26.第二十六章經(jīng)濟(jì)與金融中的優(yōu)化問題

1、第二十六章 經(jīng)濟(jì)與金融中的優(yōu)化問題本章主要介紹用 LINGO例。求解經(jīng)濟(jì)、金融和市場(chǎng)方面的幾個(gè)優(yōu)化問題的案1經(jīng)濟(jì)均衡問題及其應(yīng)用在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，當(dāng)市場(chǎng)上某種產(chǎn)品的價(jià)格越高時(shí)，生產(chǎn)商越是愿意擴(kuò)大生產(chǎn)能力（供應(yīng)能力），提供的產(chǎn)品滿足市場(chǎng)需求；但市場(chǎng)價(jià)格太高時(shí)，消費(fèi)者的消費(fèi)（需求能力）會(huì)下降。反之，當(dāng)市場(chǎng)上某種商品的價(jià)格越低時(shí)，消費(fèi)者的消費(fèi)（需求能力）會(huì)上升，但生產(chǎn)商的供應(yīng)能力會(huì)下降。如果生產(chǎn)商的供應(yīng)能力和消費(fèi)者的需求能力長(zhǎng)期不匹配，就會(huì)導(dǎo)致經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定。在完全市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)的環(huán)境中，總是認(rèn)為經(jīng)濟(jì)活動(dòng)應(yīng)當(dāng)達(dá)到均衡（equilibrium），即生產(chǎn)和消費(fèi)（供應(yīng)能力和需求能力）達(dá)到平衡，不再發(fā)生變化，這時(shí)該商

2、品的價(jià)格就是市場(chǎng)的價(jià)格。下面考慮兩個(gè)簡(jiǎn)單的單一市場(chǎng)及雙邊市場(chǎng)的具體實(shí)例，并介紹經(jīng)濟(jì)均衡賣與投標(biāo)問題、交通流分配問題中的應(yīng)用案例。1.1單一生產(chǎn)商、單一消費(fèi)者的情形在拍例 1假設(shè)市場(chǎng)上只有一個(gè)生產(chǎn)商（記為甲）和一個(gè)消費(fèi)者（記為乙）。對(duì)某種商品，他們?cè)诓煌瑑r(jià)格下的供應(yīng)能力和需求能力如表 1 所示。舉例來說，表中數(shù)據(jù)的含義是：當(dāng)單價(jià)低于 2 萬元但大于或等于 1 萬元時(shí)，甲愿意生產(chǎn) 2t 產(chǎn)品，乙愿意8t 產(chǎn)品；當(dāng)單價(jià)等于或低于 9 萬元但大于 4.5 萬元時(shí)，乙愿意2t 產(chǎn)品，甲愿意生產(chǎn) 8t產(chǎn)品；依次類推。那么的市場(chǎng)價(jià)格應(yīng)該是多少？表 1 不同價(jià)格下的供應(yīng)能力和需求能力生產(chǎn)商（甲）消費(fèi)者（乙）單

3、價(jià)（萬元/t）供應(yīng)能力（t）單價(jià)（萬元/t）需求能力（t）1234246894.532.252468（1）問題分析仔細(xì)觀察一下表1 就可以看出來，這個(gè)具體問題的解是一目了然的：價(jià)格顯然應(yīng)該是 3 萬元/t，因?yàn)榇藭r(shí)供需平衡（都是 6t）。為了能夠處理一般情況，下面通過建立優(yōu)化模型來解決這個(gè)問題。這個(gè)問題給人的第一印象似乎沒有明確的目標(biāo)函數(shù)，不太像是一個(gè)優(yōu)化問題。不過，可以換一個(gè)角度來想問題：假設(shè)市場(chǎng)上還有一個(gè)虛擬的經(jīng)銷商，他是甲乙進(jìn)行交易的中介。那么，為了使自己獲得的利潤(rùn)最大，他將總是以可能的格從甲產(chǎn)品，再以可能的最高價(jià)格賣給乙，直到進(jìn)一步的交易無利可圖為止。例如，最開始的-348-2t 產(chǎn)品

4、他將會(huì)以 1 萬元的單價(jià)從甲，以 9 萬元的單價(jià)賣給乙；接下來的 2t 產(chǎn)品他會(huì)以 2 萬元的單價(jià)從甲，再以 4.5 萬元的單價(jià)賣給乙；再接下來的 2t 產(chǎn)品他只能以3 萬元的單價(jià)從甲，再以 3 萬元的單價(jià)賣給乙（其實(shí)這次交易他已經(jīng)只是保本，但仍然假設(shè)這筆交易會(huì)發(fā)生，例如他為了使自己的營(yíng)業(yè)額盡量大）；最后，如果他繼續(xù)甲的產(chǎn)品賣給乙，他一定會(huì)虧本，所以他肯定不會(huì)交易。因此，市場(chǎng)價(jià)格就是 3 萬元。根據(jù)這個(gè)想法，（2）模型建立就可以建立這個(gè)問題的線性規(guī)劃模型。決策變量：設(shè)甲以 1 萬元，2 萬元，3 萬元，4 萬元的單價(jià)售出的產(chǎn)品數(shù)量（：3, x4 ，乙以 9 萬元，4.5 萬元，3 萬元，2.2

5、5 萬元的單價(jià)t）分別是的產(chǎn)品數(shù)量（：t）分別是 y1 , y2 , y3 , y4 。目標(biāo)函數(shù)：就是虛擬經(jīng)銷商的總利潤(rùn)，即9 y1 4.5 y2 3y3 2.5 y4 約束條件：3 4x4（1）44 xii1 yii1（2）供需平衡供應(yīng)限制 xi 2 ，i 1,2,3,4（3）消費(fèi)限制yi 2 ，i 1,2,3,4（4）非負(fù)限制 xi , yi 0 ，i 1,2,3,4（3）模型求解式（1）（5）是一個(gè)線性規(guī)劃模型，可以用 LINGO 求解，對(duì)應(yīng)的 LINGO 程序如下：（5）m:sets: gx/1.4/:c1,c2,x,y; endsetsdata:c1=1 2 3 4; c2=9,4.

6、5,3,2.5;enddata max=sum(gx:c2*y-c1*x);sum(gx:x)=sum(gx:y);fx:bnd(0,x,2);bnd(0,y,2);-349-end求解這個(gè)模型，得到如下解答：Global optimal solution foundatiteration:5Objectivevalue:21.00000Reduced Cost 0.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.000000-2.000000-1.0000000.0000001.000000-6.000000-1.5000000

7、.0000000.5000000VariableValue 1.0000002.0000003.0000004.0000009.0000004.5000003.0000002.5000002.0000002.0000000.0000000.0000002.0000002.0000000.0000000.000000C1(C1(C1(C1(C2(C2(C2(C2(X(X(X(X(Y(Y(Y(Y(1)2)3)4)1)2)3)4)1)2)3)4)1)2)3)4)Row 12Slack or Surplus 21.000000.000000Dual Price 1.000000-3.000000（4）

8、結(jié)果解釋可以看出，最優(yōu)解為 x1 x2 y1 y2 2 ， x3 x4 y3 y4 0 。但你肯定覺得這還是沒有解決問題，甚至認(rèn)為這個(gè)模型錯(cuò)了，因?yàn)檫@個(gè)解法沒有包括 3 萬元單價(jià)的 y1 y2 y3 0 ， x4 y4 0 也是最優(yōu)解，2t 交易量。雖然容易驗(yàn)證3但在一般情況下是難以保證一定求出這個(gè)解的。那么如何才能確定價(jià)格呢？請(qǐng)仔細(xì)思考一下供需平衡約束（2）的對(duì)偶價(jià)格（dual pri）的含義。對(duì)偶價(jià)格又稱價(jià)格，表示的是對(duì)應(yīng)約束的右端項(xiàng)的價(jià)值。供需平衡約束目前的右端項(xiàng)為 0，價(jià)格為3，意思就是說如果右端項(xiàng)增加一個(gè)很小的量（即甲的供應(yīng)量增加一個(gè)很小的量），引起的經(jīng)銷商的損失就是這個(gè)小量的 3

9、倍。可見，此時(shí)的銷售單價(jià)就是 3 萬元，這就是（5）模型擴(kuò)展一般地，可以假設(shè)甲的供應(yīng)能力隨價(jià)格的變化情況分為 K 段，即價(jià)格位于區(qū)間-350-價(jià)格。 pk , pk 1 ) 時(shí)，供應(yīng)量最多為 ck （ k 1,2,L, K ； 0 p1 p2 L pK 1 ；0 c0 c1 c2 L CK ），把這個(gè)函數(shù)關(guān)系稱為供應(yīng)函數(shù)（這里它是一個(gè)階梯函數(shù)）。同理，假設(shè)乙的消費(fèi)能力隨價(jià)格的變化情況分為 L 段，即價(jià)格位于區(qū)間(j 時(shí)，消費(fèi)量最多為 d j （ j 1,2,L, L ；qL1 0 ；0 d0 d1 LdL ），L把這個(gè)函數(shù)關(guān)系稱為需求函數(shù)（這里它也是一個(gè)階梯函數(shù)）。設(shè)甲以 pk 的價(jià)格售出的產(chǎn)

10、品數(shù)量為 xk （ k 1,2,L, K ），乙以 q j 的價(jià)格購(gòu)入的產(chǎn)品數(shù)量為 y j （ j 1,2,L, L ）。記c0 d0 0 ，則可以建立如下所示的線性規(guī)劃模型：LK q j y j j1 pk xkk 1max（6）KL xkk 1 y j 0j1s.t.（7）0 xk ck ck 1 ，k 1,2,L, K0 y j d j d j1 ， j 1,2,L, L1.2兩個(gè)生產(chǎn)商、兩個(gè)消費(fèi)者的情形（8）（9）例 2假設(shè)市場(chǎng)上除了例 1 中的甲和乙外，還有另一個(gè)生產(chǎn)商（記為丙）和另一個(gè)消費(fèi)者（記為?。?，他們?cè)诓煌瑑r(jià)格下的供應(yīng)能力和需求能力如表 2 所示。此外，從甲成本是 1.5 萬

11、元，從丙銷售到乙的每噸產(chǎn)品的成本是 2價(jià)格銷售到丁的每噸產(chǎn)品的萬元，而甲、乙之間沒有成本，丙、丁之間沒有成本。這時(shí)，市場(chǎng)的多少？應(yīng)該是多少？甲和丙分別生產(chǎn)多少？乙和丁分別表 2 不同價(jià)格下的供應(yīng)能力和消費(fèi)能力生產(chǎn)商（丙）生產(chǎn)商（丁）單價(jià)（萬元/t）供應(yīng)能力（t）單價(jià)（萬元/t）供應(yīng)能力（t）28533610（1）問題分析-351-首先，看看為什么要考慮從甲銷售到丁的產(chǎn)品的成本和從丙銷售到乙的產(chǎn)品的成本。如果不考慮這些成本，就可以認(rèn)為甲乙丙丁處于同一個(gè)市場(chǎng)上，因此可以將兩個(gè)生產(chǎn)商（甲和丙）的供應(yīng)函數(shù)合并成一個(gè)供應(yīng)函數(shù)，合并后就可以認(rèn)為市場(chǎng)上仍然只有一個(gè)供應(yīng)商。類似地，乙和丁的需求函數(shù)也可以合并成

12、一個(gè)需求函數(shù)，合并后就可以認(rèn)為市場(chǎng)上仍然只有一個(gè)消費(fèi)者。這樣，就回到了例 1 的情形。也就是說，考慮成本在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的含義，應(yīng)當(dāng)是認(rèn)為甲乙是一個(gè)市場(chǎng)（地區(qū)或國(guó)家），而丙丁是另一個(gè)市場(chǎng)（地區(qū)或國(guó)家）。成本也可能還包括關(guān)稅等成本，由于這個(gè)成本的存在，兩個(gè)市場(chǎng)的價(jià)可能是不同的。仍然按照例 1 的思路，可以建立這個(gè)問題的線性規(guī)劃模型。（2）模型的建立和求解：t）分別是 A1 , A2 , A3 , A4 ，設(shè)甲以 1，2，3，4（萬元）的單價(jià)售出的產(chǎn)品數(shù)量（3, X 4 ；乙以 9，4.5，3，2.25（萬元）的單價(jià)的產(chǎn)品數(shù)量（：t）分別是丙以 2，4，6，8（萬元）的單價(jià)售出的產(chǎn)品數(shù)量（：t）分別是

13、B1 , B2 , B3 , B4 ，丁的產(chǎn)品數(shù)量（：t）分別是Y1 ,Y2 ,Y3 ,Y4 。此外，以 15，8，5，3（萬元）的單價(jià)假設(shè) AX 和 AY 分別是甲向乙和丁的供貨量， BX 和 BY 分別是丙向乙和丁的供貨量。這些決策變量之間的關(guān)系參見示意圖 1。圖 1 決策變量之間的關(guān)系目標(biāo)函數(shù)仍然是虛擬經(jīng)銷商的總利潤(rùn)，約束條件仍然是四類（供需平衡、供應(yīng)限制、需求限制和非負(fù)限制），不過這時(shí)應(yīng)注意供需平衡約束應(yīng)該是包括圖 1 所示的決策變量之間的關(guān)系：AX AY A1 A2 A3 A4（10）BX BY B1 B2 B3 B4（11）AX B2 X 3 X 4（12）-352-AY BY Y

14、1 Y2 Y3 Y4此外的其它約束實(shí)際上只是一個(gè)簡(jiǎn)單的變量上界約束。下面直接給出 LINGO 程序：:（13）msets: num1/1.4/:c1,c2,c3,c4,d1,d2,A,B,X,Y; num2/1,2/:AXY,BXY;endsets data:c1=9 4.5 3 2.25;c2=15 8 5 3;c3=1 c4=2 d1=1d2=1243236434;8;4;4;enddatamax=sum(num1:c1*x+c2*y-c3*A-c4*B)-2*BXY(1)-1.5*AXY(2); sum(num1:A)-sum(num2:AXY)=0;sum(num1:B)-sum(nu

15、m2:BXY)=0; AXY(1)+BXY(1)-sum(num1:X)=0;AXY(2)+BXY(2)-sum(num1:Y)=0;for(num1:bnd(0,A,2);bnd(0,X,2);bnd(0,B,d1);bnd(0,Y,d2); end求解這個(gè)模型，得到如下解答：Global optimal solution found Objective value:Variableatiteration:044.00000Reduced Cost 0.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.000000

16、0.0000000.000000Value 9.0000004.5000003.0000002.25000015.000008.0000005.0000003.0000001.0000002.0000003.000000C1(C1(C1(C1(C2(C2(C2(C2(C3(C3(C3(1)2)3)4)1)2)3)4)1)2)3)-353-C3(C4(C4(C4(C4(D1(D1(D1(D1(D2(D2(D2(D2(A(A(A(A(B(B(B(B(X(X(X(X(Y(Y(Y(Y( AXY( AXY( BXY( BXY(4)1)2)3)4)1)2)3)4)1)2)3)4)1)2)3)4)1)2)3

17、)4)1)2)3)4)1)2)3)4)1)2)1)2)4.0000002.0000004.0000006.0000008.0000001.0000003.0000004.0000004.0000001.0000002.0000003.0000004.0000002.0000002.0000002.0000000.0000001.0000003.0000000.0000000.0000002.0000002.0000000.0000000.0000001.0000002.0000003.0000000.0000004.0000002.0000000.0000004.000000Slack or

18、Surplus 44.000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.000000-2.000000-1.0000000.0000001.000000-2.500000-0.50000001.5000003.500000-6.000000-1.5000000.0000000.7500000-10.50000-3.500000-0.50000001.5000000.000000

19、0.0000003.5000000.000000Dual Price 1.000000-3.000000-4.500000-3.000000-4.500000Row 12345-354-（3）結(jié)果解釋可以看到，最優(yōu)解為 A1 A2 A3 X1 X 2 2 ， B1 1， B2 3 ， Y1 1，Y2 3 ，Y3 3 ，AX BY 4 ，AY 2 ，A4 B3 B4 X 3 X 4 Y4 BX 0 。也就是說，甲將向丁銷售2t產(chǎn)品，丙不會(huì)向乙銷售。那么如何才能確定價(jià)格呢？與例1類似，約束（2）是針對(duì)生產(chǎn)商甲的供需平衡條件，目前的右端項(xiàng)為0，價(jià)格為3，意思就是說如果右端項(xiàng)增加一個(gè)很少的量（即甲的供

20、應(yīng)量增加一個(gè)很少的量），引起的經(jīng)銷商的損失就是這個(gè)小量的3.5倍?？梢姡藭r(shí)甲的銷售單價(jià)就是3萬元，這就是甲面對(duì)的價(jià)格。完全類似地，可以知道生產(chǎn)商丙面對(duì)的價(jià)格為4.5。自然地，乙面對(duì)的價(jià)格也是3，丁面對(duì)的價(jià)格也是4.5，因?yàn)榧滓椅挥谕粋€(gè)市場(chǎng)，而丙丁也位于同一個(gè)市場(chǎng)。這兩個(gè)市場(chǎng)的是非常合理的。（4）模型擴(kuò)展價(jià)之差正好等于從甲、乙到丙、丁的成本（1.5），這可以和1.1一樣，將上面的具體模型一般化，即考慮供應(yīng)函數(shù)和需求函數(shù)的分段數(shù)不是固定為4，而是任意有限正整數(shù)的情形。很自然地，上面的方法很容易推廣到不僅僅是2個(gè)市場(chǎng)，而是任意有限個(gè)市場(chǎng)的情形。理論上看這當(dāng)然沒1.3 拍賣與投標(biāo)問題難度，只是這時(shí)

21、變量會(huì)，數(shù)學(xué)表達(dá)式變得更復(fù)雜一些。例3 假設(shè)一家拍賣行對(duì)委托的5類藝術(shù)品對(duì)外拍賣，采用在規(guī)定日期前投標(biāo)人提交投標(biāo)書的方式進(jìn)行，最后收到了來自4個(gè)投標(biāo)人的投標(biāo)書。每類項(xiàng)目的數(shù)量、投標(biāo)人對(duì)每個(gè)項(xiàng)目的投標(biāo)價(jià)格如表3中所示。例3件第4類藝術(shù)品；對(duì)每件第4類藝術(shù)品，投標(biāo)人1，2，3愿意出的最高價(jià)分別為6，1，3，2（貨幣，如萬元）。此外，假設(shè)每個(gè)投標(biāo)人對(duì)每類藝術(shù)品最多只能1件，并且每個(gè)投標(biāo)人的藝術(shù)品的總數(shù)不能超過3件。那么，哪些藝術(shù)品能夠賣出去？賣給誰？這個(gè)拍賣和投標(biāo)問題中每類物品的價(jià)應(yīng)該是多少？表3 拍賣與投標(biāo)信息（1）問題分析這個(gè)具體問題在實(shí)際中可能可以通過對(duì)所有投標(biāo)的報(bào)價(jià)進(jìn)行排序來解決，例如可以總

22、是將藝術(shù)品優(yōu)先賣給出價(jià)最高的投標(biāo)人。但這種方法不太好確定每類藝術(shù)品的-355-招標(biāo)項(xiàng)目類型12345招標(biāo)項(xiàng)目的數(shù)量12334投標(biāo)價(jià)格投標(biāo)人投標(biāo)人5投標(biāo)人378634投標(biāo)人454321價(jià)，所以這里還是借用前面兩個(gè)例子中的方法，即假設(shè)有一個(gè)中間商希望最大化自己的利潤(rùn)，從而建立這個(gè)問題的線性規(guī)劃模型。（2）問題的一般提法和假設(shè)先建立一般的模型，然后求解本例的具體問題，設(shè)有 n 類物品需要拍賣，第 j 類物品的數(shù)量為 s j （ j 1,2,L, n ）；有m 個(gè)投標(biāo)者，投標(biāo)者i （ i 1,2,Lm ）對(duì)第 j 類物品的投標(biāo)價(jià)格為bij （假設(shè)非負(fù)）。投標(biāo)者i 對(duì)每類物品最多一件，且總件數(shù)不能超過c

23、i 。件：的目標(biāo)之一是要確定第 j 類物品的價(jià)格 p j ，它應(yīng)當(dāng)滿足下列假設(shè)條成交的第 j 類物品的數(shù)量不超過 s j （ j 1,2,L, n ）；對(duì)第 j 類物品的報(bào)價(jià)低于 p j 的投標(biāo)人將不能獲得第 j 類物品；iii）如果成交的第 j 類物品的數(shù)量少于 s j （ j 1,2,L, n ）可以認(rèn)為 p j 0（除非拍賣方另外指定一個(gè)最低的保護(hù)價(jià)）；iv）對(duì)第 j 類物品的報(bào)價(jià)高于 p j 的投標(biāo)人獲得第 j 類物品，但如果他獲得的物品超過3件，那么假設(shè)他總是希望使自己的滿意度最大（滿意度可以用他的報(bào)價(jià)與市場(chǎng)價(jià)之差來衡量）。（3）優(yōu)化模型用0 1變量 xij 表示是否分配一件第 j

24、類物品給投標(biāo)者i ，即 xij 1表示分配，而 0 表示不分配。目標(biāo)函數(shù)仍然是虛擬的中間商的總利潤(rùn)（認(rèn)為這些利潤(rùn)全部是拍xij賣行的利潤(rùn)也可以），即mnbij xij（14）i1 j1除變量取值為0或1的約束外，問題的約束條件主要是兩類：每類物品的數(shù)量限制和每個(gè)投標(biāo)人所能分到的物品的數(shù)量限制，即m xiji1 s j ，j 1,2,L, n（15）n xijj1 ci ，i 1,2,L, m(16)-356-模型就是在約束（15）、（16）下最大化目標(biāo)函數(shù)（14）。（4）模型求解編寫的LINGO程序如下：:MTITLE 拍賣與投標(biāo); SETS:AUCTION/1.5/: S; BIDDER/1

25、.4/ : C; LINK(BIDDER,AUCTION):ENDSETS DATA:S=1 2 3 3 4;C=3 3 3 3; B=B, X; ENDDATAMAX=SUM(LINK: B*X); FOR(AUCTION(J):AUC_LIM SUM(BIDDER(I): X(I,J) S(J) ); FOR(BIDDER(I):BID_LIM SUM(AUCTION(J): X(I,J) =;求得投資三種的比例大致是： A 占53， B 占36， C 占11。風(fēng)險(xiǎn)（方差）為0.02241378。（4）用對(duì)模型進(jìn)行參數(shù)分析對(duì)實(shí)際投資人來說，可能不僅希望知道指定的期望投資回報(bào)率下的風(fēng)險(xiǎn)（回報(bào)

26、率的方差），可能更希望知道風(fēng)險(xiǎn)隨著不同的投資回報(bào)率是如何變化的，然后作出最后的投資決策。這當(dāng)然可以通過在上面的模型中不斷修改約束中的參數(shù)（目前為0.15）來實(shí)現(xiàn)，如將0.15改為0.2345，則表示投資回報(bào)率希望達(dá)到23.45（這幾乎是可能達(dá)到中最大的投資回報(bào)率，即C 的回報(bào)率）?？傻淖畲笾盗耍?yàn)檫@幾乎是三種以想到，這時(shí)應(yīng)主要投資在C 上。實(shí)際求解一下，可以知道最優(yōu)解中投資份額大約是99.6（剩余的大約0.4投資在B 上）。C 的目前LINGO還沒有二次規(guī)劃靈敏度分析的功能。下面利用進(jìn)行靈敏度分析，回報(bào)率的取值區(qū)間為0.09,0.234，變化步長(zhǎng)為0.002。編寫程序如下：clc,clear

27、load data2.txt,load data3.txth=resh(data3,3,3);a=data2; solution=;=0.09;hold onwhilex,y=qu-366-=;計(jì)算結(jié)果為，投資 A 占8.7， B 占42.9， C 占14.3， D （國(guó)庫券）占34.1，風(fēng)險(xiǎn)（方差）為0.02080347。與例5中的風(fēng)險(xiǎn)（方差為0.02241378）比較，無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的存在可以使得投資風(fēng)險(xiǎn)減少。雖然國(guó)庫券的收益率只有5，比希望得到的收益率15小很多，但在國(guó)庫券上的投資要占到34.1，其原因就是為了減少風(fēng)險(xiǎn)?，F(xiàn)在，0.15”改為“把上面模型中的期望收益減少到10，即把數(shù)據(jù)段中的語

28、句“= 0.10”，重新求解模型。計(jì)算結(jié)果如下：=投資 A 占4.3， B 占21.4， C 占7.2， D （國(guó)庫券）占67.1，此時(shí)風(fēng)險(xiǎn)（方差為0.0052）進(jìn)一步下降。請(qǐng)?zhí)貏e注意：你能發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)果（這里不妨稱為結(jié)果2）與剛才“= 0.15”的結(jié)果（這里不妨稱為結(jié)果1）聯(lián)系嗎？仔細(xì)觀察這兩個(gè)結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)：結(jié)果2中投資在有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（A, B, C ）上的比例大約都是結(jié)果1中相應(yīng)的比例的一半。也就是說，無論你的期望收益和風(fēng)險(xiǎn)偏好如何，你手上所持有的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)本身相互之間的比例居然是不變的！變化的只是投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)之間的比例。有趣的是，這一現(xiàn)象在一般情況下也是成立的，一般稱為“分離定

29、理”，即風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)之間的投資比例與期望收益和風(fēng)險(xiǎn)偏好無關(guān)。1981年經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)得主Tobin教授之所以獲獎(jiǎng)，很大一部分原因就是因?yàn)樗l(fā)現(xiàn)了這個(gè)重要的規(guī)律。也正是由于有這樣一個(gè)重要結(jié)果在下面各節(jié)的中就不再考慮存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的情形了，而只考慮確定風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)之間的投資比例。2.3 考慮交易成本的投資組合模型例7 繼續(xù)考慮例5（期望收益仍定為15）。假設(shè)你目前持有的比例為：A 占50， B 占35， C 占15。這個(gè)比例與例5中得到的最優(yōu)解有所不同。實(shí)際市場(chǎng)上每次的進(jìn)行通?？傆薪灰踪M(fèi)，例如按交易額的1收取交易費(fèi)，這時(shí)你是否仍需要對(duì)所持（換手），以便滿足最優(yōu)解的要求？（1）建立模型-368-仍用決策變量 x1

30、 , x2 和 x3 分別表示投資人應(yīng)當(dāng)投資A、B、C 的比例，進(jìn)一步假A、B、C 的比例為 y1 , y2 和 y3 ，賣出A、B、C 的比例為 z1, z2 和 z3 。設(shè)其中， yi 和 zi （ i 1,2,3）中顯然最多只能有一個(gè)嚴(yán)格取正數(shù)，且xi , yi , zi 0 ，i 1,2,3（23） 1 不一定還成立（只有不進(jìn)行由于交易費(fèi)用的存在，這時(shí)約束，3即 y1 y2 y3 z1 z2 z3 0 時(shí)，這個(gè)約束才成立）。其實(shí)，這個(gè)關(guān)系式的本質(zhì)是：當(dāng)前持有的總是守恒的，在有交易成本（1）的情況下，應(yīng)當(dāng)表示成如下形式：33 xi 0.01 ( yi zi ) 1（24）i1i1另外，考

31、慮到當(dāng)前持有的各只的份額ci , xi , yi 與 zi （ i 1,2,3 ）之間也應(yīng)該滿足守恒關(guān)系式xi ci yi zi ，i 1,2,3這就是新問題的約束條件，模型的其它部分不用改變。（2）模型求解問題對(duì)應(yīng)的LINGO程序如下：:（25）MTitle 考慮交易費(fèi)的投資組合模型; SETS:STOCKS/ A, B, C/: C,Mean,X,Y,Z;STST(Stocks,stocks): COV; ENDSETSDATA:!的初始份額;c=0.5 0.35 0.15;=0.15;Mean=file(data2.txt); COV=file(data3.txt); ENDDATAOB

32、J MIN = sum(STST(i,j): COV(i,j)*x(i)*x(j);ONE SUM(STOCKS: X+0.01*Y+0.01*Z) = 1;-369-TWO SUM(stocks: mean*x) =FOR(stocks: ADD x = c + y - z); END;在這個(gè)LINGO模型中，C是原始集合“STOCKS”的一個(gè)元素，不會(huì)因?yàn)榕c集合的屬性C同名而。這是LINGO新版本比LINGO舊版本的一個(gè)改進(jìn)之處。2.4 利用指數(shù)簡(jiǎn)化投資組合模型例8 繼續(xù)考慮例5（期望收益率仍定為15）。在實(shí)際的市場(chǎng)上，一般存在成千上萬的，這時(shí)計(jì)算兩兩之間的相關(guān)性（協(xié)方差矩陣）將是一件非常

33、費(fèi)事甚至不可能的事情。例如，1000只就需要計(jì)算C 2 499500 個(gè)協(xié)方差。能否通過一定1000方式避免協(xié)方差的計(jì)算，對(duì)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化呢？例如，例5中還給出了當(dāng)時(shí)指數(shù)的信息，但到此為止一直沒有利用。這一節(jié)就考慮利用指數(shù)對(duì)前面的模型進(jìn)行修改和簡(jiǎn)化。（1）問題分析可以認(rèn)為顯著影響的。指數(shù)反映的是市場(chǎng)的大勢(shì)信息，對(duì)具體每只的漲跌通常是有這里最簡(jiǎn)單地假設(shè)每只的收益與指數(shù)成線性關(guān)系，從而可以通過線性回歸方法找出這個(gè)線性關(guān)系。（2）線性回歸量），其均值為 m0 E(M ) ，具體地說，用 M 表示指數(shù)（也是一個(gè)隨方差為 s2 D(M ) 。根據(jù)上面的線性關(guān)系的假定，對(duì)某只具體的i ，其價(jià)值 R （隨0i

34、量）可以表示成Ri ui bi M ei（26）其中ui 和 bi 需要根據(jù)所給數(shù)據(jù)經(jīng)過回歸計(jì)算得到， ei 是一個(gè)隨機(jī)誤差項(xiàng)，其均值為E(e ) 0 ，方差為 s2 D(e ) 。此外，假設(shè)隨機(jī)誤差項(xiàng)e 與其它j （ j i ）和股iiii票指數(shù) M 都是獨(dú)立的，所以 E(eiej ) E(ei M ) 0 。先看看如何根據(jù)所給數(shù)據(jù)經(jīng)過回歸計(jì)算得到 ui 和 bi 。記所給的12年的數(shù)據(jù)為M, R，（ k 1,2,L,12 ），線性回歸實(shí)際上是要使誤差的平方和最小，即要解(k )( k )i如下優(yōu)化問題：-370-1212min(e) | u b M (k ) R(k) |2 ，i 1,2,

35、3(k ) 2（27）iiiik 1k 1對(duì)這里給出的三種，可以編寫如下LINGO程序求出線性回歸的系數(shù)ui 和bi（同時(shí)也在計(jì)算（CALC）段計(jì)算 M 的均值 m 和方差 s2 ，標(biāo)準(zhǔn)差 s 的值）：000M:Title 線性回歸模型; SETS:YEAR/1.12/:M;STOCKS/A, B, C/: u, b, s2, s;temp/1.5/; tmatrix(YEAR,temp):tm;link(YEAR, ENDSETS DATA:num=?; tm = 19431944STOCKS):R,e;1.3001.103.2160.9540.9291.0561.038.0891.0901

36、.083.0351.1761.2251.2901.2160.7281.1441.1071.3211.3051.1951.3900.9281.7151.1491.2601.4190.9221.1690.9651.1331.7321.0211.1311.0061.9081.2589971.1.3643610.9192871.0570801.0550121.1.3171301.2401641.0.9901081.526236;1946194719481949195119521954ENDDATACALC:for(tmatrix(i,j)|j #ge#2 #and# j#le# 4:R(i,j-1)=

37、tm(i,j);for(tmatrix(i,j)| j #eq# 5:M(i)=tm(i,j); mean0=sum(year: M)/size(year);s20=sum(year: sqr(M-mean0) / (size(year)-1); s0=sqrt(s20);ENDCALC-371-OBJ MIN = sum(stocks(i)|i#eq#num: s2(i); for(link(k,i)|i#eq#num: ERROR e(k,i) = R(k,i)-u(i)-b(i)*M(k);for(stocks(i)|i#eq#num:VAR s2(i)=(sum(year(k): sq

38、r(e(k,i) / (size(year)-2);STD s(i)=sqrt(s2(i) ); for(stocks: free(u);free(b) ); for(link: free(e) );END對(duì)上面的這個(gè)程序，請(qǐng)注意以下幾點(diǎn)：i）在CALC段直接計(jì)算了 M 的均值 m 和方差 s2 （為了使這個(gè)估計(jì)是無偏估計(jì)，00分母是11而不是12）以及標(biāo)準(zhǔn)差 s0 。ii）程序中使用了兩個(gè)常用的數(shù)學(xué)函數(shù)：平方函數(shù)sqr和平方根函數(shù)sqrt。iii）除了計(jì)算回歸系數(shù)外，同時(shí)估計(jì)了回歸誤差的方差 s2 和標(biāo)準(zhǔn)差 s 。為了使ii這個(gè)估計(jì)是無偏估計(jì)，計(jì)算 s2 時(shí)分母是10而不是11或12，這時(shí)因

39、為此時(shí)估計(jì)了兩個(gè)參數(shù)，i度少了兩個(gè)。free(u)，free(b)，free(e)三個(gè)語句一定不能少，因?yàn)檫@幾個(gè)變量不一定是非負(fù)的。DATA段定義了一個(gè)變量num，并用“num=?”語句表示其具體值需要由使用者在程序運(yùn)行時(shí)輸入。變量num的作用是控制當(dāng)前對(duì)哪只進(jìn)行線性回歸（num1，2，3分別對(duì)應(yīng)于A, B, C ）。vi）其實(shí)，這個(gè)問題也可以對(duì)三只的回歸不加區(qū)分，即放在同一個(gè)模型中同時(shí)優(yōu)化（相應(yīng)地，只需要去掉上面程序中的控制變量num和所有的過濾條件“i#eq#num”），不過這樣就會(huì)增加變量的個(gè)數(shù)，不建議大家那樣做。也就是說，對(duì)于能夠分解成小規(guī)模問題的優(yōu)化問題，最好一個(gè)一個(gè)分開做，這樣可以

40、減少問題規(guī)模，有助于求到比較好的解。運(yùn)行上述LINGO程序，得到的計(jì)算結(jié)果為：指數(shù) M 的均值 m0 1.191458 ，方差為 s2 0.02873661 ，標(biāo)準(zhǔn)差為 s 0.1695188 ；對(duì)A ，回歸系數(shù)u 0.5639761 ，001b 0.4407264 ，誤差的方差 s2 0.00574832 ，誤差的標(biāo)準(zhǔn)差 s 0.07581767 。111同理（運(yùn)行時(shí)輸入num=2或3），可以得到：對(duì)B ，回歸系數(shù)u2 0.2635028 ，b 1.239799 ，誤差的方差 s2 0.01564263 ，誤差的標(biāo)準(zhǔn)差 s 0.1250705 。對(duì)股222-372-票C ，回歸系數(shù)u 0.5

41、809592 ，b 1.523798 ，誤差的方差 s2 0.03025165 ，誤333 0.17393 。差的標(biāo)準(zhǔn)差 s3（3）優(yōu)化模型現(xiàn)在，仍用決策變量 x1 , x2 和 x3 分別表示投資人應(yīng)當(dāng)投資A, B, C 的比例，其中3 0 ， 1（28）3此時(shí)，與2.1節(jié)的類似，對(duì)應(yīng)的收益應(yīng)該表示為33R xi Ri xi (ui bi M ei )（29）i1i1收益的期望為33ER xi E(ui bi M ei ) xi (ui bim0 )（30）i1i1收益的方差為33iDR x D(u b M e ) (b s s )x22 222（31）iiii0iii1i1綜上所述，建立如

42、下模型3min(b s s )x2 222（32）i 0iii13 xii1 1 ，s.t.（33）3(ui bim0 )xi 0.15i1（34）xi 0 ， i 1,2,3（4）模型求解（35）為了數(shù)據(jù)傳遞方便，:把三個(gè)回歸模型同時(shí)計(jì)算。LINGO程序如下：MTitle 線性回歸模型;SETS:-373-YEAR/1.12/:M;STOCKS/A, B, C/: u, b, s2, s;temp/1.5/; tmatrix(YEAR,temp):tm;link(YEAR, ENDSETS DATA:tm =19431944STOCKS):R,e;1.3001.103.2160.9540.9

43、291.0561.038.0891.0901.083.0351.1761.2251.2901.2160.7281.1441.1071.3211.3051.1951.3900.9281.7151.1491.2601.4190.9221.1690.9651.1331.7321.0211.1311.0061.9081.2589971.1.3643610.9192871.0570801.0550121.1.3171301.2401641.0.9901081.526236;1946194719481949195119521954text(data4.txt)=s2; text(data5.txt)=u;

44、 text(data6.txt)=b; ENDDATACALC:for(tmatrix(i,j)|j #ge#2 #and# j#le# 4:R(i,j-1)=tm(i,j);for(tmatrix(i,j)| j #eq# 5:M(i)=tm(i,j); mean0=sum(year: M)/size(year);s20=sum(year: sqr(M-mean0) / (size(year)-1); s0=sqrt(s20);ENDCALCOBJ MIN = sum(stocks(i): s2(i);for(link(k,i): ERROR e(k,i) = R(k,i)-u(i)-b(i

45、)*M(k);for(stocks(i):VAR s2(i)=(sum(year(k): sqr(e(k,i) / (size(year)-2); STD s(i)=sqrt(s2(i) );for(stocks: free(u);free(b) );for(link: free(e) );END二次規(guī)劃（32）（35）的LINGO程序如下：-374-M:Title 利用指數(shù)簡(jiǎn)化投資組合模型; SETS:STOCKS/A, B, C/: u, b, s2, x; ENDSETSDATA:mean0=1.191458;s20 s2 ub=0.02873661;file(data4.txt); f

46、ile(data5.txt); file(data6.txt);ENDDATAOBJ MIN = sum(stocks: (sqr(b)*s20+s2)*sqr(x); sum(stocks: x)=1;sum(stocks: (u+b*mean0)*x)1.15;END計(jì)算結(jié)果為，最后的持股情況是：A 大約占初始時(shí)刻總資產(chǎn)的54，B 占27，C占19。這個(gè)結(jié)果與例5的結(jié)果是不同的。2.5 其它目標(biāo)下的投資組合模型前面介紹的模型中都是在可能獲得的收益的數(shù)學(xué)期望滿足一定最低要求的前提下，用可能獲得的收益的方差來衡量投資風(fēng)險(xiǎn)，將其作為最小化的目標(biāo)。這種做法的合理性通常至少需要有兩個(gè)基本假設(shè)：可能獲

47、得的收益的分布是對(duì)稱的（如正態(tài)分布）。因?yàn)檫@時(shí)未來收益高于設(shè)定的最低要求和低于設(shè)定的最低要求的數(shù)量和概率是一樣的?？上У氖?，實(shí)際中這個(gè)假設(shè)往往難以驗(yàn)證。投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)（或偏好）的效用函數(shù)是二次的，否則為什么值選擇效益（隨量）的二階矩（方差）來衡量風(fēng)險(xiǎn)使之最小化，而不采用其它階數(shù)的矩？一般來說，投資者實(shí)際關(guān)心的通常是未來收益低于設(shè)定的最低要求的數(shù)量（即低多少）和概率，也就是說更關(guān)心的是下側(cè)風(fēng)險(xiǎn)（downside risk）。所以，如果分布不是對(duì)稱的，則采用收益的方差來衡量投資風(fēng)險(xiǎn)就不一定合適。為了克服這個(gè)缺陷，可以用收益低于最低要求的數(shù)量的均值（一階矩）作為下側(cè)風(fēng)險(xiǎn)的衡量依據(jù)，即作為最小化的目標(biāo)。

48、此外，也可以采用收益低于最低要求的數(shù)量的二階矩（即收益的半方差， semivariance）作為衡量投資風(fēng)險(xiǎn)的依據(jù)。其實(shí)，半方差計(jì)算與方差計(jì)算類似，只是只有當(dāng)收益低于最低要求的收益率時(shí)，才把兩者之差的平方記入總風(fēng)險(xiǎn)，而對(duì)收益高于最低要求的收益率時(shí)的數(shù)據(jù)忽略不計(jì)。這方面的具體模型這里就不再詳細(xì)介紹了。下面介紹一個(gè)與上面這些優(yōu)化目標(biāo)完全不同的投資組合模型，這個(gè)模型雖然很簡(jiǎn)單，但卻會(huì)產(chǎn)生一些非常有趣的現(xiàn)象。例9 假設(shè)市場(chǎng)上只有兩只A、B 可供某個(gè)投資者，且該投資者對(duì)未來一-375-年的市場(chǎng)進(jìn)行了仔細(xì)分析，認(rèn)為市場(chǎng)只能出現(xiàn)兩種可能的情況（1和2）。此外，該投資者對(duì)每種情況出現(xiàn)的概率、每種情況出現(xiàn)時(shí)兩只

49、的增值情況都進(jìn)行了和分析（見表7，可以看出A、B 的均值和方差都是一樣的）。該投資者是一位非常保守的投資人，其投資目標(biāo)是使兩種情況下最小的化（也就是說，不管未來發(fā)生哪種情況，他都能至少獲得這個(gè)收益）。如何建立模型和求解？表7兩種情況出現(xiàn)的概率及兩只的增值情況AB情形發(fā)生概率120.80.21.01.51.20.7（1）優(yōu)化模型與求解設(shè)年初投資A、B 的比例分別為 x1 , x2 ，決策變量 x1 , x2 顯然應(yīng)該滿足x1 , x2 0 ， x1 x2 1（36）此外，使最小的“保守”目標(biāo)實(shí)際上就是希望：1 0.7x2 )maxmin(1.0（37）引入一個(gè)輔助變量 y min(1.0max

50、ys.t. x1 x2 11 0.7x2 ) ，這個(gè)模型就可以線性化為x1 1.2x2 y1.5x1 0.7x2 y編寫LINGO程序如下：:msets: COL/1.2/:x; ROW/1.2/;link(ROW,COL):a; endsetsdata:a=1 1.2 1.5 0.7;enddata max=y;-376-sum(COL:x)=1; for(ROW(i):sum(COL(j):a(i,j)*x(j)y);End可見，此時(shí)應(yīng)該投資 A、B（2）現(xiàn)在，假設(shè)有一位絕對(duì)可靠的朋友告訴該投資者一條重要信息：如果情形1發(fā)生，B 的增值將達(dá)到30而不是表7中給出的20。那么，一般人的想法應(yīng)

51、該是增加對(duì)B 的持有份額。果真如此嗎？這個(gè)投資人如果將上面模型中的1.2改為1.3計(jì)算，將得到如下結(jié)果： x1 0.5454545 ， x2 0.4545455 ， y 1.136364 。各50，至少可以增值10。也就是說，應(yīng)該減少對(duì)B 的持有份額，增加對(duì)A 的持有份額。這真是叫吃一驚！這相當(dāng)于說：有人告訴你有某只漲幅要增加了，你趕緊說：那我馬上把這只再賣點(diǎn)吧。之所以出現(xiàn)如此奇怪的現(xiàn)象，就是由于這個(gè)例子中的目標(biāo)的特殊性引起的：可以看到新的解可以保證增值達(dá)到13.6364，確實(shí)比原來的10增加了。最后需要：上面所有關(guān)于投資組合的這些基本上只是純技術(shù)面的討論，只利用歷史數(shù)據(jù)來說話，認(rèn)為歷史數(shù)據(jù)中

52、包含了引起漲跌的所有。在實(shí)際市場(chǎng)上，影響漲跌的可能有很多（如政策變化、加息、能源短缺、技術(shù)進(jìn)步等），未來不長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)可能發(fā)生的一些事件很可能以前沒有發(fā)生過，因此也不可能體現(xiàn)在歷史數(shù)據(jù)中。所以，進(jìn)行投資選擇前，還應(yīng)該進(jìn)行基本面分析，需要對(duì)未來的一些重要影響事件發(fā)生的可能性及其對(duì)每種漲跌的影響進(jìn)行和分析，最后綜合利用歷史數(shù)據(jù)和這些數(shù)據(jù)，決定投資組合。如何將這些數(shù)據(jù)與歷史數(shù)據(jù)一起使用，建立相應(yīng)的投資組合模型，這里就不再地介紹了。這方面的模型有很多，有的可以繼續(xù)查閱相關(guān)的專業(yè)書籍和研究文獻(xiàn)。3 市場(chǎng)問題3.1 新產(chǎn)品的市場(chǎng)例10 某公司開發(fā)了一種新產(chǎn)品，打算與目前市場(chǎng)上已有的三種同類產(chǎn)品競(jìng)爭(zhēng)。為了了解這

53、種新產(chǎn)品在市場(chǎng)上的競(jìng)爭(zhēng)力，在大規(guī)模投放市場(chǎng)前，公司部門進(jìn)行了廣泛的市場(chǎng)，得到了表8。四種產(chǎn)品分別記為 A、B、C、D ，其中 A 為新產(chǎn)品，表中的數(shù)據(jù)的含義是：最近某種產(chǎn)品（用行表示）的顧客下次四種產(chǎn)品的機(jī)會(huì)（概產(chǎn)品 A、B、C、D率）。例如：表中第一行數(shù)據(jù)表示當(dāng)前產(chǎn)品 A 的顧客，下次結(jié)果，分析新產(chǎn)品 A 未來的概率分別為75，10，5，10。請(qǐng)你根據(jù)這個(gè)的市場(chǎng)份額大概是多少？表8市場(chǎng)數(shù)據(jù)ABCD產(chǎn)品AB C0.750.40.10.10.20.20.050.10.40.10.30.3-377-D0.20.20.30.3（1）問題分析新產(chǎn)品進(jìn)入市場(chǎng)后，初期的市場(chǎng)份額將會(huì)不斷發(fā)生變化，因此，本例

54、中是一個(gè)離散動(dòng)態(tài)隨機(jī)過程，也就是馬氏鏈（Markov chain）。很顯然，上面給出的表實(shí)際上是轉(zhuǎn)移概率矩陣（注意每行元素的和肯定為1）。要分析新產(chǎn)品 A 未來的市場(chǎng)份額，就是要計(jì)算穩(wěn)定狀態(tài)下每種產(chǎn)品的概率。（2）模型的建立記 N 為產(chǎn)品種數(shù)。產(chǎn)品為i （ i 1,2,L, N ），轉(zhuǎn)移概率矩陣的元素記為Tij ，穩(wěn)定狀態(tài)下產(chǎn)品i 的市場(chǎng)份額記為 pi 。因?yàn)槭欠€(wěn)定狀態(tài)，所以應(yīng)該有npi p jTji ，i 1,2,L, Nj1（38）不過，這 N 個(gè)方程實(shí)際上并不獨(dú)立，至少有一個(gè)是冗余的。好在約束，即 N 種產(chǎn)品的市場(chǎng)份額之和等于1N還有另一個(gè) p j j1 1（39）可見，這個(gè)問題的模型實(shí)

55、際上是一個(gè)非常簡(jiǎn)單的方程組（當(dāng)然，還應(yīng)該增加概率 pi非負(fù)的約束）。如果把這些看成約束條件，那就是一個(gè)特殊的優(yōu)化模型（沒有目標(biāo)函數(shù)）。（3）模型的求解LINGO程序如下：M:TITLE 新產(chǎn)品的市場(chǎng); SETS:PROD/ A B C D/: P; LINK(PROD, PROD): T;ENDSETSDATA: ! 轉(zhuǎn)移概率矩陣;T = .75.4.1.2ENDDATA.1 .05 .1.2.2.2.1.4.3.3.3.3;FOR(PROD(I):-378-P(I)=SUM(LINK(J,I): P(J)* T(J,I) );SUM(PROD: P) = 1;FOR(PROD(I): WAR

56、N( 輸入矩陣的每行之和必須是1, ABS( 1 - SUM(LINK(I,J): T(I,J)#GT# .000001);END可以的是，上面LINGO模型中最后的語句WARN只是為了驗(yàn)證輸入矩陣的每行之和必須是1，而且看到為了比較兩個(gè)實(shí)數(shù)（如X和1）是否相等，一般不能直接用“X#NE#1”，因?yàn)槭苡?jì)算機(jī)字長(zhǎng)（精度）的限制，實(shí)數(shù)在計(jì)算機(jī)內(nèi)存以，通常的方法是比較這兩個(gè)實(shí)數(shù)之差的絕對(duì)值是否足夠小。是有誤差的。所求解結(jié)果為 A, B, C, D 的市場(chǎng)份額分別是47.5，15.25，16.75，20.5。3.2 產(chǎn)品屬性的效用函數(shù)一般來講，每種產(chǎn)品（如某種品牌的小汽車）都有不同方面的屬性，例如價(jià)格

57、、安全性、外觀、保質(zhì)期等。在設(shè)計(jì)和銷售新產(chǎn)品之前，了解顧客對(duì)每種屬性的各個(gè)選項(xiàng)的偏好程度非常重要。偏好程度可以用效用函數(shù)來表示，即某種屬性的不同選項(xiàng)對(duì)顧客的價(jià)值（效用）。不幸的是，讓顧客直接精確地給出每個(gè)屬性的效用函數(shù)一般是的，例如對(duì)于價(jià)格，一般的顧客當(dāng)然會(huì)說越便宜越好，但很難確定10萬元的價(jià)格和15萬元的價(jià)格的效用具體是多少。但是，對(duì)于具體的產(chǎn)品，產(chǎn)品的各個(gè)屬性的具體選項(xiàng)配置都已經(jīng)確定下來了，所以如果把一些具體的產(chǎn)品讓顧客進(jìn)行評(píng)估打分，顧客通常能比較容易地給出具體產(chǎn)品的效用。那么，從這些具體產(chǎn)品的效用信息中，能否反過來估計(jì)每個(gè)屬性中各個(gè)選項(xiàng)的效用呢？這種方法通常稱為聯(lián)合分析（ conjo y

58、sis）。下面通過一個(gè)例子來說明。例11 對(duì)某種牌號(hào)的小汽車，假設(shè)只考慮兩種屬性：價(jià)格和安全氣囊。價(jià)格分為12.9萬元、9.9萬元、7.9萬元；安全氣囊的配置為兩個(gè)、一個(gè)、沒有。經(jīng)過市場(chǎng)，顧客對(duì)該產(chǎn)品的不同配置的偏好程度（效用）如表9所示（表中的值（權(quán)重）越大表示顧客越喜歡）。那么，價(jià)格和安全氣囊的效用函數(shù)如何？表9 顧客對(duì)產(chǎn)品的不同配置的偏好程度（1）模型建立記價(jià)格選項(xiàng)分別為H（高），M（中），L（低），對(duì)應(yīng)的效用為 p j （ j H，M，L）；安全氣囊選項(xiàng)分別為0，1，2，對(duì)應(yīng)的效用為qi （ i 0,1,2 ）。的目的實(shí)際上就是-379-價(jià)格（萬元）安全氣囊21012.97319.98

59、427.9965要求出 p j 和 qi 。假設(shè)價(jià)格和安全氣囊的效用是線性可加的，即當(dāng)價(jià)格選項(xiàng)為 j 、安全氣囊選項(xiàng)為i時(shí)，具體產(chǎn)品的效用c(i, j) 應(yīng)該可以用價(jià)格的和安全氣囊的效用之和來估計(jì)c(i, j) p j qi（40）那么，如何比較不同的估計(jì)的好壞呢？一種簡(jiǎn)單的想法是針對(duì)6個(gè)待定參數(shù)（ p j 和qi ），表中給出了9組數(shù)據(jù)，因此可以用最小二乘法確定 p j 和 qi 。也就是說，此時(shí)的目標(biāo)為min c(i, j) c (i, j)2（41）0ij其中， c0 (i, j) 是表中的數(shù)據(jù)（安全氣囊選項(xiàng)為i 、價(jià)格選項(xiàng)為 j 時(shí)具體產(chǎn)品的效用）。因?yàn)樽鲂в梅治龅闹饕康氖菍碛糜诎?/p>

60、不同配置的具體產(chǎn)品的優(yōu)劣次序排出來，法是希望c(i, j) 和c0 (i, j) 保持同樣的順序：即對(duì)任意的(i, j) 和(k, l) ，所以另當(dāng)c0 (i, j) 1 c0 (k, l) 時(shí)，也盡量有c(i, j) 1 c(k, l)（這里“+1”表示c(i, j) 嚴(yán)格小于c(k, l) ，且至少相差1）。于是，可以考慮如下目標(biāo)函數(shù)min max1 p j qi pl qk ,0（42）i, j k ,l式中的求和只是對(duì)滿足c0 (i, j) 1 c0 (k, l) 的(i, j) 和(k, l) 求和。在LINGO中由于所有的變量默認(rèn)的都為非負(fù)變量，程序中式（42）可以改寫為min (