常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)概念及其性質(zhì)

1、第十三章無窮級(jí)數(shù)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)無窮級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)表示函數(shù)研究性質(zhì)數(shù)值計(jì)算無窮級(jí)數(shù)是研究函數(shù)的工具一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念二、無窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)三、級(jí)數(shù)收斂的必要條件第一節(jié)第十三章常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念引例1.近圓面積.邊形,設(shè) a0用圓內(nèi)接正多邊形面積依次作圓內(nèi)接正內(nèi)接正三角形面積,增加時(shí)增加的面積,表示ak 表示邊數(shù)則圓內(nèi)接正近于圓的面積 A .這個(gè)和即引例2. 小球從 1 米高處落下, 每次跳起的高度減少一半, 問小球是否會(huì)在某時(shí)刻停止運(yùn)動(dòng)? 說理.由落體運(yùn)動(dòng)方程知設(shè) tk表示第 k 次小球的時(shí)間, 則小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為( s )定義：給定一個(gè)數(shù)列將各項(xiàng)依次相加, 簡(jiǎn)記為即叫做級(jí)

2、數(shù)的一般項(xiàng),稱上式為無窮級(jí)數(shù)，其中第 n 項(xiàng)級(jí)數(shù)的前 n 項(xiàng)和稱為級(jí)數(shù)的部分和.收斂 , 并稱 S 為級(jí)數(shù)的和,則稱無窮級(jí)數(shù)記作則稱無窮級(jí)數(shù)發(fā)散 .當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí), 稱差值為級(jí)數(shù)的余項(xiàng).顯然此時(shí)(又稱幾何級(jí)數(shù))例1.等比級(jí)數(shù)( q 稱為公比 ) 的斂散性.q ,1則部分和解: 1) 若 1 時(shí)，由于lim qn 0,當(dāng) q從而n其和為因此級(jí)數(shù)收斂 ,由于 im qn 當(dāng) q時(shí)從而n因此級(jí)數(shù)發(fā)散 .,1則時(shí)q2). 若當(dāng)q 當(dāng)q 因此級(jí)數(shù)發(fā)散 ;時(shí)級(jí)數(shù)成為n 為奇數(shù)n 為偶數(shù)因此從而不存在 , 因此級(jí)數(shù)發(fā)散.綜合 1)、2)可知,時(shí), 等比級(jí)數(shù)收斂 ;時(shí), 等比級(jí)數(shù)發(fā)散 .例2. 判別下列級(jí)數(shù)的斂

3、散性:解: (1)技巧:利用 “拆項(xiàng)相消” 求和所以級(jí)數(shù) (1) 發(fā)散 ;1n的斂散性 .思考：n1(2)所以級(jí)數(shù) (2) 收斂, 其和為 1 .技巧:利用 “拆項(xiàng)相消” 求和1n 判別級(jí)數(shù) n2例3.解:的斂散性 .2nn2 11n lnn2n2n1 nSn2kk 2(ln(kn1) ln k) (ln k ln(k )k 2 ln 2 ln(n 1lnlim Sn n, 故原級(jí)數(shù)收斂 , 其和為n二、無窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1. 若級(jí)數(shù)收斂于 S , 即則各項(xiàng)也收斂 , 其和為 c S .乘以常數(shù) c 所得級(jí)數(shù)證: 令則收斂 , 其和為 c S .這說明說明: 級(jí)數(shù)各項(xiàng)乘以非零常數(shù)后其斂散性

4、不變 .性質(zhì)2.設(shè)有兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)也收斂, 其和為則級(jí)數(shù)證:則令也收斂, 其和為這說明級(jí)數(shù)說明:(1)性質(zhì)2 表明兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)相加或減 .(2) 若兩級(jí)數(shù)中一個(gè)收斂一個(gè)發(fā)散 , 則必發(fā)散 .(用反證法可證)但若二級(jí)數(shù)都發(fā)散 ,不一定發(fā)散.例如,性質(zhì)3.在級(jí)數(shù)前面加上或去掉或改變有限項(xiàng), 不會(huì)改變級(jí)數(shù)的斂散性.的前 k 項(xiàng)去掉,證: 將級(jí)數(shù)所得新級(jí)數(shù)的部分和為極限狀況相同, 故新舊兩級(jí)數(shù)斂散性相同.當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí), 其和的關(guān)系為類似可證前面加上或改變有限項(xiàng)的情況 .性質(zhì)4.收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí)數(shù)的和.證: 設(shè)收斂級(jí)數(shù)若按某一規(guī)律加括弧, 例如則新級(jí)數(shù)的部分和序列為原級(jí)數(shù)部分和

5、因此必有用反證法可證的一個(gè)子序列,序列推論: 若加括弧后的級(jí)數(shù)發(fā)散, 則原級(jí)數(shù)必發(fā)散.注意: 收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂.例如，但發(fā)散.例4.判斷級(jí)數(shù)的斂散性:解: 考慮加括號(hào)后的級(jí)數(shù)發(fā)散 , 從而原級(jí)數(shù)發(fā)散 .三、級(jí)數(shù)收斂的必要條件設(shè)收斂級(jí)數(shù)則必有證:可見:若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于0 , 則級(jí)數(shù)必發(fā)散 .例如,其一般項(xiàng)為不趨于0, 因此這個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散.并非級(jí)數(shù)收斂的充分條件.注意:例如, 調(diào)和級(jí)數(shù)但此級(jí)數(shù)發(fā)散 .雖然事實(shí)上 , 假設(shè)調(diào)和級(jí)數(shù)收斂于 S , 則但!所以假設(shè)不真 .思考與練習(xí) .1將3.217表示成分?jǐn)?shù).3171717解：3.217 2 n103103101010 17 2 nn1 11701 2 11