湊微分法和分部積分法

1、5.3 湊微分法和分部積分法二、分部積分法一、湊微分法一 湊微分法（第一換元積分法）1 方法：2 操作方法：3 常見(jiàn)的換法：依微分的計(jì)算有如下一些常用換法4 舉例例1 求下列不定積分例2 求下列不定積分5 有理函數(shù) 的不定積分（補(bǔ)） 若為假有理分式，則首先用多項(xiàng)式除法將有理函數(shù)變?yōu)槎囗?xiàng)式與真有理分式的積分，而多項(xiàng)式的積分比較容易求得，因而有理分式的積分問(wèn)題關(guān)鍵是真有理分式的積分問(wèn)題，真有理分式的積分主要有以下幾個(gè)方面：（1）分母為一次形式：（2）分母為二次形式： 若分母能因式分解，則用待定系數(shù)法將被積函數(shù)拆成兩個(gè)分母為一次的分式的和，然后用（1）的結(jié)論。 若分母不能因式分解，則對(duì)分母進(jìn)行配方，

2、然后利用反正切函數(shù)的基本積分公式求解。（3）分母為三次或三次以上：則首先將分母分解成一次和二次的乘積，然后用待定系數(shù)法將其拆分成分母為一次和二次的分式積分，再利用（1）或（2）的結(jié)論求解。例3 求下列不定積分解：首先用待定系數(shù)法拆分 比較兩邊分子，恒等式要求相同次數(shù)的系數(shù)必須全相等，因此有：例4 求下列不定積分1 方法：或：2 證明：兩邊同時(shí)不定積分，則有：二 分部積分法3 說(shuō)明： （2）此法常用于計(jì)算兩類性質(zhì)不同函數(shù)乘積的不定積分，在計(jì)算中關(guān)鍵是u(x)與v(x)的選擇問(wèn)題，選擇得當(dāng)，計(jì)算將簡(jiǎn)化；否則會(huì)更復(fù)雜，有時(shí)甚至無(wú)法求出。如 （3）一般的選擇原則：在選擇u(x)與v(x)上，一般來(lái)說(shuō)，

3、有如下規(guī)律 反三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)相乘，將排在前者令為u(x)，排在后者令為v(x)的導(dǎo)數(shù)，一般能簡(jiǎn)化計(jì)算。4 舉例例1 求下列不定積分例2 求下列不定積分（計(jì)算過(guò)程中出現(xiàn)方程）例3 求解：所以有遞推關(guān)系式：特別地有：例4 求下列不定積分：注：積分計(jì)算與導(dǎo)數(shù)計(jì)算的區(qū)別 （1）對(duì)于一個(gè)給定的函數(shù)，導(dǎo)數(shù)總是可以計(jì)算的，而積分則不一定，因?yàn)橛行┖瘮?shù)的原函數(shù)雖然存在，但卻不能用初等函數(shù)來(lái)表示。 （2）積分計(jì)算方法的規(guī)律性較少，它一方面要求對(duì)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算非常熟悉，另一方面要求多作題，了解各種函數(shù)的積分方法，同時(shí)積分計(jì)算的復(fù)雜程度不在于被積函數(shù)的復(fù)雜程度，而在于被積函數(shù)與基本積分公式的接近程度。 （3）有些積分雖然有一部分不能用初等函數(shù)表示，但積分可能可以計(jì)算，因?yàn)橛?jì)算過(guò)程中不能表示部分可以抵消。如例5. 判斷下述運(yùn)算錯(cuò)在哪里？解答：運(yùn)算沒(méi)有錯(cuò)，錯(cuò)在由運(yùn)算得出0=1的結(jié)論。因?yàn)椴欢ǚe分的結(jié)果是函數(shù)集，而不是一個(gè)數(shù)。實(shí)際上上述等式的左、右兩邊都有其含義：作業(yè)：P