高中數(shù)學(xué)必修二 (學(xué)案)平面向量的運算

1、 20/20平面向量的運算【第一課時】向量的加法運算【學(xué)習(xí)重難點】【學(xué)習(xí)目標】【核心素養(yǎng)】平面向量加法的幾何意義理解向量加法的概念以及向量加法的幾何意義數(shù)學(xué)抽象、直觀想象平行四邊形法則和三角形法則掌握向量加法的平行四邊形法則和三角形法則，會用它們解決實際問題數(shù)學(xué)抽象、直觀想象平面向量加法的運算律掌握向量加法的交換律和結(jié)合律，會用它們進行計算數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算【學(xué)習(xí)過程】一、問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材內(nèi)容，思考以下問題：1在求兩向量和的運算時，通常使用哪兩個法則？2向量加法的運算律有哪兩個？二、新知探究探究點1：平面向量的加法及其幾何意義例1：如圖，已知向量a，b，c，求作和向量abc解：法一：可先作ac

2、，再作（ac）b，即abc如圖，首先在平面內(nèi)任取一點O，作向量eq o(OA,sup6()a，接著作向量eq o(AB,sup6()c，則得向量eq o(OB,sup6()ac，然后作向量eq o(BC,sup6()b，則向量eq o(OC,sup6()abc為所求法二：三個向量不共線，用平行四邊形法則來作如圖，（1）在平面內(nèi)任取一點O，作eq o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b；（2）作平行四邊形AOBC，則eq o(OC,sup6()ab；（3）再作向量eq o(OD,sup6()c；（4）作平行四邊形CODE，則eq o(OE,sup6()eq o(OC,sup6(

3、)cabceq o(OE,sup6()即為所求探究點2：平面向量的加法運算例2：化簡：（1）eq o(BC,sup6()eq o(AB,sup6()；（2）eq o(DB,sup6()eq o(CD,sup6()eq o(BC,sup6()；（3）eq o(AB,sup6()eq o(DF,sup6()eq o(CD,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(FA,sup6()解：（1）eq o(BC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(AC,sup6()（2）eq o(DB,sup6()eq o(CD,sup6()

4、eq o(BC,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CD,sup6()eq o(DB,sup6()（eq o(BC,sup6()eq o(CD,sup6()）eq o(DB,sup6()eq o(BD,sup6()eq o(DB,sup6()0（3）eq o(AB,sup6()eq o(DF,sup6()eq o(CD,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(FA,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CD,sup6()eq o(DF,sup6()eq o(FA,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(CD,sup6()

5、eq o(DF,sup6()eq o(FA,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(DF,sup6()eq o(FA,sup6()eq o(AF,sup6()eq o(FA,sup6()0探究點3：向量加法的實際應(yīng)用例3：某人在靜水中游泳，速度為4eq r(3)千米/小時，他在水流速度為4千米/小時的河中游泳若他垂直游向河對岸，則他實際沿什么方向前進？實際前進的速度大小為多少？解：如圖，設(shè)此人游泳的速度為eq o(OB,sup6()，水流的速度為eq o(OA,sup6()，以eq o(OA,sup6()，eq o(OB,sup6()為鄰邊作OACB，則此人的實際速度為eq o(OA

6、,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OC,sup6()由勾股定理知|eq o(OC,sup6()|8，且在RtACO中，COA60，故此人沿與河岸成60的夾角順著水流的方向前進，速度大小為8千米/小時三、學(xué)習(xí)小結(jié)1向量加法的定義及運算法則定義求兩個向量和的運算，叫做向量的加法法則三角形法則前提已知非零向量a，b作法在平面內(nèi)任取一點A，作eq o(AB,sup6()a，eq o(BC,sup6()b，再作向量eq o(AC,sup6()結(jié)論向量eq o(AC,sup6()叫做a與b的和，記作ab，即abeq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(AC,sup

7、6()圖形法則平行四邊形法則前提已知不共線的兩個向量a，b作法在平面內(nèi)任取一點O，以同一點O為起點的兩個已知向量a，b為鄰邊作OACB結(jié)論對角線eq o(OC,sup6()就是a與b的和圖形規(guī)定對于零向量與任一向量a，我們規(guī)定a0eq avs4al()0eq avs4al()aa2|ab|，|a|，|b|之間的關(guān)系一般地，|ab|a|b|，當且僅當a，b方向相同時等號成立3向量加法的運算律交換律abba結(jié)合律（ab）ca（bc）四、精煉反饋1化簡eq o(OP,sup6()eq o(PQ,sup6()eq o(PS,sup6()eq o(SP,sup6()的結(jié)果等于（）Aeq o(QP,sup

8、6()Beq o(OQ,sup6()Ceq o(SP,sup6()Deq o(SQ,sup6()解析：選Beq o(OP,sup6()eq o(PQ,sup6()eq o(PS,sup6()eq o(SP,sup6()eq o(OQ,sup6()0eq o(OQ,sup6()2在四邊形ABCD中，eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()，則一定有（）A四邊形ABCD是矩形B四邊形ABCD是菱形C四邊形ABCD是正方形D四邊形ABCD是平行四邊形解析：選D由eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()得eq o(

9、AD,sup6()eq o(BC,sup6()，即ADBC，且ADBC，所以四邊形ABCD的一組對邊平行且相等，故為平行四邊形3已知非零向量a，b，|a|8，|b|5，則|ab|的最大值為_解析：|ab|a|b|，所以|ab|的最大值為13答案：134已知ABCD，O是兩條對角線的交點，E是CD的一個三等分點（靠近D點），求作：（1）eq o(AO,sup6()eq o(AC,sup6()；（2）eq o(DE,sup6()eq o(BA,sup6()解：（1）延長AC，在延長線上截取CFAO，則向量eq o(AF,sup6()為所求（2）在AB上取點G，使AGeq f(1,3)AB，則向量e

10、q o(BG,sup6()為所求【第二課時】向量的減法運算【學(xué)習(xí)重難點】【學(xué)習(xí)目標】【核心素養(yǎng)】相反向量理解相反向量的概念數(shù)學(xué)抽象向量的減法掌握向量減法的運算法則及其幾何意義數(shù)學(xué)抽象、直觀想象【學(xué)習(xí)過程】一、問題導(dǎo)入預(yù)習(xí)教材內(nèi)容，思考以下問題：1a的相反向量是什么？2向量減法的幾何意義是什么？二、新知探究探究點1：向量的減法運算例1：化簡下列各式：（1）（eq o(AB,sup6()eq o(MB,sup6()）（eq o(OB,sup6()eq o(MO,sup6()）；（2）eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(DC,sup6()解：（1）法一：原式eq o(A

11、B,sup6()eq o(MB,sup6()eq o(BO,sup6()eq o(OM,sup6()（eq o(AB,sup6()eq o(BO,sup6()）（eq o(OM,sup6()eq o(MB,sup6()）eq o(AO,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(AB,sup6()法二：原式eq o(AB,sup6()eq o(MB,sup6()eq o(BO,sup6()eq o(OM,sup6()eq o(AB,sup6()（eq o(MB,sup6()eq o(BO,sup6()）eq o(OM,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(MO,sup6()e

12、q o(OM,sup6()eq o(AB,sup6()0eq o(AB,sup6()（2）法一：原式eq o(DB,sup6()eq o(DC,sup6()eq o(CB,sup6()法二：原式eq o(AB,sup6()（eq o(AD,sup6()eq o(DC,sup6()）eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(CB,sup6()探究點2：向量的減法及其幾何意義例2：如圖，已知向量a，b，c不共線，求作向量abc解：法一：如圖，在平面內(nèi)任取一點O，作eq o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b，eq o(OC,sup6()c，連接BC，則eq

13、 o(CB,sup6()bc過點A作AD綊BC，連接OD，則eq o(AD,sup6()bc，所以eq o(OD,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(AD,sup6()abc法二：如圖，在平面內(nèi)任取一點O，作eq o(OA,sup6()a，eq o(AB,sup6()b，連接OB，則eq o(OB,sup6()ab，再作eq o(OC,sup6()c，連接CB，則eq o(CB,sup6()abc法三：如圖，在平面內(nèi)任取一點O，作eq o(OA,sup6()a，eq o(AB,sup6()b，連接OB，則eq o(OB,sup6()ab，再作eq o(CB,sup6()c，連接O

14、C，則eq o(OC,sup6()abc探究點3：用已知向量表示其他向量例3：如圖所示，四邊形ACDE是平行四邊形，點B是該平行四邊形外一點，且eq o(AB,sup6()a，eq o(AC,sup6()b，eq o(AE,sup6()c，試用向量a，b，c表示向量eq o(CD,sup6()，eq o(BC,sup6()，eq o(BD,sup6()解：因為四邊形ACDE是平行四邊形，所以eq o(CD,sup6()eq o(AE,sup6()c，eq o(BC,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()ba，故eq o(BD,sup6()eq o(BC,sup6(

15、)eq o(CD,sup6()bac三、學(xué)習(xí)小結(jié)1相反向量（1）定義：與a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向差，記作a，并且規(guī)定，零向量的相反向量仍是零向量（2）結(jié)論（a）a，a（a）（a）a0；如果a與b互為相反向量，那么ab，ba，ab02向量的減法（1）向量a加上b的相反向量，叫做a與b的差，即aba（b）求兩個向量差的運算叫做向量的減法（2）作法：在平面內(nèi)任取一點O，作eq o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b，則向量eq o(BA,sup6()ab，如圖所示（3）幾何意義：ab可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量四、精煉反饋1在ABC中，D是BC邊

16、上的一點，則eq o(AD,sup6()eq o(AC,sup6()等于（）Aeq o(CB,sup6()Beq o(BC,sup6()Ceq o(CD,sup6()Deq o(DC,sup6()解析：選C在ABC中，D是BC邊上一點，則由兩個向量的減法的幾何意義可得eq o(AD,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(CD,sup6()2化簡：eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(BD,sup6()eq o(CD,sup6()eq o(AD,sup6()_解析：原式eq o(CB,sup6()eq o(BD,sup6()eq o(DC,sup6()eq

17、 o(AD,sup6()eq o(CD,sup6()eq o(DC,sup6()eq o(AD,sup6()0eq o(AD,sup6()eq o(AD,sup6()答案：eq o(AD,sup6()3已知eq blc|rc|(avs4alco1(o（AB,sup6（)10，|eq o(AC,sup6()|7，則|eq o(CB,sup6()|的取值范圍為_解析：因為eq o(CB,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，所以|eq o(CB,sup6()|eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()|又eq blc|rc|(avs4alco1(|o（

18、AB,sup6（)|o(AC,sup6()|)|eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()|eq o(AB,sup6()|eq o(AC,sup6()|，3|eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()|17，所以3|eq o(CB,sup6()|17答案：3，174若O是ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足|eq o(OB,sup6()eq o(OC,sup6()|eq o(OB,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(OA,sup6()|，試判斷ABC的形狀解：因為eq o(OB,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OC

19、,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，eq o(OB,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(CB,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()又|eq o(OB,sup6()eq o(OC,sup6()|eq o(OB,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(OA,sup6()|，所以|eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()|eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()|，所以以AB，AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長度相等，

20、所以該平行四邊形為矩形，所以ABAC，所以ABC是直角三角形【第三課時】向量的數(shù)乘運算【學(xué)習(xí)重難點】【學(xué)習(xí)目標】【核心素養(yǎng)】向量數(shù)乘運算的定義及運算律理解向量數(shù)乘的定義及幾何意義，掌握向量數(shù)乘的運算律數(shù)學(xué)抽象、直觀想象向量共線定理掌握向量共線定理，會判斷或證明兩個向量共線邏輯推理【學(xué)習(xí)過程】一、問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材內(nèi)容，思考以下問題：1向量數(shù)乘的定義及其幾何意義是什么？2向量數(shù)乘運算滿足哪三條運算律？3向量共線定理是怎樣表述的？4向量的線性運算是指的哪三種運算？二、新知探究探究1：向量的線性運算例1：（1）計算：4（ab）3（ab）8a；（5a4bc）2（3a2bc）；eq f(2,3)eq bl

21、crc(avs4alco1(（4a3b）f(1,3)bf(1,4)（6a7b）)（2）設(shè)向量a3i2j，b2ij，求eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)ab)eq blc(rc)(avs4alco1(af(2,3)b)（2ba）解：（1）原式4a4b3a3b8a7a7b原式5a4bc6a4b2cac原式eq f(2,3)eq blc(rc)(avs4alco1(4a3bf(1,3)bf(3,2)af(7,4)b)eq f(2,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)af(11,12)b)eq f(5,3)aeq f(11,18)b（2）原式eq f(1,3)

22、abaeq f(2,3)b2baeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)11)aeq blc(rc)(avs4alco1(1f(2,3)2)beq f(5,3)aeq f(5,3)beq f(5,3)（3i2j）eq f(5,3)（2ij）eq blc(rc)(avs4alco1(5f(10,3)ieq blc(rc)(avs4alco1(f(10,3)f(5,3)jeq f(5,3)i5j探究點2：向量共線定理及其應(yīng)用例2：已知非零向量e1，e2不共線（1）如果eq o(AB,sup6()e1e2，eq o(BC,sup6()2e18e2，eq o(CD,sup6()3（e1e

23、2），求證：A、B、D三點共線；（2）欲使ke1e2和e1ke2共線，試確定實數(shù)k的值解：（1）證明：因為eq o(AB,sup6()e1e2，eq o(BD,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CD,sup6()2e18e23e13e25（e1e2）5eq o(AB,sup6()所以eq o(AB,sup6()，eq o(BD,sup6()共線，且有公共點B，所以A、B、D三點共線（2）因為ke1e2與e1ke2共線，所以存在實數(shù)，使ke1e2（e1ke2），則（k）e1（k1）e2，由于e1與e2不共線，只能有eq blc(avs4alco1(k0，,k10，)所以k1探究點

24、3：用已知向量表示其他向量例3：如圖，ABCD是一個梯形，eq o(AB,sup6()eq o(CD,sup6()且|eq o(AB,sup6()|2|eq o(CD,sup6()|，M，N分別是DC，AB的中點，已知eq o(AB,sup6()e1，eq o(AD,sup6()e2，試用e1，e2表示下列向量（1）eq o(AC,sup6()_；（2）eq o(MN,sup6()_解析：因為eq o(AB,sup6()eq o(CD,sup6()，|eq o(AB,sup6()|2|eq o(CD,sup6()|，所以eq o(AB,sup6()2eq o(DC,sup6()，eq o(DC

25、,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()（1）eq o(AC,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(DC,sup6()e2eq f(1,2)e1（2）eq o(MN,sup6()eq o(MD,sup6()eq o(DA,sup6()eq o(AN,sup6()eq f(1,2)eq o(DC,sup6()eq o(AD,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(1,4)e1e2eq f(1,2)e1eq f(1,4)e1e2答案：（1）e2eq f(1,2)e1（2）eq f(1,4)e1e2互動探究變條件：在本例中，若條件改為eq

26、o(BC,sup6()e1，eq o(AD,sup6()e2，試用e1，e2表示向量eq o(MN,sup6()解：因為eq o(MN,sup6()eq o(MD,sup6()eq o(DA,sup6()eq o(AN,sup6()，eq o(MN,sup6()eq o(MC,sup6()eq o(CB,sup6()eq o(BN,sup6()，所以2eq o(MN,sup6()（eq o(MD,sup6()eq o(MC,sup6()）eq o(DA,sup6()eq o(CB,sup6()（eq o(AN,sup6()eq o(BN,sup6()）又因為M，N分別是DC，AB的中點，所以e

27、q o(MD,sup6()eq o(MC,sup6()0，eq o(AN,sup6()eq o(BN,sup6()0所以2eq o(MN,sup6()eq o(DA,sup6()eq o(CB,sup6()，所以eq o(MN,sup6()eq f(1,2)（eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()）eq f(1,2)e2eq f(1,2)e1三、學(xué)習(xí)小結(jié)1向量的數(shù)乘的定義一般地，規(guī)定實數(shù)與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作a，它的長度與方向規(guī)定如下：（1）|a|a|（2）當0時，a的方向與a的方向相同；當0時，a的方向與a的方向相反；當0時，a02向量數(shù)乘的運

28、算律設(shè)，為實數(shù)，那么：（1）（a）（）a（2）（）aaa（3）（ab）ab3向量的線性運算及向量共線定理（1）向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算對于任意向量a，b，以及任意實數(shù)，1，2，恒有（1a2b）1a2b（2）向量a（a0）與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)，使ba四、精煉反饋1eq f(1,3)eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)（2a8b）（4a2b）)等于（）A2abB2baCbaDab解析：選B原式eq f(1,6)（2a8b）eq f(1,3)（4a2b）eq f(1,3)aeq f(4,3)beq f(4,3)aeq f(2,3)ba2b2若點O為平

29、行四邊形ABCD的中心，eq o(AB,sup6()2e1，eq o(BC,sup6()3e2，則eq f(3,2)e2e1（）Aeq o(BO,sup6()Beq o(AO,sup6()Ceq o(CO,sup6()Deq o(DO,sup6()解析：選Aeq o(BD,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(AB,sup6()3e22e1，eq o(BO,sup6()eq f(1,2)eq o(BD,sup6()eq f(3,2)e2e13已知e1，e2是兩個不共線的向量，若eq o(AB,sup6()2e18e2，eq o

30、(CB,sup6()e13e2，eq o(CD,sup6()2e1e2，求證A，B，D三點共線證明：因為eq o(CB,sup6()e13e2，eq o(CD,sup6()2e1e2，所以eq o(BD,sup6()eq o(CD,sup6()eq o(CB,sup6()e14e2又eq o(AB,sup6()2e18e22（e14e2），所以eq o(AB,sup6()2eq o(BD,sup6()，所以eq o(AB,sup6()與eq o(BD,sup6()共線因為AB與BD有交點B，所以A，B，D三點共線【第四課時】向量的數(shù)量積【學(xué)習(xí)重難點】【學(xué)習(xí)目標】【核心素養(yǎng)】向量的夾角理解平面向

31、量夾角的定義，并會求已知兩個非零向量的夾角直觀想象、數(shù)學(xué)運算向量數(shù)量積的含義理解平面向量數(shù)量積的含義并會計算數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算投影向量理解a在b上的投影向量的概念數(shù)學(xué)抽象向量數(shù)量積的性質(zhì)和運算律掌握平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算律，并會應(yīng)用數(shù)學(xué)運算、邏輯推理【學(xué)習(xí)過程】一、問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材內(nèi)容，思考以下問題：1什么是向量的夾角？2數(shù)量積的定義是什么？3投影向量的定義是什么？4向量數(shù)量積有哪些性質(zhì)？5向量數(shù)量積的運算有哪些運算律？二、新知探究探究點1：平面向量的數(shù)量積運算例1：（1）已知|a|6，|b|4，a與b的夾角為60，求（a2b）（a3b）（2）如圖，在ABCD中，|eq o(AB,sup

32、6()|4，|eq o(AD,sup6()|3，DAB60，求：eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()；eq o(AB,sup6()eq o(DA,sup6()解：（1）（a2b）（a3b）aa5ab6bb|a|25ab6|b|2|a|25|a|b|cos 606|b|262564cos 60642192（2）因為eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()，且方向相同，所以eq o(AD,sup6()與eq o(BC,sup6()的夾角是0，所以eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()|eq o(AD,sup6()|eq o(BC,sup6()|

33、cos 03319因為eq o(AB,sup6()與eq o(AD,sup6()的夾角為60，所以eq o(AB,sup6()與eq o(DA,sup6()的夾角為120，所以eq o(AB,sup6()eq o(DA,sup6()|eq o(AB,sup6()|eq o(DA,sup6()|cos 12043eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)6互動探究：變問法：若本例（2）的條件不變，求eq o(AC,sup6()eq o(BD,sup6()解：因為eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()，eq o(BD,sup6()eq o(

34、AD,sup6()eq o(AB,sup6()，所以eq o(AC,sup6()eq o(BD,sup6()（eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()）（eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()）eq o(AD,sup6()2eq o(AB,sup6()29167探究點2：向量模的有關(guān)計算例2：（1）已知平面向量a與b的夾角為60，|a|2，|b|1，則|a2b|（）Aeq r(3)B2eq r(3)C4D12（2）向量a，b滿足|a|1，|ab|eq f(r(3),2)，a與b的夾角為60，則|b|（）Aeq f(1,3)Beq f(1,2)Ceq f(1,5

35、)Deq f(1,4)解析：（1）|a2b|eq r(（a2b）2)eq r(a24ab4b2)eq r(|a|24|a|b|cos 604|b|2) eq r(4421f(1,2)4)2eq r(3)（2）由題意得|ab|2|a|2|b|22|a|b|cos 60eq f(3,4)，即1|b|2|b|eq f(3,4)，解得|b|eq f(1,2)答案：（1）B（2）B探究點3：向量的夾角與垂直命題角度一：求兩向量的夾角例3：（1）已知|a|6，|b|4，（a2b）（a3b）72，則a與b的夾角為_；（2）（2019高考全國卷改編）已知非零向量a，b滿足|a|2|b|，且（ab）b，則a與b

36、的夾角為_解析：（1）設(shè)a與b的夾角為，（a2b）（a3b）aa3ab2ba6bb|a|2ab6|b|2|a|2|a|b|cos 6|b|26264cos 64272，所以24cos 36729612，所以cos eq f(1,2)又因為eq blcrc(avs4alco1(0，)，所以eq f(,3)（2）設(shè)a與b的夾角為，由（ab）b，得（ab）b0，所以abb2，所以cos eq f(b2,|a|b|)又因為|a|2|b|，所以cos eq f(|b|2,2|b|2)eq f(1,2)又因為0，所以eq f(,3)答案：（1）eq f(,3)（2）eq f(,3)命題角度二：證明兩向量垂

37、直例4：已知a，b是非零向量，當atb（tR）的模取最小值時，求證：b（atb）證明：因為|atb|eq r(（atb）2)eq r(a2t2b22tab)eq r(|b|2t22abt|a|2)，所以當teq f(2ab,2|b|2)eq f(ab,|b|2)時，|atb|有最小值此時b（atb）batb2abeq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,|b|2)|b|2abab0所以b（atb）命題角度三：利用夾角和垂直求參數(shù)例5：（1）已知ab，|a|2，|b|3且向量3a2b與kab互相垂直，則k的值為（）Aeq f(3,2)Beq f(3,2)Ceq f(3,2)D1（2）已

38、知a，b，c為單位向量，且滿足3ab7c0，a與b的夾角為eq f(,3)，則實數(shù)_解析：（1）因為3a2b與kab互相垂直，所以（3a2b）（kab）0，所以3ka2（2k3）ab2b20因為ab，所以ab0，又|a|2，|b|3，所以12k180，keq f(3,2)（2）由3ab7c0，可得7c（3ab），即49c29a22b26ab，而a，b，c為單位向量，則a2b2c21，則49926cos eq f(,3)，即23400，解得8或5答案：（1）B（2）8或5三、學(xué)習(xí)小結(jié)1兩向量的夾角（1）定義：已知兩個非零向量a，b，O是平面上的任意一點，作eq o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b，則AOB（0）叫做向量a與b的夾角（2）特例：當0時，向量a與b同向；當eq f(,2)時，向量a與b垂直，記作ab；