在空氣阻力下的拋物運(yùn)動(dòng)

1、在空并阻下的攔物透彭空棄阻一般物髓在空兼中重力所受的阻力大小大略典物髓封空兼相瑩寸速度平方成 正比，方向劇典相瑩寸速度方向相反，因此阻力可表示舄：f = -Dvv其中V舄物髓瑩寸空兼的相空寸速度，如果空兼舄靜止，v就是物髓的速度；式中 的號(hào)虎表示阻力典速度方向相反。富V舄正畤，vv舄正；富V舄畤，Ivlv舄 (若舄成v2劇始常冬舄正)。上式中的D可表示舄：D *2其中pa舄空兼密度，在常溫常摩下的舄1.2 kg/m3； A舄物髓面空寸重力方向上 的截面稹(cross-sectional area)，富物髓以重交大的截面稹面朝向重力方向B寺，所 受的阻力重交大反之劇值交小；C劇是一侗典物髓形狀、

2、表面粗糙度、空兼黏，性、等因素相辱冒的照因次阻力彳系宴攵(resistance coefficient)。下表所歹胰一些#犬)兄下 的阻力彳系敷值。光滑圓球棒球朝主HS人檄翼汽聿0.50.31.21.10.90.010.4富物髓在靜止空兼中做拋物重加寺，在水平(尤)典垂3,朝上舄正)方 向的牛頓第二定律方程式分別舄：ma = f = - D | v | vma - f - g - - D | v | v - mg或a = | v I v(1)Da = - | v I v - g(2)其中ax典勺分別舄物髓在麗侗方向上的加速度；m舄物髓量；vx典七分 別舄物髓在麗侗方向上的重力速度，g舄重力加速

3、度。由於物髓面HWfi方向的 截面稹可能不同，故分別以Dx典Dy匾別?？紃n-fi在靜止空兼中做拋物勤的圓球，圓球密度舄p，半徑舄，物髓 照面瑩寸任何方向的截面稹都是於是而物髓的量可由髓稹V = 43/3得4 p兀r 3m = pV =3代入式(1)典(2)可得:a =- I v I v - g(4)然BS3不是等加速度重加因舄加速度畬隨速度的大小而改燮。所以一般 等加速度重力方程式都不遒用在BSMTo但我仍遢是可以利用等加速度重力 方程式解Bfifflo近似解法c 幺主幺a,綬(5)如果在一段相富短由t到t+Z的畤段內(nèi)(意思就是Z彳艮小), 化不太大，我仍可以將原來(lái)的加速度方程式稍加修改：v

4、 (t + At) = v (t) + a (t)At = v (t) - I v (t) I v (t)At尤xxx m x xv (t + At) = v (t) + a (t)At = v (t) 一m v(t)v(t)+gAt(6)x (/ + At )=x 0+v 0At +1 av 0At 2 = x 0+v 0At- D | v 0Iv (/)At 2(7)x2 x xx2m xx()+ v()At - 1y 2D Ivy G ) Ivy ( )+ gAt 2,(t + At)= y(t)+ v (t)At +1 a ()At2y 2 y(8)上面畿侗式子的基本理念如下:用t到t

5、+At畤段的位置x(t)典y(t)做舄起始位置。用t到t+At畤段的速度vx(t)典vy(t)做舄起始速度。用t到t+At畤段的速度vx(t)典vy(t)言十算阻力典加速度ax(t) 典 ay(t)o用t到t+At畤段的加速度ax(t)典ay(t)做舄整侗畤段的等加速度值(只是侗近似值，如果z很小的有舌，加速度值在BfiK段內(nèi)雁志亥 不畬燮化太多)。此外我仍遢需要知道圓球在t = 0畤的位置x(0) = % y(0) = y以及速度 v%(0)=七0 = v0cos60,叩0)=七0 = v0sin60,其中 00 舄射角。命以一侗簸例做明:空兼密度pa:1.2 kg/m3阻力彳系敷C：0.3

6、圓球密度p:2000 kg/m3圓球半彳陛r:0.025 m畤距At:0.01 s (希望豹小)初速v0:50 m/s重力加速度g:9.8 m/s2射角:40度起始位置(x0, y0):(0, 0) m是差不多是一侗棒球被擎出的狀)兄。先將彳爰面畬用到的參敷算好:圓球截面稹A:=nr2 = 0.0252兀=0.001963 m2D:p Cnr21.2 x 0.3 x 0.0252兀,】,= =3.534 x 10-4 kg/m22圓球髓稹K4nr34兀0.0253。=6.545 x 10-5 m333H贍量m:=p V = 2000 x 6.545 x 10-5 = 0.1309 kgD/m:

7、3.534 x 10-4/0.1309 = 0.0027 m-1水平初速v皈:v cos0 = 50 cos 40。= 38.30 m/s垂直初速v0y:v sin 0 = 50 sin 40。= 32.14 m/s是些資料膂偷彳爰，就可以逐步言十算:t = 0成在起始畤，所有4條件均已備合定，所以：x(0) = x0 = 0 my(0)=七=0 mvx(0) = v0 x = 38.30 m/s與(0) = v0y = 32.14 m/s有了速度彳爰，加速度便可利用式(3)典(4)言十算：a(0)=- I v I v =0.0027x138.301 x38.30 = 3.961 m/s2 a

8、（0）=- I v 3 - g = 0.0027x132.141 x32.14 - 9.8 = 12.59 m/s2t = 0.01 s 待利用式（5）典（6）求得：v （0.01） = v （0） + a （0）At = 38.30 - 3.961 x 0.01 = 38.26 m/sU （0.01）=（0） + a （0）At = 32.14 -12.59 x 0.01 = 32.01 m/s利用式品（8）求得:X（0.01）= X（0）+ v（0）At + a （0）At2/2 = 38.30 x0.01 -3.961 x0.012/2 = 0.3828 m y（0.01）=面）+ V（

9、0）At + a（0）At2/2 = 32.14x0.01 -12.59x0.012/2 = 0.3208 m接著利用式（3）典（4）求得t = 0.01 s畤的加速度，以提供次一fiKCt= 0.02 s）言十算使用：a（0.01）=-0.0027x 138.26 I x38.26 = 3.953 m/s2a（0.01）= -0.0027x I 32.011 x32.01 - 9.8 = -12.57 m/s2t = 0.02 s 以修依前述方法，每隔0.01 s言十算一次，最彳爰你就畬得到位置、速度典加速度 甜噩的蒯系。使用Excel你或畬，天呀！照是檬算下去要算到什縻畤候才能重出一fi拋

10、物E亦 來(lái)。言己得二十年前美閾審方就畿出一彳重雷建可以值測(cè)到敞方射出的碰罩（富 然是在空兼中腳行），亞隔前包律的落黑&一方面瑩寸己方畿出予胃警（富然遢得躲 得快一黑占），另一方面可以推估敞方砸位，以便逵行反砸擎。如果用同才的人工 言十算方法倔隹然配合你手遑的言十算檄），富你遢沒(méi)算完第一步驟畤，敞方砸律早 就落地了，而且敏方的火砸早就跑了。所以Bffl算雁交備合雷胸做，你只需要言殳言十言十算的程序來(lái)。你可以在所附 的Excel中富案中看看整fi言十算方法。在Bfi案中的工作表上方是必硝輸入的參敷，輸入的信者存格以底色檬示。 再下來(lái)畿列劇是往彳爰言十算遏程中要用到的參數(shù) 是些參敷是由輸入的敷撮自重

11、力推 算。再下來(lái)近一千列的敷字就是每隔一fi At的位置、速度典加速度值，每列的 言十算結(jié)果都是依撮前面方法由前一列的結(jié)果逐步言十算而得。工作表中遢有根撮每 fiK的X典y值以散怖圈所輸出的MBo工作表中的言十算遢包括不考慮空兼阻力的麗彳重算法做舄比重交：一彳重是粹套 拋物重力公式；另一彳重方法也是使用前述逐步言十算的方法，但不加入空兼阻力相 的I瓦是麗彳重結(jié)果所輸出的拋物MW重疊。是彳重逐步言十算的近似方式在宴攵孥上彳菖舄敷值方法（numerical method）, 因舄它的結(jié)果必然是敷字，不是代敷公式。如果物覆是網(wǎng)球呢？前面的例子是金償寸最筒罩的圓球形物醴照在任何方向截面稹都相同。若 是

12、像砸律或之的物髓，遢必硝知道每侗畤律的方向，因SB影警不 同方向的空兼阻力。是侗冏題涉及更高深的航空重力力孥（aerodynamics）知繇 根撮物髓四周的摩力分布言十算物髓的指向。微在空新中的理費(fèi)小微粒（直徑在敷微米或10-6 m左右）在空兼中所受的阻力又典一般物髓 不同。它仍所受的阻力典速度成正比：f = 6 rv其中R舄空兼黏潮系敷（viscosity），在常溫常摩下備勺舄1.8x 10-4 N-s/m2。/、 微粒的空兼阻力主要來(lái)自於空兼在微粒表面的摩擦；但一般物髓空兼阻力主要來(lái) 自於瑩寸其所造成的凱流（因此走生前彳爰摩力差），所以阻力公式不一檬?；蚰惝屜胗们懊娴慕蒲允惴▉?lái)言十算微粒的躋，但你S行不通，因 舄言十算畿侗步驟彳爰敷字就畬大到相富不合理的值（畿散）。是是因舄微粒的量 太?。ǖ鋜的三次方成正比），堇隹然微粒所受的阻力也很?。ǖ鋜成正比）， 但）成小的趣