數(shù)值分析實(shí)驗(yàn)報(bào)告-插值、逼近

1、-. z.實(shí)驗(yàn)報(bào)告：函數(shù)逼近&插值多項(xiàng)式補(bǔ)充問(wèn)題1：對(duì)于給函數(shù)，取點(diǎn)，k取0，1，n。n取10或20。試畫(huà)出擬合曲線并打印出方程，與第二章計(jì)算實(shí)習(xí)題2的結(jié)果進(jìn)展比擬。問(wèn)題2：對(duì)于給函數(shù)在區(qū)間-1，1上取*i=-1+0.2ii=0,1,2,10，試求3次曲線擬合，試畫(huà)出擬合曲線并打印出方程，與第二章計(jì)算實(shí)習(xí)題2的結(jié)果進(jìn)展比擬。實(shí)驗(yàn)?zāi)康模和ㄟ^(guò)編程實(shí)現(xiàn)牛頓插值方法和函數(shù)逼近，加深對(duì)多項(xiàng)式插值的理解。應(yīng)用所編程序解決實(shí)際算例。實(shí)驗(yàn)要求：認(rèn)真分析問(wèn)題，深刻理解相關(guān)理論知識(shí)并能熟練應(yīng)用；編寫(xiě)相關(guān)程序并進(jìn)展實(shí)驗(yàn)；調(diào)試程序，得到最終結(jié)果；分析解釋實(shí)驗(yàn)結(jié)果；按照要求完成實(shí)驗(yàn)報(bào)告。實(shí)驗(yàn)原理：詳見(jiàn)數(shù)值分析第5版第二

2、章、第三章相關(guān)內(nèi)容。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：1問(wèn)題1：這里我們可以沿用實(shí)驗(yàn)報(bào)告一的代碼，對(duì)其進(jìn)展少量修改即可。當(dāng)n=10時(shí)，代碼為：clear allclck=0:10;n=length(k);*1=cos(2*k+1)/2/n*pi);y1=1./(1+25.*1.2);f=y1(:);for j=2:nfor i=n:-1:j f(i)=(f(i)-f(i-1)/(*1(i)-*1(i-j+1);endendsyms F*p;F(1)=1;p(1)=y1(1);for i=2:n F(i)=F(i-1)*(*-*1(i-1); p(i)=f(i)*F(i);endsyms PP=sum(p);P10=v

3、pa(e*pand(P),5);*0=-1:0.001:1;y0=subs(P,*,*0);y2=subs(1/(1+25*2),*,*0);plot(*0,y0,*0,y2)grid on*label(*)ylabel(y)由此我們可以得到P10(*)=-46.633*10+3.0962e-14*9+130.11*8-7.2714e-14*7-133.44*6+7.1777e-14*5+61.443*4-1.5805e-14*3-12.477*2-1.6214e-16*+1.0并可以得到牛頓插值多項(xiàng)式在-1，1上的圖形，并和原函數(shù)進(jìn)展比照，得Fig. 1。Fig.1 牛頓插值多項(xiàng)式n=10函

4、數(shù)和原函數(shù)圖形當(dāng)n=20，將上述代碼中的“k=0:10;改為“k=0:20;即可。由此我們可以得到P20(*)=6466.6*20+8.0207e-13*19-34208.0*18-3.5038e-12*17+77754.0*16-99300.0*14+3.7253e-9*13+78236.0*12-39333.0*10+12636.0*8-4.6566e-10*7-2537.3*6+306.63*4-21.762*2+1.0并可以得到牛頓插值多項(xiàng)式在-1，1上的圖形，并和原函數(shù)進(jìn)展比照，得Fig. 2。Fig.2牛頓插值多項(xiàng)式n=20函數(shù)和原函數(shù)圖形回憶一下實(shí)驗(yàn)一的結(jié)果見(jiàn)Fig. 3，我們不

5、難發(fā)現(xiàn)，僅僅是改變了*的取值，結(jié)果發(fā)生了很大的變化。實(shí)驗(yàn)一中，插值多項(xiàng)式與原函數(shù)產(chǎn)生了很大的偏差，并且隨著分的段數(shù)的增加，其誤差不斷變大，但是在本次實(shí)驗(yàn)中，我們不難發(fā)現(xiàn)，雖然多項(xiàng)式依舊存在震蕩現(xiàn)象，但是誤差小了很多，而且隨著分的段數(shù)的增加，插值多項(xiàng)式曲線與原函數(shù)曲線已經(jīng)十分接近了。Fig.3實(shí)驗(yàn)一結(jié)果這個(gè)例子說(shuō)明：采用切比雪夫節(jié)點(diǎn)替代等距節(jié)點(diǎn)可以消除龍格現(xiàn)象。2問(wèn)題2：分析問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)在這個(gè)問(wèn)題中，我們已經(jīng)知道了原函數(shù)，同時(shí)它也告訴我們所需取的11個(gè)點(diǎn)的值，所以這里可以用兩種方法進(jìn)展函數(shù)逼近得到擬合曲線。首先采用最小二乘法來(lái)考慮這個(gè)問(wèn)題，編寫(xiě)代碼如下這里沒(méi)有直接調(diào)用polyfit函數(shù)：clear

6、 allclcn=3;*1=-1:0.2:1;y1=1./(1+25.*1.2);syms SGda*;for i=1:n+1;for j=1:n+1; G(i,j)=sum(*1.(i+j-2);endendfor i=1:n+1; d(i)=sum(*1.(i-1).*y1);enda=G-1*d;for i=1:n+1 *(i)=*(i-1);endS=vpa(*a,5)*0=-1:0.001:1;y0=subs(S,*,*0);y2=subs(1/(1+25*2),*,*0);plot(*0,y0,*0,y2)grid on*label(*)ylabel(y)我們可以得到一個(gè)三次多項(xiàng)式

7、：S3=1.1665e-16*3 - 0.57518*2 - 9.4553e-17* + 0.48412。同時(shí)我們也可以得到它與原函數(shù)的圖形，如圖Fig. 4。Fig.4 最小二乘法n=3的結(jié)果我們發(fā)現(xiàn)得到的結(jié)果和原函數(shù)產(chǎn)生了巨大的誤差。首先觀察得到的多項(xiàng)式，我們發(fā)現(xiàn)它的3次項(xiàng)系數(shù)非常小，原因是原函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，這將導(dǎo)致奇次項(xiàng)系數(shù)根本為0。這里我們調(diào)整n，對(duì)結(jié)果進(jìn)展觀察，取n=4，6，8，10，20。我們可以得到。S4=1.4852*4+1.3703e-16*3-2.0604*2-1.1769e-16*+0.65522S6=-4.633*6+4.0789e-14*5+8.4769*4-5.2

8、8e-14*3-4.5969*2+1.3229e-14*+0.78461S8=20.466*8-3.8972e-12*7-43.601*6+6.9014e-12*5+30.817*4-3.4363e-12*3-8.5318*2+4.2796e-13*+0.88802S10=-220.94*10-5.1978e-9*9+494.91*8+1.0649e-8*7-381.43*6-6.9693e-9*5+123.36*4+1.6139e-9*3-16.855*2-9.6021e-11*+1.0S20=-318.82*20+74.132*19+43.205*18-83.871*17+91.867*1

9、6+68.562*15+29.364*14-56.393*13+260.42*12-32.957*11+79.822*10+1.8279*9-139.85*8+49.564*7-121.95*6-23.918*5+90.922*4+3.1437*3-15.933*2-0.090653*+1.0Fig.5 最小二乘法n=4的結(jié)果Fig.6 最小二乘法n=6的結(jié)果Fig.7 最小二乘法n=8的結(jié)果Fig.8 最小二乘法n=10的結(jié)果Fig.9 最小二乘法n=20的結(jié)果不難發(fā)現(xiàn)，擬合結(jié)果并不理想，當(dāng)n=8時(shí)與原函數(shù)較為接近，而當(dāng)n取其他值時(shí)，都有著比擬大的誤差，說(shuō)明采用最小二乘法考慮這個(gè)問(wèn)題并不是一

10、個(gè)十分好的方法，對(duì)yi進(jìn)展適當(dāng)變形可能可以得到更好的結(jié)果。同時(shí)，由于知道f*，這道題我們也可以采用最正確平方逼近的方法，編寫(xiě)代碼如下：clear allclcsyms SHad*;n=3;for i=1:n+1 d(i)=int(*(i-1)/(1+25*2),*,-1,1);endfor i=1:n+1for j=1:n+1 H(i,j)=int(*(i+j-2),*,-1,1);endenda=H-1*d;for i=1:n+1 *(i)=*(i-1);endS=vpa(*a,5)*0=-1:0.001:1;y0=subs(S,*,*0);y2=subs(1/(1+25*2),*,*0);

11、plot(*0,y0,*0,y2)grid on*label(*)ylabel(y)由此我們可以得到一個(gè)三次多項(xiàng)式，事實(shí)上這是一個(gè)二次多項(xiàng)式：S3=0.50923-0.70366*2，同時(shí)我們也可以得到該多項(xiàng)式與原函數(shù)的圖像，見(jiàn)Fig. 10。Fig.10 最正確平方逼近n=3的結(jié)果不然發(fā)現(xiàn)采用這種方法有著和最小二乘法一樣的問(wèn)題，同樣我們這里也對(duì)n取不同的值進(jìn)展觀察，取n=4，6，8，10，20。我們可以得到。S4=1.8689*4-2.3055*2+0.66942S6=-4.9969*6+8.6828*4-4.5768*2+0.77758S8=13.392*8-29.995*6+23.105*4-7.199*2+0.85042S10=-35.931*10+98.491*8-100.08*6+46.465*4-9.8945*2+0.89942S20=5023.5*20-26343.0*18+59469.0*16-75642.0*14+59603.0*12-30157.0*10+9844.2*8-2038.8*6+259.82*4-19.94