函數(shù)產(chǎn)生的社會背景

1、函數(shù)產(chǎn)生的社會背景正文：函數(shù)概念是全部數(shù)學概念中最重要的概念之一，縱觀300年來函數(shù)概念的發(fā)展，眾多數(shù)學家從集合、代數(shù)、直至對應、集合的角度不斷賦予函數(shù)概念以新的思想，從而推動了整個數(shù)學的發(fā)展。本文擬通過對函數(shù)概念的發(fā)展與比較的研究，對函數(shù)概念的教學進行一些探索。1、函數(shù)概念的縱向發(fā)展11早期函數(shù)概念幾何觀念下的函數(shù)十七世紀伽俐略（G.Galileo，意,15641642）在兩門新科學一書中，幾乎從頭到尾包含著函數(shù)或稱為變量的關系這一概念，用文字和比例的語言表達函數(shù)的關系。1673年前后笛卡爾（Descartes，法，15961650）在他的解析幾何中，已經(jīng)注意到了一個變量對于另一個變量的依賴

2、關系，但由于當時尚未意識到需要提煉一般的函數(shù)概念，因此直到17世紀后期牛頓、萊布尼茲建立微積分的時候，數(shù)學家還沒有明確函數(shù)的一般意義，絕大部分函數(shù)是被當作曲線來研究的。1.2十八世紀函數(shù)概念代數(shù)觀念下的函數(shù)1718年約翰貝努利（BernouIIiJohann,瑞，16671748）才在萊布尼茲函數(shù)概念的基礎上，對函數(shù)概念進行了明確定義：由任一變量和常數(shù)的任一形式所構成的量，貝努利把變量x和常量按任何方式構成的量叫“x的函數(shù)”表示為，其在函數(shù)概念中所說的任一形式，包括代數(shù)式子和超越式子。18世紀中葉歐拉（L.Euler，瑞，17071783）就給出了非常形象的，一直沿用至今的函數(shù)符號。歐拉給出的

3、定義是：一個變量的函數(shù)是由這個變量和一些數(shù)即常數(shù)以任何方式組成的解析表達式。他把約翰貝努利給出的函數(shù)定義稱為解析函數(shù)，并進一步把它區(qū)分為代數(shù)函數(shù)（只有自變量間的代數(shù)運算）和超越函數(shù)（三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及變量的無理數(shù)冪所表示的函數(shù)），還考慮了“隨意函數(shù)”（表示任意畫出曲線的函數(shù)），不難看出，歐拉給出的函數(shù)定義比約翰貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義。1.3十九世紀函數(shù)概念對應關系下的函數(shù)1822年傅里葉（Fourier，法,17681830）發(fā)現(xiàn)某些函數(shù)可用曲線表示，也可用一個式子表示，或用多個式子表示，從而結束了函數(shù)概念是否以唯一一個式子表示的爭論，把對函數(shù)的認識又推進了一個新的層次。182

4、3年柯西（Cauchy，法，17891857）從定義變量開始給出了函數(shù)的定義，同時指出，雖然無窮級數(shù)是規(guī)定函數(shù)的一種有效方法，但是對函數(shù)來說不一定要有解析表達式，不過他仍然認為函數(shù)關系可以用多個解析式來表示，這是一個很大的局限，突破這一局限的是杰出數(shù)學家狄利克雷。狄利克雷（Dirichlet，德，18051859）認為怎樣去建立x與y之間的關系無關緊要，他拓廣了函數(shù)概念，指出：“對于在某區(qū)間上的每一個確定的x值，y都有一個或多個確定的值，那么y叫做x的函數(shù)。狄利克雷的函數(shù)定義，出色地避免了以往函數(shù)定義中所有的關于依賴關系的描述，簡明精確，以完全清晰的方式為所有數(shù)學家無條件地接受。至此，我們已可

5、以說，函數(shù)概念、函數(shù)的本質定義已經(jīng)形成，這就是人們常說的經(jīng)典函數(shù)定義。等到康托爾（Cantor,德，18451918）創(chuàng)立的集合論在數(shù)學中占有重要地位之后，維布倫（Veblen，美，18801960）用“集合”和“對應”的概念給出了近代函數(shù)定義，通過集合概念，把函數(shù)的對應關系、定義域及值域進一步具體化了，且打破了“變量是數(shù)”的極限，變量可以是數(shù)，也可以是其它對象（點、線、面、體、向量、矩陣等）。14現(xiàn)代函數(shù)概念集合論下的函數(shù)1914年豪斯道夫（F.Hausdorff）在集合論綱要中用“序偶”來定義函數(shù)。其優(yōu)點是避開了意義不明確的“變量”、“對應”概念，其不足之處是又引入了不明確的概念“序偶”。

6、庫拉托夫斯基（Kuratowski）于1921年用集合概念來定義“序偶”，即序偶（a,b）為集合a，b，這樣，就使豪斯道夫的定義很嚴謹了。1930年新的現(xiàn)代函數(shù)定義為，若對集合M的任意元素x,總有集合N確定的元素y與之對應，則稱在集合M上定義一個函數(shù)，記為y=f（x）。元素x稱為自變元，元素y稱為因變元。函數(shù)概念的定義經(jīng)過三百多年的錘煉、變革，形成了函數(shù)的現(xiàn)代定義形式，但這并不意味著函數(shù)概念發(fā)展的歷史終結，20世紀40年代，物理學研究的需要發(fā)現(xiàn)了一種叫做Dirac函數(shù)，它只在一點處不為零，而它在全直線上的積分卻等于1,這在原來的函數(shù)和積分的定義下是不可思議的，但由于廣義函數(shù)概念的引入，把函數(shù)、

7、測度及以上所述的Dirac5函數(shù)等概念統(tǒng)一了起來。因此，隨著以數(shù)學為基礎的其他學科的發(fā)展，函數(shù)的概念還會繼續(xù)擴展。備注：約翰貝努利17251733年去俄國彼得堡科學院任教，后回國任巴塞爾大學教授.英國皇家學會會員.在代數(shù)學、概率論和微分方程等方面都有重要成果.在概率論中引入正態(tài)分布誤差理論，發(fā)表了第一個正態(tài)分布表.在研究弦振動問題時，首次利用三角級數(shù)求解偏微分方程.1738年導出理想流體定常運動方程，現(xiàn)被稱為“貝努里方程”.著有流體動力學等.由于在數(shù)學和物理學方面的杰出成就，曾十次獲得法蘭西科學院的嘉獎.傅立葉法國數(shù)學家、物理學家提出任一函數(shù)都可以展成三角函數(shù)的無窮級數(shù)。傅立葉級數(shù)（即三角級數(shù)）、傅立葉分析等理論均由此創(chuàng)始狄利克雷德國數(shù)學家。對數(shù)論、數(shù)學分析和數(shù)學物理有突出貢獻，是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一。1805年2月13日生于迪倫，1859年5月5日卒于格丁根豪斯多夫（Hausdorff,Felix，18681942）,德國數(shù)學家。1868年11月8日生于布列斯勞（今波蘭弗拉茨瓦夫），1942年1月26日卒于波恩