均衡存在性的證明

1、均衡存在性的證明一、邏輯框架證明定理5.4(3)：如果每個消費者的效用函數(shù)都滿足假設(shè)5.1,1=1并且各種稟賦的總數(shù)量嚴(yán)格為正，羌.口 0，如果橢是口“中的價 i=1+格向量數(shù)列，收斂于p莉，且在p中某些商品的價格p = 0 kk則對于價格P，= 0的商品k，與價格向量數(shù)列Im相對應(yīng)的 總超額需求數(shù)列S 無上界。含義：如果一些而非所有商品的價格任意接近于0，那么那些 商品至少有一種的超額需求將會無限高解釋：七m定義在口二中，即對于所有的m，有p m 0。l=J當(dāng)m 3，pm p， p的特征為p 0且p莉；同時，由于在p 中某些坐標(biāo)為零，Pk = 0，所以，曠并不嚴(yán)格大于零向量， 如，p =(P

2、p，,p。，p，P )。也就是說，當(dāng)m 3時，1 2k1k+1np m p， p ； 0 o等于k，對一切等于零的坐標(biāo)或商品，P=0，其需求為 G m ) 0k，中為零的坐標(biāo)，第k個坐標(biāo)，k可能等于，也可能不無窮大。由于當(dāng)m T3時p/ p，所以, 即g ,(pm )無上界。k證明：設(shè)嚴(yán)格為正的價格數(shù)列m收斂于”,對于某些商品上, 有氣=。由于。e 口 0 9 日.p 0 ,所以 P寸 ei 0 , pei = Xpei 0 ,所以，i=li=li=l i=l少一位消費者有Pe 0o對應(yīng)于價格向量數(shù)列很，該消費者有需求數(shù)列l(wèi)=J|=|()argmax ( 對于所有的mxe口 山成人S.t pX

3、i 0 o令A(yù)x*+(0,.,0,l,0,.,0),其中第*項為1。效用函數(shù)強遞增,因此有，w（x）wG3OP =。有Kpx = px* = pei 0pt = px* + p(0,.,0,1,0,.,0 )=px* +1 + 丈七-0=0j=1, j N*= px* = pei0/pm T p， xm x*， 所以，在m足夠大時效用函數(shù)連續(xù)，所以，存在一個t e（0,1），使得u危）u G*）且 p （反） px* = pei 由于在m 8時，下的解。這與假設(shè)相矛盾，所以，與特征為收斂于p豐0且在p中某商品 k的價格P =0的價格向量數(shù)列m相對應(yīng)的需求數(shù)列L m無I=J有u （tx ） u

4、（x m ），pm Gi）v pmei，所以，x m不是消費者問題在p mk上界。&m = X，,弋無上界，意味著其全部或部分或至少一個元素?zé)o上界。假設(shè)是商品k的需求xm無上界。由于此消費者的收 k入pme,收斂于pe，所以收入數(shù)列me，有界。也就意味著P k k -pe，因為匕無上界，所以 pg 0，即 p = lim pm = 0A/ A/k 代A._ l由于對商品k的需求無上界，而此商品的供給固定，所以 消費者i對于商品k的需求無上界的事實意味著對商品k的總 超額需求數(shù)列t（pm ）無上界（因為其他消費者的需求非負(fù)）。定理5.3：(純數(shù)學(xué)定理)假設(shè)函數(shù)z(p )滿足下列特征：1：連續(xù)性：

5、z(P )在P上連續(xù)2：瓦爾拉斯法則：Pz(P)=，P3：如果價格向量七3是P。中的數(shù)列，收斂于P，0，且在 中某些商品k, p =0，則對于具有p,=0的商品k，在該市場上 kk其相應(yīng)的超額需求數(shù)列)無上界。則存在向量P0使得Z (p)= 0解題思想：應(yīng)用Brouwer不動點定理定理A1.11： Brouwer不動點定理設(shè)S U n是非空集、緊集和凸集。設(shè)f : S S是連續(xù)映射，那么在 集合s中，存在至少一個f的不動點。也就是說，存在至少一個 X*G S，使得 X*=f G*)。X = f (x)的解x *的存在性的條件：1.定義域是：非空集；緊集；凸集映射f (x)是到自身的連續(xù)映射：f

6、 (x)g s解題步驟:1、構(gòu)造單純形集合用P=(p,., P)表示各商品的貨幣價格。P P&pmmm=1m=1表示相對價格。 ,大寫z )小寫z (P ) = z I 1 P I = z (p )函數(shù)z (p)滿足0次齊次性，p |，尋找使m=1z(P) = 0的解，等同于尋找使z(p)= 0的解相對價格向量的特點:l=JI=J廣1，價格向量為單純形中的點。k=1應(yīng)用不動點定理，函數(shù)在定義域上必須是連續(xù)的，但是，當(dāng)某些商品的價格為零如圖中的價格向 量p 2時，該商品的需求為無窮大，呈現(xiàn)不連續(xù)的特征。必須把這種情況排除除去，即設(shè)法保證p0。單純形的定義:S =p = (p ,.,p )寸 p

7、= 1, p Vk r k k 1 + 2nik=1)給定一個e 6（。,1），保證了 P0。-因為：對于所有的k，令P產(chǎn) e 0。當(dāng)商品數(shù)量n=2時,單純形的定義：S = |P =n ， 一f .一 p = 1, p - Vk k=1J單純形 C V 1 是有界集：T+7n pk 單純形是閉集：1+2n - pk -1pk-1。單純形Sp 2 = 1kk1。=1+(1如二=二這1 + 2 n1 + 2 n，這是凸集：取 P1 ,P2 e S，取 E【0 J1 令 p，= tpi +(1 -1 )p2。z 、tEp1+(1-t)2：pt = tp1 +(1 - t)p2k k=1pt = tp

8、 1 + (1 - t) p 2 tk kk1 + 2 n對所有的.都成立。所以，PY S& TOC o 1-5 h z 12 + -單純形S 非空集.令 p =p = =一#一寸，6（。,1）, e 宋：P 1 n n 1 + 2n 1 + 2n，/ 2 + 111+ 2；=，因而二中至少存在向量p= （1/nL,1/n）.k=12、構(gòu)造 zk (P) = min(z. (p),1)對每一個 k，設(shè)氣(p) = min(z 上(p),1)，p0。 zk (p) = min(z (p),1)zk ( p ), zk (p) 1 結(jié)論I1,1 J 七(p)z(p) = (Z1(p.r 氣(P)

9、有上界i。pz (p ),它將調(diào)高k的價格，調(diào)整幅度為 zk (p) (0,1】，調(diào)整后的價格為Pk + Z (p)，再將其調(diào)整為 相對價格fk (p )=小七+北)ns +1 + z max (0, z (p ) omm=1注意，這里的商品價格為相對價格，調(diào)高一種商品的價格等于 降低了其他所有商品的價格，包括本來供求相等的商品的價 格。分母起到這一作用。如果在價格為pk時商品k上供求相等，即七W= 0，它不 對此商品價格矗調(diào)整，但是，由于對其他超額需求的商品價格進行調(diào)整，影響到分母，相對價格發(fā)生變化，為：fk (p)=.ns +1 + zn max (0, z (p ) omm=1如果在價格

10、為pk時 商品k上供過于求，即七(p)0。.一一 _n . +1 + n 1 1 + 2n0f ( )& + p + max (0, z (p)kn. +1 + max (0, z (p)mm=1lV 0令 T 0，考慮滿足上式的價格向量序列 邳，根據(jù)定義，I三0 - PSk - 1 , L g有界。由實變函數(shù)論知道，實數(shù)域緊集上的 任一有界序列必定收斂，設(shè)序列收斂于Pp *必然滿足p*二0,因為寸尸*=1。我們將證明在條件3下，該 KK=1價格序列收斂于IP* 0。就是說，條件3保證了價格向量嚴(yán) 格為正。反證法：假設(shè)該價格序列收斂于P *。P*不滿足P* 0。則在其中有些 商品廠的價格為零。

11、條件3指出，當(dāng)P *有以上特征時，在某 些價格為零的商品k上（P；，=0），在0與相對應(yīng)的該 商品的超額需求序列氣* 無上界。但是當(dāng) 0 時P T p* p& T p*P* = 0 有 pg T 0但是當(dāng) e T 0 時，P P，kk，kf，有 k，。n + / max C), z G )=g + max偵 z G) 0。所以，在g T 0時，Pg T P*05、推導(dǎo)|F* 0使 0m=1,z G )，= + maxm等號左右兩邊對求極限，得到:(/ KIPK 0nn + zJm=10max 0, zmk= + max 0, z r Iknp*z max(p* )= max(0, z G)m=1等號兩邊乘以zk G），得到:p* z (p* k max (), z (p* )= z (p* )max(0, z (p*) k kmkkm=1求和得到：p* z (p* Z maxV km J、m=/0,0_V0zn z (p* )max