函數(shù)周期性問題（解析版）-備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學(xué)必備考試技能高分領(lǐng)先方案

1、第PAGE 頁碼9頁/總NUMPAGES 總頁數(shù)9頁Evaluation Warning: The document was created with Spire.Doc for .NET.專題05 函數(shù)周期性問題一、結(jié)論已知定義在上的函數(shù),若對任意,總存在非零常數(shù),使得,則稱是周期函數(shù),為其一個周期.除周期函數(shù)的定義外,還有一些常見的與周期函數(shù)有關(guān)的結(jié)論如下:(1)如果(),那么是周期函數(shù),其中的一個周期(2)如果(),那么是周期函數(shù),其中的一個周期.(3)如果(),那么是周期函數(shù),其中的一個周期.(4)如果(),那么是周期函數(shù),其中的一個周期.(5)如果(),那么是周期函數(shù),其中的一個周期

2、.(6)如果(),那么是周期函數(shù),其中的一個周期.二、典型例題1（2021全國高考真題）已知函數(shù)的定義域為，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則（ ）ABCD【答案】B【解析】因為函數(shù)為偶函數(shù)，則，可得，因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，所以，所以，即，故函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，故，其它三個選項未知.故選：B.解法二：因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于對稱，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；所以；又函數(shù)為奇函數(shù)，所以其關(guān)于對稱；通過圖象平移伸縮變換，可以得到關(guān)于對稱，進而關(guān)于對稱；可得：；綜合（1）（2）可得；利用結(jié)論的周期為,故本題中的周期為利用可得【反思】本例中涉及周期性，奇偶性，對稱性的綜合問題，其

3、中求解周期的常用結(jié)論需直接記憶，可直接使用，本文中的6個周期結(jié)論直接記憶，可快速求周期.對稱性問題：軸對稱問題：關(guān)于對稱，可得到如下結(jié)論中任意一個：；點對稱問題：關(guān)于對稱，可得到如下結(jié)論中任意一個：；2（2021全國高考真題（理）設(shè)函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時，若，則（ ）ABCD【答案】D【解析】令，由得：，由得：，因為，所以，令，由得：，所以因為是奇函數(shù)，所以圖象關(guān)于對稱，所以關(guān)于對稱，得：因為是偶函數(shù)，所以圖象關(guān)于對稱；，所以關(guān)于對稱，得：；綜合（1）（2）得到：得到所以，再利用令代入：故選：D【反思】本例中涉及周期性，奇偶性，對稱性的綜合問題，其中求解周期的常用結(jié)論需直接記

4、憶，可直接使用，本文中的6個周期結(jié)論直接記憶，可快速求周期.三、針對訓(xùn)練 舉一反三1（2008湖北高考真題（文）已知在R上是奇函數(shù)，且，當(dāng)時，則A-2B2C-98D98【答案】A【詳解】，是以4為周期的周期函數(shù)，由于為奇函數(shù)，而，即.故選：A2（2021全國模擬預(yù)測（文）已知定義在上的偶函數(shù)，對，有成立，當(dāng)時，則（ ）ABCD【答案】C【詳解】依題意對，有成立，令，則，所以，故，所以是周期為的周期函數(shù)，故.故選：C3（2021江西三模（理）已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，且滿足，且當(dāng)時，若，則（ ）ABCD【答案】C【詳解】因為函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，所以為奇函數(shù)，因為，故函數(shù)的周期為4，則；而，

5、所以由可得；而，解得.故選：C.4（2021四川石室中學(xué)模擬預(yù)測（理）已知定義域為R的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時，則函數(shù)在上零點的個數(shù)為（ ）A10B11C12D13【答案】D【詳解】解：因為是定義域為R的奇函數(shù)，所以因為，令，得，即，所以又因為為奇函數(shù)，所以，所以，所以是以4為周期的周期函數(shù)根據(jù)周期性及奇函數(shù)的性質(zhì)畫出函數(shù)在上的圖象，如圖由圖可知，函數(shù)在上有零點-4，-3.5，-3，-2，-1，-0.5，0，0.5，1，2，3，3.5，4，共13個零點故選：D5（2021廣西玉林模擬預(yù)測（文）已知定義在上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)，則下面結(jié)論正確的是（ ）ABCD【答案】A【詳解】由，知是周期函數(shù)，且周期為6

6、，又，易知在內(nèi)單調(diào)遞增，所以.故選：A6（2021黑龍江佳木斯一中三模（理）已知為奇函數(shù)且對任意，若當(dāng)時，則（ ）AB0C1D2【答案】C【詳解】解：因為為奇函數(shù)，即，因為對任意，所以，當(dāng)時，所以，所以，則.故選：C.7（2021浙江瑞安中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，滿足，且當(dāng)時，則函數(shù)的零點個數(shù)是（ ）A2B3C4D5【答案】B【詳解】由可得關(guān)于對稱，由函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，所以，所以的周期為4， 把函數(shù)的零點問題即的解，即函數(shù)和的圖像交點問題，根據(jù)的性質(zhì)可得如圖所得圖形，結(jié)合的圖像，由圖像可得共有3個交點，故共有3個零點，故選：B.8（2021陜西模擬預(yù)測（文）已知定義在上的奇函數(shù)滿足當(dāng)時，則（ ）A3BCD5【答案】A【詳解】由條件可知，且，即，即，那么，所以函數(shù)是周期為4的函數(shù)，.故選：A9（2021全國模擬預(yù)測）已知是定義在上的偶函數(shù)，且，若，則_【答案】【詳解】由可得，又，所以由可得，故，故的一個周期為8，則故答案為：.10（2021陜西二模（