2017年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)三角形綜合問(wèn)題

1、 三角形綜合問(wèn)題【專題點(diǎn)撥】三角形綜合問(wèn)題是指針對(duì)三角形的知識(shí)點(diǎn)之間的綜合性的考查，特別是等腰三角形、等邊三角形、直角三角形等特殊三角形的性質(zhì)應(yīng)用，及其與三角形相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)之間的綜合考查?！窘忸}策略】從具體問(wèn)題入手f探索三角形知識(shí)點(diǎn)f綜合各點(diǎn)聯(lián)系f綜合把握各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在關(guān)系一綜合應(yīng)用并解決問(wèn)題【典例解析】類型一：三角形邊角關(guān)系問(wèn)題例題1：（2016青海西寧3分）下列每組數(shù)分別是三根木棒的長(zhǎng)度，能用它們擺成三角形的是（）A3cm，4cm，8cmB8cm，7cm，15cmC5cm，5cm，11cmD13cm，12cm，20cm【考點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系【解析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，兩邊之和大于第

2、三邊，即兩短邊的和大于最長(zhǎng)的邊，即可作出判斷【解答】解：A、3+4V8，故以這三根木棒不可以構(gòu)成三角形，不符合題意；B、8+7=15，故以這三根木棒不能構(gòu)成三角形，不符合題意；C、5+5V11，故以這三根木棒不能構(gòu)成三角形，不符合題意；D、12+1320，故以這三根木棒能構(gòu)成三角形，符合題意.故選D變式訓(xùn)練1：（2016湖北荊門3分）已知3是關(guān)于x的方程x2-（m+1）x+2m=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根，并且這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根恰好是等腰厶ABC的兩條邊的邊長(zhǎng)，則ABC的周長(zhǎng)為（）A.7B.10C.11D.10或11類型二：三角形全等問(wèn)題例題2：（2016四川南充）已知ACM位置如圖所示，AB=AC,A

3、D=AE,Z1=Z2.求證:BD=CE；求證：ZM=ZN.【解析】（1）由SAS證明ABD9AACE，得出對(duì)應(yīng)邊相等即可（2）證出ZBAN=ZCAM，由全等三角形的性質(zhì)得出ZB=ZC，由AAS證明ACMABN,得出對(duì)應(yīng)角相等即可.AB二ACZ1=Z2【解答】（1）證明：在厶ABD和厶ACE中，丨扛二AE.ABD9AACE（SAS）,.BD=CE；（2）證明:VZ1=Z2,AZ1+ZDAE=Z2+ZDAE，即ZBAN=ZCAM，由（1）得：ABD9AACE,AZB=ZC，Vc=Zb、AC二AB在。皿和厶ABN中，丨/C慚二/BAN，.ACM9AABN（ASA）,?.ZM=ZN.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了

4、全等三角形的判定與性質(zhì)；證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.變式訓(xùn)練2：（2016四川瀘州）如圖，C是線段AB的中點(diǎn),CD=BE,CDBE.求證：ZD=ZE.類型三：等腰或等邊三角形問(wèn)題例題3：(2016山東省荷澤市3分)如圖，AACB和厶DCE均為等腰三角形，點(diǎn)A,D,E在同一直線上，連接BE如圖1,若ZCAB=ZCBA=ZCDE=ZCED=50求證：AD=BE；求ZAEB的度數(shù).如圖2,若ZACB=ZDCE=120,CMDCE中DE邊上的高，BNABE中AE邊【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)【解析】(1)通過(guò)角的計(jì)算找出ZACD=ZBCE，再結(jié)合厶ACB和厶DCE均為等腰三角形可得出“AC=BC,DC

5、=EC”，利用全等三角形的判定SAS)即可證出厶ACDBCE，由此即可得出結(jié)論AD=BE；結(jié)合中的ACD9ABCE可得出ZADC=ZBEC,再通過(guò)角的計(jì)算即可算出ZAEB的度數(shù)；(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合頂角的度數(shù)，即可得出底角的度數(shù)，利用(1)的結(jié)論，通過(guò)解直角三角形即可求出線段AD、DE的長(zhǎng)度，二者相加即可證出結(jié)論.【解答】(1)證明：ZCAB=ZCBA=ZCDE=ZCED=50,AZACB=ZDCE=180-2X50=80.VZACB=ZACD+ZDCB,ZDCE=ZDCB+ZBCE,ZACD=ZBCE.ACB和ADCE均為等腰三角形，.AC=BC,DC=EC.NC二BC在厶ACD和

6、厶BCE中，有*ZACD=ZBCE,DC=EC.ACD9ABCE(SAS),.AD=BE.解：ACDABCE,.ZADC=ZBEC.點(diǎn)A,D,E在同一直線上，且ZCDE=50,.ZADC=180-ZCDE=130,ZBEC=130.VZBEC=ZCED+ZAEB，且ZCED=50,AZAEB=ZBEC-ZCED=130-50=80.(2)證明：ACB和厶DCE均為等腰三角形，且ZACB=ZDCE=120,ZCDM=ZCEM=X(180-120)=30.CM丄DE,.ZCMD=90,DM=EM.在RtACMD中,ZCMD=90,ZCDM=30,/，DE=2DM=2Xt3nZCDMCM=2靈CM.

7、VZBEC=ZADC=180-30=150,ZBEC=ZCEM+ZAEB,.ZAEB=ZBEC-ZCEM=150-30=120,ZBEN=180-120=60.在RtABNE中，ZBNE=90,ZBEN=60,.=BN，BE=sinZBENBN.AD=BE,AE=AD+DE,.AE=BE+DE=BN+2.運(yùn)CM.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、解直角三角形以及角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是：(1)通過(guò)角的計(jì)算結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)證出ACD9ABCE；(2)找出線段AD、DE的長(zhǎng).本題屬于中檔題，難度不大，但稍顯繁瑣，解決該題型題目時(shí)，利用角的計(jì)算找出相等的角，再利用等腰三角

8、形的性質(zhì)找出相等的邊或角，最后根據(jù)全等三角形的判定定理證出三角形全是關(guān)鍵變式訓(xùn)練3：(2016黑龍江齊齊哈爾12分)如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)A(-.，0)的兩條直線分別交y軸于B、C兩點(diǎn)，且B、C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別是一元二次方程x2-2x-3=0的兩個(gè)根求線段BC的長(zhǎng)度；(2)試問(wèn)：直線AC與直線AB是否垂直？請(qǐng)說(shuō)明理由；若點(diǎn)D在直線AC上，且DB=DC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；在(3)的條件下，直線BD上是否存在點(diǎn)P,使以A、B、P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.類型四：直角三角形問(wèn)題例題4：(2016湖北隨州3分)如圖，在ABC中，ZACB

9、=90,M、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)D,使CD=BD,連接DM、DN、MN.若AB=6，則DN=3.【考點(diǎn)】三角形中位線定理；直角三角形斜邊上的中線；平行四邊形的判定與性質(zhì)【解析】連接CM,根據(jù)三角形中位線定理得到NM二*CB,MNBC，證明四邊形DCMN是平行四邊形，得到DN=CM，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CM=*AB=3，等量代換即可.【解答】解：連接CM,M、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，.NM二*CB,MNBC，又CD-BD，.MN=CD，又MNBC,.四邊形DCMN是平行四邊形，.DN=CM，VZACB=90，M是AB的中點(diǎn),.CM=*AB=3，.DN=3，變式訓(xùn)練4：（2

10、016青海西寧2分）如圖，0P平分ZA0B,ZA0P=15,PC0A,PD丄0A于點(diǎn)D,PC=4，則PD=.類型五：相似三角形問(wèn)題例題5：（2016陜西）某市為了打造森林城市，樹(shù)立城市新地標(biāo)，實(shí)現(xiàn)綠色、共享發(fā)展理念，在城南建起了“望月閣”及環(huán)閣公園小亮、小芳等同學(xué)想用一些測(cè)量工具和所學(xué)的幾何知識(shí)測(cè)量“望月閣”的高度，來(lái)檢驗(yàn)自己掌握知識(shí)和運(yùn)用知識(shí)的能力他們經(jīng)過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，觀測(cè)點(diǎn)與“望月閣”底部間的距離不易測(cè)得，因此經(jīng)過(guò)研究需要兩次測(cè)量，于是他們首先用平面鏡進(jìn)行測(cè)量.方法如下：如圖，小芳在小亮和“望月閣”之間的直線BM上平放一平面鏡，在鏡面上做了一個(gè)標(biāo)記，這個(gè)標(biāo)記在直線BM上的對(duì)應(yīng)位置為點(diǎn)C,鏡子不

11、動(dòng)，小亮看著鏡面上的標(biāo)記，他來(lái)回走動(dòng)，走到點(diǎn)D時(shí)，看到“望月閣”頂端點(diǎn)A在鏡面中的像與鏡面上的標(biāo)記重合，這時(shí)，測(cè)得小亮眼睛與地面的高度ED=1.5米,CD=2米，然后，在陽(yáng)光下,他們用測(cè)影長(zhǎng)的方法進(jìn)行了第二次測(cè)量，方法如下：如圖，小亮從D點(diǎn)沿DM方向走了16米,到達(dá)“望月閣”影子的末端F點(diǎn)處，此時(shí)，測(cè)得小亮身高FG的影長(zhǎng)FH=2.5米,FG=1.65米.如圖，已知AB丄BM,ED丄BM,GF丄BM，其中，測(cè)量時(shí)所使用的平面鏡的厚度忽略不計(jì)，請(qǐng)你根據(jù)題中提供的相關(guān)信息，求出“望月閣”的高AB的長(zhǎng)度.【考點(diǎn)】相似三角形的應(yīng)用.【解析】根據(jù)鏡面反射原理結(jié)合相似三角形的判定方法得出厶ABCsEDC,A

12、BFsGFH，進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)得出AB的長(zhǎng).【解答】解：由題意可得：ZABC=ZEDC=ZGFH=90,ZACB=ZECD,ZAFB=ZGHF,故厶ABCseDC,AABFsAGFH,ABBCABEDC，GFAB_BC飛AB=BC+181.65=2.5解得：AB=99,答：“望月閣”的高AB的長(zhǎng)度為99m.變式訓(xùn)練5：(2016黑龍江齊齊哈爾8分)如圖，在ABC中，AD丄BC,BE丄AC,垂足分別為D,E,AD與BE相交于點(diǎn)F.求證：ACDsbfd；當(dāng)tanZABD=1,AC=3時(shí)，求BF的長(zhǎng).A類型六：解直角三角形問(wèn)題例題6：(2016山東省德州市4分)2016年2月1日，我國(guó)在西昌

13、衛(wèi)星發(fā)射中心，用長(zhǎng)征三號(hào)丙運(yùn)載火箭成功將第5顆新一代北斗星送入預(yù)定軌道，如圖，火箭從地面L處發(fā)射，當(dāng)火箭達(dá)到A點(diǎn)時(shí)，從位于地面R處雷達(dá)站測(cè)得AR的距離是6km，仰角為42.4；1秒后火箭到達(dá)B點(diǎn)，此時(shí)測(cè)得仰角為45.5求發(fā)射臺(tái)與雷達(dá)站之間的距離LR；求這枚火箭從A到B的平均速度是多少(結(jié)果精確到0.01)?(參考數(shù)據(jù)：son42.40.67,cos42.40.74,tan42.40.905,sin45.50.71,cos45.50.70,tan45.51.02)【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用【解析】(1)根據(jù)題意直接利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出LR=ARcosZARL求出答案即可;根據(jù)題意直接利用銳角三角

14、函數(shù)關(guān)系得出BL=LRtanZBRL,再利用AL=ARsinZARL,求出AB的值，進(jìn)而得出答案.【解答】解：(1)在RtAALR中，AR=6km,ZARL=42.4,由cosZARL二黑，得LR二ARcosZARL=6Xcos42.44.44(km).答：發(fā)射臺(tái)與雷達(dá)站之間的距離LR為4.44km；(2)在RtABLR中，LR=4.44km,ZBRL=45.5,由tanZBRL二畚，得BL=LRtanZBRL=4.44Xtan45.54.44X1.02=4.5288(km),又TsinZARL二魯，得AL二ARsinZARL=6Xsin42.44.02(km),AB=BL-AL=4.5288

15、-4.02=0.50880.51(km).答：這枚火箭從A到B的平均速度大約是0.51km/s.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確選擇銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵.變式訓(xùn)練6：(2016海南)如圖，在大樓AB的正前方有一斜坡CD,CD=4米，坡角ZDCE=30，小紅在斜坡下的點(diǎn)C處測(cè)得樓頂B的仰角為60,在斜坡上的點(diǎn)D處測(cè)得樓頂B的仰角為45,其中點(diǎn)A、C、E在同一直線上.求斜坡CD的高度DE；求大樓AB的高度(結(jié)果保留根號(hào))B【能力檢測(cè)】(2016貴州畢節(jié)3分)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的點(diǎn)是這個(gè)三角形的()A.三條高的交點(diǎn)B.三條角平分線的交點(diǎn)C.三條中線的交點(diǎn)D.三條邊的垂直

16、平分線的交點(diǎn)(2016廣西桂林8分)如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)0,E,F分別是0A,0C的中點(diǎn)，連接BE,DF(1)根據(jù)題意，補(bǔ)全原形；(2016湖北隨州10分)愛(ài)好思考的小茜在探究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系查閱資料時(shí),發(fā)現(xiàn)了“中垂三角形”，即兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”如圖(1)、圖(2)、圖(3)中，AM、BN是厶ABC的中線，AN丄BN于點(diǎn)卩，像厶ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”設(shè)BC=a，AC=b，AB=c【特例探究】如圖1,當(dāng)tanZPAB=1,c=4T時(shí)，a=4E，b二4_；如圖2,當(dāng)ZPAB=30,c=2時(shí)，a=污,b=；【歸納證明】請(qǐng)你觀察(1

17、)中的計(jì)算結(jié)果，猜想a2、b2、c2三者之間的關(guān)系，用等式表示出來(lái)，并利用圖3證明你的結(jié)論【拓展證明】（3）如圖4,ABCD中，E、F分別是AD、BC的三等分點(diǎn)，且AD=3AE,BC=3BF,連接AF、BE、CE,且BEICE于E,AF與BE相交點(diǎn)G,AD=3壬,AB=3，求AF的長(zhǎng).（2016湖北武漢10分）在厶ABC中，P為邊AB上一點(diǎn).如圖1,若ZACP=ZB，求證：AC2=APAB；若M為CP的中點(diǎn)，AC=2,如圖2,若ZPBM=ZACP,AB=3,求BP的長(zhǎng)；如圖3,若ZABC=45,ZA=ZBMP=60，直接寫(xiě)出BP的長(zhǎng).（2016山東省濟(jì)寧市3分）某地的一座人行天橋如圖所示,天橋

18、高為6米,坡面BC的坡度為1：1,為了方便行人推車過(guò)天橋,有關(guān)部門決定降低坡度,使新坡面的坡度為1：電（1）求新坡面的坡角a；（2）原天橋底部正前方8米處（PB的長(zhǎng)）的文化墻PM是否需要拆橋？請(qǐng)說(shuō)明理由.【參考答案】變式訓(xùn)練1：（2016湖北荊門3分）已知3是關(guān)于x的方程X2-（m+1）x+2m=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根，并且這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根恰好是等腰厶ABC的兩條邊的邊長(zhǎng)，則ABC的周長(zhǎng)為（）A.7B.10C.11D.10或11【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三邊關(guān)系；等腰三角形的性質(zhì).【解析】把x=3代入已知方程求得m的值；然后通過(guò)解方程求得該方程的兩根，即等腰ABC

19、的兩條邊長(zhǎng)，由三角形三邊關(guān)系和三角形的周長(zhǎng)公式進(jìn)行解答即可.【解答】解：把x=3代入方程得9-3（m+1）+2m=0，解得m=6，則原方程為x2-7x+12=0，解得x1=3，x2=4，因?yàn)檫@個(gè)方程的兩個(gè)根恰好是等腰ABC的兩條邊長(zhǎng)，當(dāng)ABC的腰為4,底邊為3時(shí)，則ABC的周長(zhǎng)為4+4+3=11；當(dāng)ABC的腰為3,底邊為4時(shí)，則ABC的周長(zhǎng)為3+3+4=10.綜上所述，該ABC的周長(zhǎng)為10或11.故選：D.變式訓(xùn)練2：（2016四川瀘州）如圖，C是線段AB的中點(diǎn),CD=BE,CDBE.求證：ZD=ZE.【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)【解析】由CDBE,可證得ZACD=ZB,然后由C是線段AB的

20、中點(diǎn)，CD=BE,利用SAS即可證得厶ACD9CBE,繼而證得結(jié)論.【解答】證明：TC是線段AB的中點(diǎn)，AC=CB,CDBE,ZACD=ZB,在ACD和CBE中,覚二CB乂ZACD=ZB,CD二BEACDCBECSAS),ZD=ZE.變式訓(xùn)練3：(2016黑龍江齊齊哈爾12分)如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)A(1,0)的兩條直線分別交y軸于B、C兩點(diǎn)，且B、C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別是一元二次方程x2-2x-3=0的兩個(gè)根求線段BC的長(zhǎng)度；試問(wèn)：直線AC與直線AB是否垂直？請(qǐng)說(shuō)明理由；若點(diǎn)D在直線AC上，且DB=DC,求點(diǎn)D的坐標(biāo)；在(3)的條件下，直線BD上是否存在點(diǎn)P,使以A、B、P三點(diǎn)為頂點(diǎn)

21、的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【考點(diǎn)】三角形綜合題【解析】(1)解出方程后，即可求出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出BC的長(zhǎng)度；由A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)可知0A2=0C0B,所以可證明AOCsBOA，利用對(duì)應(yīng)角相等即可求出ZCAB=90；容易求得直線AC的解析式，由DB=DC可知，點(diǎn)D在BC的垂直平分線上，所以D的縱坐標(biāo)為1，將其代入直線AC的解析式即可求出D的坐標(biāo)；A、B、P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，可分為以下三種情況:AB=AP；AB=BP；AP=BP；然后分別求出P的坐標(biāo)即可.【解答】(1)Tx2-2x-3=0,.x=3或x=-1，B(0,3)，C

22、(0，-1)，.BC=4，TA(-譏，0)，B(0，3)，C(0，-1)，.OA=迂，OB=3，OC=1，.OA2=OBOC，VZAOC=ZBOA=90，.AOCsABOA,AZCAO=ZABO，AZCAO+ZBAO=ZABO+ZBAO=90，.ZBAC=90,.AC丄AB；設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，把A(-運(yùn)，0)和C(0,-1)代入y=kx+b.解得：彳b=-1直線AC的解析式為：丫=-詐-1,DB=DC，點(diǎn)D在線段BC的垂直平分線上,D的縱坐標(biāo)為1,.把y=1代入y=-誓x-1,x二-2、兀,D的坐標(biāo)為(-2靈,1),設(shè)直線BD的解析式為：y=mx+n，直線BD與x軸交于點(diǎn)E,把

23、B(0,3)和D(-23，1)代入y=mx+n,r解得J3,n=3直線BD的解析式為：y=fx+3,令y=0代入y=x+3,x二-3丫3,E(-3仁,0),0E=3d，tanZBEC=|=子,ZBEO=30,同理可求得：ZAB0=30ZABE=30,當(dāng)PA=AB時(shí)，如圖1圖1 22 此時(shí)，ZBEA=ZABE=30,.EA=AB,P與E重合，P的坐標(biāo)為（-3二，0）,當(dāng)PA=PB時(shí)，如圖2，此時(shí)，ZPAB=ZPBA=30,VZABE=ZABO=30,ZPAB=ZABO，.PABC,.ZPA0=90,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-i運(yùn)，令x=-y?代入y=x+3,.y=2，P(-l運(yùn)，2),當(dāng)PB=AB時(shí)，如圖

24、3，由勾股定理可求得：AB=2運(yùn),EB=6,若點(diǎn)P在y軸左側(cè)時(shí)，記此時(shí)點(diǎn)P為P,過(guò)點(diǎn)P作PF丄x軸于點(diǎn)F,11PB=AB=2t,.EP=6-2込,阡1sinZBEO二1令y=3-TF代入罟+3，x=-3P(-3,3-迓),若點(diǎn)P在y軸的右側(cè)時(shí),記此時(shí)點(diǎn)P為P,過(guò)點(diǎn)P作PG丄x軸于點(diǎn)G,APB=AB=2：運(yùn),Z.EP=6+2,gp2AsinZBEO二.AGP=3+1運(yùn),令y=3+（F代入y=#U+3,Ax=3，AP（3,3+遷）,綜上所述，當(dāng)A、B、P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3.運(yùn),0）,（-、運(yùn),2）,（-3,3-迓）,（3,3+運(yùn)）.圖3圖2 變式訓(xùn)練4：（2016

25、青海西寧2分）如圖，0P平分ZA0B,ZA0P=15,PC0A,PD丄0A于點(diǎn)D,【解析】作PE丄0A于E,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得PE=PD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得ZACP=ZAOB=30,由直角三角形中30。的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，可求得PE,即可求得PD【解答】解：作PE丄0A于E,VZAOP=ZBOP,PD丄0B,PE丄0A,PE=PD（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等），VZB0P=ZA0P=15,.ZA0B=30,.PC0B,.ZACP=ZA0B=30,.在RtAPCE中，PE=*PC=*X4=2（在直角三角形中，30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的半），PD=PE=2，變式訓(xùn)練5：（

26、2016黑龍江齊齊哈爾8分）如圖，在ABC中，AD丄BC,BE丄AC，垂足分別為D,E，AD與BE相交于點(diǎn)F（1）求證：ACDsbfd；(2)當(dāng)tanZABD=l,AC=3時(shí)，求BF的長(zhǎng).考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)【解析】（1）由ZC+ZDBF=90,ZC+ZDAC=90，推出ZDBF=ZDAC，由此即可證明.（2）先證明AD=BD，由ACDsBFD,得普需=1,即可解決問(wèn)題.【解答】（1）證明：TAD丄BC,BE丄AC,.ZBDF=ZADC=ZBEC=90,AZC+ZDBF=90,ZC+ZDAC=90,.ZDBF=ZDAC,ACDsAbfd.(2)VtanZABD=1,ZADB=90需=1

27、.AD=BD,.acds&fd.區(qū)=AD=i麗頁(yè)變式訓(xùn)練6：（2016海南）如圖，在大樓AB的正前方有一斜坡CD,CD=4米，坡角ZDCE=30。，小紅在斜坡下的點(diǎn)C處測(cè)得樓頂B的仰角為60,在斜坡上的點(diǎn)D處測(cè)得樓頂B的仰角為45,其中點(diǎn)A、C、E在同一直線上.（1）求斜坡CD的高度DE；（2）求大樓AB的高度（結(jié)果保留根號(hào)）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題；解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題【專題】應(yīng)用題；解直角三角形及其應(yīng)用【解析】(1)在直角三角形DCE中，利用銳角三角函數(shù)定義求出DE的長(zhǎng)即可；(2)過(guò)D作DF垂直于AB,交AB于點(diǎn)F,可得出三角形BDF為等腰直角三角形，設(shè)BF=D

28、F=x,表示出BC,BD,DC,由題意得到三角形BCD為直角三角形，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程,求出方程的解得到x的值，即可確定出AB的長(zhǎng).【解答】解：(1)在RtADCE中，DC=4米，ZDCE=30,ZDEC=90,DE=2DC=2米；(2)過(guò)D作DF丄AB,交AB于點(diǎn)F,VZBFD=90,ZBDF=45,ZBFD=45，即BFD為等腰直角三角形，設(shè)BF=DF=x米,四邊形DEAF為矩形，.AF=DE=2米，即AB=(x+2)米,在RtAABC中，ZABC=30,x+2ABV52x+4価(&+4).BC=g=米，BD=JbF=；x米，DC=4米，VZDCE=30,ZACB=60,.ZDC

29、B=90,在RtABCD中，根據(jù)勾股定理得：2x2=3+16,解得：x=4+：二或x=4-：二， 可. 則AB=(6+丫E)米或(6-1迂)米.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解直角三角形-仰角俯角問(wèn)題，坡度坡角問(wèn)題，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵【能力檢測(cè)】(2016貴州畢節(jié)3分)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的點(diǎn)是這個(gè)三角形的()A.三條高的交點(diǎn)B.三條角平分線的交點(diǎn)C.三條中線的交點(diǎn)D.三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)【解析】根據(jù)線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等解答即可【解答】解：到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的點(diǎn)是這個(gè)三角形的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，

30、故選：D.(2016廣西桂林8分)如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,E,F分別是OA,OC的中點(diǎn)，連接BE,DF(1)根據(jù)題意，補(bǔ)全原形；考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).解析】(1)如圖所示；(2)由全等三角形的判定定理SAS證得BE09ADF0,得出全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即解答】(1)解：如圖所示：(2)證明：四邊形ABCD是平行四邊形，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)0,.0B=0D,0A=0C.又TE,F分別是0A、0C的中點(diǎn),.OE=*OA,OF=*OC,.OE=OF.OE=OF在BE0與4DF0中，ZB0E=ZD0F,OB=OD.BE09ADF0(SAS),

31、.BE=DF.nc(2016湖北隨州10分)愛(ài)好思考的小茜在探究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系查閱資料時(shí),發(fā)現(xiàn)了“中垂三角形”，即兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”.如圖(1)、圖(2)、圖(3)中，AM、BN是厶ABC的中線，AN丄BN于點(diǎn)卩，像厶ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”.設(shè)BC=a，AC=b，AB=c.【特例探究】如圖1,當(dāng)tanZPAB=l,c=4T時(shí)，a=4，b二4_；如圖2,當(dāng)ZPAB=30,c=2時(shí)，a=廳,b=壬；【歸納證明】請(qǐng)你觀察(1)中的計(jì)算結(jié)果，猜想a2、b2、c2三者之間的關(guān)系，用等式表示出來(lái),并利用圖3證明你的結(jié)論.【拓展證明】如圖4,ABCD中，E、F分別是

32、AD、BC的三等分點(diǎn)，且AD=3AE,BC=3BF,連接AF、BE、CE,且BEICE于E,AF與BE相交點(diǎn)G,AD=3運(yùn),AB=3，求AF的長(zhǎng).【考點(diǎn)】四邊形綜合題【解析】(1)首先證明APB,APEF都是等腰直角三角形，求出PA、PB、PE、PF,再利用勾股定理即可解決問(wèn)題連接EF,在RTAPAB,RTAPEF中，利用30性質(zhì)求出PA、PB、PE、PF，再利用勾股定理即可解決問(wèn)題結(jié)論a2+b2=5c2.設(shè)MP=x,NP=y，則AP=2x,BP=2y,利用勾股定理分別求出a2、b2、C2即可解決問(wèn)題.取AB中點(diǎn)H,連接FH并且延長(zhǎng)交DA的延長(zhǎng)線于P點(diǎn)，首先證明厶ABF是中垂三角形,利用(2)

33、中結(jié)論列出方程即可解決問(wèn)題【解答】(1)解：如圖1中，TCE=AE,CF=BF,.EFAB,EF=*AB=2iM,*.*tanZPAB=l,.ZPAB=ZPBA=ZPEF=ZPFE=45,.PF=PE=2,PB=PA=4,.AE=BF=梓+2=2左.b=AC=2AE=4運(yùn)，a=BC=4】t.故答案為4.運(yùn),4運(yùn).如圖2中，連接EF,VCE=AE,CF=BF,.EFAB,EF=*AB=1,VZPAB=30,.PB=1,PA=.運(yùn),在RTEFP中，.ZEFP=ZPAB=30,bfpbSp喬=.a二BC=2BF=T7,b二AC=2AE=T1E,故答案分別為訐，壬2）結(jié)論a2+b2=5c2證明：如圖3中，連接EF.EFAB,EF=*AB,.FPEsAPB,.巫衛(wèi)=2.AP=西=反設(shè)FP=x,EP=y,則AP=2x,BP=2y,.a2=BC2=4BF2=4（FP2+BP2）=4x2+16y2,b2=AC2=4AE2=4（PE2+AP2）=4y2+16x2,c2=AB2=AP2+BP2=4x2+4y2，.a2+b2=20 x2+20y2=5（4x2+4y2）=5c2.（3）解：如圖4中，在AGE和厶FGB中，Vage=ZfgbZaeg=Zfbg,AE=BF.AGE9AFGB,BG=FG，取AB中點(diǎn)H,連