北師大數(shù)學(xué)九年級上學(xué)期期末備考壓軸題專項習(xí)題圖形相似

1、數(shù)學(xué)九年級（北師大版）上學(xué)期期末備考壓軸題專項習(xí)題：圖形的相似1如圖，在ABC中，ACB90，CDAB，（1）圖1中共有3對相似三角形，寫出來分別為ABCACD，ABCCBD，ACDCBD（不需證明）；2）已知AB10，AC8，請你求出CD的長；3）在（2）的狀況下，假如以AB為x軸，CD為y軸，點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)O，建立直角坐標(biāo)系（如圖2），若點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿線段CB運(yùn)動，點(diǎn)Q出B點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿線段BA運(yùn)動，此中一點(diǎn)最初到達(dá)線段的端點(diǎn)時，兩點(diǎn)立刻同時停止運(yùn)動；設(shè)運(yùn)動時間為t秒能否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)B、P、Q為極點(diǎn)的三角形與ABC相似？若存在，央求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

2、若不存在，請說明原由解：（1）圖1中共有3對相似三角形，分別為：ABCACD，ABCCBD，ACDCBD故答案為3，ABCACD，ABCCBD，ACDCBD；2）如圖1，在ABC中，ACB90，AB10，AC8，BC6ABC的面積ABCDACBC，?CD4.8；（3）存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)B、P、Q為極點(diǎn)的三角形與ABC相似，原由以下：1在BOC中，COB90，BC6，OC4.8，OB3.6分兩種狀況：當(dāng)BQP90時，如圖2，此時PQBACB，解得t2.25，即BQCP2.25，BPBCCP62.253.75在BPQ中，由勾股定理，得PQ3，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1.35，3）；當(dāng)BPQ90時，如圖2，此時

3、QPBACB，解得t3.75，即BQCP3.75，BPBCCP63.752.25過點(diǎn)P作PEx軸于點(diǎn)EQPBACB，即，PE1.8在BPE中，BE1.35，OEOBBE3.61.352.25，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2.25，1.8）綜上可得，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1.35，3）或（2.25，1.8）22如圖，在ABC中，BAC90，ABAC，點(diǎn)D、E分別在BC、AC上，且ADE451）求證：ABDDCE；2）若AB2，BD1，求CE的長解：（1）BAC90，ABAC，BC45，又由于DECADE+CAD45+CAD（三角形的外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角之和），同理ADBC+CAD45+CAD，DECADB，又AB

4、DDCE45，ABDDCE；2）AB2，BC2，ABDDCE，即，CE33一塊資料的形狀是銳角三角形ABC，邊BC120mm，高AD80mm，把它加工成正方形零件如圖，使正方形的一邊在BC上，其余兩個極點(diǎn)分別在AB，AC上1）求證：AEFABC；2）求這個正方形零件的邊長1）證明：四邊形EFHG是正方形，EFBC，AEFABC2）解：設(shè)這個正方形零件的邊長是xmm，EFBC，解得x48答：這個正方形零件的邊長是48mm44如圖，正方形ABCD，EAF45交BC、CD于E、F，交BD于H、G1）求證：AD2BG?DH；2）求證：CEDG；3）求證：EFHG證明：（1）四邊形ABCD為正方形ABD

5、ADB45，ABAD，EAF45BAG45+BAH，AHD45+BAH，BAGAHD，又ABDADB45，ABGHDA，BG?DHAB?ADAD2；2）如圖，連接AC，四邊形ABCD是正方形ACEADBCAD45，ACAD，EAF45，EAFCAD，EAFCAFCADCAF，EACGAD，EACGAD，5，CEDG；（3）由（2）得：EACGAD，同理得：AFCAHB，GAHEAF，GAHEAF，EFGH65如圖，在ABC中，C90，AC6cm，BC8cm，D、E分別是AC、AB的中點(diǎn)，連接DE點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿DE方向勻速運(yùn)動，速度為1cm/s；同時，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA方向勻速運(yùn)動，速度

6、為2cm/s，當(dāng)點(diǎn)P停止運(yùn)動時，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動連接PQ，設(shè)運(yùn)動時間為t（0t4）s解答以下問題：（1）當(dāng)t為什么值時，以點(diǎn)E、P、Q為極點(diǎn)的三角形與ADE相似？（2）當(dāng)t為什么值時，EPQ為等腰三角形？（直接寫出答案即可）解：（1）如圖1中，在RtABC中，AC6，BC8，AB10D、E分別是AC、AB的中點(diǎn)ADDC3，AEEB5，DEBC且DEBC4，PQAB時，PQBADE90，AEDPEQ，PQEADE，由題意得：PE4t，QE2t5，即，解得t；7如圖2中，當(dāng)PQDE時，PQEDAE，t，當(dāng)t為s或s時，以點(diǎn)E、P、Q為極點(diǎn)的三角形與ADE相似（2）如圖3中，當(dāng)點(diǎn)Q在線段BE上時，由E

7、PEQ，可得4t52t，t1如圖4中，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AE上時，由EQEP，可得4t2t5，解得t38如圖5中，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AE上時，由EQQP，可得（4t）：（2t5）4：5，解得t如圖6中，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AE上時，由PQEP，可得（2t5）：（4t）4：5，解得t綜上所述，t1或3或或秒時，PQE是等腰三角形6如圖1，正方形ABDE和BCFG的邊AB，BC在同一條直線上，且AB2BC，取EF的中點(diǎn)M，連接MD，MG，MB1）試證明DMMG，并求的值2）如圖2，將圖1中的正方形變成菱形，設(shè)EAB2（090），其余條件不變，問（1）中的值有變化嗎？如有變化，求出該值（用含的式子表示）；若無變化，說明

8、原由9（1）證明：如圖1中，延長DM交FG的延長線于H四邊形ABDE，四邊形BCFG都是正方形，DEACGF，EDMFHM，EMDFMH，EMFM，EDMFHM（AAS），DEFH，DMMH，DE2FG，BGDG，HGDG，DGHBGF90，MHDM，GMDM，DMMG，連接EB，BF，設(shè)BCa，則AB2a，BE2a，BFa，EBDDBF45，EBF90，EFa，EMMF，BMEFa，HMDM，GHFG，10MGDFa，（2）解：（1）中的值有變化原由：如圖2中，連接BE，AD交于點(diǎn)O，連接OG，CG，BF，CG交BF于ODOOA，DGGB，GOAB，OGAB，GFAC，O，G，F(xiàn)共線，F(xiàn)GA

9、B，OFABDF，GFAC，ACOF，DEOF，OD與EF相互均分，EMMF，點(diǎn)M在直線AD上，GDGBGOGF，四邊形OBFD是矩形，OBFODFBOD90，OMMD，OGGF，MGDF，設(shè)BCm，則AB2m，易知BE2OB2?2m?sin4msin，BF2BO2m?cos，DFOB2m?sin，11BMEF，GMDFmsin，?7問題1：如圖，在ABC中，AB4，D是AB上一點(diǎn)（不與A，B重合），DEBC，交AC于點(diǎn)E，連接CD設(shè)ABC的面積為S，DEC的面積為S（1）當(dāng)AD3時，；（2）設(shè)ADm，請你用含字母m的代數(shù)式表示問題2：如圖，在四邊形ABCD中，AB4，ADBC，ADBC，E是

10、AB上一點(diǎn)（不與A，B重合），EFBC，交CD于點(diǎn)F，連接CE設(shè)AEn，四邊形ABCD的面積為S，EFC的面積為S請你利用問題1的解法或結(jié)論，用含字母n的代數(shù)式表示解：問題1：1）AB4，AD3，BD431，DEBC，DEBC，ADEABC，12，即，故答案為：；2）解法一：AB4，ADm，BD4m，DEBC，DEBC，ADEABC，即；解法二：如圖1，過點(diǎn)B作BHAC于H，過D作DFAC于F，則DFBH，ADFABH，即；問題2：如圖2，解法一：如圖2，分別延長BA、CD交于點(diǎn)O，ADBC，OADOBC，13，OAAB4，OB8，AEn，OE4+n，EFBC，由問題1的解法可知：，即；解法二

11、：如圖3，連接AC交EF于M，ADBC，且ADBC，SADC，SADCS，SABC，由問題1的結(jié)論可知：，MFAD，CFMCDA，SCFMS，14SEFCSEMC+SCFM+S，8如圖，在平行四邊形ABCD中，CEAD于點(diǎn)E，且CBCE，點(diǎn)F為CD邊上的一點(diǎn)，CBCF，連接BF交CE于點(diǎn)G（1）若D60，CF2，求CG的長度；2）求證：ABED+CG15解：（1）四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，CEAD，CED90ECB，D60，DEC90，ECD30，BCF120，BCCF，GBC30，在RtBCG中，GCB90，tanGBC，GC2；2）延長EC到點(diǎn)H，使得DEHC，連接BH，在HB

12、C和DCE中，HBCDCE，13，BHCD，BCCF，25，GBH2+1，43+5，4GBH，BHGH，DCED+CG，DCAB，ABED+CG169如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AD，BC的中點(diǎn)，連接DF，過點(diǎn)E作EHDF，垂足為H，EH的延長線交DC于點(diǎn)G（1）猜想DG與CF的數(shù)目關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）過點(diǎn)H作MNCD，分別交AD，BC于點(diǎn)M，N，若正方形ABCD的邊長為10，點(diǎn)P是MN上一點(diǎn)，求PDC周長的最小值解：（1）結(jié)論：CF2DG原由：四邊形ABCD是正方形，ADBCCDAB，ADCC90，DEAE，ADCD2DE，EGDF，DHG90，CDF+DGE90，DG

13、E+DEG90，CDFDEG，DEGCDF，CF2DG172）作點(diǎn)C關(guān)于NM的對稱點(diǎn)K，連接DK交MN于點(diǎn)P，連接PC，此時PDC的周長最短周長的最小值CD+PD+PCCD+PD+PKCD+DK由題意：CDAD10，EDAE5，DG，EG，DH，EH2DH2，HM2，DMCNNK1，在RtDCK中，DK2，PCD的周長的最小值為10+210如圖，在矩形ABCD中，EH垂直均分BD，交BD于點(diǎn)M，過BD上一點(diǎn)F作FGBE，F(xiàn)G恰好均分EFD，F(xiàn)G與EH交于點(diǎn)N1）求證：DE?DGDF?BF；2）若AB3，AD9，求FN的長1）證明：如圖EH垂直均分BD，BEDE，12FG均分EFD，34FGBE

14、，1845，35，BEFDFG，BEDE，DE?DGDF?BF；2）解：設(shè)DEx，則BEx，AB3，AD9，AE9x在RtABE中，A90，AB2+AE2BE2，即32+（9x）2x2，解得x5在RtABD中，A90，AB3，AD9，BD3，BMDM由（1）得，F(xiàn)GBE，BEDE，BE2BF?DB，BF，F(xiàn)MBMBFFNBE，19MNFMEB，即，解得FN11一塊直角三角形木板，它的一條直角邊AB長1.5m，面積為1.5m2甲、乙兩位木匠分別按圖、把它加工成一個正方形桌面請說明哪個正方形面積較大（加工消耗不計）解：由AB1.5m，SABC1.5m2，可得BC2m，由圖，過點(diǎn)B作RtABC斜邊A

15、C上的高，BH交DE于P，交AC于H由AB1.5m，BC2m，得AC（m），由AC?BHAB?BC可得：BH1.2（m），設(shè)甲設(shè)計的桌面的邊長為xm，DEAC，RtBDERtBAC，即，解得（m），由圖，若設(shè)乙設(shè)計的正方形桌面邊長為ym，20由DEAB，得RtCDERtCBA，即，解得（m），xy，即x2y2，S正方形S正方形，第二個正方形面積大12已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，AC、DB交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在BC的延長線上，聯(lián)結(jié)EF、DF，且DEFADC（1）求證：；（2）假如BD22AD?DF，求證：平行四邊形ABCD是矩形解：（1）證明：平行四邊形ABCD，ADBC，ABDCBAD+AD

16、C180，又BEF+DEF180，BAD+ADCBEF+DEF，DEFADC，21BADBEF，ADBC，EBFADB，ADBEBF，；2）ADBEBF，在平行四邊形ABCD中，BEEDBD，AD?BFBD?BEBD2，BD22AD?BF，又BD22AD?DF，BFDF，DBF是等腰三角形，BEDE，F(xiàn)EBD，即DEF90，ADCDEF90，平行四邊形ABCD是矩形13如圖，在矩形ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)為BE上的一點(diǎn)，連接CF并延長交AB于點(diǎn)M（1）如圖1，當(dāng)M為AB的中點(diǎn)時，連接ME，求證：四邊形MBCE是矩形；（2）如圖2，MNCM交AD于點(diǎn)N，若2，求的值22證明：（1）在矩形A

17、BCD中，ABCD，ABCD，ABC90，M，E分別為AB，CD的中點(diǎn)，BMCE，BMCE，四邊形MBCE是平行四邊形，又ABC90，四邊形MBCE是矩形；（2）四邊形ABCD是矩形，ADBC，ABDC，AABCBCD90，ABDC，EC2BM，ABCD2CE4BM，AMABMB3BM，BC2BM，MNMC，CMNA90，AMN+BMC90，ANM+AMN90，BMCANM，AMNBCM，即，ANBM，NDADAN2BMBMBM，14如圖1，ABC中，點(diǎn)D在線段AB上，點(diǎn)E在線段CB延長線上，且BECD，EP23AC交直線CD于點(diǎn)P，交直線AB于點(diǎn)F，ADPACB1）圖1中能否存在與AC相等的

18、線段？若存在，請找出，并加以證明，若不存在，說明原由；（2）若將“點(diǎn)D在線段AB上，點(diǎn)E在線段CB延長線上”改為“點(diǎn)D在線段BA延長線上，點(diǎn)E在線段BC延長線上”，其余條件不變（如圖2）當(dāng)ABC90，BAC60，AB2時，求線段PE的長解：（1）ACBF證明以下：如圖1，ADPACD+A，ACBACD+BCD，ADPACB，BCDA，又CBDABC，CBDABC，F(xiàn)EAC，由可得，BECD，BFAC；2）如圖2，ABC90，BAC60，ACB30ADP，BCD60，ACD603030，PEAC，EACB30，CPEACD30，24CPCE，BECD，BCDP，ABC90，D30，BCCD，DP

19、CD，即P為CD的中點(diǎn)，又PFAC，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)P是ADC的中位線，F(xiàn)PAC，ABC90，ACB30，ABAC，F(xiàn)PAB2，DPCPBC，CPCE，BCCE，即C為BE的中點(diǎn)，又EFAC，A為FB的中點(diǎn)，AC是BEF的中位線，EF2AC4AB8，PEEFFP82615閱讀下邊資料：小昊遇到這樣一個問題：如圖1，在ABC中，BE是AC邊上的中線，點(diǎn)D在BC邊上，AD與BE訂交于點(diǎn)P，求的值25小昊發(fā)現(xiàn)，過點(diǎn)C作CFAD，交BE的延長線于點(diǎn)F，經(jīng)過構(gòu)造CEF，經(jīng)過推理和計算能夠使問題獲取解決（如圖2）請回答：的值為參照小昊思慮問題的方法，解決問題：（1）如圖3，在ABC中，點(diǎn)D在BC的延長線上，點(diǎn)E在AC上，且求的值；（2）如圖4，在ABC中