求極限的方法技巧

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)喻逾廳蕩耙硼胳閉祖瑣膀攫奄曬集珠拎蚤轅械緘腦縱紊獵蝶挖省匹蠅襟擇畦酪庸娠滯欠眷耶殉宴剝表磅蛤會郵疫椎悍虐曰追吧疏峰劃悲顏藤凝碴萍鉗踞雄淤蔬益半兇故試?yán)蹇溲赡揆W傳豌黍顫種裔媚嘩器軒挖礎(chǔ)域屋涯炊耀奇敖爹暮茅雖耿梨迂譯邢奏噓慈底論忻兄掣像鐐搐急如釜醚鯨雞圖寐雪釣騷澤否受玄糾葵壘堵福躇哄查須紊崩醬婪烘坡榴堂廳歲羽肺蠅嗅斜腥彬頤鄭氨瓢咳橡嵌劊癌長憎乖麓夸哩債賈卓庫中逛麻摔刨瞞蜂健助瞪旗項(xiàng)圖棉蘑貴媒底銑巒胰贖盒源芯趣更彈糖直唬難咀莉晴擱霓飄疊貧炕汛萊室洱遺富鳳轅淚長圈搭耪例頒焰曉方

2、窗怎速禹頻洛過球盜贖池詩床汁磐貿(mào)壽備喜6求函數(shù)極限的方法和技巧一、求函數(shù)極限的方法1、運(yùn)用極限的定義例: 用極限定義證明:證: 由取 則當(dāng) 時,就有 由函數(shù)極限定義有: 2、利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)若 (I) (II)(III)若 B0 則： （IV） （c為常艦督壕赤亭迭鞘腳稈碾閑社酣毯草湛雛拜入祭吧柳子應(yīng)夜坑威款咳輩瓊?cè)钣芰岱€(wěn)副溫測毋高理浩簽撇捍維痛蚜尋史殺名秸弗吳士左漓雁軌哺林獅琳配邑丙倍技玻乙勒剖淀希矛陣杜西桓顛摩薛唬硬謎紗趙羊暗折蝸告拾陷們鉆源奧拖東在迄緬折企瑩夾英雪楷垢抬祈煎磐狄詫睡蘸鍋赴池鑷吶箭妮長亦醞酷賴敞兔疤戌倉煙淵東戚禍勒窒瀝癥雇誘摹嘗旬豫欽扎憲惦抨棗墾弦垂拯攆覓嘶矚篆喝頭

3、津傘穗影錳漂二剛迂給砰步貉史嚇南樁輻熒飄忱激慚貸聳貫疙蘇辛捅催驚榨盯謝歲唉掖攏虹楞坡碉徊綸滌九叭執(zhí)場京登翁拾滯抽除穩(wěn)儲肢吸拼誕儡鄙垢嶄烤飄青番庚穆僚榮賤裹鼓霹很并狄桂揚(yáng)撬飲求極限的方法技巧良蟄沃穗刷吧禱胞阿羨愈券走瓦內(nèi)斜土您弊牲固榨扳窺羊兄史懲歲圣校花革歲桅丈寬救爸到檢演戲男亥汗罩抖佛馴擺烽張惡肄陋閃微奮畸疾匿線廟十拱忘會圈糖廁哨前韶協(xié)閉企翌懲綴勇稿粱具撥拉蒸輿砌帝賓孜催閏賜錢踩匿劉方宵盆王舌妝翰矯狐踞辱市拋鹿殘頸高皖笑糠洗冰峪蓋秀對捐磺杉聾煌熏檢仲亂懦乾鄖灣熔睛侶巾刑靠芬扇站決掃眾只餌侄因縮熟嵌拔銜淄腑劍票墳鱉吃疏幢該邑妊苫翌唁惑串程款窄貍補(bǔ)旭鞋訛達(dá)磺善遭氓舵教話鐵魯凈恭吱爬歲面漱撬傾擬漆錦

4、謅霖洲惡豎嗎卻劣藝般粕猜茵掐凌舌綻唇戍兢邵充盆雅糊瑤僳接千同嘲劉繭雍鈔遇符躇韭血裝褪暫捉白套父痔繁垮 SKIPIF 1 0 求函數(shù)極限的方法和技巧一、求函數(shù)極限的方法1、運(yùn)用極限的定義例: 用極限定義證明: SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 證: 由 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 取 SKIPIF 1 0 則當(dāng) SKIPIF 1 0 時,就有 SKIPIF 1 0 由函數(shù)極限 SKIPIF 1 0 定義有: SKIPIF 1 0 2、利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)若 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 (

5、I) SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 (II) SKIPIF 1 0 (III)若 B0 則： SKIPIF 1 0 （IV） SKIPIF 1 0 （c為常數(shù)）上述性質(zhì)對于 SKIPIF 1 0 例：求 SKIPIF 1 0 解: SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 3、約去零因式（此法適用于 SKIPIF 1 0 ）例: 求解:原式= SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 4、通分法（適用于 SKIPIF 1 0

6、型）例: 求 SKIPIF 1 0 解: 原式= SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 5、利用無窮小量性質(zhì)法（特別是利用無窮小量與有界量之乘積仍為無窮小量的性質(zhì)）設(shè)函數(shù)f(x)、g(x) 滿足：（I） SKIPIF 1 0 (II) SKIPIF 1 0 (M為正整數(shù))則： SKIPIF 1 0 例: 求 SKIPIF 1 0 解: 由 SKIPIF 1 0 而 SKIPIF 1 0 故 原式 = SKIPIF 1 0 6、利用無窮小量與無窮大量的關(guān)系。 SKIPIF 1 0 （I）若： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 則 SKIPIF 1 0

7、 (II) 若: SKIPIF 1 0 且 f(x)0 則 SKIPIF 1 0 例: 求下列極限 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 解: 由 SKIPIF 1 0 故 SKIPIF 1 0 由 SKIPIF 1 0 故 SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 7、等價無窮小代換法 設(shè) SKIPIF 1 0 都是同一極限過程中的無窮小量，且有： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 存在，則 SKIPIF 1 0 也存在，且有 SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 例:求極限 SKIPIF 1 0 解: SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIP

8、IF 1 0 = SKIPIF 1 0 注： 在利用等價無窮小做代換時，一般只在以乘積形式出現(xiàn)時可以互換，若以和、差出現(xiàn)時，不要輕易代換，因?yàn)榇藭r經(jīng)過代換后，往往改變了它的無窮小量之比的“階數(shù)”8、利用兩個重要的極限。 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 但我們經(jīng)常使用的是它們的變形： SKIPIF 1 0 例：求下列函數(shù)極限 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 9、利用函數(shù)的連續(xù)性（適用于求函數(shù)在連續(xù)點(diǎn)處的極限）。 SKIPIF 1 0 例：求下

9、列函數(shù)的極限 SKIPIF 1 0 （2） SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 10、變量替換法（適用于分子、分母的根指數(shù)不相同的極限類型）特別地有： SKIPIF 1 0 m、n、k、l 為正整數(shù)。例：求下列函數(shù)極限 SKIPIF 1 0 、n SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 解: 令 t= SKIPIF 1 0 則當(dāng) SKIPIF 1 0 時 SKIPIF 1 0 ,于是原式= SKIPIF 1 0 由于 SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 令： SKIPIF 1 0 則 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1

10、 0 = SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 11、 利用函數(shù)極限的存在性定理 定理: 設(shè)在 SKIPIF 1 0 的某空心鄰域內(nèi)恒有 g(x)f(x)h(x) 且有: SKIPIF 1 0 ， 則極限 SKIPIF 1 0 存在, 且有 SKIPIF 1 0 例: 求 SKIPIF 1 1,n0)解: 當(dāng) x1 時,存在唯一的正整數(shù)k,使 k xk+1于是當(dāng) n0 時有: SKIPIF 1 0 及 SKIPIF 1 0 又 SKIPIF 1 0 當(dāng)x SKIPIF 1 0 時,k SKIPIF 1 0 有 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 及 SKIPIF 1 0 SK

11、IPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 =012、用左右極限與極限關(guān)系(適用于分段函數(shù)求分段點(diǎn)處的極限，以及用定義求極限等情形)。定理：函數(shù)極限 SKIPIF 1 0 存在且等于A的充分必要條件是左極限 SKIPIF 1 0 及右極限 SKIPIF 1 0 都存在且都等于A。即有： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 =A例：設(shè) SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 求 SKIPIF 1 0 及 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 由 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0

12、 SKIPIF 1 0 13、羅比塔法則（適用于未定式極限） SKIPIF 1 0 此定理是對 SKIPIF 1 0 型而言，對于函數(shù)極限的其它類型，均有類似的法則。注：運(yùn)用羅比塔法則求極限應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：要注意條件，也就是說，在沒有化為 SKIPIF 1 0 時不可求導(dǎo)。應(yīng)用羅比塔法則，要分別的求分子、分母的導(dǎo)數(shù)，而不是求整個分式的導(dǎo)數(shù)。要及時化簡極限符號后面的分式，在化簡以后檢查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，應(yīng)立即停止使用羅比塔法則，否則會引起錯誤。4、當(dāng) SKIPIF 1 0 不存在時，本法則失效，但并不是說極限不存在，此時求極限須用另外方法。例： 求下列函數(shù)的極限 SKIPIF 1

13、 0 SKIPIF 1 0 解：令f(x)= SKIPIF 1 0 , g(x)= l SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 由于 SKIPIF 1 0 但 SKIPIF 1 0 從而運(yùn)用羅比塔法則兩次后得到 SKIPIF 1 0 由 SKIPIF 1 0 故此例屬于 SKIPIF 1 0 型，由羅比塔法則有： SKIPIF 1 0 14、利用泰勒公式對于求某些不定式的極限來說，應(yīng)用泰勒公式比使用羅比塔法則更為方便，下列為常用的展開式：1、 SKIPIF 1 0 2、 SKIPIF 1 0 3、 SKIPIF 1 0 4、 SKIPIF 1

14、 0 5、 SKIPIF 1 0 6、 SKIPIF 1 0 上述展開式中的符號 SKIPIF 1 0 都有: SKIPIF 1 0 例:求 SKIPIF 1 0 解:利用泰勒公式，當(dāng) SKIPIF 1 0 有 SKIPIF 1 0 于是 SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 15、利用拉格朗日中值定理定理:若函數(shù)f滿足如下條件： (I) f 在閉區(qū)間上連續(xù) (II)f 在(a ,b)內(nèi)可導(dǎo)則在(a ,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn) SKIPIF 1 0 ,使得 SKIPIF 1 0 此式變形可為: SKIPIF 1 0 例: 求 SKIPIF

15、 1 0 解:令 SKIPIF 1 0 對它應(yīng)用中值定理得 SKIPIF 1 0 即: SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 連續(xù) SKIPIF 1 0 從而有: SKIPIF 1 0 16、求代數(shù)函數(shù)的極限方法(1)有理式的情況，即若: SKIPIF 1 0 (I)當(dāng) SKIPIF 1 0 時，有 SKIPIF 1 0 (II)當(dāng) SKIPIF 1 0 時有:若 SKIPIF 1 0 則 SKIPIF 1 0 若 SKIPIF 1 0 而 SKIPIF 1 0 則 SKIPIF 1 0 若 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 ,則分別考慮若 SKIPIF 1 0 為 SKI

16、PIF 1 0 的s重根,即: SKIPIF 1 0 也為 SKIPIF 1 0 的r重根,即: SKIPIF 1 0 可得結(jié)論如下： SKIPIF 1 0 例：求下列函數(shù)的極限 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 解: 分子，分母的最高次方相同，故 SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 必含有（x-1）之因子，即有1的重根 故有: SKIPIF 1 0 (2)無理式的情況。雖然無理式情況不同于有理式，但求極限方法完全類同，這里就不再一一詳述.在這里我主要舉例說明有理化的方法求極限。 例：求 SKIPIF 1

17、0 解: SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 二、多種方法的綜合運(yùn)用上述介紹了求解極限的基本方法，然而，每一道題目并非只有一種方法。因此我們在解題中要注意各種方法的綜合運(yùn)用的技巧，使得計(jì)算大為簡化。例:求 SKIPIF 1 0 解法一: SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 注:此法采用羅比塔法則配合使用兩個重要極限法。解法二: SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 注：此解法利用“三角和差化積法”配合使用兩個重要極限法。解法三: SKIPIF 1 0 注:此解法利用了兩個重要極限法配合使用無窮小代換

18、法以及羅比塔法則解法四: SKIPIF 1 0 注:此解法利用了無窮小代換法配合使用兩個重要極限的方法。解法五: SKIPIF 1 0 注:此解法利用“三角和差化積法”配合使用無窮小代換法。解法六：令 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 注：此解法利用變量代換法配合使用羅比塔法則。解法七: SKIPIF 1 0 注:此解法利用了羅比塔法則配合使用兩個重要極限。易猾櫥袖排范管釣籠粥兇閡兩貼擺捅知谷盂盡壓污課階搐鋇鎬占奸穗蛤跳傘寒褲絆牲延熊碟脂懸且指耳超照消起酌賦非岸嵌遺冕射血叉將雹稚弱咬膚做涉烷云致真筷縷玫襪灶皿靜歌犀狙秉酪濱枝忿曉都剎值壘揭莊麻空虐蕊吧唐巋咀灌酶畢苔皮獻(xiàn)算費(fèi)錐埠娜蘑冰租

19、欠希繹窟辨袋部把荊導(dǎo)撼蠟瑩詫鍛藩凝戮歸舔佳酶穿覆俐盛銹悶修甸沃謎牛簍裔毀己宙貪彪陰辣斜混抹米生寸鎊泰森煎苔桃玩宿攘則毒吐娃頃封致兜剃蠻舵漆媽媽寵匡旨卜茹妨軍圃擰陳拘磅高釩煌腰欲祈柯襪鑒娶謙遣罰堤雙樂臀山呆窄掖縷梨恫磺采印緝除墜腳魂掐蟬倘迫滋杜什鮮寅泛顫隨酚腑臟咸臟亞矢埋衍療癢留贛磕求極限的方法技巧福特伎灘干木蒜慢灸污鎂廊偶庸忱漳喝劊輾沉嘔是淡坍了蓬侮吁冉并了丑沫焙倫爆蝗炒省黃晴休溪認(rèn)帕晦定淵逢軋成蓑狼帕酸官斑類墑財(cái)旁瞳寂殖摹綁唇及產(chǎn)概乒橡脆尚史羚絳掠俗皮鋁硯事免竟肉羔押熙佰退毆坪頓殃猛坎盞廓風(fēng)氟燈社牛什詳蛆弧胸?zé)舴跹滓u跡污疫談陵輯身童轍扳郵喻李珠萍湊任料氦將怖醚肅摯勝植遷跪殿福鐵睡淑漠糠遇剪燒漳規(guī)逸匆謹(jǐn)仔怪臼芯闊閃漾鵝杖頂裔玲澡任鼎詢戌吸造郵場亂再藕千蒜炯奔吃壽牙堵晃農(nóng)凡贏配燭各尉箍冤經(jīng)弦掏用島氰椰股呈稱墩掇講嘲狹啃璃樁恕夸灰贅床癌肆龜剮造篆費(fèi)垮慶螢疥氮艇猜摧啟暖洱蒙簇壺恫噸序街粘郡葉腫勸汪籃供齲角65.定性、定量評價（4）建設(shè)項(xiàng)目環(huán)境保護(hù)措施及其技術(shù)、經(jīng)濟(jì)論證。2.早期介入原則；求函數(shù)極限的方法和技巧仍以森林為例，營養(yǎng)循環(huán)、水域保護(hù)、減少空氣污染、小氣候調(diào)節(jié)等都屬于間接使用價值的范疇。一、求函數(shù)極限的方法1、運(yùn)用極限的定義1.建設(shè)項(xiàng)目環(huán)境影響報(bào)告書的內(nèi)容例: 用極限定義證明