,2)，AC=(t,1)，若ABBC=2，則t=( )A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】B【解析】【分析】本題考查向量的減法坐標(biāo)運(yùn)算，數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查運(yùn)算能力，是基礎(chǔ)題先根據(jù)已知條件計(jì)算BC，再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可得答案【解答】解：根據(jù)題意得：BC=AC-AB=(t,1)-(2,2)=(t-2,-1)，所以ABBC=2(t-

4、2)+2(-1)=2t-4-2=2，解得t=4故選B已知向量a=(1,-2)，b=m,4，a/b，那么2a-b等于( )A. 4,0B. 0,4C. 4,-8D. -4,8【答案】C【解析】【分析】本題考查的是平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量平行的性質(zhì)，屬于容易題由a/b可得出m的值，從而得到2a-b的坐標(biāo)【解答】解：由a/b知4+2m=0，所以m=-2，所以2a-b=(2,-4)-(m,4)=(2-m,-8)=(4,-8)已知點(diǎn)O0,0，A-1,3，B2,-4，OP=OA+mAB.若點(diǎn)P在y軸上，則實(shí)數(shù)m的值為( )A. 13B. 14C. 15D. 16【答案】A【解析】【分析】本題主要考查向量的

5、坐標(biāo)運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是知道則OA=(-1,3),AB=(3,-7)，OP=OA+mAB=(-1+3m,3-7m)，然后求出實(shí)數(shù)m的值【解答】解：根據(jù)題意，O(0,0)，A(-1,3)，B(2,-4)，則OA=(-1,3),AB=(3,-7)，則OP=OA+mAB=(-1+3m,3-7m)，若點(diǎn)P在y軸上，則-1+3m=0，解可得m=13，故選A已知向量a=(1,2)，b=(1,1)，且a與a+b的夾角為銳角，則滿足()A. -53C. -53且0D. 0且a與a+b不同向，解不等式即可求解【解答】解：由題意，a與a+b的夾角為銳角，aa+b0且a與a+b不同向，即aa+b00,故a2+ab

6、=5+300,解得-53且0故選C在矩形ABCD中，AB=2，BC=2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD，若ABAF=2，則AEBF的值是()A. 2B. 2C. 0D. 1【答案】A【解析】本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，建立直角坐標(biāo)系是解決問題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題建立直角坐標(biāo)系，由已知條件可得F的坐標(biāo)，進(jìn)而可得向量AE和BF的坐標(biāo)，可得數(shù)量積解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，可得A(0,0)，B(2,0)，E(2,1)，F(xiàn)(x,2)AB=(2,0)，AF=(x,2)，ABAF=2x=2，解得x=1，F(xiàn)(1,2)AE=(2,1)，BF=(1-2,2)AEBF=2(1-2)+12=2故選：A二、多項(xiàng)選擇題（本

7、大題共4小題，共20.0分）已知向量a=(1,-2)，b=(-1,m)，則( )A. 若a與b垂直，則m=-1B. 若a/b，則ab的值為-5C. 若m=1，則|a-b|=13D. 若m=-2，則a與b的夾角為60【答案】BC【解析】【分析】本題主要考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的數(shù)量積公式，向量的模長公式，向量垂直的條件，平行的條件，屬于較易題逐個(gè)判斷即可得出結(jié)果【解答】解：向量a=(1,-2)，b=(-1,m)，A.若a與b垂直，則1-1+-2m=0，解得m=-12，故A錯(cuò)誤；B.若a/b，則1m-2-1=0，解得m=2，則b=(-1,2)，ab=1-1+-22=-5，故B正確；C.若m=

8、1，則b=(-1,1)，a-b=2,-3，則|a-b|=13，故C正確；D.若m=-2，則b=(-1,-2)，ab=1-1+-2-2=3，a=5，b=5，cos=abab=3512，故D錯(cuò)誤故選BC下列說法中錯(cuò)誤的為( )A. 已知a=(1,2)，b=(1,1)且a與a+b夾角為銳角，則(-53,+)B. 已知a=(2,-3)，b=(12,-34)不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底C. 若a與b平行，a在b方向上的投影為|a|D. 若非零a，b滿足|a|=|b|=|a-b|則a與a+b的夾角是60【答案】ACD【解析】【分析】本題考查平面向量基本定理及向量的數(shù)量積，向量的夾角等知識(shí)，對(duì)知識(shí)廣度及

9、準(zhǔn)確度要求比較高，屬于較難的題由向量的數(shù)量積、向量的投影、基本定理與向量的夾角等基本知識(shí)，逐個(gè)判斷即可求解【解答】解：對(duì)于A,a=(1,2),b=(1,1),a與a+b的夾角為銳角，a(a+b)=(1,2)(1+,2+)=1+4+2=3+50，且0(=0時(shí)a與a+b的夾角為0)，所以-53且0，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B向量a=(2,-3)=4b，即共線，故不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底，B正確；對(duì)于C.若a/b，則a在b方向上的投影為a，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D.因?yàn)閨a|=|a-b|，兩邊平方得，|b|2=2ab，則aa+b=|a|2+ab=32|a|2，|a+b|=a+b2=|a|2+2ab+|b|2=

10、3|a|，故cos=aa+b|a|a+b|=32|a|2|a|3|a|=32，而向量的夾角范圍為0,180，得a與a+b的夾角為30，故D項(xiàng)錯(cuò)誤故錯(cuò)誤的選項(xiàng)為ACD故選ACD已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P10,1，P24,4.當(dāng)P是線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為( )A. 43,2B. 43,3C. 2,3D. 83,3【答案】AD【解析】【分析】本題考查平面向量的基本定理及其應(yīng)用，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題根據(jù)題意，得出P1P=2PP2或P1P=12PP2，再根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可【解答】解：由題意，設(shè)Px,y，P是線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)，P1P=2PP2或P1P=

11、12PP2即x,y-1=24-x,4-y或x,y-1=124-x,4-y，即x=8-2xy-1=8-2y或x=2-x2y-1=2-y2，解得x=83y=3或x=43y=2,故選AD(多選題)在ABC中，AB=(2,3)，AC=(1,k)，若ABC是直角三角形，則k的值可能為()A. -23B. 113 C. 3132D. 23【答案】ABC【解析】【分析】本題考查向量垂直的坐標(biāo)公式，考查分類討論思想，考察計(jì)算能力，屬于中等題型由題意，若是直角三角形，分析三個(gè)內(nèi)有都有可能是直角，分別討論三個(gè)角是直角的情況，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)公式，即可求解【解答】解：若為直角，則即，解得，若為直角，則即，解得。若

12、為直角，則，即，解得。綜合可得，的值可能為。故選ABC三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）若向量a=(1,2)，b-a=(-2,1)，則ab=【答案】5【解析】【分析】本題考查平面向量數(shù)量積和坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題先求b，再利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解【解答】解：由題意，得b=(1,2)+(-2,1)=(-1,3)，故ab=1-1+23=5，故答案為5已知a=(1,4)，b=(-2,k)，且(a+2b)/(2a-b)，則實(shí)數(shù)k=_【答案】-8【解析】解：a+2b=(-3,4+2k)，2a-b=(4,8-k)，(a+2b)/(2a-b)，-3(8-k)-4(4+2k)=0，解得k=-8故答案

13、為：-8可先求出a+2b=(-3,4+2k)，2a-b=(4,8-k)，然后根據(jù)(a+2b)/(2a-b)即可求出k的值本題考查了向量坐標(biāo)的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算，平行向量的坐標(biāo)關(guān)系，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題已知點(diǎn)M是邊長為2的正ABC內(nèi)一點(diǎn)，且AM=AB+AC，若+=13，則MBMC的最小值為 【答案】13【解析】【分析】本題考查平面向量數(shù)量積最值得求法，首先根據(jù)已知建立坐標(biāo)系，設(shè)M(x,y)，然后表示出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)AM=AB+AC，若+=13，可以得出y=-3x-33，x-1,1，然后表示出MBMC，利用二次函數(shù)求出最值，屬于中檔題【解答】解：根據(jù)題意，建立如圖的坐標(biāo)系，因?yàn)锳BC為

14、邊長為2的等邊三角形所以A(-1,0)，B(1,0)C(0,3)，設(shè)M(x,y)則AM=(x+1,y),AB=(2,0),AC=1,3又因?yàn)锳M=AB+AC，若+=13所以AM=AB+13-AC，即x+1,y=2,0+13-1,3所以x+1=+13y=313-，消去可得y=-3x-33，x-1,1，則MBMC=x2-x+y2-3y=4x2+4x+43=4x+122+13,x-1,1，所以當(dāng)x=-12時(shí)，MBMC有最小值13，故答案為13在平面直角坐標(biāo)系中，已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(-1,0)，B(0,cos6)，C(1,0)，若動(dòng)點(diǎn)D(1+13cos,13sin)(aR)，則|OA+2OB+3OC

15、+3OD|的最大值為_【答案】27+1【解析】解：由題意知A(-1,0)，B(0,32)，C(1,0)，D(1+13cos,13sin)(R)，則OA+2OB+3OC+3OD=(5+cos,3+sin)，(OA+2OB+3OC+3OD)2=(5+cos)2+(3+sin)2=29+10cos+23sin=29+47sin(+)29+47，其中tan=53；|OA+2OB+3OC+3OD|的最大值為29+47=27+1故答案為：27+1根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和模長公式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得|OA+2OB+3OC+3OD|的最大值本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與模長公式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題四、解答

16、題（本大題共6小題，共72.0分）已知a=(1,0)，b=(2,1)(1)當(dāng)k為何值時(shí)，ka-b與a+2b共線?(2)若AB=2a+3b，且A，B，C三點(diǎn)共線，求m的值【答案】解：(1)ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1)，a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2)因?yàn)閗a-b與a+2b共線，所以2(k-2)-(-1)5=0，解得k=-12(2)因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以AB=BC(R)，即2a+3b=(a+mb)，所以2=,3=m,解得m=32【解析】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量共線的充要條件(1)結(jié)合已知易得ka-b=k-2,-1,a+2b=5,2，再結(jié)合向量共線定理

17、可得2(k-2)-(-1)5=0，解方程即可求出k的值；(2)由A，B，C三點(diǎn)共線，可得AB=BC，再結(jié)合已知條件可得=2,3=m，據(jù)此可求得m的值在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知向量a=(2,1)，A(1,0)，B(cos,t)(1)若a/AB，且|AB|=5|OA|，求向量OB的坐標(biāo)；(2)若a/AB，求y=cos2-cos+t2的最小值【答案】解(1)AB=(cos-1,t)，a/AB，2t-cos+1=0cos-1=2t. |AB|=5|OA|，(cos-1)2+t2=5.由，得t2=1，t=1. 當(dāng)t=1時(shí)，cos=3(舍去)，當(dāng)t=-1時(shí)，cos=-1，B(-1,-1)，OB

18、=(-1,-1). (2)由(1)可知，當(dāng)cos=35時(shí)，ymin=-15.【解析】本題考查向量與三角函數(shù)的綜合，向量的坐標(biāo)表示，難度適中(1)由若a/AB，且|AB|=5|OA|，得2t-cos+1=0，(cos-1)2+t2=5，是解題的關(guān)鍵(2)轉(zhuǎn)換為求為變量的二次函數(shù)的最值，難度適中已知a，b，c是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中a=(1,2)(1)若|b|=25，且a/b，求b的坐標(biāo)；(2)若|c|=10，且2a+c與4a-3c垂直，求a與c的夾角【答案】解：(1)a/b，a=(1,2)，設(shè)b=ka，且|b|=25，|a|=5；|b|=|k|a|=5|k|=25；k=2；b=(2,4)，或

19、b=(-2,-4)；(2)(2a+c)(4a-3c)，且|a|=5,|c|=10，(2a+c)(4a-3c)=8a2-3c2-2ac=40-30-102cos=0；cos=22，又0,，a與c的夾角為4【解析】本題考查共線向量基本定理，向量數(shù)乘的幾何意義，根據(jù)向量坐標(biāo)求向量長度，向量垂直的充要條件，以及向量夾角的范圍(1)根據(jù)a/b，a=(1,2)，設(shè)b=ka，進(jìn)而|b|=|k|a|，這樣便可求出k的值，從而得出b的坐標(biāo)；(2)根據(jù)2a+c與4a-3c垂直便可得出(2a+c)(4a-3c)=0，根據(jù)條件進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可求出cos的值，從而求出a與c的夾角已知在ABC中，A(2,-1)，B(

20、3,2)，C(-3,-1)，AD為BC邊上的高，求|AD|與點(diǎn)D的坐標(biāo)【答案】解：設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為(x,y)，則AD=(x-2,y+1)，BC=(-6,-3)，BD=(x-3,y-2)D在直線BC上，即BD與BC共線，存在實(shí)數(shù)，使BD=BC，即(x-3,y-2)=(-6,-3)x-3=-6,y-2=-3,x-3=2(y-2)，即x-2y+1=0又ADBC，ADBC=0，即(x-2,y+1)(-6,-3)=0，-6(x-2)-3(y+1)=0即2x+y-3=0由解得x=1,y=1,|AD|=(1-2)2+(1+1)2=5，即|AD|=5，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,1)【解析】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量平行、垂直的判斷，向量的模，向量的數(shù)量積運(yùn)算設(shè)點(diǎn)D(x,y)，可得AD、BC及BD的坐標(biāo)，由題意BD與BC共線，可得存在實(shí)數(shù)，使BD=BC，由向量坐標(biāo)運(yùn)算列方程組，化簡(jiǎn)可得x-2y+1=0，利用向量垂直的判斷ADBC=0，由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得2x+y-3=0，由解得x、y的值，即