初三數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)歸納整理 2

1、名 師 歸 納 總 結(jié) | | 大 肚 有 容 , 容 學(xué) 習(xí) 困 難 之 事 , 學(xué) 業(yè) 有 成 , 更 上 一 層 樓 北師大版中學(xué)數(shù)學(xué)定理學(xué)問點(diǎn)匯總 九年級(jí) 上冊(cè) 第一章證明 二 等腰三角形的“ 三線合一”：頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合； 等邊三角形是特殊的等腰三角形,作一條等邊三角形的三線合一線,將等邊三角形分 成兩個(gè)全等的直角三角形,其中一個(gè)銳角等于30o,這它所對(duì)的直角邊必定等于斜邊的一半； 有一個(gè)角等于 60o的等腰三角形是等邊三角形； 假如知道一個(gè)三角形為直角三角形第一要想的定理有：勾股定理：a2b2c2（留意區(qū)分斜邊與直角邊）在直角三角形中,如有一個(gè)內(nèi)角等于3

2、0o,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半在直角三角形中,斜邊上的中線等于斜邊的一半（此定理將在第三章顯現(xiàn)） 垂直平分線是垂直于一條線段并且平分這條線段的直線；（留意著重號(hào)的意義） 線段垂直平分線上的點(diǎn)到這一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等； 線段垂直平分線逆定理：到一條線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線 上； 三角形的三邊的垂直平分線交于一點(diǎn),并且這個(gè)點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等；C （如圖1所示, AO=BO=COA A D F O O C B 圖 1 B 圖 2 E 角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等；第 1 頁,共 32 頁 角平分線逆定理：在角內(nèi)部的,假如一點(diǎn)到角兩邊的距離相等,就它在該角的平

3、分線 上；角平分線是到角的兩邊距離相等的全部點(diǎn)的集合；名 師 歸 納 總 結(jié) | | 大 肚 有 容 , 容 學(xué) 習(xí) 困 難 之 事 , 學(xué) 業(yè) 有 成 , 更 上 一 層 樓 三角形三條角平分線交于一點(diǎn),并且交點(diǎn)到三邊距離相等,交點(diǎn)即為三角形的內(nèi)心； 如圖 2 所示, OD=OE=OF 其次章一元二次方程 只含有一個(gè)未知數(shù)的整式方程,且都可以化為ax2bxc0（a、b、c 為常數(shù), a 0）的形式,這樣的方程叫一元二次方程； 把a(bǔ)x2bxc0（a、b、c 為常數(shù), a 0）稱為一元二次方程的一般形式,a 為二次項(xiàng)系數(shù)； b 為一次項(xiàng)系數(shù)； c 為常數(shù)項(xiàng)； 解一元二次方程的方法：配方法 公式法

4、xb2 b4 ac（留意在找 abc 時(shí)須先把方程化為一般形式）2 a分解因式法把方程的一邊變成0,另一邊變成兩個(gè)一次因式的乘積來求解；（主要包括“ 提公因式” 和“ 十字相乘”） 配方法解一元二次方程的基本步驟：把方程化成一元二次方程的一般形式；將二次項(xiàng)系數(shù)化成 1；把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方；把方程轉(zhuǎn)化成xm 20的形式；兩邊開方求其根； 根與系數(shù)的關(guān)系：當(dāng) b 2-4ac0 時(shí),方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；當(dāng) b 2-4ac=0 時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng) b 2-4ac0 時(shí),方程無實(shí)數(shù)根；如 果 一 元 二 次 方 程ax2bxc0的 兩 根 分 別 為x

5、1 、 x2 , 就 有 ：x 1x 2bx 1x2c；aa第 2 頁,共 32 頁 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的作用：（1）已知方程的一根,求另一根；（2）不解方程,求二次方程的根x1、x2 的對(duì)稱式的值,特殊留意以下公式：名 師 歸 納 總 結(jié) | | 大 肚 有 容 , 容 學(xué) 習(xí) 困 難 之 事 , 學(xué) 業(yè) 有 成 , 更 上 一 層 樓 x 1 2x 2 2x 1x 222 x 1x211x 1xx 2x 1x2x 12x 1x 22x 1x 224 x 1x 2|x 1x2|x1x224x 1x2|x 1|x 2|2x 1x222 x 1x22|x 1x2|3 x 13 x 2x

6、 1x 2 33 x 1x 2x 1x 2其他能用x 1x 2或x 1x2表達(dá)的代數(shù)式；（3）已知方程的兩根 x1、x2,可以構(gòu)造一元二次方程：2 xx 1x 2xx 1x 20（4）已知兩數(shù)x1、 x2 的和與積,求此兩數(shù)的問題,可以轉(zhuǎn)化為求一元二次方程x2x 1x 2xx 1x20的根 在利用方程來解應(yīng)用題時(shí),主要分為兩個(gè)步驟：設(shè)未知數(shù)（在設(shè)未知數(shù)時(shí),大多數(shù)情形只要設(shè)問題為x；但也有時(shí)也須依據(jù)已知條件及等量關(guān)系等諸多方面考慮）；尋找等量關(guān)系（一般地,題目中會(huì)含有一表述等量關(guān)系的句子,只須找到此句話即可根 據(jù)其列出方程）； 處理問題的過程可以進(jìn)一步概括為：?jiǎn)栴}分析方程求解解答抽象檢驗(yàn)第三章證

7、明（三） 平行四邊的定義：兩線對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形,平行四邊形不相鄰的 兩頂點(diǎn)連成的線段叫做它的對(duì)角線； 平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊相等, 對(duì)角相等 , 對(duì)角線相互平分； 平行四邊形的判別方法：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩條對(duì)角線相互平分的四邊形是平行四邊形；第 3 頁,共 32 頁 平行線之間的距離：如兩條直線相互平行,就其中一條直線上任意兩點(diǎn)到另一條直線 的距離相等；這個(gè)距離稱為平行線之間的距離；菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形；名 師 歸 納 總 結(jié) | | 大 肚

8、 有 容 , 容 學(xué) 習(xí) 困 難 之 事 , 學(xué) 業(yè) 有 成 , 更 上 一 層 樓 菱形的性質(zhì)：具有平行四邊形的性質(zhì), 且四條邊都相等 , 兩條對(duì)角線相互垂直平分 , 每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；菱形是軸對(duì)稱圖形,每條對(duì)角線所在的直線都是對(duì)稱軸； 菱形的判別方法：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；對(duì)角線相互垂直的平行四邊形是菱形；四條邊都相等的四邊形是菱形； 矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫矩形；矩形是特殊的平行四邊形； 矩形的性質(zhì)：具有平行四邊形的性質(zhì),且對(duì)角線相等,四個(gè)角都是直角；（矩形是軸對(duì)稱圖形,有兩條對(duì)稱軸） 矩形的判定：有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形叫矩形 依據(jù)定義 ；對(duì)角線相

9、等的平行四邊形是矩形；四個(gè)角都相等的四邊形是矩形； 推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；正方形的定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形； 正方形的性質(zhì)：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)；（正方形是軸對(duì)稱圖 形,有兩條對(duì)稱軸） 正方形常用的判定：有一個(gè)內(nèi)角是直角的菱形是正方形；鄰邊相等的矩形是正方形；對(duì)角線相等的菱形是正方形；對(duì)角線相互垂直的矩形是正方形；正方形、矩形、菱形和平行邊形四者之間的關(guān)系 如圖 3 所示 ： 梯形定義：一組對(duì)邊平行且另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯形； 兩條腰相等的梯形叫做等腰梯形；一組鄰邊相等菱形一個(gè)內(nèi)角為直角正方形 一條腰和底垂直的梯形叫做直角梯形；（或

10、對(duì)角線相等）一組鄰邊相等且一個(gè)內(nèi)角為直角平行四邊形（或?qū)蔷€相互垂直平分）一內(nèi)角為直角矩形一鄰邊相等或?qū)蔷€垂直鵬翔教圖 3 第 4 頁,共 32 頁 等腰梯形的性質(zhì)：等腰梯形同一底上的兩個(gè)內(nèi)角相等,對(duì)角線相等；同一底上的兩個(gè)內(nèi)角相等的梯形是等腰梯形；名 師 歸 納 總 結(jié) | | 大 肚 有 容 , 容 學(xué) 習(xí) 困 難 之 事 , 學(xué) 業(yè) 有 成 , 更 上 一 層 樓 三角形的中位線平行于第三邊,并且等于第三邊的一半； 夾在兩條平行線間的平行線段相等； 在直角三角形中,斜邊上的中線等于斜邊的一半第四章視圖與投影 三視圖包括：主視圖、俯視圖和左視圖；三視圖之間要保持長(zhǎng)對(duì)正,高平齊,寬相等；一

11、般地,俯視圖要畫在主視圖的下方,左視圖要畫在正視圖的右邊；主視圖：基本可認(rèn)為從物體正面視得的圖象 俯視圖：基本可認(rèn)為從物體上面視得的圖象 左視圖：基本可認(rèn)為從物體左面視得的圖象 視圖中每一個(gè)閉合的線框都表示物體上一個(gè)表面 平面或曲面 ,而相連的兩個(gè)閉合線框肯定不在一個(gè)平面上； 在一個(gè)外形線框內(nèi)所包括的各個(gè)小線框,肯定是平面體（或曲面體）上凸出或凹的各個(gè)小的平面體（或曲面體） ； 在畫視圖時(shí),看得見的部分的輪廓線通常畫成實(shí)線,看不見的部分輪廓線通常畫成虛 線；物體在光線的照耀下,會(huì)在地面或墻壁上留下它的影子,這就是投影；太陽光線可以看成平行的光線,像這樣的光線所形成的投影稱為平行投影；探照燈、手

12、電筒、路燈的光線可以看成是從一點(diǎn)動(dòng)身的,像這樣的光線所形成的投影稱 為中心投影； 區(qū)分平行投影和中心投影：觀看光源；觀看影子；眼睛的位置稱為視點(diǎn)；由視點(diǎn)發(fā)出的線稱為視線；眼睛看不到的地方稱為盲區(qū)； 從正面、上面、側(cè)面看到的圖形就是常見的正投影,是當(dāng)光線與投影垂直時(shí)的投影；點(diǎn)在一個(gè)平面上的投影仍是一個(gè)點(diǎn)；線段在一個(gè)面上的投影可分為三種情形：線段垂直于投影面時(shí),投影為一點(diǎn)；線段平行于投影面時(shí),投影長(zhǎng)度等于線段的實(shí)際長(zhǎng)度；第 5 頁,共 32 頁線段傾斜于投影面時(shí),投影長(zhǎng)度小于線段的實(shí)際長(zhǎng)度；平面圖形在某一平面上的投影可分為三種情形：平面圖形和投影面平行的情形下,其投影為實(shí)際外形；名 師 歸 納 總

13、 結(jié) | | 大 肚 有 容 , 容 學(xué) 習(xí) 困 難 之 事 , 學(xué) 業(yè) 有 成 , 更 上 一 層 樓 平面圖形和投影面垂直的情形下,其投影為一線段；平面圖形和投影面傾斜的情形下,其投影小于實(shí)際的外形；第五章反比例函數(shù) 反比例函數(shù)的概念：一般地,yk（k 為常數(shù), k 0）叫做反比例函數(shù),即y 是 x 的x反比例函數(shù)；（x 為自變量, y 為因變量,其中 x 不能為零） 反比例函數(shù)的等價(jià)形式： y 是 x 的反比例函數(shù)ykk0ykx1 k0 xxykk0 變量 y 與 x 成反比例,比例系數(shù)為k. 判定兩個(gè)變量是否是反比例函數(shù)關(guān)系有兩種方法：依據(jù)反比例函數(shù)的定義判定；看兩個(gè)變量的乘積是否為定

14、值；（通常其次種方法更適用） 反比例函數(shù)的圖象由兩條曲線組成,叫做雙曲線 反比例函數(shù)的畫法的留意事項(xiàng)：反比例函數(shù)的圖象不是直線,所“ 兩點(diǎn)法” 是不能 畫的；選取的點(diǎn)越多畫的圖越精確；畫圖留意其美觀性（對(duì)稱性、延長(zhǎng)特點(diǎn)）； 反比例函數(shù)性質(zhì)：y 隨 x 的增大而減 當(dāng) k0 時(shí),雙曲線的兩支分別位于一、三象限；在每個(gè)象限內(nèi),?。划?dāng) k0）或向左（ h0）或向下（ k0,就當(dāng) xb 2時(shí), y 隨 x 的增大而增大；如 a0,就當(dāng) xb 2時(shí), y 隨 x 的增大而減小；最值：如 a0,就當(dāng) x=b時(shí),y最小4 aca2 b；如 a0 拋物線與 x 軸有 2 個(gè)交點(diǎn)；b24 ac=0 拋物線與 x

15、 軸有 1 個(gè)交點(diǎn)；b24 ac0 拋物線與 x 軸有 0 個(gè)交點(diǎn)（無交點(diǎn)）； 當(dāng)b24ac0 時(shí),設(shè)拋物線與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A、B,就這兩個(gè)點(diǎn)之間的距離：|AB|x1x2|x2x 12x 1x224x 1x2化簡(jiǎn)后即為：|AB|2 ba4ac b24 ac0 - 這就是拋物線與 x 軸的兩交點(diǎn)之|間的距離公式；第三章 圓一. 車輪為什么做成圓形 1. 圓的定義：描述性定義：在一個(gè)平面內(nèi),線段 OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn) O旋轉(zhuǎn)一周,另一個(gè)端點(diǎn)A 隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圓形叫做圓；固定的端點(diǎn) O叫做圓心；線段 OA叫做半徑；以點(diǎn) O為圓心的圓,記作 O,讀作“ 圓 O”第 11 頁,共 32 頁集合

16、性定義：圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合；其中定點(diǎn)叫做圓心,定 長(zhǎng)叫做圓的半徑,圓心定圓的位置,半徑定圓的大小,圓心和半徑確 定的圓叫做定圓；對(duì)圓的定義的懂得：圓是一條封閉曲線,不是圓面；名 師 歸 納 總 結(jié) | | 大 肚 有 容 , 容 學(xué) 習(xí) 困 難 之 事 , 學(xué) 業(yè) 有 成 , 更 上 一 層 樓 圓由兩個(gè)條件唯獨(dú)確定： 一是圓心（即定點(diǎn)） ,二是半徑（即 定長(zhǎng)）； 2. 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系及其數(shù)量特點(diǎn)：假如圓的半徑為 r ,點(diǎn)到圓心的距離為d,就點(diǎn)在圓上 d=r; 點(diǎn)在圓內(nèi) dr; 點(diǎn)在圓外 dr. 其中點(diǎn)在圓上的數(shù)量特點(diǎn)是重點(diǎn),它可用來證明如干個(gè)點(diǎn)共圓,方法就是證明這幾個(gè)點(diǎn)

17、與一個(gè)定點(diǎn)、的距離相等；二. 圓的對(duì)稱性 : 1. 與圓相關(guān)的概念：弦和直徑：弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦；直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑；弧、半圓、優(yōu)弧、劣?。夯。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧,簡(jiǎn)稱弧,用符號(hào)“ ” 表示,以CD 為端點(diǎn)的弧記為“”,讀作“ 圓弧 CD” 或“ 弧 CD”；半圓：直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧,每一條弧叫做半圓；優(yōu)弧：大于半圓的弧叫做優(yōu)?。涣踊。盒∮诎雸A的弧叫做劣弧； 為了區(qū)分優(yōu)弧和劣弧,優(yōu)弧用三個(gè)字母表示； 弓形：弦及所對(duì)的弧組成的圖形叫做弓形；同心圓：圓心相同,半徑不等的兩個(gè)圓叫做同心圓；等圓：能夠完全重合的兩個(gè)圓叫做等圓,半徑相等的兩個(gè)圓是等圓；等弧：在同圓

18、或等圓中,能夠相互重合的弧叫做等弧；. 圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角 弦心距 : 從圓心到弦的距離叫做弦心距 . 2. 圓是軸對(duì)稱圖形,直徑所在的直線是它的對(duì)稱軸,圓有許多條對(duì)稱軸； 3. 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧；推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧；說明：依據(jù)垂徑定理與推論可知對(duì)于一個(gè)圓和一條直線來說,假如具備：過圓心；垂直于弦；平分弦；平分弦所對(duì)的優(yōu)?。黄椒窒宜鶎?duì)的 劣?。簧鲜鑫鍌€(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可推出其他三個(gè)結(jié)論； 4. 定理：在同圓或等圓中 , 相等的圓心角所對(duì)的弧相等、所對(duì)的弦相等、所對(duì)的弦心 距相等；推論 :

19、在同圓或等圓中 , 假如兩個(gè)圓心角、 兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一 組量相等 , 那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等 . 三. 圓周角和圓心角的關(guān)系 : 第 12 頁,共 32 頁 1. 1 的弧的概念 : 把頂點(diǎn)在圓心的周角等分成360 份時(shí) , 每一份的角都是1 的圓心角, 相應(yīng)的整個(gè)圓也被等分成360 份, 每一份同樣的弧叫1 弧. 2. 圓心角的度數(shù)和它所對(duì)的弧的度數(shù)相等. 這里指的是角度數(shù)與弧的度數(shù)相等, 而不是角與弧相等 . 即不能寫成 AOB= , 這名 師 歸 納 總 結(jié) | | 大 肚 有 容 , 容 學(xué) 習(xí) 困 難 之 事 , 學(xué) 業(yè) 有 成 , 更 上 一 層

20、樓 是錯(cuò)誤的 . 3. 圓周角的定義 : 頂點(diǎn)在圓上 , 并且兩邊都與圓相交的角, 叫做圓周角 . 4. 圓周角定理 : 一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半. 推論 1: 同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；反之,在同圓或等圓中,相等圓周角所對(duì)的 弧也相等； 推論 2: 半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角；90 的圓周角所對(duì)的弦是直徑； 四. 確定圓的條件 : 1. 懂得確定一個(gè)圓必需的具備兩個(gè)條件: 圓心和半徑 , 圓心打算圓的位置 , 半徑打算圓的大小 . 經(jīng)過一點(diǎn)可以作許多個(gè)圓 , 經(jīng)過兩點(diǎn)也可以作許多個(gè)圓, 其圓心在這個(gè)兩點(diǎn)線段的垂直平分線上 . 2. 經(jīng)過三點(diǎn)作圓要分兩種情形: 1 經(jīng)過同

21、始終線上的三點(diǎn)不能作圓. 2 經(jīng)過不在同始終線上的三點(diǎn), 能且僅能作一個(gè)圓 . 定理 : 不在同始終線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓. 3. 三角形的外接圓、三角形的外心、圓的內(nèi)接三角形的概念: 1三角形的外接圓和圓的內(nèi)接三角形: 經(jīng)過一個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做這個(gè)三角形的外接圓 , 這個(gè)三角形叫做圓的內(nèi)接三角形. 2 三角形的外心 : 三角形外接圓的圓心叫做這個(gè)三角形的外心. 3 三角形的外心的性質(zhì) : 三角形外心到三頂點(diǎn)的距離相等. 五. 直線與圓的位置關(guān)系 1. 直線和圓相交、相切相離的定義 : 1 相交: 直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí) , 叫做直線和圓相交 , 這時(shí)直線叫做圓的割線 . 2 相切: 直

22、線和圓有惟一公共點(diǎn)時(shí) , 叫做直線和圓相切 , 這時(shí)直線叫做圓的切線 , 惟一的 公共點(diǎn)做切點(diǎn) . 3 相離: 直線和圓沒有公共點(diǎn)時(shí) , 叫做直線和圓相離 . : 2. 直線與圓的位置關(guān)系的數(shù)量特點(diǎn) 設(shè) O的半徑為 r ,圓心 O到直線的距離為 d；dr 直線 L 和 O相交 . d=r 直線 L 和 O相切 . dr 直線 L 和 O相離 . 3. 切線的總判定定理 : 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這個(gè)條半徑的直線是圓的切線. 4. 切線的性質(zhì)定理 : 圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑 . 推論 1 經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn) . 推論 2 經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心 . 分析性質(zhì)

23、定理及兩個(gè)推論的條件和結(jié)論間的關(guān)系, 可得如下結(jié)論 : 假如一條直線具備以下三個(gè)條件中的任意兩個(gè) 垂直于切線 ; 過切點(diǎn) ; 過圓心 . , 就可推出第三個(gè) . 名 師 歸 納 總 結(jié) | | 大 肚 有 容 , 容 學(xué) 習(xí) 困 難 之 事 , 學(xué) 業(yè) 有 成 , 更 上 一 層 樓 5. 三角形的內(nèi)切圓、內(nèi)心、圓的外切三角形的概念. 和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓, 內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心, 這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形. 6. 三角形內(nèi)心的性質(zhì) : 1 三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等. 2 過三角形頂點(diǎn)和內(nèi)心的射線平分三角形的內(nèi)角. 由此性質(zhì)引出一條重要的幫助線: 連接內(nèi)心和

24、三角形的頂點(diǎn), 該線平分三角形的這個(gè)內(nèi)角. 六. 圓和圓的位置關(guān)系 . 1. 外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含 包括同心圓 這五種位置關(guān)系的定義 . 1 外離 : 兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn) , 并且每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí), 叫做這兩個(gè)圓外離. 2 外切 : 兩個(gè)圓有惟一的公共點(diǎn) , 并且除了這個(gè)公共點(diǎn)以外, 每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí) , 叫做這兩個(gè)圓外切 . 這個(gè)惟一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn). 3 相交 : 兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn) , 此時(shí)叫做這個(gè)兩個(gè)圓相交. 4 內(nèi)切 : 兩個(gè)圓有惟一的公共點(diǎn) , 并且除了這個(gè)公共點(diǎn)以外, 一個(gè)圓上的都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí) , 叫做這兩個(gè)圓內(nèi)切 . 這個(gè)惟一的公共點(diǎn)

25、叫做切點(diǎn). 5 內(nèi)含 : 兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn) , 并且一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí), 叫做這兩個(gè)圓內(nèi)含 . 兩圓同心是兩圓內(nèi)的一個(gè)特例. 2. 兩圓位置關(guān)系的性質(zhì)與判定: 1 兩圓外離 dR+r 2 兩圓外切 d=R+r 3 兩圓相交 R-rdR+r R r 4 兩圓內(nèi)切 d=R-r Rr 5 兩圓內(nèi)含 dr 3. 相切兩圓的性質(zhì) : 假如兩個(gè)圓相切 , 那么切點(diǎn)肯定在連心線上 . 4. 相交兩圓的性質(zhì) : . 相交兩圓的連心線垂直平分公共弦 七. 弧長(zhǎng)及扇形的面積 1. 圓周長(zhǎng)公式 : 圓周長(zhǎng) C=2 R R 表示圓的半徑 2. 弧長(zhǎng)公式 : 弧長(zhǎng)lnR R 表示圓的半徑 , n 表示弧所

26、對(duì)的圓心角的度數(shù) . 180 3. 扇形定義 : 一條弧和經(jīng)過這條弧的端點(diǎn)的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形 4. 弓形定義 : 由弦及其所對(duì)的弧組成的圖形叫做弓形. . 弓形弧的中點(diǎn)到弦的距離叫做弓形高 5. 圓的面積公式 . 圓的面積SR2 R 表示圓的半徑 第 14 頁,共 32 頁 6. 扇形的面積公式 : 名 師 歸 納 總 結(jié) | | 大 肚 有 容 , 容 學(xué) 習(xí) 困 難 之 事 , 學(xué) 業(yè) 有 成 , 更 上 一 層 樓 扇形的面積S扇形nR2 R 表示圓的半徑 , n 表示弧所對(duì)的圓心角的度數(shù) 360 弓形的面積公式 : 如圖 5 ABOOAOBABCCC圖 5 1 當(dāng)弓形所含的

27、弧是劣弧時(shí) , S 弓形S 扇形S 三角形2 當(dāng)弓形所含的弧是優(yōu)弧時(shí) , S 弓形S 扇形S 三角形3 當(dāng)弓形所含的弧是半圓時(shí) , S 弓形1R2S 扇形2八. 圓錐的有關(guān)概念 : 1. 圓錐可以看作是一個(gè)直角三角形圍著直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的圖形, 另一條直角邊旋轉(zhuǎn)而成的面叫做圓錐的底面, 斜邊旋轉(zhuǎn)而成的面叫做圓錐的側(cè)面. 2. 圓錐的側(cè)面綻開圖與側(cè)面積運(yùn)算: 圓錐的側(cè)面綻開圖是一個(gè)扇形, 這個(gè)扇形的半徑是圓錐側(cè)面的母線長(zhǎng)、弧長(zhǎng)是圓錐底面圓的周長(zhǎng)、圓心是圓錐的頂點(diǎn). 假如設(shè)圓錐底面半徑為r, 側(cè)面母線長(zhǎng) 扇形半徑 是 l, 底面圓周長(zhǎng) 扇形弧長(zhǎng) 為 c,那么它的側(cè)面積是 : S 側(cè)1

28、cl12rlrl_B_A_P22S 表S 側(cè)S 底面rlr2rrl 九. 與圓有關(guān)的幫助線_O1. 如圓中有弦的條件 , 常作弦心距 , 或過弦的一端作半徑為幫助線. 2. 如圓中有直徑的條件 , 可作出直徑上的圓周角 . 3. 如一個(gè)圓有切線的條件 , 常作過切點(diǎn)的半徑 或直徑 為幫助線 . _圖 64. 如條件交代了某點(diǎn)是切點(diǎn)時(shí), 連結(jié)圓心和切點(diǎn)是最常用的幫助線. 十. 圓內(nèi)接四邊形如四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上, 這個(gè)四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形, 這個(gè)圓叫做這個(gè)四邊形的外接圓 . 圓內(nèi)接四邊形的特點(diǎn) : 圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ); . 圓內(nèi)接四邊形任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)錯(cuò)角 十一 . 北師版

29、數(shù)學(xué)未出理的有關(guān)圓的性質(zhì)定理 1. 切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線,它們的切線長(zhǎng)相等,圓心和這一點(diǎn)的連線第 15 頁,共 32 頁平分兩條切線的夾角；如圖 6, PA,PB分別切 O于 A、B 名 PA=PB,PO平分 APB _A_D2弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角；推論：假如兩個(gè)弦切角所夾的弧相等,那么這兩個(gè)弦切角也相等；_O如圖 7,CD切 O于 C,就, ACD=B _B師 歸 3 和圓有關(guān)的比例線段：納 總 相交弦定理：圓內(nèi)的兩條弦相交,被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等；_C結(jié) 推論：假如弦與直徑垂直相交, 那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中_圖 7| |

30、 項(xiàng)；大 肚 如圖 8,AP.PB=CP.PD 有 容 如圖 9,如 CDAB于 P,AB為O直徑,就 CP 2=AP.PB , 4切割線定理容 學(xué) 切割線定理,從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線,切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條習(xí) 困 線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)；難 之 推論：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線, 這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的事 積相等；, 學(xué) 如圖 10, PT切 O于 T,PA是割線,點(diǎn) A、B是它與 O的交點(diǎn),就 PT 2=PA.PB 業(yè) 有 PA、PC是O的兩條割線,就 PD.PC=PB.PA 成 , 5兩圓連心線的性質(zhì)更 假如兩圓相切,那么切點(diǎn)肯定在連心線上,或者說,連心線過切點(diǎn)；

31、上 一 假如兩圓相交,那么連心線垂直平分兩圓的公共弦；層 樓 如圖 11, O1 與O2 交于 A、B 兩點(diǎn),就連心線 O1O2AB且 AC=BC；6兩圓的公切線 兩圓的兩條外公切線的長(zhǎng)及兩條內(nèi)公切線的長(zhǎng)相等；如圖 12,AB分別切 O1 與 O2 于 A、B,連結(jié) O1A,O2B,過 O2作 O2CO1A 于 C,公切線長(zhǎng)為l ,兩圓的圓心距為d,半徑分別為R, r 就外公切線長(zhǎng)：Ld2Rr2如圖 13,AB分別切 O1 與O2于 A、B,O2C AB,O2CO1C于 C,O1半徑為 R,_A_CO2 半徑為 r ,就內(nèi)公切線長(zhǎng)：L_dd2Rr2_R_D_T_O_C_A_O_2_P_B_D_

32、P_B_B_O_D_A_O_P圖 8 _A_圖 9_R_C_A_B_O_2_O_1_圖 10_d_O_1_C_O_2_O_1_C_B_r_圖 12_A_r_B_圖 11_C _圖 13第 16 頁,共 32 頁名 師 歸 納 總 結(jié) | | 大 肚 有 容 , 容 學(xué) 習(xí) 困 難 之 事 , 學(xué) 業(yè) 有 成 , 更 上 一 層 樓 第四章統(tǒng)計(jì)與概率1. 試驗(yàn)頻率與理論概率的關(guān)系只是在試驗(yàn)次數(shù)許多時(shí), 試驗(yàn)頻率接近于理論概念, 但實(shí)驗(yàn)次數(shù)再多 , 也很難保證明驗(yàn)結(jié)果與理論值相等, 這就是“ 隨機(jī)大事” 的特點(diǎn). 三. 嬉戲公正嗎 . 1. 嬉戲的公正性是指嬉戲雙方各有50%贏的機(jī)會(huì) , 或者嬉戲

33、多方贏的機(jī)會(huì)相等. 2. 表示一個(gè)大事發(fā)生的可能性大小的數(shù)叫做該大事的概率. 一個(gè)大事發(fā)生的概率取值在0 與 1 之間 . 3. 概率的猜測(cè)的運(yùn)算方法 : 某大事 A 發(fā)生的概率 : P大事 A包含的基本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)基本領(lǐng)件的總數(shù)4. 用分析的方法求大事發(fā)生的概率要留意關(guān)鍵性的兩點(diǎn): 1 要弄清晰我們關(guān)注的是發(fā)生哪個(gè)或哪些結(jié)果; 2 要弄清晰全部機(jī)會(huì)均等的結(jié)果. （注： 表示重點(diǎn)部分； 表示明白部分； 表示僅供參閱部分；）第 17 頁,共 32 頁北師大版中學(xué)數(shù)學(xué)定理學(xué)問點(diǎn)匯總 九年級(jí) 下冊(cè) 第一章 直角三角形邊的關(guān)系 一. 正切：名 師 歸 納 總 結(jié) | | 大 肚 有 容 , 容 學(xué) 習(xí)

34、困 難 之 事 , 學(xué) 業(yè) 有 成 , 更 上 一 層 樓 定義：在Rt ABC中,銳角 A 的對(duì)邊與鄰邊的比叫做A 的正切,記作tanA,即tanAA的對(duì)邊; A的鄰邊tanA 是一個(gè)完整的符號(hào),它表示A 的正切,記號(hào)里習(xí)慣省去角的符號(hào)“ ” ；tanA 沒有單位,它表示一個(gè)比值,即直角三角形中A 的對(duì)邊與鄰邊的比；tanA 不表示“tan ” 乘以“A” ；中學(xué)階段,我們只學(xué)習(xí)直角三角形中,A是銳角的正切；tanA 的值越大,梯子越陡,A 越大； A越大,梯子越陡, tanA 的值越大； 二. 正弦：定義：在 Rt ABC中,銳角 A的對(duì)邊與斜邊的比叫做 A 的正弦,記作 sinA ,即s

35、inAA的對(duì)邊; 斜邊 三. 余弦：定義：在 Rt ABC中,銳角 A的鄰邊與斜邊的比叫做 A 的余弦,記作 cosA,即cosAA的鄰邊; 斜邊 余切：定義：在 Rt ABC中,銳角 A的鄰邊與對(duì)邊的比叫做 A 的余切,記作 cotA,即cotAA的鄰邊; A的對(duì)邊 一個(gè)銳角的正弦、余弦、正切、余切分別等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切；0o30 o45 o60 o90 osin 0 1231 222第 18 頁,共 32 頁名 師 歸 納 總 結(jié) | | 大 肚 有 容 , 容 學(xué) 習(xí) 困 難 之 事 , 學(xué) 業(yè) 有 成 , 更 上 一 層 樓 （通常我們稱正弦、余弦互為余函數(shù)；cos1

36、 3210 同樣,也稱正切、余切互為余函數(shù),222可以概括為：一個(gè)銳角的三角函數(shù)等tan 0 31 3于它的余角的余函數(shù)）用等式表達(dá)：3如 A為銳角,就sinAcos 90A；cot 31 30 3cosAsin90A tanAcot90A；cotAtan90A 當(dāng)從低處觀測(cè)高處的目標(biāo)時(shí),視線與水平線 所成的銳角稱為仰角 當(dāng)從高處觀測(cè)低處的目標(biāo)時(shí),視線與水平線所成 的銳角稱為俯角 利用特殊角的三角函數(shù)值表,可以看出,1 當(dāng)角度在 0 90 間變化時(shí),正弦值、正切值隨著角度的增大 或減小 而增大 或減小 ；余弦值、余切值隨著角度的增大 或減小 而減小 或增大 ；20 sin 1,0cos1； 同

37、角的三角函數(shù)間的關(guān)系：倒數(shù)關(guān)系： tg ctg =1；圖 1 在直角三角形中,除直角外,一共有五個(gè)元素,即三條邊和二個(gè)銳角；由直角三角形 中除直角外的已知元素,求出全部未知元素的過程,叫做解直角三角形； 在 ABC中, C為直角, A、 B、 C所對(duì)的邊分別為 a、b、c,就有 1 三邊之間的關(guān)系： a 2+b 2=c 2；2 兩銳角的關(guān)系： A B=90 ； 3 邊與角之間的關(guān)系：sinAa,cosAb,tanAa,cotAb;ccba第 19 頁,共 32 頁名 sinBb,cosBa,tanBb,cotBa;B l i=h:l A ccab4 面積公式 :S1ab1chchc 為 C邊上

38、的高 ; 225 直角三角形的內(nèi)切圓半徑rabc師 歸 2納 總 結(jié) 6 直角三角形的外接圓半徑R1c| 2| 大 肚 解直角三角形的幾種基本類型列表如下：有 容 解直角三角形的幾種基本類型列表如下：, 容 學(xué) 習(xí) h 困 難 之 事 , C 學(xué) 業(yè) 有 圖 2 成 , 更 上 一 層 樓 圖 3 圖 4 如圖 2,坡面與水平面的夾角叫做坡角 或叫做坡比 ；用字母 i 表示,即ihtanAl 從某點(diǎn)的指北方向按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角,叫做方位角；如圖 3,OA、OB、OC的方位角分別為 45 、135 、 225 ； 指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90 的水平角, 叫做方向角； 如

39、圖 4,OA、OB、OC、OD的方向角分別是；北偏東 30 ,南偏東 45 東南方向 、南偏西為 60 ,北偏西 60 ；第 20 頁,共 32 頁名 師 歸 納 總 結(jié) | | 大 肚 有 容 , 容 學(xué) 習(xí) 困 難 之 事 , 學(xué) 業(yè) 有 成 , 更 上 一 層 樓 其次章二次函數(shù) 二次函數(shù)的概念：形如yax2bxc a、 b、是常數(shù),a0 的函數(shù),叫做x 的二次函數(shù)；自變量的取值范疇是全體實(shí)數(shù)；yax 2 a0 是二次函數(shù)的特例, 此時(shí)常數(shù) b=c=0. 在寫二次函數(shù)的關(guān)系式時(shí),肯定要查找兩個(gè)變量之間的等量關(guān)系,列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān) 系式,并確定自變量的取值范疇； 二次函數(shù) yax 2的圖象

40、是一條頂點(diǎn)在原點(diǎn)關(guān)于y 軸對(duì)稱的曲線,這條曲線叫做拋物線；描述拋物線常從開口方向、對(duì)稱性、y 隨 x 的變化情形、拋物線的最高（或最低）點(diǎn)、拋物線與 x 軸的交點(diǎn)等方面來描述；函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)；拋物線的頂點(diǎn)在 0 ,0 ,對(duì)稱軸是 y 軸 或稱直線 x0 ；當(dāng) a0 時(shí),拋物線開口向上, 并且向上方無限舒展； 當(dāng) a0 時(shí),拋物線開口向下,并且向下方無限舒展；函數(shù)的增減性：A、當(dāng) a0 時(shí)x0 時(shí) ,y 隨x 增大而減小; B、當(dāng) a0 時(shí)x0 時(shí) ,y 隨x 增大而增大.x0 時(shí),y 隨x 增大而增大;x0 時(shí),y隨x 增大而減小.當(dāng) a越大,拋物線開口越?。划?dāng)a越小,拋物線的開口越大

41、；最大值或最小值：當(dāng) a0,且 x0 時(shí)函數(shù)有最小值,最小值是 0；當(dāng) a0,且 x0時(shí)函數(shù)有最大值,最大值是 0 二次函數(shù) y ax 2c 的圖象是一條頂點(diǎn)在 y 軸上且與 y 軸對(duì)稱的拋物線2 二次函數(shù) y ax 2 bx c 的圖象是以 x b 為對(duì)稱軸,頂點(diǎn)在（b,4 ac b）的2 a 2 a 4 a拋物線；（開口方向和大小由 a 來打算）第 21 頁,共 32 頁 |a| 的越大,拋物線的開口程度越小,越靠近對(duì)稱軸y 軸,y 隨 x 增長(zhǎng)（或下降）速度越快；|a| 的越小, 拋物線的開口程度越大, 越遠(yuǎn)離對(duì)稱軸 y 軸,y 隨 x 增長(zhǎng)（或下降）速度越慢；名 師 歸 納 總 結(jié) |

42、 | 大 肚 有 容 , 容 學(xué) 習(xí) 困 難 之 事 , 學(xué) 業(yè) 有 成 , 更 上 一 層 樓 二次函數(shù)y2 axc的圖象中, a 的符號(hào)打算拋物線的開口方向,|a| 打算拋物線的開口程度大小, c 打算拋物線的頂點(diǎn)位置,即拋物線位置的高低； 二次函數(shù)yax2bxc的圖象與 yax2的圖象的關(guān)系：yax2bxc的圖象可以由 yax 2的圖象平移得到,其步驟如下：將yax2bxc配方成yaxh 2k的形式；（其中h=b,k=4acab2）；2a4把拋物線y2 ax向右（ h0）或向左（ h0）或向下（ k0,就當(dāng) xb 2時(shí), y 隨 x 的增大而增大；如 a0,就當(dāng) xb 2時(shí), y 隨 x

43、 的增大而減??；最值：如 a0,就當(dāng) x=b時(shí),y最小4 acab2；如 a0 拋物線與 x 軸有 2 個(gè)交點(diǎn)；b 2 4 ac =0 拋物線與 x 軸有 1 個(gè)交點(diǎn)；b 2 4 ac 0 拋物線與 x 軸有 0 個(gè)交點(diǎn)（無交點(diǎn)）；2 當(dāng) b 4 ac 0 時(shí),設(shè)拋物線與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)為 A、B,就這兩個(gè)點(diǎn)之間的距離：2 2| AB | | x 1 x 2 | x 2 x 1 x 1 x 2 4 x 1 x 22化簡(jiǎn)后即為：| AB | b 4 ac b 24 ac 0 - 這就是拋物線與 x 軸的兩交點(diǎn)之| a |間的距離公式；第 23 頁,共 32 頁第三章 圓 一. 車輪為什么做成圓

44、形 1. 圓的定義：名 師 歸 納 總 結(jié) | | 大 肚 有 容 , 容 學(xué) 習(xí) 困 難 之 事 , 學(xué) 業(yè) 有 成 , 更 上 一 層 樓 描述性定義：在一個(gè)平面內(nèi),線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周,另一個(gè)端點(diǎn)A 隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圓形叫做圓；固定的端點(diǎn)O叫做圓心；線段 OA叫做半徑；以點(diǎn) O為圓心的圓,記作 O,讀作“ 圓 O”集合性定義：圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合；其中定點(diǎn)叫做圓心,定 長(zhǎng)叫做圓的半徑,圓心定圓的位置,半徑定圓的大小,圓心和半徑確 定的圓叫做定圓；對(duì)圓的定義的懂得：圓是一條封閉曲線,不是圓面；圓由兩個(gè)條件唯獨(dú)確定： 一是圓心（即定點(diǎn)） ,二是半徑（即 定長(zhǎng)

45、）； 2. 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系及其數(shù)量特點(diǎn)：假如圓的半徑為 r ,點(diǎn)到圓心的距離為d,就點(diǎn)在圓上 d=r; 點(diǎn)在圓內(nèi) dr; 點(diǎn)在圓外 dr. 其中點(diǎn)在圓上的數(shù)量特點(diǎn)是重點(diǎn),它可用來證明如干個(gè)點(diǎn)共圓,方法就是證明這幾 個(gè)點(diǎn)與一個(gè)定點(diǎn)、的距離相等；二. 圓的對(duì)稱性 : 1. 與圓相關(guān)的概念：弦和直徑：弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦；直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑；弧、半圓、優(yōu)弧、劣?。夯。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧,簡(jiǎn)稱弧,用符號(hào)“ ” 表示,以 CD 為端點(diǎn)的弧記為“”,讀作“ 圓弧 CD” 或“ 弧 CD”；半圓：直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧,每一條弧叫做半圓；優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)??；劣弧：

46、小于半圓的弧叫做劣弧； 為了區(qū)分優(yōu)弧和劣弧,優(yōu)弧用三個(gè)字母表示； 第 24 頁,共 32 頁弓形：弦及所對(duì)的弧組成的圖形叫做弓形；同心圓：圓心相同,半徑不等的兩個(gè)圓叫做同心圓；等圓：能夠完全重合的兩個(gè)圓叫做等圓,半徑相等的兩個(gè)圓是等圓；名 師 歸 納 總 結(jié) | | 大 肚 有 容 , 容 學(xué) 習(xí) 困 難 之 事 , 學(xué) 業(yè) 有 成 , 更 上 一 層 樓 等弧：在同圓或等圓中,能夠相互重合的弧叫做等?。粓A心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角. 弦心距 : 從圓心到弦的距離叫做弦心距. 2. 圓是軸對(duì)稱圖形,直徑所在的直線是它的對(duì)稱軸,圓有許多條對(duì)稱軸； 3. 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦,并

47、且平分弦所對(duì)的兩條?。煌普摚浩椒窒遥ú皇侵睆剑┑闹睆酱怪庇谙?并且平分弦所對(duì)的兩條?。徽f明：依據(jù)垂徑定理與推論可知對(duì)于一個(gè)圓和一條直線來說,假如具備：過圓心；垂直于弦；平分弦；平分弦所對(duì)的優(yōu)弧；平分弦所對(duì)的 劣弧；上述五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可推出其他三個(gè)結(jié)論； 4. 定理：在同圓或等圓中 , 相等的圓心角所對(duì)的弧相等、所對(duì)的弦相等、所對(duì)的弦心 距相等；推論 : 在同圓或等圓中 , 假如兩個(gè)圓心角、 兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等 , 那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等. 三. 圓周角和圓心角的關(guān)系 : 1. 1 的弧的概念 : 把頂點(diǎn)在圓心的周角等分成360 份時(shí) , 每一

48、份的角都是1 的圓心角, 相應(yīng)的整個(gè)圓也被等分成360 份, 每一份同樣的弧叫1 弧. 2. 圓心角的度數(shù)和它所對(duì)的弧的度數(shù)相等. 這里指的是角度數(shù)與弧的度數(shù)相等 是錯(cuò)誤的 . 3. 圓周角的定義 : , 而不是角與弧相等 . 即不能寫成 AOB= , 這頂點(diǎn)在圓上 , 并且兩邊都與圓相交的角 , 叫做圓周角 . 4. 圓周角定理 : 一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半 . 推論 1: 同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；反之,在同圓或等圓中,相等圓周角所對(duì)的弧也相等； 推論 2: 半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角； 四. 確定圓的條件 : 90 的圓周角所對(duì)的弦是直徑； 1. 懂得確定一個(gè)圓必需

49、的具備兩個(gè)條件 : 圓心和半徑 , 圓心打算圓的位置 , 半徑打算圓的大小 . 經(jīng)過一點(diǎn)可以作許多個(gè)圓 , 經(jīng)過兩點(diǎn)也可以作許多個(gè)圓, 其圓心在這個(gè)兩點(diǎn)線段的名 師 歸 納 總 結(jié) | | 大 肚 有 容 , 容 學(xué) 習(xí) 困 難 之 事 , 學(xué) 業(yè) 有 成 , 更 上 一 層 樓 垂直平分線上 . 2. 經(jīng)過三點(diǎn)作圓要分兩種情形: 1 經(jīng)過同始終線上的三點(diǎn)不能作圓. 2 經(jīng)過不在同始終線上的三點(diǎn), 能且僅能作一個(gè)圓 . 定理 : 不在同始終線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓. 3. 三角形的外接圓、三角形的外心、圓的內(nèi)接三角形的概念: 1三角形的外接圓和圓的內(nèi)接三角形: 經(jīng)過一個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做這個(gè)

50、三角形的外接圓 , 這個(gè)三角形叫做圓的內(nèi)接三角形. 2 三角形的外心 : 三角形外接圓的圓心叫做這個(gè)三角形的外心. 3 三角形的外心的性質(zhì) : 三角形外心到三頂點(diǎn)的距離相等. 五. 直線與圓的位置關(guān)系 1. 直線和圓相交、相切相離的定義: 1 相交: 直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí) , 叫做直線和圓相交 , 這時(shí)直線叫做圓的割線 . 2 相切: 直線和圓有惟一公共點(diǎn)時(shí) , 叫做直線和圓相切 , 這時(shí)直線叫做圓的切線 , 惟一的 公共點(diǎn)做切點(diǎn) . 3 相離: 直線和圓沒有公共點(diǎn)時(shí) , 叫做直線和圓相離 . 2. 直線與圓的位置關(guān)系的數(shù)量特點(diǎn) : 設(shè) O的半徑為 r ,圓心 O到直線的距離為 d；dr 直

51、線 L 和 O相交 . d=r 直線 L 和 O相切 . dr 直線 L 和 O相離 . 3. 切線的總判定定理 : 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這個(gè)條半徑的直線是圓的切線 . 4. 切線的性質(zhì)定理 : 圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑 . 推論 1 經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn) . 推論 2 經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心 . 第 26 頁,共 32 頁 分析性質(zhì)定理及兩個(gè)推論的條件和結(jié)論間的關(guān)系 假如一條直線具備以下三個(gè)條件中的任意兩個(gè) 垂直于切線 ; 過切點(diǎn) ; 過圓心 . , 可得如下結(jié)論 : , 就可推出第三個(gè) . 名 師 歸 納 總 結(jié) | | 大 肚 有 容 , 容 學(xué) 習(xí)

52、困 難 之 事 , 學(xué) 業(yè) 有 成 , 更 上 一 層 樓 5. 三角形的內(nèi)切圓、內(nèi)心、圓的外切三角形的概念. 和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓, 內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心, 這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形. 6. 三角形內(nèi)心的性質(zhì) : 1 三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等. 2 過三角形頂點(diǎn)和內(nèi)心的射線平分三角形的內(nèi)角. 由此性質(zhì)引出一條重要的幫助線: 連接內(nèi)心和三角形的頂點(diǎn), 該線平分三角形的這個(gè)內(nèi)角. 六. 圓和圓的位置關(guān)系 . 1. 外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含 包括同心圓 這五種位置關(guān)系的定義 . 1 外離 : 兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn) , 并且每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí), 叫做

53、這兩個(gè)圓外離. 2 外切 : 兩個(gè)圓有惟一的公共點(diǎn), 并且除了這個(gè)公共點(diǎn)以外, 每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí) , 叫做這兩個(gè)圓外切 . 這個(gè)惟一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn). 3 相交: 兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn) , 此時(shí)叫做這個(gè)兩個(gè)圓相交. 4 內(nèi)切 : 兩個(gè)圓有惟一的公共點(diǎn), 并且除了這個(gè)公共點(diǎn)以外, 一個(gè)圓上的都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí) , 叫做這兩個(gè)圓內(nèi)切 . 這個(gè)惟一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn). 5 內(nèi)含: 兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn) , 并且一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí), 叫做這兩個(gè)圓內(nèi)含 . 兩圓同心是兩圓內(nèi)的一個(gè)特例. 2. 兩圓位置關(guān)系的性質(zhì)與判定: 1 兩圓外離 dR+r 2 兩圓外切 d=R+r 3 兩圓相

54、交 R-rdR+r R r 4 兩圓內(nèi)切 d=R-r Rr 5 兩圓內(nèi)含 dr 3. 相切兩圓的性質(zhì) : 假如兩個(gè)圓相切 , 那么切點(diǎn)肯定在連心線上 . 4. 相交兩圓的性質(zhì) : 第 27 頁,共 32 頁相交兩圓的連心線垂直平分公共弦 . 七. 弧長(zhǎng)及扇形的面積 1. 圓周長(zhǎng)公式 : 名 圓周長(zhǎng) C=2 R R 表示圓的半徑 師 歸 2. 弧長(zhǎng)公式 : 納 總 結(jié) 弧長(zhǎng)lnR R 表示圓的半徑 , n 表示弧所對(duì)的圓心角的度數(shù) | | 180大 肚 3. 扇形定義 : 有 容 , 一條弧和經(jīng)過這條弧的端點(diǎn)的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形. 容 學(xué) 習(xí) 4. 弓形定義 : 困 難 由弦及其所對(duì)的

55、弧組成的圖形叫做弓形. 之 事 , 弓形弧的中點(diǎn)到弦的距離叫做弓形高. 學(xué) 業(yè) 有 5. 圓的面積公式 . 成 , 圓的面積SR2 R 表示圓的半徑 更 上 一 層 6. 扇形的面積公式 : 樓 扇形的面積S扇形nR2 R 表示圓的半徑 , n 表示弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)360 弓形的面積公式 : 如圖 5 AS 弓形B2AOBOOABS 扇形S 三角形CCC1 當(dāng)弓形所含的弧是劣弧時(shí) , 2 當(dāng)弓形所含的弧是優(yōu)弧時(shí) , S 弓形S 扇形S 三角形3 當(dāng)弓形所含的弧是半圓時(shí) , 1 2RS 弓形S 扇形八. 圓錐的有關(guān)概念 : 1. 圓錐可以看作是一個(gè)直角三角形圍著直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的圖形. , 另一條直角邊旋轉(zhuǎn)而成的面叫做圓錐的底面, 斜邊旋轉(zhuǎn)而成的面叫做圓錐的側(cè)面第 28 頁,共 32 頁名 2. 圓錐的側(cè)面綻開圖與側(cè)面積運(yùn)算: _P圓錐的側(cè)面綻開圖是一個(gè)扇形, 這個(gè)扇形的半徑是圓錐側(cè)面的母線長(zhǎng)、弧長(zhǎng)是圓錐底面圓的周長(zhǎng)、圓心是圓錐的頂點(diǎn). 假如設(shè)圓錐底面半徑為r, 側(cè)面母線長(zhǎng) 扇形半徑 是 l, 底面圓周長(zhǎng) 扇形弧長(zhǎng) 為 c,師 那么它的側(cè)面積是 : 歸 納 S 側(cè)1cl12