數(shù)學(xué)習(xí)題立體幾何

1、數(shù)學(xué)習(xí)題優(yōu)選立體幾何（三）答案1.(1)證明：連接A1C1交B1D1于點(diǎn)OABCDA1B1C1D1是長方體AA1平面A1B1C1D1，A1C1是AC1在平面A1B1C1D1上的射影AB=BC，A1C1B1D1，依據(jù)三垂線定理得：AC1B1D1；AB平面BCC1B1，且BC1B1E，AC1B1EB1D1B1E=B1，AC1平面B1D1E1(2)解：在RTBB1C1中，tgBC1B1B1B3在RTEC1B1中，B1C12C1E=B1C1tgC1B1E=B1C1ctgBC1B1=224，VC1B1D1E=33VD1B1C1E=1SB1C1EC1D11(1B1C1C1E)C1D183329(3)解：連

2、接OE，B1C1E1D1C1E1，B1E=D1EO是B1D1中點(diǎn)，B1D1OE，C1OE是二面角EB1D1C1的平面角在RTOC1E中，tgC1OEC1E22OC13因此，二面角EB11C1的平面角為22，arctgD32.（1）證明：ABCA1B1C1是直三棱柱，CC1平面ABC，ACCC1.ACBC，AC平面B1BCC1.BC1AC.BC=CC1，四邊形B1BCC1是正方形，BC1B1C.BC1平面AB1C.（）解：設(shè)BC1B1C=O，作OPAB1于點(diǎn)P，連接BP.BOAC，且BOB1C，BO平面AB1C.OP是BP在平面AB1C上的射影.依據(jù)三垂線定理得，AB1BP.OPB是二面角BAB

3、1C的平面角.OPB1ACB1，OPOB1,OPOB1AC6a.ACAB1AB16在RtPOB中，tgOB3，二面角BAB1C的大小為60OPBOP（）解：B1C1平面ACC1A1，VAABCVBAAC1SAACB1C11a2a1a3.111131326證：（1）連接OE、AE依據(jù)已知有OE=AE1又D為OA的中心EKOA，且EDOAD同理連接CD、DB可證DEBC，且DEBCEDE是異面直線OA與BC的公垂線易求得OE3，在RtODE中，DEOE2OD2(3)2(1)222222（2）OABC是正四周體。二面角OABC與二面角OBCA的大小同樣。OEBCAEO為二面角OBCA的平面角AEBC

4、OED1AEOcosOED2362223cosAEOcos2OED2cos2OED12(6)211231AEOarccos34.（）證明：以C為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則A（12，0，2），E（0，2，1）.又（，），（，），DAB，可設(shè)（，），A200B020Dmn0則ED（m，2n，1）AD（m2，n，2）1AD（m2，n，0），AB（2，2，0）ADAB，（m2）2n0，mn22又ADE90，ADED0mn1.11由、，有mn1，即（，）D是AB的中點(diǎn).D110.ACCB，CDAB.由直三棱柱ABCA1B1C1知，平面ABC平面ABB1A1，CD平面ABC，平面ABC平面ABBAA

5、B，11CD平面ABBA.11（）解：分2分分2CD（1，1，0），CA1（2，0，2）.設(shè)平面DA1C的法向量為n1（x，y，z），則有n1CD0且n1CA0，1即xy0，xz0.2x2z0.令x1，可得yz1.可取n1（，）111.明顯CB平面A1CA，故可取平面A1CA的法向量n2（，）4分010.cosn，nn1n213.12|n1|n2|313二面角DACA的大小為arccos3.3分13解：（1）取BC、C1C的中點(diǎn)分別為H、N，連接HC1，連接FN，交HC1于點(diǎn)K，則點(diǎn)K為HC1的中點(diǎn)，因FN/HC，則HMCFMK，因H為BC中點(diǎn)13，HCHM12BC=AB=2，則KN=,FKF

6、KMK3,223212，在RtHCC，HC=HMHC，解得HC=5，CC=2.則HM=HC111115另解：取AC中點(diǎn)O，以O(shè)B為x軸，OC為y軸，按右手系建立空間坐標(biāo)系，設(shè)棱柱高為h，則C（0，1，0），F(xiàn)（3,0,h），D（23,1,0），22h31,h)，由CFDE，得CFDE31h2E（0，0，h），CF(3,1,),CE(,2220，222解得h=2.2）連CD，易得CD面AA1B1B，作DGAF，連CG，由三垂線定理得CGAF，因此CGD是二面角CAFB的平面角，又在RtAFB中，AD=1，BF=1，AF=5，從而DG=5DC，5,tanCGD=15DG故二面角CAFB大小為arc

7、tan15.（1）由題意，A1D平面ABC，A1DBC。又ACBC，BC平面A1ACC1II）過D作DHAB于H，又A1D平面ABC，ABA1HA1H是H1到AB的距離BA1AC1，BC平面A1ACC1，由三垂線定理逆定理，得A1CAC1A1ACC是菱形3a.AA=AC=a,AD=11123由RtADHRtABC，可得DH=2a在RtA1DH中，求得A1H=14a為所求距離。44III）過C作CMAA1于M，則正AA1C中，M為AA1中點(diǎn)BC平面A1ACC1，由三垂線定理，得AA1BM。BMC是二面角BAA1C的平面角。CM=3a，BC=a,tgBMC=6237（）證明：CD/C1B1，又BD

8、=BC=B1C1，四邊形BDB1C1是平行四邊形，BC1/DB1.又DB1平面AB1D，BC1平面AB1D，直線BC1/平面AB1D.（）解：過B作BEAD于E，連接EB1，B1B平面ABD，B1EAD，B1EB是二面角B1ADB的平面角，BD=BC=AB，E是AD的中點(diǎn)，BE13在RtBBE中，AC.122B1B3323.B1EB=60。即二面角B1ADB的大小為60tgB1BEBE32（）解法一：過A作AFBC于F，B1B平面ABC，平面ABC平面BB1C1C，AF平面3333,VC1ABB1VA1BB1C11SB1B1C1AFBBCC，且AF=1122311333)3327即三棱錐CAB

9、B的體積為27(.11322288解法二：在三棱柱ABCA1B1C1中，SABB1SAA1B1VC1ABB1VC1AA1B1VAA1B1C11AA11(4323327即三棱錐C1ABB1的體積為27SA1B1C1343)2.3888.解：（I）證明：取A1B1的中點(diǎn)F，連EF，C1F=又M為CC1中點(diǎn)EF四邊形EFC1M為平行四邊形=而EM平面A1B1C1D1，F(xiàn)C1E為A1B中點(diǎn)，EF1BB12C1MEMFC1平面A1B1C1D1EM平面A1B1C1D1（II）由（I）EM平面A1B1C1D1EM平面A1BMN平面A1BMN平面A1B1C1D1=A1NA1NEMFC1N為C1D1中點(diǎn)過B1作

10、B1HA1N于H，連BH，依據(jù)三垂線定理BHA1NBHB1即為二面角BA1NB1的平角設(shè)AA1=a，則AB=2a，A1B1C1D1為正方形4A1N=5a，又A1B1HNA1D12a2a4aB1H=55aBB1=a=5在RtBB1H，tanBHB1=4a,B1H45即二面角BA1NB1的正切值為54（B）（I）建立以以下圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2a，AA1=a（a0），則A1(2a，0，a)，B（2a，2a，0），C（0，2a，0），C1（0，2a，a）E為A1B的中點(diǎn)，M為CC1的中點(diǎn)E（2a，a，a），M（0，2a，a）22EM平面A1B1C1D1（II）設(shè)平面A1BM的法向量為n=（x，

11、y，z）又A1B=（0，2a，a）BM=（2a，0，a）2由nA1B，nBM，得2ayaz=0zx，42ax+azz=0y22取n=（a,a,a）42而平面A1B1C1D1的法向量n1=（0，0，1），設(shè)二面角為，則|cos|nn1|445|n|n1|又：二面角為銳二面角cos=，從而tan=212149（1）證明：底面ABCD是正方形BCDCSD底面ABCDDC是SC在平面ABCD上的射影由三垂線定理得BCSC（2）解：SD底面ABCD，且ABCD為正方形可以把四棱錐SABCD補(bǔ)形為長方體A1B1C1SABCD，如圖2面ASD與面BSC所成的二面角就是面ADSA1與面BCSA1所成的二面角，

12、SCBC，BC/A1SAA1SCSD為所求二面角的平面角SCA1S又SDSDCB在RtSCB中，由勾股定理得SC2在RtSDC中，由勾股定理得SD1CSD45即面ASD與面BSC所成的二面角為4553）解：SDAD1，SDA90SDA是等腰直角三角形又M是斜邊SA的中點(diǎn)DMSABABAAD，BASD，ADSDD面ASD，SA是SB在面ASD上的射影由三垂線定理得DMSB異面直線DM與SB所成的角為9010.如圖，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=1AB，點(diǎn)E、M分別為A1B、C1C的2中點(diǎn)，過點(diǎn)A1，B，M三點(diǎn)的平面A1BMN交C1D1于點(diǎn)N.（）求證：EM平面A1B1C1D1；（

13、）求二面角BA1NB1的正切值.（A）（）證明：取A1B1的中點(diǎn)F，連EF，C1FE為A1B中點(diǎn)EF12BB1又M為CC1中點(diǎn)EFC1M四邊形EFC1M為平行四邊形EMFC1而EM平面A1B1C1D1.FC1平面A1B1C1D1.EM平面A1B1C1D1（）由（）EM平面A1B1C1D1EM平面A1BMN平面A1BMN平面A1B1C1D1=A1NA1N/EM/FC1N為C1D1中點(diǎn)過B1作B1HA1N于H，連BH，依據(jù)三垂線定理BHA1NBHB1即為二面角BA1NB1的平面角設(shè)AA1=a，則AB=2a，A1B1C1D1為正方形A1H=5a2a2a4a又A1B1HNA1D1B1H=5a5BB1a

14、5BA1NB1的正切值為5在RtBB1H中，tanBHB1=4a即二面角4B1H45（B）（）建立以以下圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2a，AA1=a(a0)，則A1（2a，0，a），B（2a,2a,0）,C（0，2a，0），C1（0，2a，a）E為A1B的中點(diǎn)，M為CC1的中點(diǎn)E（2a,a,a），M（0，2a,a）EM/A1B1C1D122（）設(shè)平面A1BM的法向量為n=（x,y,z）又A1B=（0，2a,a）BM(2a,0,a)由nA1B,nBM，得262ayaz0zxaz,4z2ax02y2aa,a)n(,42而平面A1B1C1D1的法向量為n1(0,0,1).設(shè)二面角為，則|cos|nn1

15、|4cos4又：二面角為銳二面角，|n|n1|2121從而tan54解：（）連接CB1交BC1于O，連接ODOD/AB1,OD在面DBC1內(nèi),AB1/平面DBC1（）ODBC1,又O為BC1中點(diǎn),DODC1,CC12過O作OMBC1交BC于H,則OH3HOD為所求.,233cos245BH,DH,222VEBDC11VA1BDC1BDC11VBA1DC1113262223612(1)證明取CD中點(diǎn)G，連AG、GF，則AGCD，GFDE，HABGF=1DE，DE面ACD，面ACD面CDE，2BAG面CDE，又AB面ACD，DE面ACD，A1CFEABDE，且AB=DE，ABGF，四邊形AGFB為

16、平行四邊形，D2CEBFAG，BF平面CDE.F1SCDEBF+GD(2)解連BD，則所求體積V=VBCDE+VBACD=1SACDAB=3.33解延長EB與DA交于H，連CH，則CH為所求二面角的棱又F為CE中點(diǎn)，HCBF，HC平面CD，ECD即為面BCE與面ACD所成二面角的平面角，且ECD=45.713.解：(1)連接AC，則ACBD，又AC是AC在平面ABCD內(nèi)1的射影A1CBD；又A1B1面B1C1CB，且1在平面ACB1C1CB內(nèi)的射影B1CBE，A1CBE，又BDBEBA1C面EBD簡單證明BF平面A1B1C，所求距離即為BF12/5同上BF平面A1B1C，而BF在平面BDE上，

17、平面A1B1C平面BDE(4)連接DF，A1D，EFB1C，EFA1C，EF面A1B1C，EDF即為ED與平面11所成的角6分由條件ABBC3，141BF12ABCBB5，可知，5B1F16，CF9，EFFCBF27，ECFCBB1955B1F20B1F4EDEC2CD215sinEDFEF94ED25ED與平面A1B1C所成角為arcsin925解：（1）在底面ABCD內(nèi)，過A作AECD，垂足為E，連接PEPHDAECPA平面ABCD，由三垂線定理知：PECDPEA是二面角PCDA的平面角在RtAED中，AD，ADEarcsin53a5AEADsinADE35a在RtPAE中，tanPEAP

18、A55AE3二面角PCDA的正切值為53II）在平面APB中，過A作AHPB，垂足為HPA平面ABCD，PABC又ABBC，BC平面PAB平面PBC平面PAB8AH平面PBC故AH的長即為點(diǎn)A到平面PBC的距離在等腰直角三角形PAB中，AH2a，因此點(diǎn)A到平面PBC的距離為2a2215.解法1：(1)延長B1E交BC于F,B1ECFEB,BE1211，從而為的中點(diǎn)22為的重心，、三點(diǎn)共線，且FGFE1，GEAB，又FAFB113GE側(cè)面AA1B1B，GE側(cè)面AA1B1B（）在側(cè)面AA1B1B內(nèi)，過B1作B1，垂足為，側(cè)面AA1B1B底面ABC，B1底面ABC又側(cè)棱AA1與底面ABC成600的角

19、，AA1=2，B1，B13在底面ABC內(nèi)，過作，垂足為，連B1由三垂線定理有B1，又平面B1GE與底面ABC的交線為，B1為所求二面角的平面角，sin3003，2在B中，BB1H23，11HT3從而平面B1GE與底面ABC所成銳二面角的大小為arctan233解法2：（）側(cè)面AA1B1B底面ABC，側(cè)棱AA1與底面ABC成600的角，A1AB，又AA1=2，取的中點(diǎn),則底面ABC以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O如圖，則（，），（，），（3，），（，3）（，3），（3，3）為的重心，（3，），BE1BC133（3，3）GE（，3）1AB1，又GE側(cè)面113333AABB，GE側(cè)面AA1B1B（）設(shè)

20、平面B1GE的法向量為（，），則由B1E及GE得323；3333可取（3，3）又底面ABC的法向量為（，），設(shè)平面B1GE與底面ABC所成銳二面角的大小為，則cosmn21|m|n|,7arccos21.7916.解：（）B1D平面ABC，AC平面ABC，BAB1DAC,又ACBC,BCB1D=DAC平C面BB1C1CB()AC平面BB1C1C，要使AB1BC1，由三垂線定理ADC可知，只須B1CBC1，平行四邊形BB1C1C為菱形，此時，BC=BB1B1DBC,要使D為BC中點(diǎn)，只須B1C=B1B，即BB1C為正三角形，B1BC=60B1D平面ABC，且D落在BC上，B1BC即為側(cè)棱與底面所

21、成的角故當(dāng)=60時，AB1BC1，且使D為BC中點(diǎn)（）過C1作C1EBC于E，則C1E平面ABC過E作EFAB于F，C1F，由三垂線定理，得C1FABC1FE是所求二面角C1ABC的平面角設(shè)AC=BC=AA1=a，在RtCC1E中，由C1BE=arccos1，C1E=22a33222在RtBEF中，EBF=45，EF=BE=aC1FE=45，23故所求的二面角C1ABC為45解法二：（1）同解法一（）要使AB1BC1，D是BC的中點(diǎn)，即AB1BC1=0，|BB1|=|B1C|，(ACCB1)BC10，|BC1|B1C|=0，|BB1|BC|BBBCB1C，故BB1C為正三角形，B1BC=60；

22、B1D平面ABC，且D落在BC上，B1BC即為側(cè)棱與底面所成的角，故當(dāng)=60時，AB1BC1，且D為BC中點(diǎn)（）以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，經(jīng)過C點(diǎn)且垂直于平面ABC的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（a，0，0），B（0，a，0），C（0，4a，22a），33平面ABC的法向量n1=（0，0，1），設(shè)平面ABC1的法向量n2=（x，y，z）由ABn2=0，及BC1n2=0，得10 xy=0，4y22z=0.2，2，1）n2=（2233cos1=2，故n1,n2所成的角為45，即所求的二面角為451212+2+117.長方體ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA12，E是側(cè)棱B

23、B1的中點(diǎn).1）求證：直線AE平面A1D1E；（本題15分）2）求三棱錐AA1D1E的體積；3）求二面角EAD1A1的平面角的大小.（1）依題意：AEA1E，AEA1D1，則AE平面A1D1E.（2）VAA1D1E1SA1D1EAE111221.3323（3）取AA1的中點(diǎn)O，連OE，則EOAA1、EOA1D1，因此EO平面ADD1A1.過O在平面ADD1A1中作OFAD1，交AD1于F，連EF，則AD1EF,因此EFO為二面角EAD1A1的平面角.在AFO中，OFOAsinOAFOAA1D155.tanEFO5.AD118.在正方體ABCDA1B1C1D1中，棱長AA12.(1)若E為棱CC

24、1的中點(diǎn)，求證：B1D1AE；(2)求二面角C-AE-B的平面角的正切值；(3)求點(diǎn)D1到平面EAB的距離。解：(1)略；（2）3;（3）25519.（）依題意知三棱柱ABCA1B1C1是正三棱柱，且側(cè)棱AA13，底面邊長為3，BP=1，CQ=2延長QP交BC延長線于點(diǎn)E，連AE在ACE中，AC3，CE2BC23，ACE=60，于是AE=3過C作CFAE于F，連QF則QFC為平面APQ與平面ABC所成的銳二面角CF3,于是tanQC223QFC33CF即：平面APQ與面ABC所成銳二面角的正切值為233（）連A1P，A1AP的面積為551120.解（1）由題意可知，不論P(yáng)點(diǎn)在棱CC1上的任何地

25、址，AP在底面ABCD內(nèi)射影都是AC，BDAC，BDAP.2）延長B1P和BC，設(shè)B1PBC=M，連接AM，則AM=平面AB1P平面ABCD.過B作BQAM于Q，連接B1Q，因?yàn)锽Q是B1；Q在底面ABCD內(nèi)的射影，因此B1QAM，故B1QB就是所求二面角的平面角，依題意，知CM=2B1C1，從而BM=3BC.因此AMAB2BM2BC29BC210BC.在RtABM中,BQABBMAMBC3BC3BC在RtB1BQ中，10BC10tanB1QBB1B2BC210，BQ3BC310tanB1QB210.31tan2B1QBcos21得B1QB1401.cosB1QB3為所求.9cos2B1QB7

26、（3）設(shè)CP=a，BC=m，則BB1=2m，C1P=2ma，從而B1P2m2(2ma)2,AB2m24m25m2,AC2m.1在RtACP中,cosAPCAC.在PAB1中,cosPAB1AP2AB12B1P2AP2APAB1依題意，得PACPAB1.ACAP2AB12B1P2AP2APAB1.AP2AB12B1P22ACAB1.即a22m252m2(2ma)222m5.mma101m101BB1.故P距C點(diǎn)的距離是側(cè)棱的101.244別解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)CPa,CC16,B1(0,3,6),C(3,3,0),P(3,3,a).AB1(0,3,6),AC(3,3,0),AP(3,

27、3,a).12cosAB1,AP96a32a18.62(3)232a25(18a2),cosAC,AP3218(18a2)依題意，得cosAB1,APcosAC,AP,即32a310,亦即a3(101)1016101CC1.244故P距C點(diǎn)的距離是側(cè)棱的101.43332點(diǎn)Q到平面A1AP的距離為2V133333A1APQVQA1AP224321(1)平面ABC平面BCD,BCD=900,CD平面ABC.AB平面ABC,CDAB.(2)過點(diǎn)C作CM平面ABC于M,連DM,由(1)知CD平面ABC,DMAB.CMD是二面角D-AB-C的平面角.設(shè),CD=1,由BCD=900,CBD=300,BC

28、=3,BD2.AABC是正三角形,CM=3BC3.MN22tanCMD=CD2BOCCM3.2故二面角D-AB-C的正切值為D.3(1)取三邊AB,AD,BC的中點(diǎn)M.N.O,連AO,NO,MN,OD.則OM平行且等于1AC,MN平行且等于12BD.直線OM和MN所成的銳角或直角就是直線AC和BD所成的角.2ABC是正三角形,且平面ABC平面BCD,AO平面BCD,AOD是直角三角形,ON=1AD,又CD平面ABC,AD=AC2CD23121MO33在OMN中,OM=,MN1,ON1,cosNMO22MN.4直線AC和BD所成角為arccos3.4135322.（1）略（2）arctan（3）

29、23323.（）證明：在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BB1BC1，E為D1C1的中點(diǎn)。DD1E為等腰直角三角形，D1ED45。同理C1EC45。DEC90，即DEEC。在長方體ABCD-A1B1C1D1中，BC平面D1DCC1，又DE平面D1DCC1，BCDE。又ECBCC，DE平面EBC。平面DEB過DE，平面DEB平面EBC。（）解：如圖，過E胡平面D1DCC1中作EODC于O。在長方體ABCD-A1B1C1D1中，面ABCD面D1DCC1，EO面ABCD。過O在平面DBC中作OFDB于F，連接EFEFBD。EFO為二面角E-DB-C的平面角。利用平幾知識可得OF1，OE

30、1，tgEFO5。5（）解：E在D1C1上，B在AB上，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB/D1C1，EB在平面ABC1D1內(nèi)。又DC/ABDC/平面ABC1D1。直線DC到平面ABC1D1的距離就等于異面直線DC和EB的距離。在長方體ABCD-A1B1C1D1中，平面ABC1D1平面BCC1B1，連接BC1，在平面BCC1中，過C作CHBC1。CH平面ABC1D1，CH為所求的距離。CHBCCC12BC1。21424.（）連接AC，AN.由BCAB，AB是PB在底面ABCD上的射影.則有BCPB.又BN是RtPBC斜邊PC的中線，即BN1PC.由PA底面ABCD，有PA2AC，則AN

31、是RtPAC斜邊PC的中線，即AN1PCANBN2MNAB又M是AB的中點(diǎn)，（也可由三垂線定理證明）（）由PA平面ABCD，ADDC，有PDDC.則PDA為平面PCD與平面ABCD所成二面角的平面角.由PA=a，設(shè)AD=BC=b，CD=AB=c，又由AB=PD=DC，N是PC中點(diǎn)，則有DNPC又平面MND平面PCD于ND，PC平面MNDPCMN，而N是PC中點(diǎn)，則必有PM=MC.a21c2b21c2.ab此時tgPDA1,PDA.444即二面角PCDA的大小為.（）VDAMNVNAMD，41連接BD交AC于O，連接NO，則NOPA.且NO平面AMD，由PA=a2解：（1）如圖O為底面ABCD的中心，則PAO為PA與底面所成的角PAO=60AO2PO6,PA22過O作OMBC于M，連PM由三垂線定理得BCPMPMO為側(cè)面與底面所成二面角平面角OM1,PO6，tanPMO6即側(cè)面與底面所成角為arctan615（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系則A