大轉(zhuǎn)角彈性梁中性線方程的計(jì)算機(jī)模擬研究

1、大轉(zhuǎn)角彈性梁中性線方程的計(jì)算機(jī)模擬研究大轉(zhuǎn)角彈性梁中性線方程的計(jì)算機(jī)模擬研究引言研究背景：有一均勻的薄板狀的彈性梁，不受力包括重力時(shí)狀態(tài)為平板，左端程度地嵌入墻體內(nèi)固定，設(shè)梁在墻外局部的中性線只會(huì)受力彎曲而其長(zhǎng)度L不變。設(shè)中性線的左端點(diǎn)坐標(biāo)為0，0，縱坐標(biāo)向下為正。梁有可能與地面物理上光滑的程度面接觸。記中性線的右端點(diǎn)的縱坐標(biāo)值Y=H0。圖1為正視圖，圖中實(shí)線為梁的中性線，點(diǎn)劃線滿足Y=H。設(shè)重力加速度為g0，梁的線密度為D，梁在靜態(tài)平衡時(shí)中性線滿足公式：K=/EiK是梁的中性線的曲率，是彎曲力矩，EI為梁的截面抗彎剛度。在工程實(shí)際中經(jīng)常碰到的彈性梁?jiǎn)栴}，本文中對(duì)該彈性梁及環(huán)境做了近似處理，把

2、梁看成均勻的薄板，將地面看成物理上光滑的程度面，因此我們不用考慮梁與地面接觸時(shí)，接觸面的變化和接觸力的應(yīng)力常在工程實(shí)際中，轉(zhuǎn)角一般均很小，可以建立微分方程近似模型；大轉(zhuǎn)角問(wèn)題，情況比擬復(fù)雜，一方面梁的重心尋找困難，另一方面二階非線性方程求解困難，可考慮用計(jì)算機(jī)模擬的方法尋找梁的中性線方程。1計(jì)算機(jī)模擬大轉(zhuǎn)角情況當(dāng)a=24，h=1/4時(shí)，不能當(dāng)作小轉(zhuǎn)角問(wèn)題處理。首先，建立彎矩平衡的方程不能再應(yīng)用。當(dāng)梁發(fā)生比擬大的彎曲時(shí)，梁的重心也發(fā)生了比擬大的挪動(dòng)。因此，彎矩的建立成了一個(gè)非常棘手的問(wèn)題。同時(shí)，由于小角度假設(shè)在梁的抗彎強(qiáng)度較小的時(shí)候不再成立，于是必須考慮大角度情況，那么就需要求解微分方程，這是一

3、個(gè)二階的非線性微分方程，解析求解困難。有限元法FEA是用較簡(jiǎn)單的問(wèn)題代替復(fù)雜問(wèn)題后再求解。它將求解域看成是由許多稱為有限元的小的互連子域組成，對(duì)每一單元假定一個(gè)適宜的較簡(jiǎn)單的近似解。2模型的建立2.1梁和地面不發(fā)生接觸時(shí)1初始化。給彈性梁一個(gè)初始狀態(tài)曲線，如：Y=0 x0，L1模擬以初始狀態(tài)為起點(diǎn)，進(jìn)展迭代循環(huán)，不斷逼近真實(shí)的曲線。本文由論文聯(lián)盟.Ll.搜集整理2離散化。在梁上均勻選取N個(gè)節(jié)點(diǎn)nss=1，2，N，分成N-1段單元，每段長(zhǎng)度為l=LN-1。在模擬過(guò)程中，每個(gè)單元可以進(jìn)展平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)來(lái)逼近真實(shí)曲線，但是每個(gè)單元的長(zhǎng)度固定不變，且節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)之間連續(xù)。因?yàn)榧僭O(shè)中，彈性梁只會(huì)受力彎曲而其長(zhǎng)

4、度不變。3受力分析。在給定的狀態(tài)下，可以求出任意一個(gè)節(jié)點(diǎn)ns的力矩s為s以后的節(jié)點(diǎn)重力引起的力矩1s。s=1s21s=Nj=s+1gDLN-1Xj-Xs3其中Xj為第j個(gè)節(jié)點(diǎn)的橫坐標(biāo)。4幾何形狀分析。節(jié)點(diǎn)ns的力矩s，就可以求出該點(diǎn)的曲率和半徑：K=sEI=gDLEINj=s+1Xj-XsN-14R=1K5無(wú)量綱化后：k=KL=aNj=s+1xj-xsN-16r=1KL=1k75迭代過(guò)程坐標(biāo)修正。以節(jié)點(diǎn)ns-1、ns為基準(zhǔn)，修正節(jié)點(diǎn)ns+1的坐標(biāo)，使得滿足彈性梁在ns節(jié)點(diǎn)的曲率滿足第4步的要求。修正如圖2所示。當(dāng)節(jié)點(diǎn)獲得足夠密時(shí)，可以近似地認(rèn)為ns的鄰近節(jié)點(diǎn)ns-1，ns+1在過(guò)ns的曲線的曲

5、率圓上，且過(guò)ns的切線可以近似用直線ns-1ns代替，進(jìn)而可以求得符合靜態(tài)梁狀態(tài)節(jié)點(diǎn)ns+1的新的點(diǎn)ns+1。xs+1=xs+ls+ys+1=ys+lsin+8其中=artanys-ys-1xs-xs-19為切線和X軸的傾角。6對(duì)每個(gè)節(jié)點(diǎn)做第5步所述的修正，循環(huán)屢次，使得中性線的曲線不斷地逼近真實(shí)曲線。2.2梁和地面發(fā)生點(diǎn)接觸情形1初始化與2離散化過(guò)程與梁不與地面發(fā)生接觸時(shí)一樣。2受力分析。當(dāng)梁和地面發(fā)生點(diǎn)接觸時(shí)，梁不僅受到重力，還受到地面對(duì)梁的作用力為F，任意一個(gè)節(jié)點(diǎn)ns的力矩s可以分為兩局部，一局部為s以后的節(jié)點(diǎn)重力引起的力矩1s，另一局部由地面對(duì)梁的作用力F梁和地面不接觸時(shí)為0引起的2s

6、。s=1s+2s101s=Nj=s+1gDLN-1Xj-Xs112s=-FL-Xs12此時(shí)曲率和半徑為：k=KL=aNj=s+1xj-xsN-1-a1-p1-xs13r=1KL=1aNj=s+1xj-xsN-1-a1-p1-xs=1K143地面對(duì)梁的作用力確實(shí)定。在模擬過(guò)程中，地面對(duì)梁的作用力F必須滿足：梁和地面接觸的端點(diǎn)處中性線的縱坐標(biāo)為梁和地面的間隔 值。因此，必須在模擬中實(shí)現(xiàn)自動(dòng)尋找作用力F的才能，采用二分法的思想，自動(dòng)尋找作用力F的過(guò)程如下：1無(wú)量綱化。用梁與地面接觸時(shí)梁對(duì)地面的壓力與墻外梁重力gDL之比值來(lái)衡量作用力的大校1-p=FgDL152給定初始值p1=0，p2=1，在這兩種情

7、況下進(jìn)展有限元模擬得到梁自由端點(diǎn)的縱坐標(biāo)y1h，y2H。3取p3=p1+p22，進(jìn)展模擬得到梁自由端點(diǎn)的縱坐標(biāo)y3。4進(jìn)展迭代p1=p3y3hp2=p3y3H165當(dāng)|Y3-H|為給定的精度要求時(shí)，停頓迭代，得到P值。3計(jì)算機(jī)模擬的可行性為了驗(yàn)證有限元模型的合理性，把有限元模型得到的中性線曲線和微分近似得到的曲線相比擬。只考慮梁和地面發(fā)生點(diǎn)接觸的情形。1小角度情況下，微分近似模型是合理的，由它得到當(dāng)a72HA8時(shí)，梁和地面只發(fā)生點(diǎn)接觸，取A=0.1，H=A20=0.005，代入有限元模擬程序中，得到中性線的曲線如圖3所示。從圖中可以看出，在小角度情況下，用有限元模擬得到中性線的曲線和微分近似模

8、型幾乎一致。用微分近似模型得到的作用力比值為：1-p=38-3ha=0.22517用有限元模擬得到的作用力為：1-p=0.21918進(jìn)一步說(shuō)明微分近似曲線在小角度假設(shè)下的正確性，同時(shí)也說(shuō)明有限元模擬的合理性。大角度情況下，取a=0.1，h=a20=0.005，代入有限元模擬程序中，得到中性線的曲線如圖3所示。用微分近似模型得到的作用力比值為：1-p=38-3ha=0.22519用有限元模擬得到的作用力比值為：1-p=0.14520可以發(fā)現(xiàn)，由于有限元模型可以模擬任何轉(zhuǎn)角下的情形，而此時(shí)微分近似模擬和有限元模擬結(jié)果相差較大，進(jìn)一步驗(yàn)證了微分近似模型只能在小角度假設(shè)下成立。4二分法求接觸點(diǎn)1把參數(shù)

9、a=24，h=1/4輸入到有限元模型中，模擬得到梁的縱坐標(biāo)最大值為yax=0.25=h，說(shuō)明梁和地面已經(jīng)發(fā)生接觸。模擬得到的中性線曲線如圖4所示。由中性線曲線可以求得每個(gè)節(jié)點(diǎn)nss=1，2，N處的力矩s，再求出ks，得到kax=3.70 x，y=0，0kin=-1.28x，y=0.5875，0.223621模擬中自動(dòng)尋找到線接觸長(zhǎng)度1-L和p值：p=0.594322在ks-ns中找到ks=0的點(diǎn)及區(qū)間，即分別對(duì)應(yīng)中性線的拐點(diǎn)及和地面發(fā)生線接觸的點(diǎn)。求得中性線上k=0的點(diǎn)為0.305，0.11和0.853，0.962。5結(jié)語(yǔ)本文就彈性梁靜態(tài)平衡時(shí)中性線的無(wú)量綱化的方程建立了微分近似方程模型和計(jì)算機(jī)模擬模型。微分近似模型簡(jiǎn)單易解，小轉(zhuǎn)角的情況下，與真實(shí)值符合得很好。但當(dāng)梁的抗彎強(qiáng)度比擬低時(shí)，