基礎(chǔ)闖關(guān)全練：04

1、4探索三角形相似的條件*5相似三角形判定定理的證明基礎(chǔ)闖關(guān)全練拓展訓(xùn)練在 ABC中,BC=54,CA=45,AB=63,另一個(gè)和它相似的三角形的最短邊的長(zhǎng)是15,則最長(zhǎng)邊 的長(zhǎng)一定是（）18B.21C.24D.19.5答案B設(shè)最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)為x,則一一,解得x=21.故選B.如圖,一二一二-,則下列結(jié)論不成立的是（）A. AEBADCBODCOEBODBAEDC : EB=1 : 2答案 C 因?yàn)橐?一=-，ZA=ZA,所以 ADCsAEB,因此 DC : EB=1 : 2, ZB=ZC, 又因?yàn)樨癇OD=ZCOE,所以 BODsCOE.故選C.如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊AD、CD上，

2、且ZBEF=90，則三角形I、II、m、W 中一定相似的是（）a. I 和mC. I 和 WD. II 和 W答案 A VZBEF=90 , AZAEB+ZDEF=90 ,又 VZAEB+ZABE=90 , ZDEF+ZDFE=90 , .ZAEB=ZDFE, ZABE=ZDEF, AAAEBADFE.故選A.如圖，給出下列條件：ZB=ZACD;匕ADC=ZACB;一二一;AC2=AD - AB.其中能夠判定AABCAACD 的有（）A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)答案 C VZB=ZACD, ZA=ZA, AAABCAACD.VZA=ZA, ZADC=ZACB, AAABCAACD.不能判定

3、 ABC AACD.AC2=AD - AB,即一=一，又 ZA=ZA,.ABCsAACD.故選 C.已知 ABC的三邊長(zhǎng)分別為4、2、5, ADEF的兩邊長(zhǎng)分別為6、3,當(dāng) DEF的第三邊長(zhǎng)為時(shí)，ABCsDEF.答案7.5解析 根據(jù)相似三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例,可得 DEF的第三邊長(zhǎng)應(yīng)該是5的1.5倍，即第三邊 長(zhǎng)為7.5.ABC中，Z1=Z2=Z3,圖中有相似三角形嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.A解析 有相似三角形,ADEFABCA.理由：VZCFD=Z3+ZFAC,且Z1=Z3, .ZCFD=ZBAC.同理可得ZFED=ZACB,.DEFsABCA.如圖，已知OAXOB,以AB為邊作正方形ABCD,過(guò)點(diǎn)D作

4、DE垂直于OA,交OA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)證明： OABsAEDA.證明 VOAXOB, AZ1+Z2=90 .又.四邊形ABCD是正方形，.ZBAD=90 ,AZ2+Z3=90 , AZ1=Z3.VOAOB,DEOA,.ZBOA=ZAED=90 ,.OABsAEDA.能力提升全練拓展訓(xùn)練將三角形紙片(AABC)按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)B落在邊AC上,記為點(diǎn)B,折痕為EF, 已知AB=AC=3,BC=4，若以點(diǎn)B ,F,C為頂點(diǎn)的三角形與 ABC相似，那么BF的長(zhǎng)度是()A. B.2C.或 2D.或 2答案D設(shè)BF=x,則FC=4-x, ABC按題圖所示的方式折疊，使點(diǎn)B落在邊AC 上, ABF=B

5、F=x.當(dāng)匕 B FC= /B 時(shí)，VZ C= /C, ?. B FC ABC, .=,即-=一,解得 x=;當(dāng)ZFBC=ZB 時(shí)，F(xiàn)BCsABC，所以=一,VAB=AC, .FB=FC,即 x=4-x，解得 x=2.故若以 點(diǎn)B,F,C為頂點(diǎn)的三角形與AABC相似，那么BF的長(zhǎng)度為2或一.故選D.如圖，ABC為等邊三角形,P為BC上一點(diǎn)，APQ為等邊三角形,PQ與AC相交于點(diǎn)虬則下 列結(jié)論中正確的是（）ABCQ:ZACQ=60 :AP2=AM - AC;若 BP=PC,則 PQXAC.A.只有B.只有C.只有D.答案 D / ABC 和 APQ 是等邊三角形，. AB=AC,AP=AQ, Z

6、BAC=ZB=ZPAQ=60 , Z.ZBAP = ZCAQ=60 -ZPAC, .ABPACQ(SAS), .ZACQ=ZB=60，故正確;VZBAC=60 , .ZBAC=ZACQ, .ABCQ,故正確;VZAPQ=ZACP=60 , ZPAC=ZPAC, . APMACP, .一=一，.AP2=ACAM，故正確；若 BP=PC,則ZBAP=30 ,ZPAC=30 , VZAPQ=60 ,.ZAMP=90 , .PQAC,故正確.故選D.如圖，在RtABC中,AC=8,BC=6,直線l經(jīng)過(guò)C,且lAB,P為l上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若AABC與 PAC 相似，則 PC=.答案6.4或10解析 .在 R

7、tAABC 中，AC=8,BC=6, AAB= =10, Vl#AB, .ZPCA=ZCAB.當(dāng) PAAC 時(shí)， ABCA CPA, A AB : PC=AC : AC,即 10 : PC=8 : 8,解得 PC=10;當(dāng) APPC 時(shí)， ABCsCAP, A AB : AC=AC : PC,即 10 : 8=8 : PC,解得 PC=6.4.綜上可知，若 AABC 與 APAC 相似，則 PC=6.4 或 10.如圖，在4X4的正方形網(wǎng)格中,AABC和ADEF的頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的小正方形的頂點(diǎn)上.填空：ZABC=,BC=;判斷AABC與ADEF是否相似，并證明你的結(jié)論.解析(1)135 ;2

8、 .(2)相似.證明:ADEF 中，匕DEF=135 , 易知 AB=2,BC=2 LEF=2,DE= 一.因?yàn)橐?所以一=一，又ZABC=ZDEF=135 , 所以A ABCsADEF.如圖，已知A ABC中，ZBAC=90 ,ADBC, A ABE和A ACF都是等邊三角形.求證：AEBDsAFAD.證明 VZBAC=90 ,ADBC,.ZABD+ZACD=ZDAC+ZACD=90 ,.ZABD=ZDAC.VZADC=ZADB=90 ,.ABDsCAD. 二 ABE和ACF都是等邊三角形，.AB=BE,AF=AC, 二 又VZEBA=ZCAF=60 ,.ZEBA+ZABD=ZCAF+ZDA

9、C,即ZEBD=ZFAD,.EBDsFAD.如圖所示，在 ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上,連接DE并延長(zhǎng)，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接 DC、BE, ZBDE+ZBCE=180 .寫(xiě)出圖中兩對(duì)相似的三角形(注意:不得添加字母和線)；請(qǐng)你在所找出的相似三角形中選取一對(duì)，說(shuō)明它們相似的理由.解析(ADEsACB, CEFsDBF.(2)ADEsACB.理由：./ADE+NBDE=180 , ZBDE+ZBCE=180 ,.ZADE=ZBCE.又ZA=ZA,.ADEsACB.三年模擬全練 拓展訓(xùn)練1. （2018江蘇揚(yáng)州江都月考,6, ）如圖，點(diǎn)P在ABC的邊AC上,添加下列一個(gè)條件，不能判定

10、 AABPAACB 的是（）A. ZABP=ZCB. ZAPB=ZABCC.D.=答案 D .在 ABP 和ACB 中，ZBAP=ZCAB,.當(dāng)ZABP=ZC時(shí),滿足兩角相等，可判定ABPsACB，故A正確；當(dāng)ZAPB=ZABC時(shí),滿足兩角相等，可判定ABPsACB，故B正確；當(dāng)時(shí)，因?yàn)樨癆=ZA,所以滿足兩邊成比例且?jiàn)A角相等，可判定ABPsACB,故C正確;當(dāng)一=一時(shí)，其夾角不一定相等，則不能判定 ABPsACB,故D不正確.故選D.2. （2017甘肅蘭州二十七中模擬，5, ）如圖，ZAPD=90 ,AP=PB=BC=CD，則下列結(jié)論成立的是 （）A. PABPCAC. ABCsADBAB

11、. PABsPDAD. ABCsDCA答案 C VZAPD=90而 ZABP=ZPABZPAC,.無(wú)法判定PAB與PCA相似，故A錯(cuò)誤;同理，無(wú)法判定PAB與PDA, ABC與ADCA相似，故B、D錯(cuò)誤;,?ZAPD=90,AP=PB=BC=CD,.AB= PA,AC= PA,AD= PA,BD=2PA,.ABCsDBA,故 C 正確.故選 C.3. （2017安徽合肥十九中模擬,14, ）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)A（4,0）、B（0,2）,如果 點(diǎn)C在x軸上（C與A不重合），當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為 或 時(shí)，使得由點(diǎn)B、0、C組成的三角形與 A0B相似（至少找出兩個(gè)滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)）.4(4.

12、0)攵答案（-1,0）;（1,0）（答案不唯一）解析.點(diǎn)C在x軸上，.點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是0.當(dāng) AOBsCOB,即 0C 與 0A 對(duì)應(yīng)時(shí),0C=0A=4，此時(shí) C(-4,0);當(dāng) A0BsB0C,即 0C 與 0B 對(duì)應(yīng)時(shí),0C=1,此時(shí) C（-1,0）或（1,0）.故點(diǎn)C的坐標(biāo)可以為（-1,0）、（1,0）或（-4,0）,填兩個(gè)即可.4. （2019江蘇蘇州相城期中,26, ）如圖，在矩形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，DFLAE于點(diǎn)F,且 AD=10,BE=8,EF=2,求 DF 的長(zhǎng).解析 VDFXAE, AZAFD=90 ,AZB=ZAFD=90 .又ADBC, .ZDAE=ZAEB, /.

13、ABEDFA,.AD=10,BE=8,EF=2,解得AF=8或AF=-10（舍去），DF= -=- =6.5.（2017 上海普陀一模,22, ）已知，如圖，在四邊形 ABCD 中，ZBAD=ZCDA,AB=CD=,CE=a,AC=b.求證：（1）DECsADC;（2）AE - AB=BC DE.證明 （1） ,DC=,CE=a,AC=b,. CD2=CE CA,即一=一，又-ZECD=ZDCA, .DECsADC.（2） VADECAADC,.ZDAE=ZCDE,=,?ZBAD=ZCDA, .ZBAC=ZEDA,又 VDC=AB, =, IP=,/.ADEsCAB, .一=,即 AE AB=

14、BC DE.6. （2019遼寧鞍山鐵西期中,23, ）如圖，在ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在BC邊上,CELAD,交AD的延 長(zhǎng)線于E,且BC=2AE.求證:AD=CD;(2)求證:AB2=AD BC.證明（1）過(guò)點(diǎn)A作AFXBC于點(diǎn)F,如圖所示.AB=AC, .BC=2CF.VBC=2AE, .CF=AE.在 RtAACE 和 RtACAF 中, .RtAACERtACAF(HL),. CE=AF.VZAFD=ZCED=90，且ZADF=ZCDE, .AADFACDE(AAS), .AD=CD.(2) VAB=AC, .ZACB=ZB.又 -ZDAC=ZACD, .ZCAD=ZB, .ACD

15、sBCA, .AC2=CD - BC.,?ZDAC=ZACD, .AD=CD.又 -AB=AC,.AB2=AD - BC.五年中考全練 拓展訓(xùn)練1. （2017山東濰坊中考，15, ）如圖，在 ABC中，AB豐AC,D、E分別為邊AB、AC上的 點(diǎn),AC=3AD,AB=3AE，點(diǎn)F為BC邊上一點(diǎn)，添加一個(gè)條件:，可以使得 FDB與AADE 相似.（只需寫(xiě)出一個(gè)）或一答案 / A= / BDF / 或匕解析.AC=3AD，AB=3AE，.=-，XVZA=ZA，.ADEsACB，AZAED=ZB.故要使 FDB與ADE相似，只需再添加一組角相等,或夾角的兩邊成比例即可.2.（2016湖北黃岡中考,

16、14, ）如圖，已知 ABC, DCE, FEG, HGI是四個(gè)全等的等腰三角形, 底邊BC,CE,EG,GI在同一直線上，且AB=2,BC=1,連接AI,交FG于點(diǎn)Q,則QI=.答案解析.ABC, DCE, FEG, HGI 是四個(gè)全等的等腰三角形，,GI=EG=CE=BC=1, ABI=4,*.* AB=2, =,VZABC=ZIBA, .ABCsIBA,=,AI=4.,?ZACB=ZFGE, .GQAC.=,. QI=-.3.（2016浙江杭州中考,19, ）如圖，在ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，ZAED=ZB.射線AG 分別交線段DE、BC于點(diǎn)F、G,且一=一.（8分）求證：A

17、DFsAACG;若一=-,求一的值.BC解析 （1）證明：VZAED=ZB, ZDAE=ZCAB, .ADEsACB. .NADE=NC.又.一=一，.ADFsACG.（2） ADFsACG,=-， =1.4. （2018上海中考,23, ）已知:如圖，正方形ABCD中，P是邊BC上一點(diǎn),BEAP,DFAP,垂足 分別是點(diǎn)E、F.（1）求證:EF=AE-BE;連接BF,如果一=一,求證:EF=EP.n證明（1）如圖，.四邊形ABCD為正方形, .AB=AD, ZBAD=90 .VBEAP,DFAP, .ZBEA=ZAFD=90 .VZ1+Z2=90 , Z2+Z3=90 ,AZ1=Z3./在A

18、BE 和DAF 中，/ .ABE*DAF,. BE=AF,. EF=AE-AF=AE-BE.如圖，.一二,AF=BE,.BEFsRtDFA,AZ4=Z3, XZ1=Z3, /.Z4=Z1,VZ5=Z1, /.Z4=Z5,即BE平分ZFBP, 又BEL EP, .EF=EP.5.(2018福建中考B卷,2ifi 如圖，在RtAABC中，90。,AB=10,AC=8 .線段AD由線段AB 繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。得到,AEFG由ABC沿CB方向平移得到，且直線EF過(guò)點(diǎn)D.求ZBDF的大??；求CG的長(zhǎng).解析（I）：線段AD由線段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。得到，?.ZDAB=90 ,AD=A

19、B=10.?.ZABD=45 .EFG由ABC沿CB方向平移得到，?.AB#EF,.ZBDF=ZABD=45 .由平移的性質(zhì)可得AECG,ABEF,且AE=CG.ZDEA=ZDFC=ZABC, ZADE+ZDAB=180 ,?ZDAB=90 , .ZADE=90 ,?ZACB=90 , .ZADE=ZACB, /.ADEACB,.，VAC=8,AB=AD=10, .AE一，.CG=AE.6.（2018浙江杭州中考,19, ）如圖，在ABC中，AB=AC,AD為BC邊上的中線,DEAB于點(diǎn)E.求證：BDEsCAD;（2）若AB=13,BC=10,求線段DE的長(zhǎng).解析(1) .AB=AC,AD為B

20、C邊上的中線,AADXBC, ZB=ZC.VDEXAB, .ZDEB=ZADC, AABDEACAD.(2) VAB=AC,AD 為 BC 邊上的中線,BC=10, AADBC,BD=CD=5.=12,在 RtAADB 中，AD=AD BD=AB DE, A DE=.核心素養(yǎng)全練 拓展訓(xùn)練如圖,平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(4,0)和點(diǎn)B(0,3),點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在折線AOB 上，直線CP截 AOB所得的三角形與 AOB相似，那么點(diǎn)P的坐標(biāo) 是.答案 -或(2,0)或- 解析當(dāng)PCOA時(shí),BPCsBOA,因?yàn)辄c(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，所以P為OB的中點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)P的 坐標(biāo)為 -；當(dāng)PCOB時(shí),AC

21、PsABO,因?yàn)辄c(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，所以P為OA的中點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 (2,0);當(dāng) PCX AB 時(shí)，如圖，,?ZCAP=ZOAB, ARt AAPCRt AABO, .=, VA(4,0),B(0,3), AAB=5, .點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，.AC=-, .二一, .AP=, .OP=OA-AP=4=-，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為-綜上所述,滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為 -或(2,0)或-已知一個(gè)矩形紙片OACB，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(11,0),點(diǎn)B(0,6),點(diǎn)P 為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)B,C重合)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)O,P折疊該紙片，得點(diǎn)B和折痕OP.設(shè)BP=t.如圖，當(dāng)ZBOP=30。時(shí)

22、，求點(diǎn)P的坐標(biāo);如圖，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P兩次折疊紙片，使點(diǎn)C落在直線PB上,得點(diǎn)C和折痕PQ,若AQ=m，試用 含有t的式子表示m;在的條件下，當(dāng)點(diǎn)C恰好落在邊OA上時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)(直接寫(xiě)出結(jié)果即可).解析 (1)根據(jù)題意知ZOBP=90 ,OB=6，在 RtAOBP 中，ZBOP=30 ,BP=t,則 OP=2t.根據(jù)勾 股定理得OP2RB2+BP2,即(2t)2=62+t2,解得t=2 一或t=-2 一(不合題意，舍去)，.點(diǎn)P的坐標(biāo) 為(2 一,6).(2) OBP, AQCP 分別是由OBP, AQCP 折疊得到的，.OBPOBP, QCPQCP, ?.Z OPB =ZOPB, / QPC =

23、Z QPC. VZ OPB +Z OPB+ ZQPC +Z QPC=180 , ?.Z OPB+ ZQPC= 90，又 VZBOP+ZOPB=90 ,.ZBOP=ZQPC.又 VZOBP=ZC=90 , .OBPPCQ, A=一.VBP=t,AQ=m,BC=OA=11,AC=OB=6, .,.PC=11-t,CQ=6-m,點(diǎn)P的坐標(biāo)為 或 .如圖，在ABC 中，ZACB=90 ,CDAB.圖中共有對(duì)相似三角形，分別為(不需證明)；已知AB=10,AC=8，請(qǐng)你求出CD的長(zhǎng)；在(2)的情況下,如果以AB為x軸,CD為y軸，點(diǎn)D與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，建立直角坐標(biāo)系(如 圖)，若點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)，以每秒1

24、個(gè)單位的速度沿線段CB運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，以每秒1 個(gè)單位的速度沿線段BA運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)最先到達(dá)線段的端點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)即刻同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè) 運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，是否存在點(diǎn)P,使以點(diǎn)B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與 ABC相似?若存在，請(qǐng)求 出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解析 (1)3;ABCsACD, ABCsCBD, ACDsCBD.(2)解法一:在 ABC 中，匕ACB=90 ,BC= -=6,.Smbc=AC - BCAB - CD,.6X8=10 - CD,.CD=4.8.解法二:在 ABC 中，匕ACB=90 ,BC= -=6,由可知 ABCsACD,=,=-,CD=4.8.(3)存在點(diǎn)P,使BPQ與ABC相似,理由: TOC o 1-5 h z 在BOC 中，ZBOC=90 ,OB= -=3.6.當(dāng)ZBQP=90。時(shí)(如圖),易得 PQBAACB,.解得 t=2.25，此時(shí) BQ=CP=2.25,.OQ=1.35,B