算法初步、推理與證明易考點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及高考真題解析

1、考點(diǎn)47 算法初步1算法的含義、程序框圖（1）了解算法的含義，了解算法的思想.（2）理解程序框圖的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序、條件分支、循環(huán).2基本算法語句理解幾種基本算法語句輸入語句、輸出語句、賦值語句、條件語句、循環(huán)語句的含義.一、算法的基本結(jié)構(gòu)1算法的含義與程序框圖（1）算法：算法是指按照一定規(guī)則解決某一類問題的明確和有限的步驟（2）程序框圖：程序框圖又稱流程圖，是一種用程序框、流程線及文字說明來表示算法的圖形（3）程序框圖中圖形符號(hào)的含義圖形符號(hào)名稱功能終端框(起止框)表示一個(gè)算法的起始和結(jié)束輸入輸出框表示一個(gè)算法輸入和輸出的信息處理框賦值、計(jì)算判斷框判斷某一條件是否成立，成立時(shí)在出口處標(biāo)

2、明“是”或“Y”；不成立時(shí)標(biāo)明“否”或“N”流程線連接程序框2.程序框圖的結(jié)構(gòu)類型及作用名稱內(nèi)容順序結(jié)構(gòu)條件結(jié)構(gòu)循環(huán)結(jié)構(gòu)定義由若干個(gè)依次執(zhí)行的步驟組成的，這是任何一個(gè)算法都離不開的基本結(jié)構(gòu)算法的流程根據(jù)條件是否成立有不同的流向，條件結(jié)構(gòu)就是處理這種過程的結(jié)構(gòu)從某處開始，按照一定的條件反復(fù)執(zhí)行某些步驟，反復(fù)執(zhí)行的步驟稱為循環(huán)體程序框圖【注】(1)注意區(qū)分處理框與輸入框，處理框主要是賦值、計(jì)算，而輸入框只是表示一個(gè)算法輸入的信息(2)循環(huán)結(jié)構(gòu)中必有條件結(jié)構(gòu)，其作用是控制循環(huán)進(jìn)程，避免進(jìn)入“死循環(huán)”，是循環(huán)結(jié)構(gòu)必不可少的一部分(3)注意區(qū)分當(dāng)型循環(huán)與直到型循環(huán)直到型循環(huán)是“先循環(huán)，后判斷，條件滿足時(shí)

3、終止循環(huán)”；而當(dāng)型循環(huán)則是“先判斷，后循環(huán)，條件滿足時(shí)執(zhí)行循環(huán)”；兩者的判斷框內(nèi)的條件表述在解決同一問題時(shí)是不同的，它們恰好相反二、算法的基本語句1三種語句的一般格式和功能語句一般格式功能輸入語句INPUT“提示內(nèi)容”；變量輸入信息輸出語句PRINT“提示內(nèi)容”；表達(dá)式輸出結(jié)果賦值語句變量表達(dá)式將表達(dá)式的值賦給變量【注】關(guān)于賦值語句，有以下幾點(diǎn)需要注意：賦值號(hào)左邊只能是變量名字，而不是表達(dá)式，例如3m是錯(cuò)誤的賦值號(hào)左右不能對(duì)換，賦值語句是將賦值號(hào)右邊的表達(dá)式的值賦給賦值號(hào)左邊的變量，例如Yx，表示用x的值替代變量Y的原先的取值，不能改寫為xY.因?yàn)楹笳弑硎居肶的值替代變量x的值在一個(gè)賦值語句中

4、只能給一個(gè)變量賦值，不能出現(xiàn)多個(gè)“”2條件語句（1）條件語句與程序框圖中的條件結(jié)構(gòu)相對(duì)應(yīng)（2）條件語句的格式及框圖IFTHEN格式IFTHENELSE格式3循環(huán)語句（1）算法中的循環(huán)結(jié)構(gòu)是由循環(huán)語句來實(shí)現(xiàn)的（2）循環(huán)語句的格式及框圖UNTIL語句WHILE語句【注】語句中“IFEND IF”，“DOLOOP UNTIL”，“WHILEWEND”一定成對(duì)出現(xiàn)考向一 程序框圖高考中對(duì)程序框圖的考查，主要是順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)，其中循環(huán)結(jié)構(gòu)為重點(diǎn)，考查程序運(yùn)行后的結(jié)果，或考查控制循環(huán)的條件，主要以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).三種基本邏輯結(jié)構(gòu)的常見問題及解題策略：(1)順序結(jié)構(gòu)順序結(jié)構(gòu)是最簡(jiǎn)單的

5、算法結(jié)構(gòu)，語句與語句之間、框與框之間是按從上到下的順序進(jìn)行的(2)條件結(jié)構(gòu)利用條件結(jié)構(gòu)解決算法問題時(shí)，重點(diǎn)是判斷框，判斷框內(nèi)的條件不同，對(duì)應(yīng)的下一框中的內(nèi)容和操作要相應(yīng)地進(jìn)行變化，故要重點(diǎn)分析判斷框內(nèi)的條件是否滿足(3)循環(huán)結(jié)構(gòu)已知程序框圖，求輸出的結(jié)果可按程序框圖的流程依次執(zhí)行，最后得出結(jié)果完善程序框圖問題，結(jié)合初始條件和輸出結(jié)果，分析控制循環(huán)的變量應(yīng)滿足的條件或累加、累乘的變量的表達(dá)式對(duì)于辨析程序框圖功能問題，可將程序執(zhí)行幾次，即可根據(jù)結(jié)果作出判斷.典例1 執(zhí)行如下的程序框圖，則輸出的是ABCD【答案】A【解析】成立，執(zhí)行第一次循環(huán)，；成立，執(zhí)行第二次循環(huán)，；成立，執(zhí)行第三次循環(huán)，；成立，

6、執(zhí)行第四次循環(huán)，；成立，執(zhí)行第五次循環(huán)，；成立，執(zhí)行第六次循環(huán)，；成立，執(zhí)行第七次循環(huán)，；成立，執(zhí)行第八次循環(huán)，；不成立，跳出循環(huán)體，輸出的值為，故選A【名師點(diǎn)睛】本題考查算法與程序框圖的計(jì)算，解題時(shí)要根據(jù)算法框圖計(jì)算出算法的每一步，考查分析問題和計(jì)算能力，屬于中等題.1執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出s的值為AB0CD典例2 南宋數(shù)學(xué)家秦九韶在數(shù)書九章中提出的秦九韶，算法至今仍是多項(xiàng)式求值比較先進(jìn)的算法.已知，下列程序框圖設(shè)計(jì)的是求的值，在“”中應(yīng)填的執(zhí)行語句是A BC D【答案】C【解析】初始值該程序的計(jì)算方式：第一步：計(jì)算，空白處的結(jié)果應(yīng)為；第二步：計(jì)算，空白處的結(jié)果應(yīng)為綜合分析可

7、得：空白處應(yīng)填，故選C2九章算術(shù)卷七盈不足中有如下問題：“今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三.問人數(shù)、羊價(jià)各幾何？”翻譯為：現(xiàn)有幾個(gè)人一起買羊，若每人出五錢，還差四十五錢；若每人出七錢，還差三錢，問人數(shù)、羊價(jià)分別是多少，為了研究該問題，設(shè)置了如圖所示的程序框圖，若要輸出人數(shù)和羊價(jià)，則判斷框中應(yīng)該填A(yù)BCD考向二 算法語句1輸入語句的要求(1)輸入語句要求輸入的值是具體的常量(2)提示內(nèi)容提示用戶輸入的是什么信息，必須加雙引號(hào)，提示內(nèi)容“原原本本”地在計(jì)算機(jī)屏幕上顯示，提示內(nèi)容與變量之間要用分號(hào)隔開2輸出語句的要求(1)表達(dá)式是算法和程序要求輸出的信息(2)提示內(nèi)容提示用戶要輸出的是

8、什么信息，必須加雙引號(hào)，提示內(nèi)容和表達(dá)式要用分號(hào)分開(3)輸出語句可以一次完成輸出多個(gè)表達(dá)式的功能，不同的表達(dá)式之間可用“，”分隔；輸出語句還可以是“提示內(nèi)容1”；表達(dá)式1，“提示內(nèi)容2”；表達(dá)式2，“提示內(nèi)容3”；表達(dá)式3，的形式，例如，PRINT“a，b，c”；a，b，c；PRINT“a”；a，“b”；b，“c”；C典例3 如圖程序中，輸入，則輸出的結(jié)果為ABCD無法確定【答案】B【解析】該程序是求的最大值，因?yàn)椋实淖畲笾禐?，故選B【名師點(diǎn)睛】本題考查條件語句，為基礎(chǔ)題注意對(duì)數(shù)的大小比較，可通過尋找合適的單調(diào)函數(shù)來構(gòu)建大小關(guān)系，如果底數(shù)不統(tǒng)一，可以利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)統(tǒng)一底數(shù).不同類型的數(shù)

9、比較大小，應(yīng)找一個(gè)中間數(shù)，通過它實(shí)現(xiàn)大小關(guān)系的傳遞.3如圖是一個(gè)求20個(gè)數(shù)的平均數(shù)的程序，在橫線上應(yīng)填充的語句為ABCD1下面的框圖是已知直角三角形兩條直角邊，求斜邊的算法，其中正確的是ABCD2執(zhí)行下面的程序，則輸出的s的值是A11B15C17D193閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入的值為1，則輸出的值為AB2C0D無法判斷4執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為A42B19C8D35執(zhí)行如程序框圖所示的程序，若輸入的x的值為2，則輸出的x的值為A3B5C7D96如圖程序框圖的算法思路源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中的“更相減損術(shù)”，執(zhí)行該程序框圖，若輸入，分別為2，8，則輸出的等于

10、A4B0C2D147執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出，則輸入的ABCD8執(zhí)行下邊的程序框圖，如果輸出的值為1，則輸入的值為A0BC0或D0或19設(shè)為區(qū)間內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)，則計(jì)算機(jī)執(zhí)行下列程序后，輸出的值落在區(qū)間內(nèi)的概率為ABCD10已知某算法的程序框圖如圖所示，則該算法的功能是A求首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)的和B求首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)的和C求首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)的和D求首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)的和11為了計(jì)算，設(shè)計(jì)如圖所示的程序框圖，則在空白框中應(yīng)填入ABCD12已知函數(shù)MOD是一個(gè)求余函數(shù)，記MOD(m，n)表示m除以n的余數(shù)，例如MOD(13，3)=1，下圖是某個(gè)

11、算法的程序框圖，當(dāng)輸入m的值為27時(shí)，則輸出i的值為A2B3C4D513某程序框圖如圖所示，其中，若輸出的，則判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件為ABCD14若如圖所示的程序框圖的輸出結(jié)果為二進(jìn)制數(shù)化為十進(jìn)制數(shù)(注：)，那么處理框內(nèi)可填入ABCD15如圖所示的莖葉圖為高三某班名學(xué)生的化學(xué)考試成績(jī)，算法框圖中輸入的，為莖葉圖中的學(xué)生成績(jī)，則輸出的，分別是A，B，C，D，16明朝數(shù)學(xué)家程大位將“孫子定理”（也稱“中國(guó)剩余定理”）編成易于上口的孫子歌訣：三人同行七十稀，五樹梅花廿一支，七子團(tuán)圓正半月，除百零五便得知已知正整數(shù)被除余,被除余，被除余，求的最小值按此歌訣得算法如圖，則輸出的結(jié)果為A53B54C158D

12、26317執(zhí)行如圖程序，如果輸入的，那么輸出的結(jié)果為_18定義某種運(yùn)算，的運(yùn)算原理如圖所示：設(shè)則在區(qū)間上的最小值為_.1【2019年高考天津卷文數(shù)】閱讀下邊的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的值為A5B8C24D292【2019年高考北京卷文數(shù)】執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為A1B2C3D43【2019年高考全國(guó)卷文數(shù)】如圖是求的程序框圖，圖中空白框中應(yīng)填入ABCD4【2019年高考全國(guó)卷文數(shù)】執(zhí)行下邊的程序框圖，如果輸入的為0.01，則輸出的值等于ABCD5【2018年高考全國(guó)卷文數(shù)】為計(jì)算，設(shè)計(jì)了下面的程序框圖，則在空白框中應(yīng)填入A B C D6【2018年高考北京卷文數(shù)】執(zhí)行如圖所示

13、的程序框圖，輸出的s值為ABCD7【2018年高考天津卷文數(shù)】閱讀如圖的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入N的值為20，則輸出T的值為A1B2C3D48【2017年高考全國(guó)卷文數(shù)】執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入的，則輸出的 A2 B3C4 D59【2017年高考全國(guó)卷文數(shù)】下面程序框圖是為了求出滿足的最小偶數(shù)n，那么在和兩個(gè)空白框中，可以分別填入AA1000和n=n+1BA1000和n=n+2CA1000和n=n+1DA1000和n=n+210【2017年高考全國(guó)卷文數(shù)】執(zhí)行下面的程序框圖，為使輸出S的值小于91，則輸入的正整數(shù)N的最小值為A5B4C3D211【2017年高考北京卷文數(shù)】執(zhí)行如圖所

14、示的程序框圖，輸出的值為A2BCD12【2017年高考天津卷文數(shù)】閱讀下面的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入的值為24，則輸出的值為A0B1C2D313【2019年高考江蘇卷】下圖是一個(gè)算法流程圖，則輸出的S的值是_14【2018年高考江蘇卷】一個(gè)算法的偽代碼如圖所示，執(zhí)行此算法，最后輸出的S的值為_15【2017年高考江蘇卷】如圖是一個(gè)算法流程圖，若輸入的值為，則輸出的值是_變式拓展1【答案】B【解析】模擬執(zhí)行程序框圖，可得程序框圖的功能是求s=sin+sin+sin的值.因?yàn)閟in的取值以6為周期，且sin+sin+sin=0，又因?yàn)?015=3356+5，所以s=sin+sin+sin=

15、sin+sin+sin+sin+sin=0故答案為B【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，考查了正弦函數(shù)的周期性，模擬執(zhí)行程序框圖正確得到程序框圖的功能是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題2【答案】A【解析】模擬執(zhí)行程序，可得x為人數(shù)，y為羊價(jià)，由題意可得：5x+457x+3，解得x21，即當(dāng)x20，k20時(shí)，繼續(xù)循環(huán)，當(dāng)x21，k21時(shí)，退出循環(huán)，輸出x，y的值，則判斷框中應(yīng)填入的內(nèi)容為：k20？.故選A【名師點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖, 解題時(shí)應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過程，以便得出正確的結(jié)論，是基礎(chǔ)題求解時(shí)，根據(jù)題意可得x為人數(shù)，y為羊價(jià)，得5x+457x+3，解得x21，模擬程序的運(yùn)行可得當(dāng)x21

16、，k21時(shí)，退出循環(huán)，輸出x，y的值，即可得解判斷框中應(yīng)填入的內(nèi)容3【答案】B【解析】算法語句中的循環(huán)語句表示形式有2種：DoLoop語句，執(zhí)行時(shí)，Until關(guān)鍵字用于檢查 DoLoop語句中的條件條件不成立執(zhí)行循環(huán)體，條件成立退出循環(huán) while結(jié)構(gòu)循環(huán)為當(dāng)型循環(huán)（whenloop），一般用于不知道循環(huán)次數(shù)的情況維持循環(huán)的是一個(gè)條件表達(dá)式，條件成立執(zhí)行循環(huán)體，條件不成立退出循環(huán) 由題意易得，.故選B【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)語句的定義及表示形式，熟練掌握循環(huán)語句的格式是解答的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題由循環(huán)語句的定義及表示形式即可直接得解考點(diǎn)沖關(guān)1【答案】A【解析】由題意知應(yīng)先輸入，再由公式計(jì)算，

17、最后輸出，結(jié)束，B中的順序錯(cuò)誤；C中的起止框錯(cuò)誤；D中的處理框錯(cuò)誤，A正確，故選A.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了流程圖的識(shí)別與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題2【答案】B【解析】當(dāng)i3時(shí)，s7，當(dāng)i5時(shí)，s11，此時(shí)仍滿足條件“i6”，因此再循環(huán)一次，即i7時(shí)，s15，此時(shí)不滿足“i0，這與假設(shè)矛盾，即原命題成立.【名師點(diǎn)睛】用反證法，假設(shè)都小于或等于0，推出的值大于0,出現(xiàn)矛盾，從而得到假設(shè)不正確，命題得證.反證法的適用范圍：（1）否定性命題；（2）結(jié)論涉及“至多”、“至少”、“無限”、“唯一”等詞語的命題；（3）命題成立非常明顯，直接證明所用的理論較少，且不容易證明，而其逆否命題非常容易證明；（4）要討論

18、的情況很復(fù)雜，而反面情況較少6已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足anSn2.（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）求證：數(shù)列an中不存在三項(xiàng)按原來順序成等差數(shù)列1有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面,則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線平面，直線平面，直線平面，則直線直線”的結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，這是因?yàn)锳大前提錯(cuò)誤 B小前提錯(cuò)誤C推理形式錯(cuò)誤 D非以上錯(cuò)誤2用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60度”時(shí)，反設(shè)正確的是A假設(shè)三內(nèi)角都不大于60度B假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60度C假設(shè)三內(nèi)角至多有一個(gè)大于60度D假設(shè)三內(nèi)角都大于60度3用演繹法證明函數(shù)是增函數(shù)時(shí)的小前提是A函數(shù)滿足增函數(shù)的

19、定義B增函數(shù)的定義C若，則D若，則4現(xiàn)有一個(gè)關(guān)于平面圖形的命題：如圖所示，同一平面內(nèi)有兩個(gè)邊長(zhǎng)都是a的正方形，其中一個(gè)正方形的某頂點(diǎn)在另一個(gè)正方形的中心，則這兩個(gè)正方形重疊部分的面積恒為，類比到空間，有兩個(gè)棱長(zhǎng)均為a的正方體，其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，則這兩個(gè)正方體重疊部分的體積恒為ABCD5有一個(gè)奇數(shù)列1，3，5，7，9，現(xiàn)進(jìn)行如下分組：第1組為，第2組為；第3組為；試觀察每組內(nèi)各數(shù)之和與該組的編號(hào)數(shù)n的關(guān)系為A BC D6沈老師告知高三文數(shù)周考的附加題只有6名同學(xué)A，B，C，D，E，F(xiàn)嘗試做了，并且這6人中只有1人答對(duì)了同學(xué)甲猜測(cè)：D或E答對(duì)了；同學(xué)乙猜測(cè)：C不可能答對(duì)；同學(xué)丙猜測(cè)：

20、A，B，F(xiàn)當(dāng)中必有1人答對(duì)了；同學(xué)丁猜測(cè)：D，E，F(xiàn)都不可能答對(duì)若甲、乙、丙、丁中只有1人猜對(duì)，則此人是A甲 B乙C丙 D丁7設(shè)為橢圓的左焦點(diǎn)，為橢圓的右頂點(diǎn)，為橢圓短軸上的一個(gè)頂點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，該橢圓的離心率為，將此結(jié)論類比到雙曲線，得到的正確結(jié)論為A設(shè)為雙曲線的左焦點(diǎn)，為雙曲線的右頂點(diǎn)，為雙曲線虛軸上的一個(gè)頂點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，該雙曲線的離心率為2B設(shè)為雙曲線的左焦點(diǎn)，為雙曲線的右頂點(diǎn)，為雙曲線虛軸上的一個(gè)頂點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，該雙曲線的離心率為4C設(shè)為雙曲線的左焦點(diǎn)，為雙曲線的右頂點(diǎn)，為雙曲線虛軸上的一個(gè)頂點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，該雙曲線的離心率為2D設(shè)為雙曲線的左焦點(diǎn)，為雙曲線的右頂點(diǎn)，為雙曲線虛軸上的一個(gè)頂點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，該雙曲

21、線的離心率為48A4紙是生活中最常用的紙規(guī)格A系列的紙張規(guī)格特色在于：A0、A1、A2、A5，所有尺寸的紙張長(zhǎng)寬比都相同在A系列紙中，前一個(gè)序號(hào)的紙張以兩條長(zhǎng)邊中點(diǎn)連線為折線對(duì)折裁剪分開后，可以得到兩張后面序號(hào)大小的紙，比如1張A0紙對(duì)裁后可以得到2張A1紙，1張A1紙對(duì)裁可以得到2張A2紙，依此類推這是因?yàn)锳系列紙張的長(zhǎng)寬比為：1這一特殊比例，所以具備這種特性已知A0紙規(guī)格為84.1厘米118.9厘米.118.984.11.41，那么A4紙的長(zhǎng)度約為A厘米B厘米C厘米D厘米9甲、乙、丙、丁四名同學(xué)組成一個(gè)4100米接力隊(duì)，老師要安排他們四人的出場(chǎng)順序，以下是他們四人的要求.甲：我不跑第一棒和

22、第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒.老師聽了他們四人的對(duì)話，安排了一種合理的出場(chǎng)順序，滿足了他們的所有要求，據(jù)此我們可以斷定在老師安排的出場(chǎng)順序中跑第三棒的人是A丁 B乙C丙 D甲10我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的詳解九章算法一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就.在“楊輝三角”中，第行的所有數(shù)字之和為，若去除所有為1的項(xiàng)，依次構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列的前55項(xiàng)和為A4072B2026C4096D204811若，都是正整數(shù)，且，則由下列不等式：；歸納推廣出一個(gè)一般不等式為_12求“方程的解”有如下解題思路：

23、設(shè)，則在上單調(diào)遞增，且，所以原方程有唯一解.類比上述解題思路，方程的解集為_.13已知的內(nèi)角，對(duì)應(yīng)的邊分別為，三邊互不相等，且滿足.（1）比較與的大小，并證明你的結(jié)論；（2）求證：不可能是鈍角.14已知函數(shù)，.（1）用分析法證明：；（2）證明：.1【2019年高考全國(guó)I卷文數(shù)】古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是（0.618，稱為黃金分割比例)，著名的“斷臂維納斯”便是如此此外，最美人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比也是若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例，且腿長(zhǎng)為105 cm，頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為26 cm，則其身高可能是A165 cmB175 cmC

24、185 cmD190 cm2【2019年高考北京卷文數(shù)】在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述兩顆星的星等與亮度滿足m2m1=lg，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1，2）已知太陽的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為A 1010.1B 10.1C lg10.1D 1010.13【2017年高考全國(guó)II卷文數(shù)】甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競(jìng)賽的成績(jī)老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績(jī)，給乙看丙的成績(jī)，給丁看甲的成績(jī)看后甲對(duì)大家說：我還是不知道我的成績(jī)根據(jù)以上信息，則A乙可以知道四人的成績(jī)B丁可以知道四人的成

25、績(jī)C乙、丁可以知道對(duì)方的成績(jī)D乙、丁可以知道自己的成績(jī)4【2016年高考北京卷文】某學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)的立定跳遠(yuǎn)和30秒跳繩兩個(gè)單項(xiàng)比賽分成預(yù)賽和決賽兩個(gè)階段.下表為10名學(xué)生的預(yù)賽成績(jī)，其中有三個(gè)數(shù)據(jù)模糊.學(xué)生序號(hào)12345678910立定跳遠(yuǎn)（單位：米）1.961.921.821.801.781.761.741.721.681.6030秒跳繩（單位：次）63a7560637270a1b65在這10名學(xué)生中，進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽的有8人，同時(shí)進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽和30秒跳繩決賽的有6人，則A2號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽 B5號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽 C8號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽 D9號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽5

26、【2016年高考新課標(biāo)II卷文】有三張卡片，分別寫有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)字是 .6【2017年高考北京卷文數(shù)】某學(xué)習(xí)小組由學(xué)生和教師組成，人員構(gòu)成同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：（）男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù)；（）女學(xué)生人數(shù)多于教師人數(shù)；（）教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù)若教師人數(shù)為4，則女學(xué)生人數(shù)的最大值為_該小組人數(shù)的最小值為_7【2019年高考全國(guó)II卷文數(shù)】中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一

27、印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1則該半正多面體共有_個(gè)面，其棱長(zhǎng)為_（本題第一空2分，第二空3分）變式拓展1【答案】C【解析】由題意可得，解得故選C【名師點(diǎn)睛】本題考查了推理與證明中的類比推理，屬中檔題.2【答案】35；【解析】觀察可得，第一個(gè)四面體數(shù)為1；第二個(gè)四面體數(shù)為；第三個(gè)四面體數(shù)為；第四個(gè)四面體數(shù)為；由此可歸納，第個(gè)四面體數(shù)為，即為，設(shè)該式中的每個(gè)數(shù)從左

28、至右的排列為數(shù)列，即為1，3，6，10，得到遞推關(guān)系為，相加后得，故數(shù)列的和 ，當(dāng)時(shí)，.故答案為：35；.【名師點(diǎn)睛】本題考查歸納推理，累加法求通項(xiàng)，分組法數(shù)列求和，考查圖形分析能力，邏輯推理能力，找到數(shù)字的演變規(guī)律是解題關(guān)鍵.求解時(shí)，通過觀察圖形，先將圖形的規(guī)律轉(zhuǎn)化為數(shù)字規(guī)律，通過觀察發(fā)現(xiàn)，相鄰的數(shù)字差分別是3，6，10，即第項(xiàng)應(yīng)為，那么就把問題轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的和，為1，3，6，10，根據(jù)這些數(shù)字可以發(fā)現(xiàn)， ， ，利用累加法可以得到，再利用題目所給已知，求出前項(xiàng)和，即為第個(gè)四面體數(shù)，當(dāng)時(shí)，即為第5個(gè)四面體數(shù).3【答案】B【解析】根據(jù)題意，用演繹推理即三段論形式推導(dǎo)一個(gè)結(jié)論成立，大前提應(yīng)該是結(jié)論

29、成立的依據(jù)，由四邊形是矩形，得到四邊形的對(duì)角線相等的結(jié)論，大前提一定是矩形都是對(duì)角線相等的四邊形，故選B【名師點(diǎn)睛】本題考查演繹推理的定義，關(guān)鍵是掌握演繹推理的形式，屬于基礎(chǔ)題.根據(jù)題意，用三段論的形式分析即可得答案4【答案】A【解析】首先考查選項(xiàng)A：若今天是周四，五輛車分別在周一、周三、周二、周五、周四，滿足題意，據(jù)此可排除B，C，D，故選A【名師點(diǎn)睛】本題主要考查推理案例的處理方法，特殊值法處理選擇題等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.5【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1），解得，同理解得，即. （2）要證時(shí)，只需證，只需證，只需證，只需證，只需證， 根據(jù)基本不等式得

30、，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.所以原不等式成立【名師點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查數(shù)列的遞推公式、遞推思想等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題求解時(shí)，（1）推導(dǎo)出，解得，從而，由此能求出的值；（2）利用分析法，只需證，只需證，只需證，根據(jù)基本不等式即可得到結(jié)果6【答案】（1）；（2）見證明.【解析】（1）當(dāng)n1時(shí)，a1S12a12，則a11.又anSn2，所以an1Sn12，兩式相減得，所以an是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，所以.（2）(反證法)假設(shè)存在三項(xiàng)按原來順序成等差數(shù)列，記為ap1，aq1，ar1(pqr，且p，q，rN*)，則2aq1ap1+ar1，即，所以22rq2rp1.又因?yàn)閜

31、qr，rN*，所以rq，rpN*.所以式左邊是偶數(shù)，右邊是奇數(shù)，等式不成立所以假設(shè)不成立，原命題得證【名師點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)的求法，考查反證法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于中檔題.求解時(shí)，（1）利用項(xiàng)和公式求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）利用反證法證明.考點(diǎn)沖關(guān)1【答案】A【解析】在推理過程“直線平行于平面，則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線平面，直線平面，直線平面，則直線直線”中，直線平行于平面，則平行于平面內(nèi)所有直線為大前提，由線面平行的性質(zhì)易得直線平行于平面，則直線可與平面內(nèi)的直線可能平行、也可能異面，這是一個(gè)假命題，故這個(gè)推理過程錯(cuò)誤的原因是：大前提錯(cuò)誤.故選A【名師點(diǎn)

32、睛】由三段論的一般模式，可得結(jié)論.三段論是演繹推理的一般模式：（1）大前提已知的一般原理；（2）小前提所研究的特殊情況；（3）結(jié)論根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況作出的判斷.2【答案】D【解析】根據(jù)反證法的步驟可知，假設(shè)是對(duì)原命題結(jié)論的否定，“至少有一個(gè)”的否定為“一個(gè)也沒有”即“三角形三個(gè)內(nèi)角都大于60度”，故選D【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了反證法的概念，以及命題的否定的應(yīng)用，著重考查了邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.求解時(shí)，根據(jù)反證法的定義，假設(shè)是對(duì)原命題結(jié)論的否定，即可求得，得到答案.3【答案】A【解析】證明函數(shù)是增函數(shù)，依據(jù)的原理是增函數(shù)的定義，因此，用演繹法證明函數(shù)是增函數(shù)時(shí)，大前提是：增函數(shù)的定義

33、；小前提是函數(shù)滿足增函數(shù)的定義.故選A.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查演繹推理，熟記概念即可，屬于基礎(chǔ)題型.大前提提供了一個(gè)一般性的原理，小前提提出了一個(gè)特殊的對(duì)象，兩者聯(lián)系，即可得出結(jié)果.【名師點(diǎn)睛】（1）歸納推理和演繹推理會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因是由合情推理的性質(zhì)決定的，但演繹推理出現(xiàn)錯(cuò)誤，有三種可能，一種是大前提錯(cuò)誤，第二種是小前提錯(cuò)誤，第三種是邏輯結(jié)構(gòu)錯(cuò)誤（2）在使用三段論推理證明中，如果命題是錯(cuò)誤的，則可能是“大前提”錯(cuò)誤，也可能是“小前提”錯(cuò)誤，也可能是邏輯錯(cuò)誤.仔細(xì)分析“直線平行于平面，則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線平面，直線平面，直線平面，則直線直線”的推理過程，不難得到結(jié)論4【答案】C【

34、解析】由題意，因?yàn)橥粋€(gè)平面內(nèi)有兩個(gè)邊長(zhǎng)都是的正方形，其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，則這兩個(gè)正方形重疊的部分的面積恒為，類比到空間中由兩個(gè)棱長(zhǎng)均為的正方體，其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，則這兩個(gè)正方體的重疊部分的體積為，故選C.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了類比推理的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是根據(jù)正方形的性質(zhì)類比推理出正方體的性質(zhì)特征，難度不大，屬于基礎(chǔ)題，著重考查了推理與論證能力求解時(shí)，根據(jù)正方形中，其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，則這兩個(gè)正方形重疊的部分的面積恒為，結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征，即可類比推理出兩個(gè)正方體重疊部分的體積，得到答案5【答案】B【解析】由題意可得，第一組數(shù)字之和為；第二組數(shù)字之和

35、為；第三組數(shù)字之和為，依次類推，按照規(guī)律，歸納可得，第組數(shù)字之和為.故選B.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了歸納推理，對(duì)于合情推理主要包括歸納推理和類比推理.數(shù)學(xué)研究中，在得到一個(gè)新結(jié)論前，合情推理能幫助猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，在證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常常能為證明提供思路與方向.合情推理僅是“合乎情理”的推理，它得到的結(jié)論不一定正確.而演繹推理得到的結(jié)論一定正確(前提和推理形式都正確的前提下).由題意可得，第一組數(shù)字之和為；第二組數(shù)字之和為；第三組數(shù)字之和為，觀察規(guī)律，歸納可得，第組數(shù)字之和與其組的編號(hào)數(shù)之間的關(guān)系.6【答案】D【解析】若甲猜對(duì)，則乙也猜對(duì)，與題意不符，故甲猜錯(cuò)；若乙猜對(duì)，則甲或丙猜

36、對(duì)，與題意不符，故乙猜錯(cuò)；若丙猜對(duì)，則乙猜對(duì)，與題意不符，故丙猜錯(cuò)；甲、乙、丙、丁四人中只有1人猜對(duì)，丁猜對(duì)故選D【名師點(diǎn)睛】本題考查推理能力，考查進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查命題的真假判斷及應(yīng)用，是中檔題求解時(shí)，分別假設(shè)甲對(duì)、乙對(duì)、丙對(duì)、丁對(duì)，由已知條件進(jìn)行推理，由此能求出結(jié)果7【答案】C【解析】對(duì)于雙曲線而言，排除A，B由，得，故選C【名師點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和雙曲線離心率的計(jì)算，考查類比推理，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.求解時(shí)，先排除A，B，再根據(jù)求出雙曲線的離心率得解.8【答案】C【解析】由題意，A0紙的長(zhǎng)與寬分別為11

37、8.9厘米，84.1厘米，則A1紙的長(zhǎng)為，A2紙的長(zhǎng)為，A3紙的長(zhǎng)為，A4紙的長(zhǎng)為29.7（厘米）故選C.【名師點(diǎn)睛】本題考查的是圖形的變化規(guī)律，根據(jù)題意正確找出圖形變化過程中存在的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.9【答案】C【解析】由題意知，乙、丙均不跑第一棒和第四棒，則跑第三棒的人只能是乙、丙中的一個(gè)，當(dāng)丙跑第三棒時(shí)，乙只能跑第二棒，這時(shí)丁是第一棒，甲是第四捧，符合題意，當(dāng)乙跑第三棒時(shí)，丙只能跑第二棒，丁只能跑第四棒，甲跑第一捧，不符合題意，故跑第三棒的人是丙，故答案為丙.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查推理案例，屬于難題.推理案例的題型是高考命題的熱點(diǎn)，由于條件較多，做題時(shí)往往感到不知從哪里找到突破點(diǎn)，解答這

38、類問題，一定要仔細(xì)閱讀題文，逐條分析所給條件，并將其引伸，找到各條件的融匯之處和矛盾之處，多次應(yīng)用假設(shè)、排除、驗(yàn)證，清理出有用“線索”，找準(zhǔn)突破點(diǎn)，從而使問題得以解決.10【答案】A【解析】由題意可知：每一行數(shù)字和為首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，則楊輝三角形的前n項(xiàng)和為Sn2n1，若去除所有的為1的項(xiàng)，則剩下的每一行的個(gè)數(shù)為1，2，3，4，可以看成構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，則Tn，可得當(dāng)n10，所有項(xiàng)的個(gè)數(shù)和為55，則楊輝三角形的前12項(xiàng)的和為S122121，則此數(shù)列前55項(xiàng)的和為S12234072，故選A【名師點(diǎn)睛】本題主要考查歸納推理的應(yīng)用，結(jié)合楊輝三角形的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的關(guān)

39、系以及等比數(shù)列等差數(shù)列的求和公式是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度較大求解時(shí)，利用n次二項(xiàng)式系數(shù)對(duì)應(yīng)楊輝三角形的第n+1行，然后令x1得到對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)和，結(jié)合等比數(shù)列和等差數(shù)列的公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可11【答案】【解析】利用歸納推理發(fā)現(xiàn)左邊的次冪為，右邊兩項(xiàng)相加，且次冪和為，的次冪呈2倍的關(guān)系，所以.故填：.【名師點(diǎn)睛】歸納推理的一般步驟是兩步，一是通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；二是從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）.12【答案】【解析】，即，設(shè)，則在上單調(diào)遞增.又，解得或1，故方程的解集是.故答案為.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查類比推理，結(jié)合題中條件，找出適當(dāng)?shù)囊?guī)律即可，屬

40、于?？碱}型.求解時(shí)，先由得到，構(gòu)造，進(jìn)而得出結(jié)果.13【答案】（1）；（2）詳見解析.【解析】（1）大小關(guān)系為.證明如下：要證，只需證，由題意知，只需證，（已知條件）故所得大小關(guān)系正確.（2）假設(shè)是鈍角，則，而，這與矛盾，故假設(shè)不成立.所以不可能是鈍角.【名師點(diǎn)睛】本題考查分析法與反證法，考查基本求證能力，屬基本題.求解時(shí)，（1）利用分析法，將所證不等式轉(zhuǎn)化為已知條件，即得結(jié)論；（2）利用反證法，先假設(shè)，再結(jié)合余弦定理得矛盾，即否定假設(shè)即得結(jié)論.14【答案】（1）見解析；（2）見解析.【解析】（1）由，得，要證，只需證，只需證， 只需證，因?yàn)楹愠闪ⅲ?所以成立.（2）因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又

41、，所以由（1）得.【思路點(diǎn)撥】（1）要證原不等式成立，先將函數(shù)的表達(dá)式代入原不等式，兩邊乘以，可以得到一個(gè)顯然成立的結(jié)論，由此證得原不等式成立.（2）利用（1）的結(jié)論，將（1）右邊的二次函數(shù)配方，求出其最小值，由此可證得，而，由此可得.直通高考1【答案】B【解析】方法一：如下圖所示.依題意可知：， 腿長(zhǎng)為105 cm得，即，所以AD169.89.頭頂至脖子下端長(zhǎng)度為26 cm，即AB26，所以.綜上，.故選B.方法二：設(shè)人體脖子下端至肚臍的長(zhǎng)為x cm，肚臍至腿根的長(zhǎng)為y cm，則，得又其腿長(zhǎng)為105cm，頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為26cm，所以其身高約為42.07+5.15+105+26=178

42、.22，接近175cm故選B【名師點(diǎn)睛】本題考查類比歸納與合情推理，滲透了邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)采取類比法，利用轉(zhuǎn)化思想解題2【答案】A【解析】?jī)深w星的星等與亮度滿足,令,.故選：A【名師點(diǎn)睛】本題以天文學(xué)問題為背景,考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)信息處理能力閱讀理解能力以及指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算.3【答案】D【解析】由甲的說法可知乙、丙一人優(yōu)秀一人良好，則甲、丁兩人一人優(yōu)秀一人良好，乙看到丙的成績(jī)則知道自己的成績(jī)，丁看到甲的成績(jī)則知道自己的成績(jī)，即乙、丁可以知道自己的成績(jī)故選D【名師點(diǎn)睛】合情推理主要包括歸納推理和類比推理數(shù)學(xué)研究中，在得到一個(gè)新結(jié)論前，合情推理能幫助猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，在證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合

43、情推理常常能為證明提供思路與方向合情推理僅是“合乎情理”的推理，它得到的結(jié)論不一定正確而演繹推理得到的結(jié)論一定正確(前提和推理形式都正確的前提下)4【答案】B【解析】將確定的30秒跳繩成績(jī)按從大到小的順序排列，分別是3，6，7，10，1、5并列，4，其中，3，6，7號(hào)進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)的決賽，此時(shí)可確定3，6，7號(hào)進(jìn)入30秒跳繩比賽決賽的名單，現(xiàn)還需3個(gè)編號(hào)為18的同學(xué)進(jìn)入決賽，而1、5并列，2與8的成績(jī)僅相隔1，故只能1，5進(jìn)入30秒跳繩的決賽，故選B.5【答案】1和3【解析】由題意分析可知甲的卡片上的數(shù)字為1和3，乙的卡片上的數(shù)字為2和3，丙的卡片上的數(shù)字為1和2.【名師點(diǎn)睛】邏輯推理即演繹推理

44、，就是從一般性的前提出發(fā)，通過推導(dǎo)即“演繹”，得出具體陳述或個(gè)別結(jié)論的過程.6【答案】6 12【解析】設(shè)男生人數(shù)、女生人數(shù)、教師人數(shù)分別為，則.，【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了命題的邏輯分析、簡(jiǎn)單的合情推理, 題目設(shè)計(jì)巧妙，解題時(shí)要抓住關(guān)鍵,逐步推斷,本題主要考查考生分析問題、解決問題的能力，同時(shí)注意不等式關(guān)系以及正整數(shù)這個(gè)條件.7【答案】26，【解析】由圖可知第一層（包括上底面）與第三層（包括下底面）各有9個(gè)面，計(jì)18個(gè)面，第二層共有8個(gè)面，所以該半正多面體共有個(gè)面如圖，設(shè)該半正多面體的棱長(zhǎng)為，則，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交正方體棱于，由半正多面體對(duì)稱性可知，為等腰直角三角形，即該半正多面體棱長(zhǎng)為【名

45、師點(diǎn)睛】本題立意新穎，空間想象能力要求高，物體位置還原是關(guān)鍵，遇到新題別慌亂，題目其實(shí)很簡(jiǎn)單，穩(wěn)中求勝是關(guān)鍵立體幾何平面化，無論多難都不怕，強(qiáng)大空間想象能力，快速還原圖形考點(diǎn)49 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入（十九）數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入1復(fù)數(shù)的概念（1）理解復(fù)數(shù)的基本概念.（2）理解復(fù)數(shù)相等的充要條件.（3）了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算（1）會(huì)進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算.（2）了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義.一、復(fù)數(shù)的概念二、復(fù)數(shù)的幾何意義1復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)組成的集合是一一對(duì)應(yīng)的，復(fù)數(shù)集C與復(fù)平面內(nèi)所有以原點(diǎn)O為起點(diǎn)的向量組成的集合也是一一對(duì)應(yīng)

46、的，即（1）復(fù)數(shù)z=abi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)(a，bR)（2）復(fù)數(shù)z=abi(a，bR)平面向量.2復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義（1）復(fù)數(shù)加法的幾何意義：若復(fù)數(shù)z1，z2對(duì)應(yīng)的向量不共線，則復(fù)數(shù)z1z2是以為兩鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)（2）復(fù)數(shù)減法的幾何意義：復(fù)數(shù)z1z2是所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)三、復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算1復(fù)數(shù)的運(yùn)算（1）復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則設(shè)，則加法：；減法：；乘法：；除法：（2）復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算定律復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對(duì)任何z1，z2，z3C，有（3）復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算定律復(fù)數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律、分配律，即對(duì)于任意z1，z2，z3C，有，.2常用結(jié)論（1）；eq f(1i

47、,1i)=；eq f(1i,1i)=.（2）（3）（4）（5）模的運(yùn)算性質(zhì)：；.考向一 復(fù)數(shù)的有關(guān)概念求解與復(fù)數(shù)概念相關(guān)問題的技巧：復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)的相等、復(fù)數(shù)的模，共軛復(fù)數(shù)的概念都與復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部有關(guān)，所以解答與復(fù)數(shù)相關(guān)概念有關(guān)的問題時(shí)，需把所給復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，即abi(a，bR)的形式，再根據(jù)題意求解.典例1 已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù).（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若是純虛數(shù)，求.【答案】（1）4；（2）.【解析】.（1）由已知得.（2）由已知得，是純虛數(shù)，,解得，.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的計(jì)算和復(fù)數(shù)的概念，考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基

48、礎(chǔ)題.熟記結(jié)論：若z=abi(a，bR)，則b=0時(shí)，zR；b0時(shí)，z是虛數(shù)；a=0且b0時(shí)，z是純虛數(shù)對(duì)于本題，（1）先求出，再根據(jù)，求出實(shí)數(shù)的值；（2）由已知得，再根據(jù)是純虛數(shù)求出a的值即得解.1設(shè)是虛數(shù)單位，如果復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，那么實(shí)數(shù)的值為 ABCD考向二 復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用：(1)復(fù)數(shù)z、復(fù)平面上的點(diǎn)Z及向量相互聯(lián)系，即z=abi(a，bR)Z(a，b).(2)由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，使問題的解決更加直觀【注意】|z|的幾何意義：令z=xyi(x，yR)，則|z|=eq

49、 r(x2y2)，由此可知表示復(fù)數(shù)z的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離就是|z|的幾何意義；|z1z2|的幾何意義是復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z1，z2的兩點(diǎn)之間的距離.典例2 復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限【答案】B【解析】,對(duì)應(yīng)點(diǎn)為,位于第二象限.故選B.典例3 如圖所示，平行四邊形OABC的頂點(diǎn)O，A，C分別表示0，32i，24i.試求：（1）所表示的復(fù)數(shù)；（2）對(duì)角線所表示的復(fù)數(shù)；（3）求B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)【答案】（1）所表示的復(fù)數(shù)為32i，所表示的復(fù)數(shù)為；（2）52i；（3）16i.【解析】（1），所表示的復(fù)數(shù)為.，所表示的復(fù)數(shù)為.（2）eq o(CA,sup6

50、()=eq o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()，eq o(CA,sup6()所表示的復(fù)數(shù)為.（3）eq o(OB,sup6()=eq o(OA,sup6()eq o(AB,sup6()=eq o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()，eq o(OB,sup6()所表示的復(fù)數(shù)為(32i)(24i)=16i，即B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為16i.【名師點(diǎn)睛】結(jié)合圖形和已知點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，根據(jù)加減法的幾何意義，即可求解2復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限3如果復(fù)數(shù)滿足，那么的最小值是_.考向三 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算是每年高考考查

51、的一個(gè)重要考向，常利用復(fù)數(shù)的加減乘運(yùn)算求復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的相等或除法運(yùn)算求復(fù)數(shù)等，題型為選擇題或填空題，難度較小，屬容易題，復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算問題常見題型及解題策略：(1)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算滿足多項(xiàng)式的乘法法則，利用此法則后將實(shí)部與虛部分別寫出即可(2)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算主要是利用分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)進(jìn)行運(yùn)算化簡(jiǎn)(3)利用復(fù)數(shù)的相關(guān)概念解題時(shí)，通常是設(shè)出復(fù)數(shù)或利用已知聯(lián)立方程求解(4)復(fù)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)數(shù)幾何意義的綜合題先利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，一般化為abi(a，bR)的形式，再結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義解答(5)復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)算分別運(yùn)用復(fù)數(shù)的乘法、除法法則進(jìn)行運(yùn)算，要注意運(yùn)算順序，要先算乘除，后算加減，

52、有括號(hào)要先算括號(hào)里面的.典例4 A1i B1iC1i D1i【答案】D【解析】.故選D.典例5 已知為虛數(shù)單位，則等于ABCD【答案】D【解析】由于，則的周期為4，且，所以原式=.故選D.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的計(jì)算和的周期性，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.對(duì)于本題，利用的周期求解即可.4若，則A2B2CD1ABC1D12若，則ABC1D13設(shè)i為虛數(shù)單位，“復(fù)數(shù)是純虛數(shù)”是“”的A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分又不必要條件4在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A第一象限B第二象限C第二象限D(zhuǎn)第四象限5已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)（i是虛數(shù)單位），則實(shí)數(shù)a

53、等于A2B2CD16已知，則ABC2D7已知復(fù)數(shù)的實(shí)部為1，且的模長(zhǎng)為2，則ABCD8設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，若復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部的和為，則ABCD9已知a，bR，i為虛數(shù)單位，(2a+i)(1+3i)=3+bi，則a+b=A22B16C9D910若復(fù)數(shù)（）不是純虛數(shù)，則ABCD且11已知，是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則ABCD12若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，則AB CD13設(shè)是復(fù)數(shù)，則下列命題中的假命題是A若，則B若，則C若，則D若，則14下列命題正確的是A復(fù)數(shù)不是純虛數(shù)B若，則復(fù)數(shù)為純虛數(shù)C若是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)D若復(fù)數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，為虛數(shù)15歐拉公式(為虛數(shù)單位)是瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明

54、的，將指數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”根據(jù)歐拉公式可知，表示的復(fù)數(shù)的模為ABCD16_17復(fù)數(shù)的虛部為_.18已知復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位，若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，則的取值范圍是_19若復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位)，且為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)=_20設(shè)是復(fù)數(shù)，表示滿足時(shí)的最小正整數(shù)，是虛數(shù)單位，則_.1【2019年高考全國(guó)卷文數(shù)】設(shè)，則ABCD2【2019年高考全國(guó)卷文數(shù)】設(shè)，則ABCD3【2019年高考全國(guó)卷文數(shù)】若，則ABCD4【2019年高考北京卷文數(shù)】已知復(fù)數(shù)，則ABCD5【2018年高考全國(guó)卷文數(shù)】設(shè)，則ABCD6【2018年高考全國(guó)卷文數(shù)】ABCD7【

55、2018年高考全國(guó)卷文數(shù)】ABCD8【2018年高考北京卷文數(shù)】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限9【2018年高考浙江卷】復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)是A1+iB1iC1+iD1i10【2017年高考全國(guó)卷文數(shù)】下列各式的運(yùn)算結(jié)果為純虛數(shù)的是Ai(1+i)2Bi2(1-i)C(1+i)2Di(1+i)11【2017年高考全國(guó)卷文數(shù)】 A BC D 12【2017年高考全國(guó)卷文數(shù)】復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)位于A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限13【2017年高考北京卷文數(shù)】若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是ABCD14【20

56、19年高考天津卷文數(shù)】是虛數(shù)單位，則的值為_15【2019年高考浙江卷】復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則=_16【2019年高考江蘇卷】已知復(fù)數(shù)的實(shí)部為0，其中為虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù)a的值是_17【2018年高考天津卷文數(shù)】是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)_18【2018年高考江蘇卷】若復(fù)數(shù)滿足，其中i是虛數(shù)單位，則的實(shí)部為_19【2017年高考浙江卷】已知，（i是虛數(shù)單位），則_，_20【2017年高考天津卷文數(shù)】已知，i為虛數(shù)單位，若為實(shí)數(shù)，則a的值為_21【2017年高考江蘇卷】已知復(fù)數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，則的模是_變式拓展1【答案】D【解析】=，復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，即a=故選D【名師點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)

57、形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部的概念，屬于基礎(chǔ)題求解時(shí)，由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再由已知條件列出方程，求解即可得答案2【答案】A【解析】，在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，故選A.【名師點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.求解時(shí)，化簡(jiǎn)，寫出共軛復(fù)數(shù)即可根據(jù)復(fù)平面的定義選出答案.3【答案】【解析】設(shè)，由復(fù)數(shù)模的三角不等式可得，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面的軌跡是連接點(diǎn)和的線段，的幾何意義為復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，如下圖所示：當(dāng)時(shí)，則取得最小值.故答案為：.【名師點(diǎn)睛】本題考查與復(fù)數(shù)相關(guān)的點(diǎn)的軌跡問題，解本題的關(guān)鍵在于確定出復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡，利用數(shù)形結(jié)合思想求解，考查分析問題的和解決問題的能力，屬于中等題

58、.求解本題時(shí)，先得出復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為復(fù)平面內(nèi)連接點(diǎn)和的線段，的幾何意義為復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，利用數(shù)形結(jié)合思想可得出的最小值.4【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所以，故選C【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)模的性質(zhì)，共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.求解時(shí)，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)可知，直接利用復(fù)數(shù)模的性質(zhì)即可求解.考點(diǎn)沖關(guān)1【答案】A【解析】，故選A【名師點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運(yùn)算主要有加、減、乘、除及求低次方根除法實(shí)際上是分母實(shí)數(shù)化的過程由題意利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算所給的復(fù)數(shù)即可.對(duì)于此類問題，要熟記下列公式：設(shè)，則，.2【答案】D【解析】由.故選D.【名師點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，處理技巧在于變

59、形成除法運(yùn)算形式.求解時(shí)，需對(duì)運(yùn)算公式進(jìn)行變形，再進(jìn)行化簡(jiǎn)即可.3【答案】B【解析】復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則或，所以“復(fù)數(shù)是純虛數(shù)”不是“”的充分條件；當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)為，是純虛數(shù)，“復(fù)數(shù)是純虛數(shù)”是“”的必要條件，所以“復(fù)數(shù)是純虛數(shù)”是“”的必要不充分條件故選B【名師點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，屬于基礎(chǔ)題，直接利用復(fù)數(shù)的基本概念以及充要條件判斷即可求解時(shí)，先求得“復(fù)數(shù)是純虛數(shù)”時(shí)的值，再根據(jù)充分、必要條件的判斷依據(jù)，判斷出正確選項(xiàng).4【答案】A【解析】，所以，故選A【名師點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)及其坐標(biāo)表示.屬于基礎(chǔ)題.求解時(shí)，化簡(jiǎn)計(jì)算出，寫出其共軛復(fù)數(shù)，即可選出答案.5【答案】C【解析】是純虛

60、數(shù)，所以，故選C6【答案】D【解析】因?yàn)榍?，所以，所以，故選D【名師點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模，復(fù)數(shù)相等的概念，屬基礎(chǔ)題.求解時(shí)，先由復(fù)數(shù)相等的定義得到，再求值.7【答案】D【解析】設(shè)z1+mi（mR），則|，解得mz1故選D【名師點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)模的公式應(yīng)用.求解時(shí)，由已知設(shè)z1+mi（mR），代入，再由模長(zhǎng)為2列式求得m值，則z可求8【答案】C【解析】因?yàn)椋瑥?fù)數(shù)的實(shí)部與虛部的和為，所以，故選C【名師點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及實(shí)部、虛部的概念，屬于基礎(chǔ)題.根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算和復(fù)數(shù)的概念求解.9【答案】A【解析】（2a+i）（1+3i）3+bi，2a3+（